雨滴下落的收尾速度
雨滴下落的收尾速度
自高空落下的雨滴如果以自由落体运动来算，则其到达地面时的速度可达说百米每秒，这对人类是十分危险的。但实际上，雨滴在空气中下落时不可能是自由落体，因为在下落过程中，它不仅受重力，还受空气阻力和浮力，并且阻力随速度增加而增加，到达一定速度后，重力便于阻力和浮力的合力相等，雨滴的速度则达到极大。此时的速度是不会太大的，因而雨滴达到地面是不会对人类产生较大危害的。在此，阻力起了关键作用。
由流体力学可知,物体在流体中通过时所受的流体粘滞力为v c s F
d 2
2
1ρ=
,其中ρ为流体密度，s
为物体与流体垂直方向的最大横截面积，
c
d 叫做阻力系数，它与无量纲的流体雷诺数有关，
η
ρ
lv R e =
雷诺数，
l
为与物体横截面相联系的特征长度，η为流体的粘滞系数，v 为物体的速度。
在10
5
20?≤≤
R e 范围内有
4.012424
++
+
≈
R
R
c
e
e
d
，对于球形物体，上边的r
s 2
π= ，
r l 2=当1≤R e 时，上式中的第二，三项可以忽略,
ρ
ηrv c d 12≈
，则
πρrv F
r
6=，R e 接近零，阻
力与速度成正比，当
10
10
5
3
2?< πρv r F r 2 2 2.0= ，即球所受阻 力与速度的平方成正比。下面分两种情况讨论雨滴在空气中的收尾速度。 ⒈设所受阻力与V 成正比。 雨滴在重力﹑浮力﹑和阻力的共同作用下的运动方程为( ) πηrv g m m m d d t v 6* --=⑴，或写成 kv g d d t v -=* ⑵，其中 g g ??? ? ??-=ρρ水空1* 称为等效引力加速度。ρηπη水r m r k 2296== 取初始条 ()0 0=v 解方程⑵可的 ()() e g kt k t v --= 1* 写成级数形式 ()t k g t g g k t t v 3 2*2** 6 121+-=，当 k →0和g →g*时有 ()()t g t v → ,在此收尾速度为 ( )η ρ ρ 922 *$ r g v g k T -= = 空 水 ⑶ ，在 ⑶ 中，取 m kg 13 1000?=ρ 水 ， m kg 3 293.1-?=ρ 空 ， s m kg 1 1 6 101.17---???=η则 r v T 2 6 1019.127?= ，再将 v T 代 入 R e ，有 1013 29.1?=R e ，欲使 1 4 36.0-? 取r=0.00002m 计算，则收尾速度为0.05088米每秒，达到这个速度几乎是一瞬间的事，因由任意时刻的速度V=0.05088[1-exp （-192t)]米每秒，则当速度从零增到时所用时间为0.023s ，这是很短的，因此可以说极 小雨滴都是以收尾速度下落的。然而，这么小的雨滴在短时间内是不可能从高空中下到地面的，必须长成大雨滴才能落下，以进一步说明斯托克斯方程只可用于微小现象。 ⒉阻力与V 的平方成正比。 运动方程为v g d d m t v 2 * γ - = ⑷，其中 πγρ 空 r 2 2.0=，式⑷的解为()t tgh t v v g v T T * =， 在此收尾速度 T m g v T * = ，将雨滴质量m 和及g*代入可得 gr v T ??? ? ??-=167.6ρρ空水 ，与之相应的 r v R T e r 2 3 7 10 32.12?== η ρ空 ,欲使 10 10 5 3 2?< ，必须使雨滴半径r>0.002m.以 r=0.0025m 为例，可算得 s v m T 2 2.11-?=，达到该速度的时间约为3秒，雨滴以收尾速度从2000米高 空落到地面约需3分钟。由上我们可以看出以下几点 ⑴落下来的半径r>2mm 的雨滴是实际存在的，也就是说较大的雨滴下落过程中所受阻力与V 的平方成正比。⑵半径为0.25cm 的雨滴落到地面的动量约为0.00071千克·米·秒，再考虑到风力的影响，收尾速度还要小些，加之水表面又有弹性，延缓了和人的作用，也使得作用力大大减小。 ⑶上述结果更可用于冰雹，还因为冰的密度小于水的密度，其收尾速度还要小些，但冰雹表面坚硬，力的作用时间短，使得作用力较大，所以往往可以砸坏建筑物，击伤人畜，对人类危害很大。 052689 赵庆侧 输液速度和时间的计算公式 临床护理工作中，常常会有医嘱要求“液体在多长时间内输完”，这就涉及到每分钟滴数的计算。 我国临床常用的输液器滴系数有10、15、20滴/ml三种型号，根据输液器滴系数可进行如下公式推理： 每小时输入的毫升数(ml/h)＝(滴/min)×60 min/h)/滴系数(滴/ml)。 因此，当滴系数为10、15、20滴/ml时，分别代入上述公式即可得出：（1）滴系数为10滴/ml，则：每小时输入的毫升数＝（滴数/min）×6。 （2）滴系数为15滴/ml，则：每小时输入的毫升数＝（滴数/min）×4。 （3）滴系数为20滴/ml，则：每小时输入的毫升数＝（滴数/min）×3。 每个输液器其滴系数是固定不变的，故在已知每小时输入的毫升数和每分钟滴数两者之间的任意一个变量时，利用上述3个公式，即可得出另一个变量。 举例： 1. 已知输入液体的总量和预计输完所用的时间，求每分钟滴数。 每分钟滴数＝液体的总量（ml）×滴系数（滴/毫升）/输液所用时间（min） 2.已知输入液体的总量和每分钟滴数，求输完液体所用的时间。 输液所用时间（h）＝液体的总量（ml）×滴系数（滴/毫升）/[每分钟滴数（滴/分）×60（min）] 或者 输液所用时间（min）＝液体的总量（ml）×滴系数（滴/毫升）/每分钟滴数（滴/分） 3.已知每分钟滴数，计算每小时输入量。 每小时输入量(ml)=每分钟滴数×60(min)／每毫升相当滴数(15滴)。 例：每分钟滴数为54滴，计算每小时输入量。解：每小时输入量(ml)=54×60／15=216(ml)。 4.已知输入总量与计划使用时间，计算每分钟滴数。 每分钟滴数=输液总量×每毫升相当滴数(15滴)／输液时间。 例：日输入总量2000ml，需10h输完，求每分钟滴数。 解：每分钟滴数=2000×15／(10×60)=30000／600=50(滴)。 雨滴下落的收尾速度 自高空落下的雨滴如果以自由落体运动来算，则其到达地面时的速度可达说百米每秒，这对人类是十分危险的。但实际上，雨滴在空气中下落时不可能是自由落体，因为在下落过程中，它不仅受重力，还受空气阻力和浮力，并且阻力随速度增加而增加，到达一定速度后，重力便于阻力和浮力的合力相等，雨滴的速度则达到极大。此时的速度是不会太大的，因而雨滴达到地面是不会对人类产生较大危害的。在此，阻力起了关键作用。 由流体力学可知,物体在流体中通过时所受的流体粘滞力为v c s F d 2 2 1ρ= ,其中ρ为流体密度，s 为物体与流体垂直方向的最大横截面积， c d 叫做阻力系数，它与无量纲的流体雷诺数有关， η ρ lv R e = 雷诺数， l 为与物体横截面相联系的特征长度，η为流体的粘滞系数，v 为物体的速度。 在10 5 20?≤≤ R e 范围内有 4.012424 ++ + ≈ R R c e e d ，对于球形物体，上边的r s 2 π= ， r l 2=当1≤R e 时，上式中的第二，三项可以忽略, ρ ηrv c d 12≈ ，则 πρrv F r 6=，R e 接近零，阻 力与速度成正比，当 10 10 5 3 2?< D t → D D t t ?+=?+ 变化量D ?，所用时间t ? 变化率=t D ?? 设过两点),(11y x 与),(22y x 的直线方程为b kx y +=， 带入得b kx y +=11，b kx y +=22解得 θtan 1212=??=--=x y x x y y k ，称为y 对x 的变化率. 1 212t t v v t t v v t v a --=--=??= 初末初末,称为v 对t 的变化率. 1212t t x x t t x x t x v --=--=??=初末初末 t x v v x t ??==→?→?00lim 瞬 1212t t v v t t v v t v a --=--=??=初末初末 t v a a v t ??==→?→?00lim 瞬 1 212t t x x t t x x t x v --=--=??=初末初末 t x v v x t ??==→?→?0 0lim 瞬 1 212t t v v t t v v t v a --=--=??=初末初末 1 212t t v v t t v v t v a a --=--=??==初末初末瞬 设过两点),(11y x 与),(22y x 的直线方程为b kx y +=， 带入得b kx y +=11，b kx y +=22解得 θtan 1212=??=--=x y x x y y k ，称为y 对x 的变化率. 1212t t x x t t x x t x v --=--=??=初末初末，称为x 对t 的变化率. 1 212t t v v t t v v t v a --=--=??= 初末初末,称为v 对t 的变化率. 常用切削速度計算公式 一、三角函數計算 1.tanθ=b/a θ=tan-1b/a 2.Sinθ=b/c Cos=a/c 二、切削刃上选定点相对于工件的主运动的瞬时速度。 2.1 铣床切削速度的計算 Ｖc＝(π*Ｄ*Ｓ)／１０００ Vc：線速度(m/min) π：圓周率(3.14159) D：刀具直徑(mm) 例題. 使用Φ25的銑刀Vc為(m/min)25 求S=?rpm Vc=πds/1000 25=π*25*S/1000 S=1000*25/ π*25 S=320rpm 2.2 车床切削速度的計算计算公式如下 v c=( π d w n )/1000 (1-1) 式中 v c ——切削速度 (m/s) ； dw ——工件待加工表面直径（ mm ）； n ——工件转速（ r/s ）。 S：轉速(rpm) 三、進給量(F值)的計算 Ｆ＝Ｓ＊Ｚ＊Ｆz F：進給量(mm/min) S：轉速(rpm) Z：刃數 Ｆz：(實際每刃進給) 例題.一標準2刃立銑刀以2000rpm)速度切削工件，求進給量(F 值)為多少？(Ｆz=0.25mm) Ｆ＝Ｓ＊Ｚ＊Ｆz Ｆ＝2000*2*0.25 Ｆ＝1000(mm/min) 四、殘料高的計算 Scallop＝（ae＊ae）／8R Scallop：殘料高(mm) ae：XY pitch(mm) R刀具半徑(mm) 例題. Φ20R10精修2枚刃，預殘料高0.002mm，求Pitch為多 少？mm Scallop=ae2/8R 0.002=ae2/8*10 ae=0.4mm 五、逃料孔的計算 Φ＝√２Ｒ2 Ｘ、Ｙ＝Ｄ／４ Φ：逃料孔直徑(mm) R刀具半徑(mm) D：刀具直徑(mm) 例題. 已知一模穴須逃角加工(如圖)， 所用銑刀為ψ10；請問逃角孔最小 為多少？圓心座標多少？ Φ=√２Ｒ2 Φ=√２＊５２ Φ=7.1(mm) Ｘ、Ｙ＝Ｄ／４ Ｘ、Ｙ＝１０／４ 有耗散的下落雨滴的拉格朗日方程及其应用 杨春艳 陕西理工学院物理系物理系，陕西 汉中 723001 摘要：在雨滴下落过程中，不断凝结水气，考虑受到空气浮力和粘滞阻力，我们来分析雨滴的拉格 朗日方程。此论文中，我们以质量随时间变化、所受粘滞阻力与下落速度成正比为主要研究对象来描述其拉格朗日方程，并讨论其应用。 关键词：雨滴；变质量；耗散函数；拉格朗日方程 引言 降雨，遍及各个角落，对于它的研究无处不具有重要意义。研究雨滴降落的过程在近年来广泛应用于撞击问题之中。目前主要应用于航天、航海、等军事领域，以及建筑、土地方 面分析和防水材质材料的研究，国际上对于雨滴运动状况的研究也极为关注[1、4-64] 。不论是哪一方面，只要能不断将其运动状况严谨化、实际化，对于其他问题的研究就会越精准，对于各方面技术的提升也更理论化。文献[3]给出了含耗散函数的拉格朗日方程及耗散函数的物理意义，只要函数写定，问题便可解决。文献[7]将雨滴下落过程中所受阻力情况给出，事例性的研究了其运动状况。近年来，在相关领域已经有了可喜的成绩。 本文讨论的是在质量随时间变化、所受粘滞阻力与下落速度成正比的雨滴下落过程中含耗散函数的拉格朗日方程。首先写出了有阻尼的耗散函数，然后给出落体的耗散函数，最后将雨滴下落过程中含耗散函数的拉格朗日方程。 1 阻尼与耗散函数 质点除受有势力和非有势力作用外，还受粘滞阻尼的作用，粘滞阻尼是作用在质点上的线性阻力。由于这种阻力使机械能耗散，所以又称耗散力。下面我们就来推导耗散函数。设作用在任一质点i M 上的线性阻力为i R ， i i i R CV =- （1） 其中i V 是质点的运动速度，阻力系数i C 为常数。 作用在所有质点上的线性阻力在质点系的任意虚位移中所做虚功的和为 1 1 n n R i i i i i i i W R r CV r δδδ====-∑∑∑ （2） 一、平均速度公式的巧用均速度公式 v平＝（v0＋v）/2 x=vt 欧阳歌谷（2021.02.01） 1、一辆汽车在4 s内做匀加速直线运动，初速为2 m/s，末速为10 m/s，在这段时间内 （1）汽车的加速度为多少？ （2）汽车的位移为多少？ （3）汽车的平均速度为多少？ 2、从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动直至停车，汽车从开出到停止总共历时20s，行进了50 m。则汽车的最大速度为多少？3．一辆车以10 m/s的速度匀速行驶，在距车站25 m时开始制 动，使车匀减速前进，到车站时恰好停下．求：车从制动到停下来经历的时间． 4、汽车从静止起做匀加速运动，速度达到v时立即做匀减速运动，最后停止，全部时间为t，则汽车通过的全部位移为多少？ 二、v－t图象的物理意义及应用 1．某质点沿一直线运动，其v－t图象如图所示，则下列说法中正确的是() A．第1 s内和第2 s内质点的速度方向相反 B．第1 s内和第4 s内质点的速度方向相同 C．第1 s内质点向前运动，第2 s内质点向后运动，2 s末质点回到出发点 D．第一个2 s内质点向前运动，第二个2 s内质点向后运动，4 s 末质点回到出发点 2、甲、乙两物体同时从同一地点沿同一方向做直线运动的速度时间图象如图所示，则下列说法中正确的是 A. 两物体两次相遇的时刻是2s末和 6s末 B. 4s末甲在乙前面 C. 在内，两物体相距最远的时刻 是1s末D. 乙物体先向前运动2s，随后向后运动 3、甲、乙两个物体在t=0时的 位置如图a所示，它们沿x轴正 方向运动的速度图象分别如图b 中图线甲、乙所示，则（） A．t=2s时甲追上乙 第二章匀变速直线运动的研究 §2.2 匀变速直线运动的速度与时间的关系 一、考点自学 1、匀变速直线运动 （1）由于匀变速直线运动的速度不随时间改变，因而其v-ｔ图象是一条的直线。 （2）沿着一条直线，且不变的运动，叫做匀变速直线运动， 其v-t图象是一条的直线。 （3）速度随时间是匀加速直线运动，而速度随时间是匀减速直线运动。 2、速度与时间的关系 （1）匀变速直线运动中速度与时间的关系式是v= ，其中v0是开始运动的速度叫做，v是运动了t时间后的速度叫做。 （2）关系式中是矢量的物理量是，在运用过程中要规定正方向，与规定正方向相同方向的物理量取，相反方向的物理量则取。 二、典例分析 题型一、匀变速直线运动概念的理解 例题1、下列关于匀变速直线运动的说法正确的是（） A．做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度方向总是相同的 B．做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度变化方向总是相同的 C．做匀变速直线运动的物体，它的速度变化越大，加速度越大 D．做匀变速直线运动的物体，它的速度在单位时间内越大，加速度越大 题型二、公式应用 例2一物体从静止开始以2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，经5 s后做匀速直线运动，最后2 s 的时间内物体做匀减速直线运动直至静止．求： (1)物体做匀速直线运动的速度的大小； (2)物体做匀减速直线运动时的加速度． 变式火车沿平直铁轨匀加速前进，通过某一路标时的速度为10.8 km/h,1 min后变成了54 km/h，又需经多少时间，火车的速度才能达到64.8 km/h? 题型三刹车过程中速度与时间的关系 例题3、汽车以54km/h的速度匀速行驶。 （1）若汽车以0.5m/s2的加速度加速，则10s后速度能达到多少？ 三大速率测试方法及计算公式 除胶速率 1、方法 取基材板6×6cm (FR4料且四边平滑) 放入出120℃烘箱内干燥15分钟，取出冷却后称重到0.0001(G1)。 将试板随生产板一起挂入膨松缸正常除胶，经中和缸的水洗后取出。将试板再放入出120℃烘箱内干燥15分钟，取出冷却后称重到 0.0001(G2)。 2、计算 除胶速率（mg/cm2）=(G1-G2) ×1000/(6×6×2) 微蚀速率 1、方法 1、取两面铜箔板6×6cm (FR4料且四边平滑) 2、放入出120℃烘箱内干燥15分钟，取出冷却后称重到0.0001(G1)。 3、将试板手动挂入微蚀缸，（微蚀时间与生产板时间一致），经水洗后取出。 4、将试板再放入出120℃烘箱内干燥15分钟，取出冷却后称重到 0.0001(G2)。 2、计算 微蚀速率（um/min）={(G1-G2) /8.9/(6×6×2)} ×10000 三、沉铜速率 A、（称重）方法 1、取取基材板10×10cm (FR4料且四边平滑) 2、放入出120℃烘箱内干燥15分钟，取出冷却后称重到0.0001(G1)。 3、将试板随生产板一起挂入整孔缸正常生产到沉铜，经水洗后取出。 4、将试板再放入出120℃烘箱内干燥15分钟，取出冷却后称重到 0.0001(G2)。 A、计算 沉铜速率（um）=(G2-G1) ×929×39.37/2.12×2 B、（滴定）方法 1、取取基材板6×6cm (FR4料且四边平滑) 2、将试板随生产板一起挂入整孔缸正常生产到沉铜，经水洗后取出。 3、放入500ml的烧杯中，加入PH=10缓冲液30ml，再加入1ml双氧水。将基材板上沉积的铜完全咬蚀下来，倒入250ml的圆口烧瓶中。后加入 雨滴的收尾速度 平磊 昆山震川高级中学 江苏省昆山市215300 一、雨滴下落产生的困惑 从天空坠落的雨滴是否吸引过同学们的视线？当你伸出双手是否感受雨滴轻轻地落在你的手心？可是我们知道雨滴是从两千米的高空坠落的，如果以自由落体规律来计算，雨滴将以超过s m /200的速度到达地面，近似于子弹的速度，大约是1F 塞车的两倍。这样我们不禁要思考，雨滴下落的规律究竟是如何？其最终的速度究竟是如何的？为什么人体可以承受人体的撞击？ 二、雨滴下落的受力分析与运动分析 我们将雨滴的下落简化为以下三种情景，并将雨滴做匀速运动时的最大速度称为雨滴的收尾速度。 1.无风，雨滴的质量m ，且由静止下落，所受的阻力v k f ?=，试分析：①雨滴的运动情况，并作出t v -图像。②雨滴的收尾速度。 解答：雨滴在竖直下落过程中受恒力mg 和变力v k f ?=的共同作用，由牛顿运动定律可知：m kv mg m f mg a -=-= 。 ①：雨滴在竖直方向做加速度减小的加速运动。 ②：加速度a 等于零时，取得收尾速度v k mg v m kv mg m f mg a m m =?=-=-= 0 评析：由k mg v m =可知，在确定k 相 同的情况下，雨滴的质量越大，收尾速度越大。在日常生活中我们可以观察：毛毛雨（直径大约在mm 5.0）的收尾速度大概在s m /2，暴雨（直径大约在mm 5 ）的收尾速度大概在s m /8。 ２.无风，若雨滴在形成时具有水平初速度 0v ，所受的阻力v k f ?=，试分析：①雨滴的运动情况，并作出t v -图像。②雨滴 的收尾速度。 解答：由于雨滴的所受合力与初速度并不在同一直线，雨滴的轨迹是一条曲线，对某一时刻的雨滴进行分析，将其速度和力分别分解到y x 、两个方向，由牛顿运动定律 可 知 ： m kv m f a x x x == ， kv mg f mg a y y y -= -= ①：由运动的独立性原理可知，在方向雨滴做加速度减小的加速运动，当0=x f 时，0=x v 。在y 方向雨滴做加速度减小的加速运动,当mg f y =时雨滴开始做匀速运动。 00=?=== xm xm x x v m kv m f a 在y 方向，当： k mg v m kv mg m f mg a ym ym y =?=-=-= 0所以合速度k mg v v ym m ==，方向竖直向 下。 评析：雨滴达到收尾速度的时间大概在3秒左右，而总的下落时间大概在3分钟，所以在情景2中地面上观测者得到得结果就是雨滴似乎是竖直下落的。 m f=kv mg 路程速度时间公式 路程速度时间公式 速度 = 路程除以时间： u=s/t 路程 = 速度乘以时间： s=ut 时间 = 路程除以速度： t=s/u 1m/s=3.6km/h 1，一辆汽车在 5min 内通过的距离是 36000m ，求汽车的速度？ 2，一辆汽车在做匀速运动速度是 30m/s ，它在 3min 内行驶的路程是多少？ 3 ，一辆汽车的平均速度是 25m/s ，它行驶了 900m ，求汽车行驶的时间是多少？ 4 ，一运动物体在 1min 内行驶了 0.12km ，如果以这样的速度行驶 1km 需要多少时间？ 5 ，一个运动物体在 3min 内行驶了 900m ，如果以这样的速度行驶 2h ，物体能运动多远？ 6 ，一个运动物体从甲地行驶到乙地，在前一段路用 4min 行驶了 0.72km ，在后段路用了 6min 行驶 900m 刚好到达了乙地，问物体从甲地到达乙地的平均速度是多少？ 追激问题：是速度之差：时间 = 路程除以（大速度—小速度）既： t=s/(u1—u2) 例：甲乙两地相距 1km ，甲人从甲地以 9m/s 的速度去追乙人，而乙人从乙地与甲人同时，同向以 7m/s 速度跑，问：甲人追上乙人需要多少时间？ 相遇问题：是速度之和：时间 = 路程除以（速度 1 ＋速度 2 ）既： t=s/ （ u1+u2 ） 例：甲乙两地相距 5km ，甲以 20m/s 速度从甲地出发，乙以30m/s 的速度从乙地出发，他们同时同向行驶，问：他们需要多少时间相遇？ 9 ，一座大桥全长是 300m ，一列火车长为 200m ，火车以 20m/s 的速度匀速通过大桥，求：火车完全通过大桥需要多少时间？ 10 ，一座大桥全长 300m ，一列火车以 20m/s 匀速通过大桥，需要 40s 钟完全通过大桥，问：火车的长度是多少？ 11 ，某人在山谷中，大喊一声后， 2s 钟听到第一声回声，再过 1s 后听到第二声回声。求：此人离较近的山有多远？此人离较远的山有多远？两座大山之间的距离是多少？ 行程问题公式 行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。 基本公式 路程＝速度×时间； 路程÷时间=速度； 路程÷速度=时间 关键问题 确定行程过程中的位置路程相遇路程÷速度和=相遇时间相遇路程÷相遇时间= 速度和 相遇问题（直线） 甲的路程+乙的路程=总路程 相遇问题（环形） 甲的路程 +乙的路程=环形周长 追及问题 追及时间＝路程差÷速度差 速度差＝路程差÷追及时间 路程差＝追及时间×速度差 追及问题（直线） 距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间 追及问题（环形） 快的路程-慢的路程=曲线的周长 流水问题 顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间 顺水速度=船速＋水速 逆水速度＝船速－水速 静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速：（顺水速度－逆水速度）÷2 解题关键 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。 流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式： 顺水速度=船速+水速，（1） 逆水速度=船速-水速.（2） 这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。 根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到： 水速=顺水速度-船速， 船速=顺水速度-水速。 由公式（2）可以得到： 水速=船速-逆水速度， 船速=逆水速度+水速。 这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第 三个量。 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2， 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。 （一）相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。 小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。 它们的基本关系式如下： 总路程=（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间=总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度 （二）追及问题 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。 根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，罕用下面的公式： 距离差=速度差×追及时间 追及时间=距离差÷速度差 速度差=距离差÷追及时间 速度差=快速-慢速 解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。 （三）相离问题 两个运动物体由于背向运动而相离，就是相离问题。解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。 基本公式有： 两地距离=速度和×相离时间 相离时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相离时间 （四）流水问题 顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进 如何巧记弹性碰撞后的速度公式 一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式 问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？ 图1 设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得： m1v1=m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 联立①⑤解得 ⑥ ⑦ 上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v共，由动量守恒定律得：m1v1= （m1+m2） v共 解出v共=m1v1 /（m1+m2）。而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继续受到 向前的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住，⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式 解释。因为只有m1>m2，才有v1＇>0。否则，若v1＇<0，即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的v1＇了。 另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度v1－0等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。 二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式 问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度？ 图2 设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得： m1v1+m2v2=m1v1＇+m2v2＇① ② 编号 2009021236 毕业论文 （ 09 届本科） 论文题目：雨滴下落速度的讨论 学院：电气工程学院 专业：物理学 班级： 09本科(2)班 作者姓名：吴丽霞 指导教师：郭立帅职称： 完成日期： 2012 年 12 月日 雨滴下落速度的讨论 (陇东学院 电气工程学院，甘肃 庆阳 745000) 吴丽霞 ， 郭立帅 摘 要：简单介绍雨滴的形成，运用流体力学相关知识，分析了雨滴下落所受的黏性阻力和压差阻力，考虑雨滴在空气中下落半径增加对雨滴速度的影响，得出了雨滴下落速度和雨滴半径的关系，对雨滴下落的收尾速度进行了一般的讨论。 关键词：雨滴;黏性阻力；压差阻力；雷诺数；收尾速度 Discussion of the raindrops falling speed Wu Li-xia ， Guo Li-shuai (Electrical Engineering College, Longdong University, Qingyang 745000, Gansu, China.) Abstract: Brief rain formation, the use of the knowledge of fluid mechanics, analysis of viscous drag and pressure drag the raindrops whereabouts suffered consider raindrops in the air, the whereabouts of the impact of increasing the radius of raindrops speed, to draw raindrops falling speed and raindrops radius the general analysis of the relationship between the terminal velocity of raindrops whereabouts. Key Words: Raindrops; Viscosity resistance; Pressure drag; Reynolds number; Terminal velocity. 引言 下雨是自然界常见的现象，如果将雨滴看作自由下落的质点，我们知道云层下表面距地面约2000米，由质点运动学的相关知识v gt =和212 h gt =可知，从此高度下落到地面的雨滴速度可达200m/s ，化为小时制为720km/h ，此速度大约是F1赛车的两倍，从动量的角度分析，与一个质量为0.1g 速度为130m/s 的子弹产生的动量相当。这样的雨滴如果撞在人身上，后果不堪设想，但实际上，地表上的任何生命都没有被雨滴撞伤，这是因为雨滴下落时不仅受重力，还受空气浮力和阻力，并不是自由落体运动，在这三个力的作用下，才使得无论是毛毛细雨还是大雨滂沱，雨滴都不会因为速度太大而撞伤人畜。 大小不同的下落的快慢的不同，我们都知道大雨滴下落的快，小雨滴下落的慢，如果将雨滴看做质量不变的球体进行研究，不考虑雨滴质量增加对其速度影响，则雨滴下落最后将达到一个恒定不变的最大速度，称为收尾速度。然而，雨滴在下落过程中不断几首水汽尘埃等物质，质量将会不断增加，但由于下落过程中还存在摩擦升温等因素，造成蒸发现象，质 、路程速度时间公式：s=vt v=s÷t t=s÷v 2、正方形周长公式：C=4a 3、正方形面积公式：S=a2 4、长方形周长公式：C=2（a+b） 5、长方形面积公式：S=ab 6、加法交换律：a+b=b+a 7、加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 8、乘法交换律：a·b=b·a 9、乘法结合律：〔a·b〕·c=a·〔b·c〕 10、乘法分配律：〔a+b〕·c=a·c+b·c 11、角的大小分类，从小到大是：锐角、直角、钝角、平角、周角 12、锐角是小于90度的角，直角是90度，钝角是大于90度而小于平角的角，平角是180度的角，周角是360度的角。 13、三角形按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 14、三个角都是锐角是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。 15、三角形按边分类有：不等边三角形，等腰三角形，等边三角形 16、从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 17、小数的计数单位是十分之一，百分之一，千分之一--------记作0.1，0.01，0.001----- 18、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 20、1平角=2直角1周角=2平角=4直角 21、三角形具有稳定性 22、三角形任意两边之和大于第三边 23、三角形的内角和是180度 24、学会画角 25、会比较小数的大小 26、单位换算 长度单位：1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米1米=10分米=100厘米=1000毫米 质量单位：1千克=1000克1吨=1000千克=1000000克 钱的换算：1元=10角=100分1角=10分 时间单位：1时=60分=3600秒1分=60秒 1年=12月=365天或366天1天=24小时 一三五七八十腊，三十一天永不差。四六九十一三十，平年二月二十八，闰年二月二十九。 面积单位：1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方米=10000平方厘米 1公顷=10000平方米 1平方千米=100公顷=1000000平方 速度公式赢文教育网学习也疯狂 htpp:/// 匀变速直线运动的速度与时间以及位移 与时间一、匀速直线运动 1、定义: 沿着一条直线，且速度不随时间的变化而变化的运动， 叫做匀速直线运动 2、图像特点：①是一条平行于时间轴的直线②表示物体的速 度不随时间变化，是个定值二、匀变速直线运动 1、定义：沿着一条直线，且加速度不 变的运动，叫做匀变速直线运动．．． 2、分类：（1）匀加速直线运动：物体的速度随时间 均匀增加，加速度的方向与速度的方向相同，则a>0 （2）匀减速直线运动：物体的速度随 时间均匀减小，加速度的方向与速度的方向相反，则a 赢文教育网学习也疯狂 htpp:/// 由，以及 V0是物体在t=0时刻的速度，称为初速度。vt 是物体在t时刻的瞬时速度，称 为末速度。注意：在具体运算中必须规定正方向来简化一直线上的矢量运算 2、速度与时 间的图像 (υ～t图像）特点：①v-t图象是一条倾斜的直线②无论选在什么区间，对应 的速度v的变化量与时间t的变化量之比都是一样的，，即加速度是一定值③纵轴上的截距 表示运动物体的初速度υ0 赢文教育网学习也疯狂 htpp:/// ④图线的斜率表示运动物体的加速度 a ⑤图线下 的“面积”其表示运动物体在相应的时间内所发生的位移s 三、匀变速直线运动的位移与 时间关系 1、匀速直线运动的位移①公式法：②图像法：在υ～t图像中图线与时间轴所 围成的矩形的面积就是做匀速直线运动的物体的位移③当速度值为正值时，x=vt>0，图线与 时间轴所围成的矩形在时间轴的上方；当速度值为负值时，x=vt 赢文教育网学习也疯 狂 htpp:/// 结论:做匀变速直线的物体的位移，等于其υ～t图像中图线与时间轴所围 成的梯形的面积。 赢文教育网学习也疯狂 htpp:/// ②、公式推导结论：注意：（1）公式中的 x 、v0 、a 均为矢量，应用时必须选取统一方向为正方向, 一般以v0的方向为正方向. （2） 对于初速度为零(v0＝0)的匀变速直线运动，位移公式为位移x与时间t的二次方成正比， 即（3）因为位移公式是关于x的一元二次函数，故x－t图象是一条抛物线(一部分)．但它 不表明质点运动的轨迹为曲线,质点在做直线运动． 赢文教育网学习也疯狂 htpp:/// （4）匀变速直线运动的另一个计算公式是：③匀 变速直线运动的两个推论： a．平均速度：做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均 速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半,即：推导：设物体的初速度为v0，做匀变速运动的加速度为a，t秒末的速度为v. 由可得：平 均速度（1）由可得：中间时刻瞬时速度（2）由（1），（2）式可得：（3）由可得：（4）由（2），（3），（4）可得：所以： b: 逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝ aT2 推导：时间T内的位移 x1＝v0T＋aT2 ① 赢文教育网学习也疯狂 htpp:/// 在时间2T内的位移 x2＝v0（2T） ＋a(2T)2 ②则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1 ③由①②③得Δx＝x Ⅱ－xⅠ＝aT2 注意：此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动；二是用以求加速度 速度公式 雨滴下落的动力学分析及大小雨滴下落速度比较 雨滴下落过程没有阻力会怎样？ 假设雨滴从2000米的高度下落，根据自由落体公式 ，得到v=200m/s ，这样的速度接近于一般子弹速度的一半 通过查阅资料我们知道： 摘要：希望根据不同阶段主要阻力不同，分阶段得到雨滴速 度的表达式，比较大小雨滴在近地面时的速度大小。 第一阶段 雨滴仅受竖直向下的重力和向上的阻力作用，得到运动学方 程： 从中可知当达到平衡时，即雨滴开始做匀速运动 时， ，但是该最大值能否达到还不确定，也许在达到该最大值前，该表达式已近不能很好的描述所受阻 力。 写成微分方程形式得： 2()1()2kv v f C Av v ρ??=???，较小时，较大时2v gh =mg kv ma -=max 0,mg a v k ==dv m mg kv dt =- 解该方程，并带入初始条件： ， 得到： 想法：根据第一阶段速度表达式，我们可以估计雨滴在高空时的速度变化规律。如果我们知道第一阶段持续的高度，那么可以估算雨滴在第一阶段所经历的时间。 第二阶段 其中k 是比例系数，v 是速度，C 是阻力系数，A 是雨滴有效截面积， p 是空气密度 假设雨滴在下落的过程中，保持球形的形态不变，则 ，其中C, p ，为定值 可转化为: 此时雨滴受到重力和阻力的作用，得到动力学方程： (ln )1kt mg m mg v e k k -+=-212 f C Av ρ=2212 C r v ρπ0,0t v == 当a=0时，雨滴匀速运动，速度达到最大速度，我们近似认为接近地面时的速度为 把 代入上面的式子，得到： 所以由上式我们知道，雨滴半径越大，其在接近地面时的速度越大，即大雨滴比小雨滴在近地面时下落更快。 以微分方程来表示得到： 通过数学软件求解得到 将 代入得 其中c1是由雨滴进入第二阶段的速度所确定的 2212 mg C r v ma ρπ-=max 22mg v C r ρπ= 343m r πρ=水max 83r g v C ρρ=水2212dv mg C r v m dt ρπ-=(1)2tanh()22r mgC t c mgC m v C r ρπρπρπ±=343 m r πρ=水2(1)6tanh()6243r gC t c rgC r v C ρρρρρ±=水水 路程速度时间公式集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN# 1、路程速度时间公式：s=v t v=s÷t t=s÷v 2、正方形周长公式：C=4a 3、正方形面积公式：S=a2 4、长方形周长公式：C=2（a+b） 5、长方形面积公式：S=ab 6、加法交换律：a+b=b+a 7、加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 8、乘法交换律：a·b=b·a 9、乘法结合律：〔a·b〕·c=a·〔b·c〕 10、乘法分配律：〔a+b〕·c=a·c+b·c 11、角的大小分类，从小到大是：锐角、直角、钝角、平角、周角 12、锐角是小于90度的角，直角是90度，钝角是大于90度而小于平角的角，平角是180度的角，周角是360度的角。 13、三角形按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 14、三个角都是锐角是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。 15、三角形按边分类有：不等边三角形，等腰三角形，等边三角形 16、从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 17、小数的计数单位是十分之一，百分之一，千分之一--------记作，， 18、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 20、1平角=2直角 1周角=2平角=4直角 21、三角形具有稳定性 22、三角形任意两边之和大于第三边 23、三角形的内角和是180度 24、学会画角 25、会比较小数的大小 26、单位换算 长度单位：1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米 1米=10分米=100厘米=1000毫米 质量单位：1千克=1000克 1吨=1000千克=1000000克 钱的换算：1元=10角=100分 1角=10分 时间单位：1时=60分=3600秒 1分=60秒 1年=12月=365天或366天 1天=24小时 一三五七八十腊，三十一天永不差。四六九十一三十，平年二月二十八，闰年二月二十九。 面积单位：1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方米=10000平方厘米 1公顷=10000平方米 1平方千米=100公顷=1000000平方 1、路程速度时间公式：s=vt v=s÷t t=s÷v 2、正方形周长公式：C=4a 3、正方形面积公式：S=a2 4、长方形周长公式：C=2（a+b） 5、长方形面积公式：S=ab 6、加法交换律：a+b=b+a 7、加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 8、乘法交换律：a·b=b·a 9、乘法结合律：〔a·b〕·c=a·〔b·c〕 10、乘法分配律：〔a+b〕·c=a·c+b·c 11、角的大小分类，从小到大是：锐角、直角、钝角、平角、周角 12、锐角是小于90度的角，直角是90度，钝角是大于90度而小于平角的角，平角是180度的角，周角是360度的角。 13、三角形按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 14、三个角都是锐角是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。 15、三角形按边分类有：不等边三角形，等腰三角形，等边三角形 16、从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 17、小数的计数单位是十分之一，百分之一，千分之一--------记作0.1，0.01，0.001----- 18、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 20、1平角=2直角 1周角=2平角=4直角 21、三角形具有稳定性 22、三角形任意两边之和大于第三边 23、三角形的内角和是180度 24、学会画角 25、会比较小数的大小 26、单位换算 长度单位：1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米 1米=10分米=100厘米=1000毫米 质量单位：1千克=1000克 1吨=1000千克=1000000克 钱的换算：1元=10角=100分 1角=10分 时间单位：1时=60分=3600秒 1分=60秒 1年=12月=365天或366天 1天=24小时 一三五七八十腊，三十一天永不差。四六九十一三十，平年二月二十八，闰年二月二十九。 面积单位：1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方米=10000平方厘米 1公顷=10000平方米 1平方千米=100公顷=1000000平方 听雨滴下落的声音 雨淅淅沥沥的下着，给暗淡无光的天空蒙上了一层神秘的面纱。 就是在这样一个雨天，我唯一的“哥哥”离开了他的亲人，离开了他所留恋的凡尘，离开了我――这个不是妹妹的“妹妹”…… 我有很多姐姐，妹妹，弟弟，遗憾的是我没有哥哥，所以我一直希望有一个哥哥。 终于有一天，他出现了。妈妈让我叫他珉哥哥，我偷偷省去了“珉”字，唤他哥哥。哥哥与我同校，成绩好得没话说，他是老师的骄傲。哥哥还拥有一张帅得无法形容的脸，再加上他性情冷漠，堂而皇之地成为了众女生心目中的“忧郁王子”。可哥哥一点都不在乎，从不和女生说话，但他对我总是特别温柔，常常和我聊天，给我讲他的童年。哥哥教会了我很多很多。 哥哥喜欢雨天。只要一下雨，哥哥就拉着我坐在阳台上看着雨水从天空缓缓降落，溅起一滩水花。哥哥说，雨是上天赐给人类的圣水，它能洗净自然里的一切，洗净人们在外面游荡的灵魂。我似懂非懂地听着，但从那之后，我爱上了雨天，爱上了雨滴流落的声响…… 第一次见到哥哥，就觉得他的脸很苍白，他的眼中有着令人捉摸不透的悲伤。也许，这让哥哥很适合吉他。哥哥有一双白暂修长的手，从他手中流泻出的音符总是那么美妙，却又那样飘渺。哥哥说，音乐就像人的灵魂，虚幻但又实际存在。没有音乐能演绎它的内涵，除了吉他。只有吉他才能诠释我理想中的音乐。哥哥的话总能让我深思，只是从那以后，我更爱音乐，更爱吉他了。 不过，上帝总是那样吝啬――哥哥所爱的东西终究“背叛”了他。 在那个下着小雨的早晨，哥哥被推进了抢救室。从急救灯熄灭的那一秒，哥哥就再也没有睁开眼看看我了；从那一秒，我心里最后一道防线终于崩溃了；从那一秒，我学会了不再哭泣，因为不会再有人像哥哥那样抚摸着我的黑发安慰我，告诉我要坚强。 就是在那个雨天，哥哥抱着他心爱的吉他，听着雨滴下落的声音，安静地走了……只留给我无尽的思念和回忆。 于是，在每个雨天，我都会抱着哥哥心爱的吉他，凝视着他的照片，听，那雨滴下落溅起的清脆响声，悲伤地想着他――我唯一的深爱的哥哥――珉。输液速度计算公式
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