专题18 基本不等式(解析版)
专题18 基本不等式
一、三个不等式关系：
(1)a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)a ，b ∈R ＋
，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2
，当且仅当a ＝b 时取等号．
上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．
其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋
，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 二、.算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b
2
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平
均数不小于它们的几何平均数. 三、.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2
4.(简记：和定积最大)
四、对于f (x )＝x ＋a
x ，
当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数；
当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)为增函数；在(－a ，0)，(0，a )为减函数． 注意 在解答题中利用函数f (x )＝x ＋a
x 的单调性时，需要利用导数进行证明．
五、利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
六、对于多元问题的不等式的基本解题思路就是把多元问题转化为单元问题。
例1、（2019年江苏卷）平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4
(0)y x x x
=+
>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.
【答案】4. 【解析】设P(
x
x x 4,+
),(x>0),则点P 到直线x +y =0的距离为 D=
4
)2(22
)
2
(22)4(≥+=+=++x x x
x x x x
当且仅当
2
,2
==x x
x 等号成立 变式1、(2018苏锡常镇调研（一）） 已知a>0, b>0，且2a ＋3
b ＝ab ，则ab 的最小值是________．
【答案】 26
【解析】、思路分析 利用基本不等式，化和的形式为积的形式．
因为ab ＝2a ＋3
b
≥2
2a ·3b ，所以ab ≥26，当且仅当2a ＝3
b
＝6时，取等号． 变式2、(2017南京、盐城、徐州二模） 已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin α
sin β，则tan α的最大值是________．
【答案】
24
【解析】、思路分析 注意研究目标，故先要将cos(α＋β)应用两角和的余弦公式展开，然后利用同角三角函数式将tan α表示为β的函数形式，利用求函数的最值方法可得到结果．
由cos(α＋β)＝sin αsin β得cos αcos β－sin αsin β＝sin α
sin β，即cos αcos β＝sin α⎝⎛⎭⎫sin β＋1sin β，由α，β均为锐角得cos α≠0，tan β>0，所以tan α＝
sin α
cos α
＝cos βsin β＋
1
sin β
＝
sin βcos βsin 2
β＋1＝tan β
2tan 2β＋1
＝12tan β＋
1
tan β
≤
12
2
＝
2
4
，当且仅当
2tan β＝
1tan β，即tan β＝2
2
时，等号成立． 例2、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且11
121
a b b =+++，则2a b +的最小值为 ．
【答案】 【解析】、：由已知等式得b b a ab b a +++=++2
22122，从而b
b b a 21
2+-=，
b b b b b a 22122++-=+b
b 212321++=213243221+=+≥，故有最小值12.
变式1、(2017苏北四市期末）. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1
y －3的最小值为________． 【答案】. 8
【解析】、解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3
x
－3(y ＞3)， 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1
y －3＋6≥2
(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1
y －3
，即y ＝4
时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1
y －3
的最小值为8.
解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3
x
－6＞0， 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋1
3
x －6＋6≥2
⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6
＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6
，即x ＝37
时
取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1
y －3
的最小值为8.
解后反思 从消元的角度看，可以利用等式xy ＋3x ＝3消“实数x ”或消“实数y ”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟．
变式2、(2019苏州三市、苏北四市二调） 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3 思路分析 先根据一元二次不等式的解集，确定a<0，以及a ，b ，c 的关系，再将所求c 2＋5 a ＋ b 运用消元法，统 一成单变量a 的函数问题，运用基本不等式求最值． 依题意得a<0，且3和4是方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的两根，即⎩ ⎨⎧－b a ＝7，c a ＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－7a ，c ＝12a ， 所以c 2＋5a ＋b ＝144a 2＋5a －7a ＝144a 2＋5 －6a ＝(－24a)＋⎝⎛⎭⎫5－6a ≥2 （－24a ）·⎝ ⎛⎭ ⎫5－6a ＝45，当且仅当144a 2＝5，即a ＝－ 5 12 时取等号，所以所求最小值为4 5. 例3、（2018年江苏卷）. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于 点D ，且，则 的最小值为________． 【答案】9 【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值. 详解：由题意可知， ,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得 ，因此 当且仅当 时取等号，则 的最小值为. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 变式1、(2019苏锡常镇调研）已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b b a a 4 21222+++的最小值为 ． 【答案】、..11 【解析】、思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解． 1174274))(41()(24212421222=+⨯≥++=++++=+++=+++b a a b b a a b b a b a b a b b a a b b a a 当且仅当b a a b 4=，即⎪⎩ ⎪⎨⎧ ==3231b a 时取“=”，所以b b a a 421222+++的最小值为. 11 变式2、(2018苏州期末）已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝1，1a ＋b ＋1 c ＝1，则c 的取值范围是________． 【答案】、⎝⎛⎦ ⎤1，4 3 【解析】、思路分析 由第二个等式知，要求出c 的取值范围，只要先求出a ＋b 的取值范围，而这可由第一个等式求得． 解法1 因为a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ∈[4，＋∞)，所以1a ＋b ∈⎝⎛⎦⎤0，14， 从而1c ＝1－1 a ＋ b ∈⎣⎡⎭ ⎫34，1，得c ∈⎝⎛⎦⎤1，43. 解法2 由题两等式得ab ＝a ＋b ，c ＋(a ＋b)＝c(a ＋b)，所以c ＋ab ＝c(ab)，即c ＝ab ab －1＝1＋1 ab －1.因为 ab ＝a ＋b ≥2ab ，所以ab ≥4，所以c ＝1＋1 ab －1∈⎝⎛ ⎦ ⎤1，43. 例4、(2017苏州期末） 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1 y ＋1的最小值为________． 【答案】、9 4 解法1 令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝14⎝⎛⎭⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝1 3 时取等号． 【变式1】、(2015苏锡常镇、宿迁一调）已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1 x －y 的最小值 为________． 【答案】、3＋22 4 【解析】、设⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＋3y ＝m ， x －y ＝n . 解得⎩⎨⎧ x ＝m ＋3n 4 ，y ＝m －n 4. 所以x ＋y ＝ m ＋n 2≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2 m ＋1n ，所以4t ≥⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝m n ，即m ＝2n 时取等号． 解后反思 本题所给条件为x ，y 的和的不等式，所求的为与x ，y 相关的倒数和最值问题，可以先对分母进行还原处理后，再结合“1”的代换技巧来处理，这里要说明的时候条件 “x ＋y ≤2”改为“x ＋y ＝2”答案不会变化． 1、（2017年江苏卷）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 【答案】： 30 【解析】： 一年的运输次数为600x ，总运费为3 600 x 万元． 一年的总运费与总存储费用之和为3 600x ＋4x ＝4⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x ＋900x .由基本不等式，当x ＝30时，上式取最小值， 此时运输次数为20次，符合次数为整数的常识． 2、(2017苏北四市一模）已知正数a ，b 满足1a ＋9 b ＝ab －5，则ab 的最小值为________． 【答案】. 36 【解析】因为正数a ，b 满足1a ＋9 b ＝ab －5，所以ab －5≥2 9 ab ，当且仅当9a ＝b 时等号成立，即ab －5ab －6≥0，解得ab ≥6或ab ≤－1(舍去)，因此ab ≥36，从而(ab )min ＝36. 3、（2019年苏州学情调研）若正实数x y ，满足1x y +=，则4 y x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】、8 【解析】、因为正实数x y ，满足1x y +=， 所以 4()444y y x y y x x y x y x y ⨯++=+=++4448≥=+=，当且仅当4y x x y =，即2y x =，又1x y +=，即12,33 x y = =，等号成立，即4y x y +取得最小值8. 4、(2017苏北四市一模） 已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝2，则a 2＋2a ＋b 2 b ＋1的最小值为________． 【答案】2＋22 3 【解析】、思路分析 令b ＋1＝c ，通过换元，使得“别扭”变“顺眼”，本题就变得比较常规了． 设b ＋1＝c ，则b ＝c －1，a ＋c ＝3，且0 ＋2a ＋1c ＝1＋13(a ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋1c ＝2＋13⎝⎛⎭⎫a c ＋2c a ≥2＋22 3，当且仅当a ＝2c ，即c ＝3(2－1)∈(1,3)时，取等号． 5、(2019常州期末）已知正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，则1x ＋x y 的最小值为________． 【答案】、4 【解析】、思路分析 多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本不等式或函数知识求解． 解法1(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y ＝x －x 2，故1x ＋x y ＝1x ＋x x －x 2＝1x ＋11－x ＝1x （1－x ）≥1 ⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22 ＝4，当 且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋x y 的最小值为4. 解法2(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y x ＝1－x ，故1x ＋x y ＝1x ＋1 1－x ，以下同解法1. 解法3(消元，分离常数凑定值) 同解法1，2得1x ＋x y ＝1x ＋11－x ＝1－x ＋x x ＋1－x ＋x 1－x ＝2＋1－x x ＋x 1－x ≥4，当 且仅当1－x x ＝x 1－x ，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋x y 的最小值为4. 解法4(“1”的代换) 因为x ＋y x ＝1，所以1x ＋x y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋x y ⎝⎛⎭⎫x ＋y x ＝2＋y x 2＋x 2y ≥4，当且仅当y x 2＝x 2y ，即 ⎩⎨⎧ x ＝12 ，y ＝14 时取“＝”．故1x ＋x y 的最小值为4. 6、(2019镇江期末）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1x ＋4 y ，则x ＋y 的最小值为________． 【答案】、3 【解析】、思路分析 本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解． 解法1 因为x>0，y>0，所以x ＋y ＝12x ＋22y ≥（1＋2）2x ＋y ，得x ＋y ≥3，当且仅当x ＝1，y ＝2时取等号． 解法2 x ＋y ＝（x ＋y ）2＝（x ＋y ）⎝⎛⎭⎫ 1x ＋4y ＝ 5＋y x ＋4x y ≥5＋24＝3，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝1，y ＝2时取等号． 7、(2019苏北三市期末）已知a>0，b>0，且a ＋3b ＝1b －1 a ，则 b 的最大值为________． 【答案】、 1 3 【解析】、由a ＋3b ＝1b －1a ，得1b －3b ＝a ＋1a .又a>0，所以1b －3b ＝a ＋1a ≥2(当且仅当a ＝1时取等号)，即1 b － 3b ≥2，又b>0，解得0 3 . 8、(2015镇江期末） 已知正数x ，y 满足1x ＋1y ＝1，则4x x －1＋9y y －1 的最小值为________． 【答案】25 【解析】因为1y ＝1－1x ，所以4x x －1＋9y y －1＝4x x －1＋91－ 1y ＝4x x －1＋9x ＝4＋4x －1＋9(x －1)＋9＝13＋4 x －1 ＋9(x － 1)＝13＋4x －1＋9(x －1)．又因为1y ＝1－1x >0，所以x >1，同理y >1，所以13＋4 x －1＋9(x －1)≥13＋24×9＝ 25，当且仅当x ＝53时取等号，所以4x x －1＋9y y －1的最小值为 25. 9、(2015南京三模）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为 ▲ ． 【答案】、 4 3 【解析】、思路分析1：由于所研究的代数式的分母比较复杂，故通过换元来进行简单，从而来研究此函数的最大值； 思路分析2：所研究的代数式涉及到两个变量,x y ，为此将分式的分子、分母同除以y ，将,x y 合并为x y 来达到“消元”的目的，这样就转化为只含一个变量的函数的最值问题。 解 析 1 ：令 ()4,,0a x y b x y a b =+=+>，从而得 4,33 a b b a x y --= =， 故 44448484 43333333 x y a b b a b a x y x y a b a b --⎛⎫+=+=-+≤-= ⎪++⎝⎭，当且仅当2a b =，即2y x =时等号 成立。 解析2：令0x t y =>，则441411114441141111x x y t y x x x y x y t t t t y y +=+=+=-+ ++++++++ 23341111451345t t t t t =+ =+≤=++++，当且仅当14t t =，即1 2t = ，也即2y x =时等号成立。 10、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________． 【答案】、8 【解析】、由a ，b ，c 均为正数，abc ＝4(a ＋b)，得c ＝4a ＋4b ，代入得a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4a ＋4 b ＝⎝⎛⎭⎫a ＋4a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋4b ≥2 a ·4 a ＋2b ·4 b ＝8，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立，所以a ＋b ＋ c 的最小值为8. 3.2 基本不等式 【知识点梳理】 知识点一：基本不等式 1．对公式222a b ab +≥及 2 a b ab +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”． 2．由公式222a b ab +≥和2 a b ab +≥ ①2b a a b +≥（,a b 同号） ； ② 2b a a b +≤-（,a b 异号） ； ③222 (0,0)1122a b a b ab a b a b ++≤≤>>+或22 2()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 知识点诠释： 2 2 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2 a b ab +可以变形为： 2 ( )2 a b ab +≤． 2 a b ab +的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22a b +．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=． 得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”） 特别的，如果0a >，0b >a b a 、b ，可得： 如果0a >，0b >，则2a b ab +≥ （当且仅当a b =时取等号“=”）． 基本不等式专题 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当 b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 1 11 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若 0a b <<且 1 a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ． 22 a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设 x >0,则 133y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ． 3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,, 5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且141x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值1 16 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大 值 1 16 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111 a b c ++≥．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 11 4x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则2 , 2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．2 2 a b ab a b +≤ ≤ + 22a b ab a b +≤ + Ｃ． 2 2 ab a b a b +≤≤ + Ｄ． 22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2 p q x += Ｂ．2 p q x +< Ｃ．2 p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4 sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 . 12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和 池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元. 13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 . 14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x y y x y x +-++的值恒为正，对吗？答 . 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值. 16. 已知)R ,10(log )(+∈≠>=x a a x x f a 且．若1x 、+∈R 2x , 试比较 第7讲 基本不等式 【知识梳理】 1．重要不等式 a 2＋ b 2≥2ab (a ，b ∈R )(当且仅当a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立； (3)其中a ＋b 2 叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数. 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)， 那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P (简记：“积定和最小”)． (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)， 那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24 (简记：“和定积最大”)． 4．常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)． (2)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )． (3)????a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b ． 5、利用基本不等式求最值问题的解题策略 (1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二 定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件． (2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式． (3)“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误． (4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致． (5)注意基本不等式成立的条件是a >0，b >0，若a <0，b <0，应先转化为－a >0，－b >0，再运用基本不等式求解． 【考点精炼】 考点一、通过配凑法求最值 例1、若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取得最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 【答案】C [∵x >2，∴x －2>0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥2·x －2·1x －2＋2＝2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2 ，即(x －2)2＝1时等号成立， 解得x ＝1或3. 又∵x >2，∴x ＝3，即a 等于3时，函数f (x )在x ＝3处取得最小值．] 练习、(2019·山东济宁月考)已知0 高中数学基本不等式（含答案） 【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8 482233+++y x y x 的最小值是 ． 【答案】1 【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，y x y x 242 2++的最小 值是 ． 【答案】 22，2 【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >时，则 3537 12 x y x y m x y +-+-= +--的最小值为_______. 【答案】8 【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______. 【答案】3 3 22+ 【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 . 【答案】]22,22[- 【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 . 【答案】12- 【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[- 【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且2 2221a b c ，则b 的取值范围 是 ． 【答案】]7,6( 【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则 24a b c M b a ++= -的最小值为___________ 【答案】8 【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则 max min 11S S += ． 【答案】8 5 【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1( 【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x 的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞ 【习题13】正实数y x ,满足11 1=+y x ，则2210x y xy +-的最小值为 . 【答案】36- 【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xy y x +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】 3627+；8 45 【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则 22 12 a b + 的最小值为 . 第一章预备知识 第3节：不等式 3.2 基本不等式练习（解析版）一．选择题（共22小题） 1．设a＞0，b＞0，若2a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．8 C．9 D．10 【答案】：B 【解析】解：a＞0，b＞0，且2a+b＝1， 则+＝（2a+b）（+）＝2+． 当且仅当b2＝4a2等号成立． 故选：B． 2．已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A．4 B．6 C．9 D．10 【答案】：C 【解析】解：∵a＞0，b＞0，， ∴＝， 当且仅当时， 即时取“＝”成立． 故选：C． 3．已知a＞0，b＞0，且满足ab＝a+b+3，则a+b的最小值是（）A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】：D 【解析】解：a＞0，b＞0，且满足ab＝a+b+3， 可得ab≥3，即有ab≥9， 可得a+b≥6，当且仅当a＝b＝3取得等号， 则a+b的最小值为6． 故选：D． 4．两个正实数a，b满足3a+b＝1，则满足，恒成立的m取值范围（）A．[﹣4，3] B．[﹣3，4] C．[﹣2，6] D．[﹣6，2] 【答案】：B 【解析】解：由3a+b＝1，a＞0，b＞0， 可得+＝（3a+b）（+）＝6++≥6+2＝12， 当且仅当a＝，b＝上式取得等号， 由题意可得m2﹣m≤+的最小值， 即有m2﹣m≤12，解得﹣3≤m≤4． 故选：B． 5．若x＞0，y＞0，x+y＝2，则的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】：B 【解析】解：根据已知，由基本不等式可得＝1， 当且仅当x＝y＝1时取得等号， 所以，即最小值为2． 故选：B． 6．若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，其中m＜0，则m+3n的最大值等于（）A．2B．2 C．﹣2D．﹣2 【答案】：C 【解析】解：由题意，可知：mn＝1， ∵m＜0，∴n＜0． ∴m+3n＝﹣[﹣m+3?（﹣n）]≤﹣2＝﹣2＝﹣2． 专题18 基本不等式 一、三个不等式关系： (1)a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 二、.算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数. 三、.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4.(简记：和定积最大) 四、对于f (x )＝x ＋a x ， 当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数； 当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)为增函数；在(－a ，0)，(0，a )为减函数． 注意 在解答题中利用函数f (x )＝x ＋a x 的单调性时，需要利用导数进行证明． 五、利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等． (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值． 基本不等式 1．函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 利用基本不等式求最值 【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 利用基本不等式证明不等式 【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋ 1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 高考数学专题练 基本不等式 一、选择题 1．设a ，b ∈R ，已知命题 p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b >2ab C.b a ＋a b ≥2 D ．a 2＋b 2>2ab 4．当x >1时，不等式x ＋1x －1 ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 5．若a >b >0，则a 2＋1b (a －b ) 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0 A ．y ＝x 5＋5x (x ∈R 且x ≠0) B ．y ＝x ＋2x C ．y ＝a x ＋a －x (a >0) D ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝ ⎛⎭⎫0 基本不等式求最值的常用方法 一、常数代换法 1、直接“1”代换 例1. 已知正数x 、y 满足12=+y x ，求 y x 1 1+的最小值. 解析：223221)11)(2(+≥+++=++y x x y y x y x 当且仅当 y x x y =2 即12-=x ，2 2 2-=y 时取“=” 变式. 已知正数x 、y 满足32=+y x ，求 y x 1 1+的最小值. 解析：3 2 21)223(31)221(31)11)(2(31+=+≥+++=++y x x y y x y x 当且仅当y x x y =2 即)12(3-=x ，2 ) 22(3-= y 时取“=” 2、间接“1”代换 例1. 若x 、y 为正实数且082=-+xy y x ，求y x +的最小值. 解析： 082=-+xy xy y x 即182=+x y ，188********)82)((=⨯+≥+++=++x y y x x y y x 当且仅当 x y y x 82= 即12=x ，6=y 时取“=” 例2.若正数x 、y 满足xy y x 53=+，求y x 43+的最小值. 解析： 553==+xy xy xy y x 即53 1=+x y 5)123213(5 1 )12349(51)31)(43(51=⨯+≥+++=++x y y x x y y x 当且仅当 x y y x 123= 即1=x ，2 1 =y 时取“=” 例3.已知x 、y 均为正数，且 111=+y x ，求1 914-+ -y y x x 的最小值. 解析： 25362139413)11)(94(19141191 14=+≥++=++=+= -+ -y x x y y x x y x y y x 当且仅当y x x y 94= 即35=x ，2 5 =y 时取“=” 例4. 已知函数x a y -=1的图像恒过定点A ,若点A 在直线1=+ny mx （0,0>>n m ） 上，求 n m 1 1+的最小值. 解析：由题意可得A 的坐标为（1,1） 则有1=+n m 41222))(11(11=+≥++=++=+n m m n n m n m n m 当且仅当n m m n = 即2 1 ==n m 时取“=” 例5. 已知函数x m y log 1+= （0>m 且1≠m ）的图像恒过点M ，若直线 1=+b y a x （0,0>> b a ）经过点M ，则b a +的最小值是多少？ 解析：由题意得M （1,1） 则111=+b a 41222))(11(=+≥++=++=+ b a a b b a b a b a 当且仅当b a a b = 即2==b a 时取“=” 3.部分“1”代换 例. 若正数x 、y 满足1=+y x ，求 y x y 4 +的最小值. 高考数学专题--基本不等式求最值的常用 方法(解析版) 直线ab经过点M可得1+a*log(m)=b，化简得 a*log(m)=b-1 将a*log(m)代入第一个式子得到11/b+log(m)的最小值 令t=log(m)，则有11/b+t的最小值，根据部分“1”代换可得 11/b+t=(1+1/b)*b+(t-1)的最小值，当且仅当b=2时取“=”，此时a=log(2)即为最小值。 已知$x>0$，$y>0$，且$x+y=1$，求 $\frac{y^4}{x^2y^2}$的最小值。 解析：$\frac{y^4}{x^2y^2}=y^2+\frac{y^4}{x^2}\geq 2\sqrt{y^2\cdot\frac{y^4}{x^2}}=2y^2$，所以最小值为$2$，当且仅当$x=y=\frac{1}{2}$时取等号。 已知正数$x$，$y$，且$x+y=4$，求 $\frac{4}{x+2y+1}$的最小值。 解析：令$m=x+2$，$n=y+1$，则$x+2+y+1=m+n=5$，$\frac{4}{x+2y+1}=\frac{4}{m+n-2}\geq\frac{4}{4}=1$，所以最小值为$1$，当且仅当$x=2$，$y=1$时取等号。 已知$x>y>0$，且$x+y\leq 3$，求 $\frac{3x+y}{2x+by+1}$的最小值。 解析：令$m=2x+y$，$n=y+1$，则$x=\frac{m-2n}{3}$，$y=n-1$，$x>y$可得$\frac{m-2n}{3}>n-1$，即$m>5n-3$。所以$\frac{3x+y}{2x+by+1}=\frac{3m- 6n+n}{2m+bn+1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{m}{m+\frac{bn+1}{2}-n}\geq\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{3}=2.5$，所以最小值为$2.5$，当且仅当$m=5n-3$时取等号，即$x=2$，$y=1$。 已知$x$，$y$为正实数，求 $\frac{y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{1}{x+y}$的最小值。 解析： $\frac{y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{1}{x+y}=\fr 2016-2022高考真题不等式选讲解答题全集（学生版解析版）一．解答题（共22小题） 1．（2022•乙卷）已知a，b，c都是正数，且a 3 2+b 3 2+c 3 2=1，证明： （1）abc≤1 9； （2）a b+c + b a+c + c a+b ≤ 2√abc ． 2．（2022•甲卷）已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，证明：（1）a+b+2c≤3； （2）若b＝2c，则1 a + 1 c ≥3． 3．（2021•乙卷）已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|． （1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集； （2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围． 4．（2020•江苏）设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|＜4． 5．（2020•新课标Ⅲ）设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1． （1）证明：ab+bc+ca＜0； （2）用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥√4 3．6．（2020•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|． （1）画出y＝f（x）的图象； （2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集． 7．（2020•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|． （1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4的解集； （2）若f（x）≥4，求a的取值范围． 8．（2020•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝3a n﹣4n． （1）计算a2，a3，猜想{a n}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n}的前n项和S n． 9．（2020•新课标Ⅲ）设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1． （1）证明：ab+bc+ca＜0； （2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥√4 3．10．（2019•江苏）设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2． 11．（2019•新课标Ⅲ）设x，y，z∈R，且x+y+z＝1． （1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值； （2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥1 3成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1． 12．（2019•新课标Ⅱ）已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集； （2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．13．（2019•新课标Ⅰ）已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明： （1）1 a + 1 b + 1 c ≤a2+b2+c2； （2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24． 14．（2018•北京）设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…t n），t k∈{0，1}，k＝1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，x n）和β＝（y1，y2，…y n），记M（α，β）=12[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（x n+y n﹣|x n﹣y n|）]． （Ⅰ）当n＝3时，若α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值； （Ⅱ）当n＝4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值； （Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）＝0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．15．（2018•新课标Ⅰ）已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|． （1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集； 数学 基本不等式 [基础题组练] 1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1 xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3 2的最小值为( ) A ．0 B.12 C ．1 D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16 5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________． 8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． [综合题组练] 1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1 b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18 D ．24 2．不等式x 2 ＋x 0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1 b ＋3的最小值为 ________． 【参考答案】 [基础题组练] 1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b ≥2 b a ·a b ＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1 xy ≥M 恒成立，则M 的最大 值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝22 4 ＝1， 课时作业18 基本不等式 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为( ) A．x≥2y，x－2y＝1 B．x>2y，x－2y＝1 C．x≤2y，x－2y＝1 D．x<2y，x－2y＝1 解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－ 2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B. 答案：B 2．已知m＝a＋(a>2)，n＝2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( ) A．m>n B．m 由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2<4. 所以m>n. 答案：A 3．若a＋b＝1，恒有( ) A．ab≤ B．ab≥ C．a2b2≤16 D．以上均不正确 解析：因为a＋b＝1>0， 所以a，b中至少有一个为正数． 故当a，b中有一个是负数或0时，显然有ab≤0<； 当a，b均为正数时，有1＝a＋b≥2， 所以ab≤. 答案：A 4．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是( ) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 解析：因为a，b∈(0,1)，所以a2 5．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.＋<1 B.＋≥1 C.＋<2 D.＋≥2 解析：因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1. 答案：B 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝ loga(2a)，则m，n，p的大小关系是________(用“>”连接)．解析：因为a>1，所以a2＋1>2a>a＋1， 所以loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a＋1)， 所以m>p>n. 答案：m>p>n 7．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则 logat________loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)． 解析：因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1， 又a>0，所以a>1， 因为t>0，所以≥， 所以loga≥loga＝logat. 答案：≤ 8．给出下列不等式： 新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解 专题2.2 基本不等式及其应用 【考纲解读与核心素养】 1. 掌握基本不等式ab b a ≥+2 (a ，b ＞0)及其应用. 2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养. 【知识清单】 1．重要不等式 当a 、b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时，等号成立． 2．基本不等式 当a >0，b >0时有ab b a ≥+2 ，当且仅当a=b 时，等号成立． 3．基本不等式与最值 已知x 、y 都是正数． (1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值． (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值． 4.常用推论 （1）22 ab 2 a b +≤（,R a b ∈） （2）2ab ()2 a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ （3 ）2 0,0)112a b a b a b +≤≤>>+ 【典例剖析】 高频考点一 ：利用基本不等式证明不等式 例1. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【答案】见解析 【解析】∵a 、b 、c 都是正数 ∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号） 0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号） 0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号） ∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥. 【方法技巧】 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 【变式探究】 第13讲 基本不等式 【知识点总结】 1. 几个重要的不等式 （1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R + ∈，则2 a b ab +≥ (当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2(,a b a a a b a b a >+ ≥+≥同号）. （3）其他变形： ①()2 22 2 a b a b ++≥ (沟通两和a b +与两平方和22 a b +的不等关系式) ②222 a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22 a b +的不等关系式) ③2 2a b ab +⎛⎫≤ ⎪ ⎝⎭ (沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式) ④重要不等式串： () 22 2 ,1122a b a b ab a b R a b +++≤≤≤∈+即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知,x y R + ∈. （1）如果x y S +=(定值)，则2 224x y S xy +⎛⎫ ≤= ⎪⎝⎭ (当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果xy P =(定值)，则22x y xy P +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 【典型例题】 例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ） 专题7.1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用 【三年高考】 1．【201.7高考江苏】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ▲ ． 【答案】30 【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900 x x =，即30x =时等号成立． 【考点】基本不等式求最值 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 2.【2015高考江苏，7】不等式224x x -<的解集为________. 【答案】(1,2).- 【解析】由题意得：2 212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 3.【2013江苏，理11】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2 －4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________． 【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)． 【解析】∵函数f(x)为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2 －4x ，则f (x )＝224,0, 0,0,4,0,x x x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--<⎩ ∴原 不等式等价于2 0,4,x x x x >⎧⎨ ->⎩或20, 4, x x x x <⎧⎨-->⎩ 由此可解得x ＞5或－5＜x ＜0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．. 4. 【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b + <<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2 a b a a b b + <+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+< 第03讲 基本不等式 一、 考情分析 1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题. 3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系； 4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 二、 知识梳理 1.不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ； (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2). 2.均值不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a ＋b 2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ a ＋ b 22 (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 4.利用均值不等式求最值基本不等式(解析版)
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