不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)
基本不等式求最值的6种常用方法
知识梳理：
一、基本不等式常用的结论
1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）
推论：ab ≤a 2＋b 2
2（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.
推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
3、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥
21a ＋1b
（a ＞0，b ＞0）
二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，
则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个
定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法
1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系
2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，
设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b
∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，
4λ＋3μ＝2.
解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.
4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
常考题型
题型精析
题型一 直接法求最值
【例1】已知x ＞0．则9
x ＋x 的最小值为( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 【答案】A
【解析】∵x ＞0，则9x ＋x ≥29x •x ＝6，当且仅当9
x ＝x 即x ＝3时取得最小值6．选：A ．
【变式1－1】已知正数x ，y 满足x ＋y ＝4，则xy 的最大值（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 【答案】B
【解析】因为正数x ，y 满足x ＋y ＝4，
所以有4＝x ＋y ≥2xy ⇒xy ≤2⇒xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，故选：B
【变式1－2】已知正数x ，y 满足4x ＋y ＝1，则(4x ＋1)(y ＋1)的最大值为（ ）．
A ．94
B ．14
C ．3
4 D ．1 【答案】A
【解析】(4x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢
⎡⎦⎥⎤(4x ＋1)＋(y ＋1)22 ＝9
4
， 当且仅当⎩
⎪⎨⎪⎧4x ＋1＝y ＋1，4x ＋y ＝1. ，即x ＝18，y ＝1
2时，等号成立．故选：A ．
【变式1－3】已知x ＞2，y ＞1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是（ ）
A ．1
B ．4
C ．7
D ．3＋17
【答案】C
【解析】∵x ＞2，y ＞1，(x －2)(y －1)＝4，
∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3≥2(x －2)(y －1)＋3＝7当且仅当⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4，
y ＝3. 时等号成立.故
选：C
【变式1－4】已知x ，y ＞0，且满足x ＋y ＝2，则xy ＋x ＋y 的最大值为__________. 【答案】3
【解析】因为x ，y ＞0，且满足x ＋y ＝2，
则xy ＋x ＋y ＝xy ＋2≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 22
＋2＝3
当且仅当x ＝y ＝1时取等号， 所以xy ＋x ＋y 的最大值为3.
【变式1－5】已知实数m ，n 满足mn ＞0，则m m ＋n －m
m ＋3n
的最大值为（ ）
A ．3＋2 3
B ．3－2 3
C ．2＋ 3
D ．2－ 3
【答案】D
【解析】因为mn ＞0，则m m ＋n －m m ＋3n ＝2mn m 2＋4mn ＋3n 2＝2m n ＋3n m ＋4
≤2
23＋4
＝2－3，
当且仅当m n ＝3n
m 时取等号，
此时m m ＋n －m m ＋3n
的最大值为2－ 3.故选：D.
【变式1－6】若a ＞0，b ＞0，m ＝2(a 2＋b 2)＋4
a ＋b
，则m 的最小值为（ ）
A ．8
B ．10
C ．4
D ．6
【答案】C
【解析】∵2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时取等号，
∴m ＝2(a 2＋b 2)＋4a ＋b ≥(a ＋b )2＋4a ＋b ＝a ＋b ＋4a ＋b ≥2(a ＋b )×4a ＋b
＝4，
当且仅当a ＝b ＝1时取等号.故选：C.
【变式1－7】若a ，b ，c 均为正实数，则ab ＋bc
a 2＋2
b 2＋
c 2
的最大值为（ ）
A ．12
B ．14
C ．22
D ．32
【答案】A
【解析】因为a ，b 均为正实数，
则ab ＋bc a 2＋2b 2＋c 2＝a ＋c a 2＋c 2b ＋2b ≤a ＋c 2a 2＋c 2b ×
2b ＝a ＋c 22(a 2＋c 2)
＝12a 2＋2ac ＋c 22(a 2＋c 2) ＝1212＋ac a 2＋c 2≤1212＋ac 2a 2×c 2＝12
，
当且仅当a 2＋c 2
b ＝2b ，且a ＝
c ，即a ＝b ＝c 时取等号，
则ab ＋bc a 2＋2b 2＋c 2
的最大值为
12．故选：A ．
题型二 配凑法求最值
【例2－1】若函数f (x )＝x ＋
1
x －2
(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝（ ） A ． 1＋ 2 B ．1＋ 3 C ． 3 D ．4
【答案】C
【解析】∵x ＞2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)×1
x －2＋2＝4
等号当且仅当x －2＝1
x －2
时，即x ＝3时取到等号.
【例2－2】设0＜x ＜3
2，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值.
【答案】9
2
【解析】∵0＜x ＜3
2∴3－2x ＞0
∴y ＝4x (3－2x )＝2•2x (3－2x )≤2⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22 ＝9
2
当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，32时等号成立
【变式2－1】已知x ＜54，则y ＝4x －2＋1
4x －5
的最大值为________．
【答案】1
【解析】因为x ＜5
4，所以5－4x ＞0，
则y ＝4x －2＋14x －5＝－⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤(5－4x )＋15－4x ＋3≤－2(5－4x )×15－4x ＋3＝1,
当且仅当5－4x ＝1
5－4x ，即x ＝1时，取等号．
故y ＝4x －2＋1
4x －5
的最大值为1.
【变式2－2】已知实数x ＞3，则4x ＋9
x －3
的最小值是（ ）
A ．24
B ．12
C ．6
D ．3
【答案】A
【解析】因为x ＞3，则x －3＞0，
则4x ＋9x －3＝4(x －3)＋9x －3＋12≥24(x －3)×9
x －3
＋12＝24，
当且仅当x ＝9
2时，等号成立，
因此，4x ＋9
x －3
的最小值是24.故选：A.
【变式2－3】设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1
a (a －
b )
的最小值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】a 2＋1ab ＋1
a (a －
b )
＝(a 2－ab )＋1a 2－ab ＋1ab ＋ab ≥2(a 2－ab )×1(a 2－ab )
＋21
ab ×ab ＝4,
当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 和1
ab ＝ab ，即⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝22.
时取等号，故选：D.
【变式2－4】设x ＞y ＞0，则x ＋
4x ＋y ＋1x －y
的最小值为（ ） A ．3 2 B ．2 3 C ．4 D ．310
2
【答案】A
【解析】∵x ＞y ＞0，∴x －y ＞0，
∴则x ＋4x ＋y ＋1x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
2(x ＋y )＋4x ＋y ＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12(x －y )＋1x －y ≥212(x ＋y )×4x ＋y ＋212(x －y )×1x －y
＝22＋2＝32，
当且仅当12(x ＋y )＝4x ＋y ，12(x －y )＝1
x －y
，
即x ＝322，y ＝2
2时取等号故选：A
题型三 消元法求最值
【例3】已知正实数a ，b 满足1a ＋b ＝1，则2b
a 的最大值为______. 【答案】1
2
【解析】依题意正实数a ，b 满足1a ＋b ＝1，1
a ＝1－
b ，0＜b ＜1，
2b a＝1
a•2b＝(1－b)•2b＝2•b•(1－b)≤2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
b＋1－b
2
2
＝
1
2，
当且仅当b＝1－b，b＝1
2，a＝2时等号成立.
【变式3－1】已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是（）A．1 B．3 C．6 D．12
【答案】B
【解析】∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝3－x2 2x，
∴2x＋y＝2x＋3－x2
2x＝
3x
2＋
3
2x≥2
3x
2•
3
2x＝3，
当且仅当3x
2＝
3
2x，即x＝1时取等号，故选：B.
【变式3－2】设正实数x、y、z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则xy
z的最大值为（）
A．0 B．2 C．1 D．3
【答案】C
【解析】因为正实数x、y、z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则z＝4x2－3xy＋y2，
则xy
z＝
xy
4x2－3xy＋y2
＝
1
4x
y＋
y
x－3
≤
1
2
4x
y•
y
x－3
＝1，
当且仅当y＝2x＞0时取等号.
故xy
z的最大值为1.故选：C.
【变式3－3】设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当z
xy取得最小值时，x＋2y－z的
最大值为（）
A．0 B．9
8C．2 D．
9
4
【答案】C
【解析】z
xy＝
x2－3xy＋4y2
xy＝
x
y＋
4y
x－3≥2
x
y×
4y
x－3＝1当且仅当x＝2y时成立，
因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2
所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2，当y＝1时等号成立．故选：C．
【变式3－4】已知x＞1，y＞1，(x－1)(y－1)＝2，则2x＋4y的最小值是（）A．14 B．62＋6 C．8 D．42＋6
【答案】A
【解析】因为x＞1，y＞1，(x－1)(y－1)＝2，则y＝
2
x－1
＋1，
于是得2x ＋4y ＝2x ＋
8x －1＋4＝2(x －1)＋8x －1≥22(x －1)•8x －1＋6＝14， 当且仅当2(x －1)＝8
x －1
，即x ＝3，y ＝2时取“＝”，
所以当x ＝3，y ＝2时，2x ＋4y 取最小值14. 故选A
题型四 乘“1”法求最值
【例4】已知x ＞0，y ＞0，1x ＋1
y ＝2，求x ＋y 的最小值. 【答案】2
【解析】∵x ＞0，y ＞0，1x ＋1
y
＝2
∴x ＋y ＝12(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝12⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥12⎝
⎛
⎭
⎫
2＋2
y x ×x y ＝2 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立 ∴当x ＝y ＝1时，x ＋y 的最小值为2.
【变式4－1】已知a ＞0，b ＞0，且a ＋4b ＝4，则1a ＋1
b 最小值为（ ） A ．2 B ．9
4 C ．8 D ．9
【答案】B
【解析】由题知，1a ＋1b ＝14(a ＋4b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4b a ＋a b ＋5≥14×⎝ ⎛⎭⎪⎫24b a •a b ＋5
＝94
， 当且仅当a ＝2b ，即a ＝43，b ＝2
3时，等号成立，故选：B
【变式4－2】若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值为( )
A ．245
B ．27
5 C ．5 D ．6
【答案】C
【解析】由x ＋3y ＝5xy 得x ＋3y 5xy ＝15y ＋3
5x ＝1，
∴4x ＋3y ＝(4x ＋3y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝125＋35＋4x 5y ＋9y 5x ≥15
5
＋2
4x 5y •9y 5x ＝155＋125＝275
， 当且仅当4x 5y ＝9y
5x 时取等号．
故4x ＋3y 的最小值是27
5.
【变式4－3】已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则
3ab
a ＋4b
的最大值为（ ）
A ．310
B ．38
C ．928
D ．13
【答案】D
【解析】由a ＞0，b ＞0，可得
3ab a ＋4b ＝3a ＋4b
ab
＝3
4a ＋1b ， 又由a ＋b ＝1，可得4a ＋1b ＝(a ＋b )•⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4a ＋1b ＝5＋4b a ＋a b ≥5＋2
4b a ×a
b ＝9，
当且仅当4b a ＝a b 时，即a ＝23，b ＝1
3时，等号成立，
所以34a ＋1b
≤39＝13，即3ab a ＋4b
的最大值为13.故选：D.
【变式4－4】已知正数a ，b 满足(a －1)(b －1)＝1，则a ＋4b 的最小值等于（ ）
A ．4
B ．4 2
C ．8
D ．9
【答案】D
【解析】因为(a －1)(b －1)＝1，所以ab －a －b ＝0，所以1a ＋1
b ＝1，
所以a ＋4b ＝(a ＋4b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＋1b ＝1＋4＋4b a ＋a b ≥5＋24＝9，
当且仅当4b a ＝a
b ，即a ＝2b ＝3时等式成立，故选：D ．
题型五【例5】已知x ＞1，y ＞0，且1x －1＋2
y
＝1，则x ＋2y －1的最小值为（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．2＋2 6
【答案】A
【解析】∵x ＞1，∴x －1＞0，又y ＞0，且1x －1
＋2
y ＝1，
∴x ＋2y －1＝[(x －1)＋2y ]•⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
x －1＋2y ＝5＋2y x －1＋2(x －1)y ≥5＋2
2y x －1
•2(x －1)
y ＝9， 当且仅当2y x －1
＝2(x －1)
y ，解得x ＝4，y ＝3时等号成立，
故x ＋2y －1的最小值为9，故选：A ．
【变式5－1】设m ，n 为正数，且m ＋n ＝2，则
1m ＋1＋n ＋3n ＋2
的最小值为（ ） A ．95 B ．74 C ．53 D ．32
【答案】A
【解析】由m ＋n ＝2可得m ＋1＋n ＋2＝5，
1m ＋1＋n ＋3n ＋2＝1m ＋1＋1n ＋2＋1＝15⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m ＋1＋1n ＋2(m ＋1＋n ＋2)＋1
＝15⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1＋m ＋1n ＋2＋n ＋2m ＋1＋1≥15⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
2＋2m ＋1n ＋2•n ＋2m ＋1＋1＝95 当且仅当m ＋1＝n ＋2时成立，故选：A
【变式5－2】已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则a 2＋1a ＋2b 2
b ＋1
的最小值是（ ）
A ．94
B ．73
C ．174
D ．133
【答案】A
【解析】 a 2＋1a ＋2b 2b ＋1＝a ＋1a ＋2b (b ＋1)－2(b ＋1)＋2b ＋1＝a ＋1a ＋2b ＋2
b ＋1－2，因为a ＋2b ＝2，
所以a 2＋1a ＋2b 2b ＋1＝1a ＋2b ＋1＝1a ＋42(b ＋1)
，
因为a ，b 是正实数且a ＋2b ＝2，所以a ＋2(b ＋1)＝4，
因此14×4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ＋42(b ＋1)＝14[a ＋2(b ＋1)]•⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
a ＋42(
b ＋1)＝14⎣
⎢⎡⎦⎥⎤5＋2(b ＋1)a ＋4a 2(b ＋1)≥14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋22(b ＋1)a •4a 2(b ＋1)＝9
4，
当且仅当2(b ＋1)a ＝4a
2(b ＋1)
时取等号，
即a ＝b ＋1时取等号，即a ＝43，b ＝1
3时取等号，故选：A
【变式5－3】设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋3
2＋y
＝1，则x ＋y 的最小值为（ ）
A ．8
B ．16
C ．9
D ．6
【答案】A
【解析】因为x ，y 均为正实数32＋x ＋3
2＋y
＝1，
所以x ＋y ＝2＋x ＋2＋y －4＝[(2＋x )＋(2＋y )]•⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2＋x ＋32＋y －4＝3⎝
⎛⎭⎪⎫2＋y ＋2x ＋2＋x ＋2y ＋2－4≥3⎝
⎛⎭⎪⎫
2＋2y ＋2x ＋2•
x ＋2y ＋2－4＝12－4＝8， 当且仅当y ＋2x ＋2＝x ＋2
y ＋2
，即x ＝y ＝4时取等号.
因此x ＋y 的最小值为8.故选：A.
【变式5－4】实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则a 2a ＋1＋b 2
b ＋1
的最小值是（ ）
A ．4
B ．6
C ．32
D ．8
3
【答案】D
【解析】令a ＋1＝m ，b ＋1＝n ，则m ＞1，n ＞1，且a ＝m －1，b ＝n －1，m ＋n ＝6，
所以a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝(m －1)2m ＋(n －1)2n ＝m ＋n ＋1m ＋1n －4＝2＋6mn ≥2＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22
＝8
3，
当且仅当m ＝n ＝3时取等号.故选：D.
【变式5－5】已知m ＞1，n ＞0，且m 2＋2n ＝3m ，则2m －1
＋m
4n 的最小值为（ ）
A ．94
B ．92
C ．3
2 D ．2
【答案】A
【解析】因为m 2＋2n ＝3m ，所以2n ＝3m －m 2，
因为m ＞1，n ＞0，所以2n ＝3m －m 2＞0，得1＜m ＜3，
所以2m －1＋m 4n ＝2m －1＋m 2(3m －m 2)＝2m －1＋12(3－m )
，
记a ＝m －1，b ＝3－m ，所以a ＋b ＝m －1＋3－m ＝2，
所以a ＋b
2＝1，且a ＞0，b ＞0，
所以2m －1
＋m 4n ＝2a ＋12b ＝a ＋b a ＋a ＋b 4b ＝54＋b a ＋a 4b ≥54＋2a 4b •b a ＝94，
当且仅当b a ＝a 4b 且a ＋b ＝2，即a ＝43，b ＝2
3等号成立，
此时m ＝73，n ＝7－4992＝7
9.故选：A.
题型六 构造不等式法求最值
【例6】若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是（ ）
A ．⎣⎡⎦⎤－
233，233 B ．⎝⎛⎭⎫－233，233 C ．⎣⎡⎦⎤－223，223 D ．⎝⎛⎭⎫－223
，223 【答案】A
【解析】∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，
又∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22 ，∴(x ＋y )2
－1≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 22 ，
令x ＋y ＝t ，则4t 2－4≤t 2
，
∴－233≤t ≤233，即－233≤x ＋y ≤23
3，当且仅当x ＝y 时，取等号，
∴x ＋y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤
－
233，233，故选：A ．
【变式6－1】已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋9y ＋6xy ＝9，则2x ＋9y 的最小值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．9
D ．12
【答案】B
【解析】由2x ＋9y ＋6xy ＝9，得6xy ＝9－(2x ＋9y )，
又因为6xy ＝13•2x •9y ≤13⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋9y 22 ，所以9－(2x ＋9y )≤112(2x ＋9y )2， 即(2x ＋9y )2＋12(2x ＋9y )－108≥0，
解得2x ＋9y ≥6或2x ＋9y ≤－18，
又2x ＋9y ＞0，所以2x ＋9y ≥6，
当且仅当2x ＝9y ，即x ＝32，y ＝13时取等号．故选：B ．
【变式6－2】若a ＞0，b ＞0，且ab ＝3a ＋3b ＋27，则ab 的最小值为（ ）
A ．9
B ．16
C ．49
D ．81
【答案】D
【解析】由题意得ab ＝3a ＋3b ＋27≥6ab ＋27，
得ab －6ab －27＝(ab －9)( ab ＋3)≥0，解得ab ≥9，即ab ≥81，
当且仅当a ＝b ＝9时，等号成立．故选：D
【变式6－3】若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x 2＋y 2的取值范围为______．
【答案】⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，2 【解析】由于x 2＋y 2≥2|xy |，(当且仅当|x |＝|y |时取等号)，
∴－x 2＋y 22≤xy ≤2＋y 22，又xy ＝1－(x 2＋y 2)，
所以－x 2＋y 22≤1－(x 2＋y 2)≤x 2＋y 2
2，
故23≤x 2＋y 2≤2，即x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2
专题27 基本不等式中常见的方法求最值(解析版)
专题27 基本不等式中常见的方法求最值 一、例题选讲 题型一、消参法 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 例1、(2017苏北四市期末）. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3????0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 例2、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且11 121 a b b =+++，则2a b +的最小值为 ． 题型二、双换元 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系 例3、(2015苏锡常镇、宿迁一调）已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1 x －y 的最小值为________． 例4、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且11 121 a b b =+++，则2a b +的最小值为 ． 题型三、1的代换 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。 例5、(2019苏锡常镇调研）已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b b a a 4 21222+++的最小值为 ．
例6、（2019年苏州学情调研）若正实数x y ，满足1x y +=，则4 y x y +的最小值是 ． 题型四、齐次化 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解。 例7、(2019通州、海门、启东期末）已知实数a>b>0，且a ＋b ＝2，则3a －b a 2＋2a b －3b 2 的最小值为________． 二、达标训练 1、（2019年苏州学情调研）若正实数x y ，满足1x y +=，则4 y x y +的最小值是 ． 2、(2018苏锡常镇调研） 已知a>0, b>0，且2a ＋3 b ＝ab ，则ab 的最小值是________． 3、(2018苏锡常镇调研） 已知a b ，为正实数，且()2 34()a b ab -=，则11 a b +的最小值为 ． 4、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________． 5、(2019苏北三市期末） 已知a>0，b>0，且a ＋3b ＝1b －1 a ，则 b 的最大值为________． 6、(2019扬州期末）已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为_________． 7、(2017苏州期末） 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1 y ＋1 的最小值为________．
基本不等式求最值的类型与方法-经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法 、几个重要的基本不等 式: ①a2b2 2ab ab a2 —(a> b R),当且仅当a = b时, =”号成 立; 2 ab ab 2 （a、b R ），当且仅当a = b时, =”号成 立; 11x 1 x 1 1 解企.析斤：1)(x1) y x八2 (x2l（x丨丿小小?八2 l（x 1 2(x1)2(x 1) 2 2 2(x 1) c x 1x 111 3 ’5 33-1 2， ■ 2 22(x1)22 当且仅当- x 11 2(x1)即x 5 2时，=”号成立，故此函数最小值是一。 22(x1)22 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型n :求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ③a3b3 3 3 a c 3abc abc — .3 3 b c / (a 、 3 b、c R ）,当且仅当a =b = c时,="号成立; 3 3----- abc , b c 33 abc abc (a 、 3 b、c R）,当且仅当 a = b = c 时,="号成 ①y x2(3 2x)(0 x 2 ② y sin xcosx(0 x ) 2 立. 注: 解析：①Q 0 2x ① 注意运用均值不等式求最值时的条件: 正” 、 定、三等； 二、函数② 熟悉一个重要的不等式链: 、 、 ab ?- y (3 2x)(0 当且仅当 f(x) ax b(a、 x 0）图象及性 质 (1)函数f(x) ax a 、 0图象如图: (2)函数f(x) ax a 、 0性质: ①值域: ,2 ab] ab,)；x 3 2x 即x ? sin x 2 ②单调递增区间：（）;单调递减区间: 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型I :求几个正数和的最小值。 例1、求函数y x 1 2 (x 1)的最小值。 2(x 1)2 i) 1时, x x(3 2x) [X x(3 2x)]3 1 , 3 =”号成立，故此函数最大值是 2 0,cos x 0，则y 0 ,欲求y的最大值，可先求y的最大值。 y2 sin4 x cos2 x .2 sin x .2 sin x 2 cosx ， ［ (0,,0). 当且仅当sin2 x 2 2cos x (0 此函数最大值是 2 2 2 1 . 2.2c 2、 1 ,sin x sin x 2cosx、3 4 (sin x sin x 2cosx) ( ) , 2 2 3 27 tanx .2，即x arctan；2 时='号成立，故 例3、若x、y R，求f （x） 4 x — x (0 x1）的最小值。 解法一：（单调性法）由函数f(x)ax K —（a、b 0）图象及性质知，当x （0,1］时，函 数 f(x)x -是减函数。证明: 任取xz(0,1]且0 捲X2 1，贝U 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型川：用均值不等式求最值等号不成立。
专题：基本不等式求最值的类型及方法(非常完整)
专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、知识点总结图解 1、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 2、函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,]b a -∞- ，[,)b a +∞；单调递减区间：(0,]b a ，[,0)b a - . 3、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则 22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=” （7）)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥+R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b x a b ab 2-ab 2a b - o y
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法一．配项 例1：设x>2,求函数y=x+9 2 x- 的最小值 解析：y=x-2+ 9 2 x- +2≥8 当x-2= 9 2 x- 时，即x=5时等号成立 例2：已知a,b是正数，满足ab=a+b+3,求ab的最小值 法1：ab=a+b+3≥当a=b3即ab≥9当a=b=3时 等号成立。 法2:已知可化为（a-1）(b-1)=4.又ab=(a-1)+（b-1）+5≥9当a-1=b-1=2时等号成立，即a=b=3 二．配系数 例3:设0
解析：y=2sin 2x+2sinxcosx =2 sin 2x+ 2sin (cos )x a x a (a>0) ≤2 sin 2x+222sin cos x a x a + =a+22(21)sin a a x a +- 若为定值，则221a a +-=0，+1, 所以y 时成立。 六． 常值代换 例7：已知x>0,y>0,且x+2y=3,求1x +1 y 的最小值 解析：1x +1y =13(x+2y)(1x +1y )=1+13(2y x +x y )≥1+23 当且仅当2y x =x y ，且x+2y=3，即-1),y=3 2)时，取 得最小值为1+23
(全)基本不等式应用-利用基本不等式求最值的技巧-题型分析
基本不等式使用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的使用． 使用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数
不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)
基本不等式求最值的6种常用方法 知识梳理： 一、基本不等式常用的结论 1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”） 推论：ab ≤a 2＋b 2 2（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）. 推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 （a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ＋b 22 3、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥ 21a ＋1b （a ＞0，b ＞0） 二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值， 则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个 定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ， 设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1， 4λ＋3μ＝2. 解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25. 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。 5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 常考题型
高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)
基本不等式求最值的常用方法 一、常数代换法 1、直接“1”代换 例1. 已知正数x 、y 满足12=+y x ，求 y x 1 1+的最小值. 解析：223221)11)(2(+≥+++=++y x x y y x y x 当且仅当 y x x y =2 即12-=x ，2 2 2-=y 时取“=” 变式. 已知正数x 、y 满足32=+y x ，求 y x 1 1+的最小值. 解析：3 2 21)223(31)221(31)11)(2(31+=+≥+++=++y x x y y x y x 当且仅当y x x y =2 即)12(3-=x ，2 ) 22(3-= y 时取“=” 2、间接“1”代换 例1. 若x 、y 为正实数且082=-+xy y x ，求y x +的最小值. 解析： 082=-+xy xy y x 即182=+x y ，188********)82)((=⨯+≥+++=++x y y x x y y x 当且仅当 x y y x 82= 即12=x ，6=y 时取“=” 例2.若正数x 、y 满足xy y x 53=+，求y x 43+的最小值. 解析： 553==+xy xy xy y x 即53 1=+x y
5)123213(5 1 )12349(51)31)(43(51=⨯+≥+++=++x y y x x y y x 当且仅当 x y y x 123= 即1=x ，2 1 =y 时取“=” 例3.已知x 、y 均为正数，且 111=+y x ，求1 914-+ -y y x x 的最小值. 解析： 25362139413)11)(94(19141191 14=+≥++=++=+= -+ -y x x y y x x y x y y x 当且仅当y x x y 94= 即35=x ，2 5 =y 时取“=” 例4. 已知函数x a y -=1的图像恒过定点A ,若点A 在直线1=+ny mx （0,0>>n m ） 上，求 n m 1 1+的最小值. 解析：由题意可得A 的坐标为（1,1） 则有1=+n m 41222))(11(11=+≥++=++=+n m m n n m n m n m 当且仅当n m m n = 即2 1 ==n m 时取“=” 例5. 已知函数x m y log 1+= （0>m 且1≠m ）的图像恒过点M ，若直线 1=+b y a x （0,0>> b a ）经过点M ，则b a +的最小值是多少？ 解析：由题意得M （1,1） 则111=+b a 41222))(11(=+≥++=++=+ b a a b b a b a b a 当且仅当b a a b = 即2==b a 时取“=” 3.部分“1”代换 例. 若正数x 、y 满足1=+y x ，求 y x y 4 +的最小值.
高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)
高考数学专题--基本不等式求最值的常用 方法(解析版) 直线ab经过点M可得1+a*log(m)=b，化简得 a*log(m)=b-1 将a*log(m)代入第一个式子得到11/b+log(m)的最小值 令t=log(m)，则有11/b+t的最小值，根据部分“1”代换可得 11/b+t=(1+1/b)*b+(t-1)的最小值，当且仅当b=2时取“=”，此时a=log(2)即为最小值。 已知$x>0$，$y>0$，且$x+y=1$，求 $\frac{y^4}{x^2y^2}$的最小值。 解析：$\frac{y^4}{x^2y^2}=y^2+\frac{y^4}{x^2}\geq 2\sqrt{y^2\cdot\frac{y^4}{x^2}}=2y^2$，所以最小值为$2$，当且仅当$x=y=\frac{1}{2}$时取等号。 已知正数$x$，$y$，且$x+y=4$，求 $\frac{4}{x+2y+1}$的最小值。
解析：令$m=x+2$，$n=y+1$，则$x+2+y+1=m+n=5$，$\frac{4}{x+2y+1}=\frac{4}{m+n-2}\geq\frac{4}{4}=1$，所以最小值为$1$，当且仅当$x=2$，$y=1$时取等号。 已知$x>y>0$，且$x+y\leq 3$，求 $\frac{3x+y}{2x+by+1}$的最小值。 解析：令$m=2x+y$，$n=y+1$，则$x=\frac{m-2n}{3}$，$y=n-1$，$x>y$可得$\frac{m-2n}{3}>n-1$，即$m>5n-3$。所以$\frac{3x+y}{2x+by+1}=\frac{3m- 6n+n}{2m+bn+1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{m}{m+\frac{bn+1}{2}-n}\geq\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{3}=2.5$，所以最小值为$2.5$，当且仅当$m=5n-3$时取等号，即$x=2$，$y=1$。 已知$x$，$y$为正实数，求 $\frac{y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{1}{x+y}$的最小值。 解析： $\frac{y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{1}{x+y}=\fr
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法 基本不等式，也被称为柯西-斯瓦茨不等式，是用来确定两个向量之 间关系的不等式。在这篇文章中，我们将重点讨论六种用基本不等式求最 值的方法。让我们开始吧！ 方法一：向量长度的比较 这种方法是最为基本的方法，它利用向量长度的比较来确定最值。假 设我们有两个向量a和b，我们可以使用基本不等式来比较它们的长度。 如果两个向量的长度相等，那么它们之间的夹角是0度或180度，此时它 们的点积是最大或最小的。 方法二：向量投影的比较 这种方法是通过比较两个向量在同一方向上的投影长度来确定最值。 通过计算向量a在b上的投影和向量b在a上的投影，我们可以比较它们 的长度，从而确定最值。 方法三：向量的加减 这种方法是通过向量的加减来确定最值。假设我们有两个向量a和b，我们可以通过计算它们的和或差来确定最大或最小值。 方法四：向量的正交 这种方法是通过确定两个向量的正交关系来确定最值。正交向量是指 它们的点积为零的向量。通过使用基本不等式，我们可以确定两个向量的 点积的最大或最小值，从而确定最值。 方法五：向量的旋转
这种方法是通过向量的旋转来确定最值。通过旋转向量a和b，使它们的夹角为0度或180度，我们可以确定它们的点积是最大或最小的。 方法六：多个向量的比较 这种方法是通过比较多个向量之间的关系来确定最值。假设我们有n 个向量a1，a2，...，an，我们可以通过使用基本不等式来比较它们的长度、投影或其他属性，从而确定最值。 综上所述，这六种方法是通过使用基本不等式来确定最值的方法。每种方法都有其独特的应用场景和计算步骤。希望这篇文章能够帮助你理解和应用基本不等式。
基本不等式中常见的方法求最值
基本不等式中常见的方法求最值 基本不等式是数学中常用的不等式形式，它可以解决两个或多个变量之间的大小关系问题。在实际问题中，求最值是一类常见的问题，可以通过基本不等式的方法来解决。下面将介绍一些常见的方法用于求解最值的基本不等式。 一、最值问题的数学建模 在解决最值问题之前，首先需要进行数学建模。数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程，通常包括确定问题的目标函数和约束条件。在求解最值问题中，目标函数表示要求解的最值，约束条件是指限制该函数取值范围的条件。 例如，求解一个函数在给定范围内的最大值，可以将问题建模为求解一个目标函数在一组特定约束条件下的最大值。 二、最值问题的基本不等式方法 在实际问题中，一般使用不等式约束来限制变量的取值范围。下面将介绍几种常用的基本不等式方法来求解最值问题。 1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式） 算术平均-几何平均不等式是一种常见的不等式方法，用于求解多个正实数的不等式关系。它可以将多个正实数的乘积限制在一些范围内，并且表明乘积最大值在一组特定值时取得。 设a1, a2, ..., an为n个正实数，那么AM-GM不等式可以表示为：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)
通过这个不等式，可以限制变量的取值范围，从而求解最值。 2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式） 柯西-施瓦茨不等式是一种用于求解向量内积的不等式关系。它可以 将两个向量的内积限制在一些范围内，并且表明内积最大值在一组特定值 时取得。 设a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn为n个实数，则柯西-施瓦 茨不等式可以表示为： (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) 通过这个不等式，可以限制变量的取值范围，从而求解最值。 3. 霍尔德不等式（Holder不等式） 霍尔德不等式是一种用于求解多个实数的不等式关系。它可以将多个 实数的乘积限制在一些范围内，并且表明乘积最大值在一组特定值时取得。 设a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn为n个实数，并且p, q是 满足1/p + 1/q = 1的正实数，则霍尔德不等式可以表示为：a1b1 + a2b2 + ... + anbn，≤ (，a1，^p + ，a2，^p + ... + ，an，^p)^(1/p) * (，b1，^q + ，b2，^q + ... + ，bn，^q)^(1/q)通过这个不等式，可以限制变量的取值范围，从而求解最值。 以上介绍的这些基本不等式方法是常见的用于求解最值问题的数学工具。根据具体问题的特点，可以选择合适的方法来进行求解。
利用基本不等式求最值的常见方法
利用基本不等式求最值的常见方法 基本不等式是数学中常用的一种推断和求解最值的方法之一、基本不 等式包括均值不等式、柯西-施瓦茨不等式和几何平均与算术平均不等式等。这些不等式的推导和使用方法可以帮助我们解决各种数学和实际问题。下面将介绍一些利用基本不等式求最值的常见方法。 1.均值不等式法：均值不等式是最常用的基本不等式之一、它包括算 术平均数与几何平均数的关系、算术平均数与谐波平均数的关系等。通过 运用均值不等式，我们可以将一个问题中的复杂表达式或不等式进行简化，从而方便进行求解或判断最值。例如，当我们需要求解一组数据的算术平 均数时，可以通过均值不等式推导出一个简化的不等式，从而确定平均数 的范围。 2.柯西-施瓦茨不等式法：柯西-施瓦茨不等式是一种用于求解内积和 范数的不等式。通过柯西-施瓦茨不等式，我们可以推导出两个向量内积 的最值以及两个向量范数的关系等。在实际问题中，柯西-施瓦茨不等式 可以用于求解线性规划问题、最小二乘法问题等。例如，当我们需要求解 两个向量的内积最大值时，可以通过柯西-施瓦茨不等式推导出一个简化 的不等式来确定最大值。 3.几何平均与算术平均不等式法：几何平均与算术平均不等式是一种 常用的不等式关系。通过几何平均与算术平均不等式，我们可以推导出一 组数的平方和与它们的几何平均的关系，或者一组数的立方和与它们的算 术平均的关系等。在实际问题中，几何平均与算术平均不等式可以用于求 解数据的平均值、方差、标准差等。例如，当我们需要求解一组数据的方 差时，可以通过几何平均与算术平均不等式推导出一个简化的不等式，从 而确定方差的范围。
4.归纳法：归纳法是一种常用的数学推导方法。利用归纳法，我们可 以通过已知条件和不等式的性质来推导出一组数的最值。在实际问题中， 归纳法可以用于求解复杂的不等式，例如任意n个数的幂和与它们的算术 平均的关系等。例如，当我们需要求解一组数据的幂和与它们的算术平均 的关系时，可以通过归纳法证明一个定理，从而确定幂和与平均值的关系。 5.极值法：极值法是一种常用的求解最值的方法。通过极值法，我们 可以通过离散或连续数列的性质推导出最值的存在性和唯一性。在实际问 题中，极值法可以用于求解最优化问题，例如求解函数的最大值、最小值等。例如，当我们需要求解一个函数的最大值时，可以通过极值法求解函 数的导数为零的点，然后通过对导数零点进行二阶导数测试来判断最大值 的存在性和唯一性。 综上所述，利用基本不等式求最值的常见方法包括均值不等式法、柯 西-施瓦茨不等式法、几何平均与算术平均不等式法、归纳法和极值法等。这些方法在数学推理和实际问题求解中都有着重要的应用价值，它们可以 帮助我们简化问题、减少计算量，从而提高问题求解的效率和准确性。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法 基本不等式是指形如a≤b不等式。在数学中，有许多方法可以使用基本不等式来求解最值的问题。以下是六种常见的方法： 方法一：直接使用基本不等式 最常见的方法就是直接使用基本不等式求解最值。这种方法适用于求解一个函数或表达式的最小值或最大值。首先，找到要求解的函数或表达式，并用a表示自变量，用b表示函数的值或表达式。然后，使用基本不等式将a和b进行比较，确定a和b之间的关系，从而得出最小值或最大值。 方法二：将问题转化为最值问题 有时候，我们可以将原始问题转化为一个最值问题，然后再使用基本不等式求解。例如，如果要求解一个多项式函数在一些区间上的最小值或最大值，我们可以求解多项式函数的导函数，并使用基本不等式得出导函数的最小值或最大值，从而得到原始问题的最小值或最大值。 方法三：分解求值 当需要求解一个复杂的问题时，可以尝试将问题分解为若干个简单的问题，并求解这些简单问题的最值。然后，使用基本不等式求出这些最值的函数值，再将它们组合起来求解原始问题的最值。 方法四：结合其他数学工具 在一些特殊情况下，可以将基本不等式与其他数学工具结合使用，来求解最值问题。例如，可以将基本不等式与数列极限定理、曲线图像分析等方法结合使用，来求解最值问题。
方法五：利用结论和定理 有时候，基本不等式的求解可以直接应用一些已知的结论和定理。例如，利用切线和切点的性质可以简化问题的求解过程，从而得到最值。 方法六：假设法和反证法 假设法和反证法在不少情况下也是求解最值问题的有效方法。假设法是假设一些变量的取值，然后通过推导和比较得出最值的范围。反证法是通过假设不存在一些取值，并推导出矛盾，从而得出最值的范围。 以上是使用基本不等式求解最值问题的六种常见方法。根据具体问题的特点和要求，可以选择合适的方法进行求解。掌握这些方法将有助于我们更好地理解和应用基本不等式，解决实际问题。
基本不等式求最值的6种常用方法
基本不等式求最值的6种常用方法 班级 姓名 注意：每一道题写出完整的解答过程！ 题型一 直接法求最值 【例1】y ＝9 x x +(x >0)的最小值为 ________. y ＝9 x x +的取值范围为 ________. y ＝x ＋4 x ＋2(x >－2)的最小值为 ________. y ＝x 2＋3＋1x 2＋3的最小值为 ________. 【变式1-1】已知x >0，y >0,2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为 ________. 【变式1-2】已知x >0，y >0，且2x ＋8y =xy ，则xy 的最小值为 ________.． 【变式1-3】已知x ，y 为正实数，x ＋2y ＝1，求W ＝x ＋2y 的最大值． 【变式1-4】已知0x >，0y >，若41x y +=，求()()411x y ++的最大值 A ．94 B ．1 4 C ．3 4 D ．1 【变式1-5】已知0,0>>b a ，求a b b a a 33++的最小值 【变式1-6】(挑战)若a ，b ，c 均为正实数，求2222ab bc a b c + ++的最大值
题型二 配凑法求最值 【例2-1】若函数()()122 f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a =（ ） A ． 1．1． 3 D ．4 【例2-2】设302<< x ，求函数)23(4x x y -=的最大值 【变式2-1】已知实数3x >，则943 x x +-的最小值是（ ） A ．24 B ．12 C ．6 D ．3 【变式2-2】已知54x <，求14245 =-+-y x x 的最大值 【变式2-3】设0x y >>，则41x x y x y +++-的最小值为（ ） A ．．．4 D 题型三 消元法求最值 【例3】已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为________．
基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法 解析：y x 1 2(x 1) (x 2(x 1) 1) 2(x L 2LJ 2 1(x 1) 2 2 2(x 1) 、几个重要的基本不等式: ①a 2 b 2 2ab ab a 2 b 2 (a 、 x 1 x 1 33 立; b R),当且仅当a = b 时，“=”号成立; 2 2(x 1) ③a 3 成立• 注: 二、函数 b 3 2 ab ab 2 (a 、 当且仅当 b R )，当且仅当a = b 时，“=”号成立; 2(x 2(x 1)2 1)即x 2时，“ 5 ”号成立，故此函数最小值是 - 2 3 c 3 3abc abc — b 3 c 3 3 -(a 、 b 、 R )，当且仅当a = b = c 时，“=”号成 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型n ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： 3 3 ----- abc , b c 3v abc abc ---------------- (a 、 3 ① 注意运用均值不等式求最值时的条件: ② 熟悉一个重要的不等式链: ab f(x) ax b (a 、 x 0)图象及性质 (1)函数 f (x) ax a 、 0图象如图: (2)函数 f(x) ax a 、 0性质: ①值域: ,2 ab] [2 ab,); R ),当且仅当a = b = c 时，“=”号 定 、三 等 ; 2 2 a b J -------------- 2 ①y x 2 解析：①Q 0 •- y (3 2x)(0 x x - ,• 3 2 当且仅当 2 . 4 2 y sin x cos x 当且仅当 故此函数最大值是 (3 2x)(0 ②单调递增区间：( );单调递减区间: :], (0, ］ ， ,0). 2x x 3 2x 即 x ,•• sin x 2 sin 2 x sin 2 x .2 sin x 2 ② y sin xcosx(0 x ) 2 3 x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ] 1 , 2 3 1时，“=”号成立，故此函数最大值是 1 。 0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。 coSx 2cos x (0 1 2 2 2 (sin x sin x 2cosx) 2 1 sin 2 x sin 2x 2co^ x 3 4 二 -------- —) 刃 tan x 2，即 x arctan^^ 时“=”号成立, 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型川：用均值不等式求最值等号不成立。 4 x — x 例 3、若 x 、y R ，求 f (x) (0 x 1)的最小值。 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型I ：求几个正数和的最小值。 解法一：(单调性法)由函数 f(x) K ax 一(a 、b 0)图象及性质知，当 x (0,1］时，函数 x 例1、求函数y x 1 2(x 1)的最小值。 2(x 1)2 f (x) x -是减函数。证明: x 任取 X 2 (0,1]且 0 禺 X 2 1，则
基本不等式求最值地类型与方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法 解析: 1 2 2(x-1) (x .1) = (x-1) 1 2 2(x-1) 1 2 2(x-1) 1(x ■ 1) 、几个重要的基本不等式: 2 2 a 2 + b 2 ① a b - 2ab = ab 乞 (a 、 2 b R),当且仅当a = b 时，“=号成立; 1 2 j 1 J ， 2(x-1) 2 2 一 a b 2 ② a b _2 ，ab =ab ，丁 (a 、 b R J,当且仅当a = b 时，“=号成立; x_ 1 当且仅当丄」 1 5 —(x.1)即x=2时，=”号成立，故此函数最小值是 -。 2(x-1)2 2 3 3 : 3.3 3 a b c ③ a b c _3abc= abc_- b 、 c R ),当且仅当a = b = c 时，“号成立; 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要 通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型n ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值: ，当且仅当 a = b = c 时,“号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件: 正” 、 定、三 等； 2 3 ① y = x (3「2x)(0 ：： x ) 2 3 解析：①0 ：：： x ，二 3 - 2x • 0 , 2 2 兀 ② y = sin xcosx(0 ：： x ：：—) 2 2 ② 熟悉一个重要的不等式链： - 1+1 a b 2 2 ::a b — 。 X 2 二、函数 f(x) = ax b (a 、 x b - 0)图象及性质 ••• y = x 2(3 — 2x)(0 ：： x ：： x x (3— 2x)乞(3_ 2x)]3 二〔, 2 3 当且仅当x=3-2x 即x=1时，=”号成立，故此函数最大值是 1。 ②：0 ：：： x ：：： ,• sin x - 0,cos x 0，则y • 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最 大值。 (1)函数 f(x) 二 ax b a 、 x b 0图象如图: ⑵函数f (x) b 0性质: 2 .4 2 . 2 . 2 2 1 / . 2 . 2 2、 1 X Si^X 2cO^ x 3 4 y sin x cosx = sin x sin x cosx (sin x sin x 2cosx) ( ) , 2 2 3 27 当且仅当 sin 2x = 2cosx (0 ：：： x )= tanx= . 2，即 x=arctan 、. 2 时 ="号成立，故 2 ①值域: ②单调递增区间：( b 、[圧,七切；单调递减区间: (0, I" 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型I ：求几个正数和的最小值。 1 例1求函数y = x 2 (x 1)的最小值。 2(x-1)2 此函数最大值是 一。 9 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型川：用均值不等式求最值等号不成立。 + 4 例 3、若 x 、y R ，求 f(x) = x (0：：：x ^1)的最小值。 x K 解法一：(单调性法)由函数 f(x) = ax ，— (a 、b 0)图象及性质知，当 x (0,1]时，函数 x 4 f(x)二X 是减函数。证明：任取 x 1, x^ (0,1]且0：：：捲：：：x 2乞1，贝y x
均值不等式求最值的6种常用方法-高一数学(人教B版2019必修第一册)(解析版)
均值不等式求最值的6种常用方法 一、均值不等式常用的结论 1、如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”） 推论：22 ab 2 a b +≤（,R a b ∈） 2、如果0a >，0b >,则2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 推论：2 ab ()2 a b +≤（0a >，0b >） ；222()22a b a b ++≥ 3、 22 2 0,0)1122a b a b ab a b a b ++≤≤≤>>+ 二、利用均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用均值不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在均值不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用均值不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为34+a b 与3+a b ，分子为2+a b ， 设()()()()2343343+=+++=+++a b a b a b a b λμλμλμ
基本不等式求最值的类型与方法经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1 ≥312≥+52=， 当且仅当 211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5 2 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2 y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3 (32)[]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =⋅2 2 2 sin sin cos x x x =⋅⋅222 1(sin sin 2cos )2 x x x =⋅⋅22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ⇒=tan x arc = “=”号成立，故 此函数最大值是 9 。 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤