整除的特征
整除的特征：
一个数能否被另一个数整除，要根据一定的规律来判断，所以要掌握一些特征。
（1）能被2 整除的数的特征：个位数是0、2、4、6、8的整数能被2整除。
例如：10、72、34、56、98都能被2整除。
（2）能被5整除的数的特征：个位数是0或5的整数能被5整除。
例如：180、315都能被5整除。
（3）能被3或9整除的数的特征：各个数位上数字的和是3或9的倍数的整数，能被3或9整除。
例如：5037各数位上的数的和是15，15是3的倍数，所以5037能被3整除。
4878各数位上的数的和是27，27是9的倍数，所以4878能被9整除。
能被9整除的数必然能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除。
一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同。
（4）能被4 和25整除的数的特征：末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。
例如：712末尾两倍数是12，12是4 的倍数，所以712
能被4整除。
975的末尾两倍数是75，75是25的倍数，所以975能被25整除。
如果一个数既能被4整除，又能被25整除，那么这个数一定是整百数。如700、2800都能同时被4 和25整除。（5）能被8和125整除的数的特征：末尾三位数是8或是125的倍数，能被8或25整除。
例如：2408的末尾三位数是408，408是8的倍数，所以2408能被8整除。
9250末尾三位数是250，因为250是125的倍数，所以9250能被125整除。
如果一个数既能被8整除，又能被125整除，那么这个数一定是整千数。如1000、3000、78000等。
（6）能被11整除的数的特征：如果一个数奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差是11的倍数，那么这个整数就能被11整除。
例如：189354奇数位上的数之和是1+9+5=15，偶数位的数之和是8+3+4=15，它们的差是15-15=0，因为0能被11整除，所以189354能被11整除。
（7）能被7整除的数的特征：把一个数的末尾数割去，从留下的数中减去所割数的2倍，这样继续下去，如果最后的结果是7的倍数，那么原来这个数就能被7整除。
例如：判断4151能否被7整除。
因为35是7的倍数，所以4151能被7整除。
（8）能被13整除的数的特征：把一个数的末尾数割去，在留下的数上加上末位数的4倍。照这样下去，如果最后的结尾是13的倍数，那么原来这个数就能被13整除。
例如：判断10673能否被13整除。
因为26是13的倍数，所以10673能被13整除。
整数的表示方法：一个整数可以用一个字母表示。例如用字母a表示任意一个整数，也可以把一个整数的各个数位上的数用不同的字母表示，并且在字母上画一条横线。
即abcd=a×1000+b×100+c×10+d，
例如：1234=1×1000+2×100+3×10+4
整除的特征
整除的特征： 一个数能否被另一个数整除，要根据一定的规律来判断，所以要掌握一些特征。 （1）能被2 整除的数的特征：个位数是0、2、4、6、8的整数能被2整除。 例如：10、72、34、56、98都能被2整除。 （2）能被5整除的数的特征：个位数是0或5的整数能被5整除。 例如：180、315都能被5整除。 （3）能被3或9整除的数的特征：各个数位上数字的和是3或9的倍数的整数，能被3或9整除。 例如：5037各数位上的数的和是15，15是3的倍数，所以5037能被3整除。 4878各数位上的数的和是27，27是9的倍数，所以4878能被9整除。 能被9整除的数必然能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除。 一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同。 （4）能被4 和25整除的数的特征：末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。 例如：712末尾两倍数是12，12是4 的倍数，所以712
能被4整除。 975的末尾两倍数是75，75是25的倍数，所以975能被25整除。 如果一个数既能被4整除，又能被25整除，那么这个数一定是整百数。如700、2800都能同时被4 和25整除。（5）能被8和125整除的数的特征：末尾三位数是8或是125的倍数，能被8或25整除。 例如：2408的末尾三位数是408，408是8的倍数，所以2408能被8整除。 9250末尾三位数是250，因为250是125的倍数，所以9250能被125整除。 如果一个数既能被8整除，又能被125整除，那么这个数一定是整千数。如1000、3000、78000等。 （6）能被11整除的数的特征：如果一个数奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差是11的倍数，那么这个整数就能被11整除。 例如：189354奇数位上的数之和是1+9+5=15，偶数位的数之和是8+3+4=15，它们的差是15-15=0，因为0能被11整除，所以189354能被11整除。 （7）能被7整除的数的特征：把一个数的末尾数割去，从留下的数中减去所割数的2倍，这样继续下去，如果最后的结果是7的倍数，那么原来这个数就能被7整除。
能被整除的数的特征
能被整除的数的特征 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征 能被2整除的数的特征是个位上是偶数， 能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数） 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 能被5整除的数个位上的数为0或5， 能被7整除的数的特征 若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数 能被11整除的数的特征 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。 例如：判断491678能不能被11整除。 奇位数字的和9+6+8=23 偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。 能被13整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 如：判断1284322能不能被13整除。 128432+2×4=128440 12844+0×4=12844 1284+4×4=1300 1300÷13=100 所以，1284322能被13整除。 【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。】例1：判断1059282是否是7的倍数 例2：判断3546725能否被13整除 能被17整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 例如：判断1675282能不能被17整除。 167528-2×5=167518 16751-8×5=16711
数的整除特征
数的整除特征 1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。 2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。 3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。 4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9 或3整除。 5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。 6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。 【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一 能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？ 【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位 数。问：这样的三位数有几个？ 【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了 问：每本词典多少钱？
【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。 【例5】要使27A3B 一一一一一一 这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？ 【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？ 数的整除专项练习： 1、五位数6A25B 一一一一一一一一 的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五位
数共有几个？ 2、在 内填上合适的数使七位数 能被72 整除。 3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。 4能被11整除，求这个六位数。 5、能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几？
整除的特征
整除的特征 数的乘除特征： 1．个位数是偶数的数能被2整除； 2．个位数是0或5的数能被5整除； 3．末两位数能被4(或25)整除的数能被4(或25)整除； 4．末三位数能被8(或125)整除的数能被8(或125)整除； 5．能被6整除的数只需满足能被2，3整除。 6．各位数字之和能被3(或9)整除的数能被3(或9)整除； 7．奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除的数能被11整除； 8．末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差(大数减小数) 能被7(或11或13)整除的数能被7(或11或13)整 例题 1、有72名学生，共捐款b a 7.52，平均每人捐了多少元？ 2、一个数，它是15的倍数，且各位数字只有8和5两种，当这个数最小它是15的几倍？ 3、已知整数a a a a a 54321能被11整除，求所有满足这个条件的整数。 4、超市里有6箱货物，分别重16、19、20、1 5、18、31千克，两顾客买了其中5箱货物，其中一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍，超市里剩下的那箱货物是多少千克？ 练习： 1、有一个四位数24aa ，它能被9整除，请问a 代表什么数字？ 2、一个正整数，它与13的和为5的倍数，与13的差是3的倍数，那么这个数最小是多少？ 3、012005 (200520052005) 个n 能被11整除，那么n 最小值是多少？ 4、七箱油分别是汽油、柴油、机油，它们容量分别是12升、13升、16升、17升、22升、27升和32升。现在知道汽油有一桶，而柴油的总量分别是机油的3倍，但是不哪箱是什么油。请你判断每只油桶里装的各是什么油？ 5、在六位数3□2□1□的三个方框里分别填入数字，是得到的数能被15整除，这样的六位数中最小的是多少？
数的整除特征特点
数的整除特征及质数 尾数判断法 （1）能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除 （2）能被4、25整除的数的特征，末两位能被4或25整除。 （3）能被8、125整除的数的特征，末三位能被8或125整除。 数字求和法 （1）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。 奇偶位求差法 （1）能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。 三位截断法 （1）能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除。 熟记100以内的质数 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 了解100-1000的质数 101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、199、211、223、227、229、233、239、241、251、257、263、269、271、277、281、283、293、307、311、313、317、331、337、347、349、353、359、367、373、379、383、389、397、401、409、419、421、431、433、439、443、449、457、461、463、467、479、487、491、499、503、509、521、523、541、547、557、563、569、571、577、587、593、599、601、607、613、617、619、631、641、643、647、653、659、661、673、677、683、691、701、709、719、727、733、739、743、751、757、761、769、773、787、797、809、811、821、823、827、829、839、853、857、859、863、877、881、883、887、907、911、919、929、937、941、947、953、967、971、977、983、991、997。
整除特性
整除特性* 能够被2整除的数其个位一定是偶数。 能够被3整除的数是各位数的和能够被3整除。 能够被4整除的数是最后两位数能够被4整除。 能够被5整除的数的个位是0或5。 能够被8整除的数是最后三位能够被8整除。 能够被9整除的数是各位数的和能够被9整除。 能够被11整除的数是其奇数位的和减去偶数位的和的差值可以被11整除。 记住：一个数要想被另一个数整除，该数需含有对方所具有的质数因子。 *整数n次幂尾数特性* 尾数为2的数的幂的个位数一定以2，4，8，6循环尾数为3的数的幂的个位数一定以3，9，7，1循环尾数为4的数的幂的个位数一定以4，6循环 尾数为7的数的幂的个位数一定以7，9，3，1循环尾数为8的数的幂的个位数一定以8，4，2，6循环尾数为9的数的幂的个位数一定以9，1循环 一、整除的基本法则 （一）能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或 5）整除的数，末位数字能被2（或 5）整除； 能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除； 能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除； （二）能被3、9 整除的数的数字特性 能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。 （三）能被7 整除的数的数字特性 能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。 （四）能被11 整除的数的数字特性 能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。 （五）能被13 整除的数的数字特性 能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。 99的倍数特征： 如果这个数既是9的倍数，又是11的倍数的数，就一定是99的倍数。但先考虑是不是9的倍数，再考虑是不是11的倍数。 7的倍数特征： 1、一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，
数的整除的特征归类
数的整除的特征归类 --蒋睿宇学习资料 在小学阶段，数的整除的特征无非就是以下几种形式： 第一类：看被整除的这个数的末一位。（也就是这个数的个位）。这主要是，判断能否被2和5 整除的数的特征。 其特征是： （1）能被2整除的数，个位上的数字一定是0、2、4、6、8。 例如：12、24、36、28、50 （2）能被5整除的数，个位上的数字一定是0和5。 例如：20、45 第二类：看被整除的这个数的末两位。（也就是这个数的个位和十位）这是判断能否被4和25整除的数的特征。 其特征是：末两位数能被4和25整除的数，一定能被4和25整除。 例如：1320÷4=440 （20÷4=5） 750÷25=30（50÷25=2）第三类：看被整除的这个数的末三位。（也就是这个数的个位和十位以及百位）这是判断能否被8和125整除的数的特征。 例如：789160÷8=98645（160÷8=20） 456375÷125=3651（375÷125=3） 第四类：看被整除的数的末三位数字，组成的数与末三位数前面的数字组成的数之间的差，（大数减小数）能否被7、11、13整除，它们之间的差能被7、11、13整除，则这个数就能被7、11、13整除。 例如：789803（803-789=14,14÷7=2） 584628（628-584=44,44÷11=4） 26299（299-26=273,273÷13=21） 第五类：看被整除的这个数的各个数位上的数字相加的和能否被
3和9整除，如果它们相加的和能被3和9整除，则这个数就能被3和9整除。这是判断能否被3和9整除的数的特征。 例如：12345678（1+2+3+4+5+6+7+8=36,36÷3=12,36÷9=4）
数的整除特征
数的整除特征 几个重要的整除特征： （1）能被2或5整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被2或5整除，这个数就能被2或5整除。（2）能被4或25整除的数的特征：一个整数的十位和个位所组成的数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。 （3）能被8或125整除的数的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。 （4）能被3或9整除的数的特征；一个数的各位上的数的和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。（5）能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上数字的和与偶数位上的数字和的差能被11整除，这个数就能被11整除。 （6）能被7、11或13整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被7、11或13整除，这个数就能被7、11或13整除。 例1、在□内填上适当的数，使五位数29□7□能被4整除，也能被3整除。 练习：1、在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。这个六位数最小是多少？ 2、有一个四位数3AA1，它能被9整除。A代表的数字是几？ 3、在□内填上合适的数，使六位数8□12□能被125整除，也能被9整除。 例2、有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除。它们的前四位都是9876，而末位数字不同。求这两个五位数的和。 练习：4、一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足条件的最小的自然数。 5、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？ 例3、在□内填上合适的数，使五位数2□10□能被72整除。 练习：6、七位数22A333A能被4整除，且它的末两位3A是6的倍数，那么A=（）。 7、已知87654321□□这个十位数能被36整除，那么，这个数个位上的数最小是几？ 8、一个六位数12□34□是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？ 例4、某校六年级共有学生72人，每人买了一本语文课外读物和一本数学课外读物。已知两本书的单价不同，但是语文课外读物和数学课外读物的总价都在200元与300元之间，且元位上的数都是8，角位上的数都是4。问：每个学生为购买这两本书付了多少钱？ 例5、某校有13个兴趣小组，各组的人数如下表： 一天下午，学校同时举办语文和数学两个讲座，已知有12个小组去听讲座，其中听语文讲座的人数是听数
数的整除特征总结
数的整除特征总结 数的整除特征是指一个数能够被另外一个数整除时所具有的特征和规律。在数学中，整除是一种基本的整数关系，研究整除特征可以帮助我们 深入理解数学的基本概念和性质。本文将总结数的整除特征，以便读者更 好地理解和掌握整除的规律和应用。 1.一个数除以1等于它本身，这是整除的最基本特征。任何一个数都 能被1整除。 2.如果a能够被b整除，即a/b是一个整数，那么a被b整除的余数 为0。 3.如果a能够被b整除，即a/b是一个整数，那么a能够被b的因数 整除。换句话说，如果a能够被b整除，那么b的所有因数也能够整除a。 4.如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a能够被c整除。整 除具有传递性。 5.如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a能够被c的所有因 数整除。 6.如果一个数能够被2整除，那么这个数一定是偶数。偶数的特征是 最后一位数字为0、2、4、6或8 7.如果一个数能够被3整除，那么这个数的各位数字之和也能被3整除。 8.如果一个数能够被4整除，那么这个数的末尾两位组成的数能被4 整除。
9.如果一个数能够被5整除，那么这个数的最后一位数字一定是0或 5 10.如果一个数能够被6整除，那么这个数一定能被2和3同时整除。 11.如果一个数能够被8整除，那么这个数的末尾三位组成的数能被 8整除。 12.如果一个数能够被9整除，那么这个数的各位数字之和也能被9 整除。 13.如果一个数能够被10整除，那么这个数的末尾一定是0。 14.如果一个数能够被11整除，那么这个数的各位数字之差也能被 11整除。 15.如果一个数能够被12整除，那么这个数一定能被3和4同时整除。 这些整除特征是数学中的常见规律和性质，通过了解和应用这些特征，我们可以更快地判断一个数是否能够被另外一个数整除。同时，这些特征 也有助于我们解决问题和证明数学定理。 总结：数的整除特征是数学中的基本规律和性质，包括整除的基本定义、整除的性质、整除特征与数字的关系等。掌握和应用整除特征可以帮 助我们更好地理解数学的基本概念和性质，同时也有助于我们解决问题和 证明定理。
数的整除的特征
数的整除的特征 （1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 （6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 （7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！ （12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 （13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 （17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 （18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除
整除的特征
（1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 （6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 （7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！ （12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 （13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 （17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 （18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除.
整除规则（原理，性质）
整除规则（原理，性质） 各种被整除的数的特征（放在这里以备以后查阅方便） （1）被2整除的数的特征：一个整数的末位是偶数（0、2、4、6、8）的数能被2整除。 （2）被3整除的数的特征：一个整数的数字和能被3整除，则这个数能被3整除。 （3）被4整除的数的特征：一个整数的末尾两位数能被4整除则这个数能被4整除。可以这样快速判断：最后两位数，要是十位是单数，个位就是2或6，要是十位是双数，个位就是0、4、8。 （4）被5整除的数的特征：一个整数的末位是0或者5的数能被5整除。 （5）被6整除的数的特征：一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 （6）被7整除的数的特征：“割减法”。若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果差是7的倍数（包括0），则这个数能被7整除。过程为：截尾、倍大、相减、验差。 例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 （7）被8整除的数的特征：一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （8）被9整除的数的特征：一个整数的数字和能被9整除，则这个数能被9整除。 （9）被10整除的数的特征：一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 （10）被11整除的数的特征：“奇偶位差法”。一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数（包括0），则这个数能被11整除。（隔位和相减）
例如，判断491678能不能被11整除的过程如下：奇位数字的和9+6+8=23，偶位数位的和4+1+7=12。23-12=11。因此491678能被11整除。 （11）被12整除的数的特征：一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 （12）被13整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果是13的倍数（包括0），则这个数能被13整除。过程为：截尾、倍大、相加、验差。 （13）被17整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果差是17的倍数（包括0），则这个数能被17整除。过程为：截尾、倍大、相减、验差。 （14）被19整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果是19的倍数（包括0），则这个数能被19整除。过程为：截尾、倍大、相加、验差。 （15）被7、11、13 整除的数的共同特征：若一个整数的末3位与末3位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7、11、13 整除，则这个数能被7、11、13 整除。 例如：128114，由于128-114=14，14是7的倍数，所以128114能被7整除。64152，由于152-64=88，88是11的倍数，所以64152能被11整除。94146，由于146-94=52，52是13的倍数，所以94146能被13整除。 *************************************************************** ********* 另外一篇： 整除原理 一、数的整除的特征 （1）1与0的特性：
五年级整除的特征
整除的特征 一、性质 1、如果整数A、B都能被C整除，那么他们的和A+B或差A-B也能被C整除。例如：8整除64，8整除24，那么8整除64+24或64-24 2、如果A能被B整除，B能被C整除，那么A能被C整除。 例如：30能被15整除，15能被5整除，那么30能被5整除。 二、数的整除特征 能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8。 能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数。 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。 能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。 能被7、11、13整除的数的特征：末三位数与末三位数以前的数所组成的数之差能被7、11、13整除。 一个三位数连续写偶数次，所得的数能被7、11、13整除 三、例题与练习 例1、判断下面的数是否能整除。
例2、判断下面的数是否能整除。 例题3、四位数2□2□能同时被8、9整除，那么这个四位数是多少？ 练习1、在3□2□的方框里填入合适的数字，使这个四位数能被15整除，这样的四位数中最大的是多少？ 例题4、将1、2、3、4这四个数任意排列，可组成若干个四位数，在这些四位数中，能被11整除的数最小是多少？能被4整除的数最小是多少？ 练习3、由1、2、3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数有哪些？ 练习4、从0、3、5、7这四个数中选择三个数，排成一个三位数，使它能同时被2、3、5整除，这样的三位数最大的是哪个？ 练习5、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，这个六位数最小是多少？ 例5、某个七位数1993口口口能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?
整除的性质和特征
整除的性质和特征 整除问题是整数内容最基本的问题。理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。 一、整除的概念： 如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。整除属于除尽的一种特殊情况。 二、整除的五条基本性质： （1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除； （2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除； （3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除； （4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立； （5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。 三、一些特殊数的整除特征： 根据整除的基本性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。 （1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。
①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除； ②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除； ③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。 【推理过程】： 2、5都是10的因数，根据整除的基本性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基本性质（1），则这个数能被2或5整除。 又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。同时，任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和，根据整除的基本性质（1），可以推导出上面第②条、第③条整除特征。 同理可证，若一个数的末四位数能被16或625整除，则这个数能被16或625整除，依此类推。 （2）若一个整数各位上数字和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。 【推理过程】： 因为10、100、1000……除以9都余1，所以几十、几百、几千……除以9就余几。因此，对于任意整数ABCDE…(_______________)都可以写成下面的形式（n为任意整数）： 9n＋（A＋B＋C＋D＋E＋……）
十一 数的整除特征
十一数的整除特征 同学们都知道，两个整数做除法运算时（除数不为0），它们的商有时是整数，有时不是整数.例如： 对于整数a与b（b≠0），若存在整数q，使等式a=bq成立，则称b整除a，或a能被b整除.这时，称a是b的倍数，b是a的约数，并记 作 整数的整除性质： 1.如果整数a、b都能被整数c整除，那么（a＋b）与（a-b）也能被c整除. 2.几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除. 3.如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除.反过来，如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质的数整除. 数的整除特征： 1.末位数字是偶数的整数能被2整除；末位数字是0或5的整数能被5整除；末两位数是4（或25）的倍数的整数能被4（或25）整除；末三位数是8（或125）的倍数的整数能被8（或125）整除. 2.各位数字之和能被3（或9）整除的整数，能被3（或9整除）. 3.若一个整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和的差能被11整除，则这个数能被11整除. 问题21.1四位数57A1能被9整除，求A. 分析四位数57A1的各位数字的和应是9的倍数. 解5＋7＋A＋1=A＋13. ∵四位数57A1能被9整除， ∴A＋13应是9的倍数， ∵0≤A≤9，∴13≤A+13≤22. 故A＋13=18，∴A=18-13=5. 问题21.2 六位数a8919b能被33整除，求a与b. 分析此六位数应同时是3与11的倍数. 解33=3×11.∵a8919b能被33整除， ∴a8919b同时是3与11的倍数. 故a+8+9+1+9+b=27+a+b应是3的倍数，