特殊数的整除特征

特殊数是指在一定的条件下具有特殊整除特征的数。在数学中，各种

特殊数都有独特的整除特征，下面介绍几种常见的特殊数及其整除特征。

1.完全数

完全数是指一个数恰好等于它所有正因子（除了它本身）的和。最早

完全数的记录出现在古希腊，最小的完全数是6（因子为1、2、3，和为6）。另外两个较小的完全数是28（因子为1、2、4、7、14，和为28）

和496（因子为1、2、4、8、16、31、62、124、248，和为496）。

2.欧拉回文数

3.素数

素数是指只能被1和它自身整除的正整数。素数在整数论中起着重要

的作用，它们具有特殊的整除特性。素数的定义简单，但却是数学研究的

核心之一、质数的性质导致了很多数论的发展，比如素数定理、哥德巴赫

猜想等。

4.斐波那契数列

斐波那契数列是指从0和1开始，后面的每一项都是前面两项的和。

例如，斐波那契数列的前几项是0、1、1、2、3、5、8、13、斐波那契数

列在数学和自然界中都有很大的应用，在整除特征中，斐波那契数列中的

相邻项有特殊的整除关系，即前一项能整除后一项。

5.卡普雷卡数

卡普雷卡数是指一个正整数n，它和n的平方数的数字组成的数一样。例如，5是一个卡普雷卡数，因为5的平方是25，它们的数字组成是一样

的。另外一个例子是49，因为49的平方是2401，它们的数字组成也是一样的。卡普雷卡数具有一定的特殊性，被广泛研究和应用于数学和密码学中。

特殊数的整除特征能够帮助我们理解和探索数学的奥秘。通过研究这些特殊数及其整除特征，我们可以发现数学中的规律和性质，推动数学的发展。同时，特殊数的整除特征也有一定的应用价值，可以在密码学、编码理论等领域中发挥作用。因此，研究特殊数的整除特征是数学研究中的重要方向之一

整除的特征

整除的特征：一个数能否被另一个数整除，要根据一定的规律来判断，所以要掌握一些特征。（1）能被2 整除的数的特征：个位数是0、2、4、6、8的整数能被2整除。例如：10、72、34、56、98都能被2整除。（2）能被5整除的数的特征：个位数是0或5的整数能被5整除。例如：180、315都能被5整除。（3）能被3或9整除的数的特征：各个数位上数字的和是3或9的倍数的整数，能被3或9整除。例如：5037各数位上的数的和是15，15是3的倍数，所以5037能被3整除。 4878各数位上的数的和是27，27是9的倍数，所以4878能被9整除。能被9整除的数必然能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除。一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同。（4）能被4 和25整除的数的特征：末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。例如：712末尾两倍数是12，12是4 的倍数，所以712

能被4整除。 975的末尾两倍数是75，75是25的倍数，所以975能被25整除。如果一个数既能被4整除，又能被25整除，那么这个数一定是整百数。如700、2800都能同时被4 和25整除。（5）能被8和125整除的数的特征：末尾三位数是8或是125的倍数，能被8或25整除。例如：2408的末尾三位数是408，408是8的倍数，所以2408能被8整除。 9250末尾三位数是250，因为250是125的倍数，所以9250能被125整除。如果一个数既能被8整除，又能被125整除，那么这个数一定是整千数。如1000、3000、78000等。（6）能被11整除的数的特征：如果一个数奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差是11的倍数，那么这个整数就能被11整除。例如：189354奇数位上的数之和是1+9+5=15，偶数位的数之和是8+3+4=15，它们的差是15-15=0，因为0能被11整除，所以189354能被11整除。（7）能被7整除的数的特征：把一个数的末尾数割去，从留下的数中减去所割数的2倍，这样继续下去，如果最后的结果是7的倍数，那么原来这个数就能被7整除。

数的整除特征

数的整除特征数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25 的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为11｜5，所以11｜123456789不能。再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例如：判断1059282是否是7的倍数？

整除特性

整除特性* 能够被2整除的数其个位一定是偶数。能够被3整除的数是各位数的和能够被3整除。能够被4整除的数是最后两位数能够被4整除。能够被5整除的数的个位是0或5。能够被8整除的数是最后三位能够被8整除。能够被9整除的数是各位数的和能够被9整除。能够被11整除的数是其奇数位的和减去偶数位的和的差值可以被11整除。记住：一个数要想被另一个数整除，该数需含有对方所具有的质数因子。 *整数n次幂尾数特性* 尾数为2的数的幂的个位数一定以2，4，8，6循环尾数为3的数的幂的个位数一定以3，9，7，1循环尾数为4的数的幂的个位数一定以4，6循环尾数为7的数的幂的个位数一定以7，9，3，1循环尾数为8的数的幂的个位数一定以8，4，2，6循环尾数为9的数的幂的个位数一定以9，1循环一、整除的基本法则（一）能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或 5）整除的数，末位数字能被2（或 5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；（二）能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。（三）能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。（四）能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。（五）能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。 99的倍数特征：如果这个数既是9的倍数，又是11的倍数的数，就一定是99的倍数。但先考虑是不是9的倍数，再考虑是不是11的倍数。 7的倍数特征： 1、一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，

特殊数的整除特征

特殊数的整除特征特殊数是指在一定的条件下具有特殊整除特征的数。在数学中，各种特殊数都有独特的整除特征，下面介绍几种常见的特殊数及其整除特征。 1.完全数完全数是指一个数恰好等于它所有正因子（除了它本身）的和。最早完全数的记录出现在古希腊，最小的完全数是6（因子为1、2、3，和为6）。另外两个较小的完全数是28（因子为1、2、4、7、14，和为28）和496（因子为1、2、4、8、16、31、62、124、248，和为496）。 2.欧拉回文数 3.素数素数是指只能被1和它自身整除的正整数。素数在整数论中起着重要的作用，它们具有特殊的整除特性。素数的定义简单，但却是数学研究的核心之一、质数的性质导致了很多数论的发展，比如素数定理、哥德巴赫猜想等。 4.斐波那契数列斐波那契数列是指从0和1开始，后面的每一项都是前面两项的和。例如，斐波那契数列的前几项是0、1、1、2、3、5、8、13、斐波那契数列在数学和自然界中都有很大的应用，在整除特征中，斐波那契数列中的相邻项有特殊的整除关系，即前一项能整除后一项。 5.卡普雷卡数卡普雷卡数是指一个正整数n，它和n的平方数的数字组成的数一样。例如，5是一个卡普雷卡数，因为5的平方是25，它们的数字组成是一样

的。另外一个例子是49，因为49的平方是2401，它们的数字组成也是一样的。卡普雷卡数具有一定的特殊性，被广泛研究和应用于数学和密码学中。特殊数的整除特征能够帮助我们理解和探索数学的奥秘。通过研究这些特殊数及其整除特征，我们可以发现数学中的规律和性质，推动数学的发展。同时，特殊数的整除特征也有一定的应用价值，可以在密码学、编码理论等领域中发挥作用。因此，研究特殊数的整除特征是数学研究中的重要方向之一

整除特性

数的整除检定 1.被2整除特点：偶数； 2.被3整除特点：每位数字相加的和是3的倍数; 3.被4整除特点：末两位是4的倍数； 4.被5整除特点：末位数字是0或5； 5.被6整除特点：能同时被2和3整除; 6.被8整除特点：末三位是8的倍数； 7.被9整除特点：每位数字相加的和是9的倍数； 8.被11整除特点：奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间的差是11的倍数； 9.被25整除特点：末两位数是25的倍数； 10.被7、11、13整除的特点：多位数的末三位与前面数字之差能否被7、11、13整除。数的整除性质 1.如果数a能被c整除，数b也能被c整除，那么它们的和（a+b）也能被c整除。 2.几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，则这几个数的积也能被这个数整除。 3.数a能被数b整除，数a也能被数c整除，如果b、c互质，那么数a能被数b与c的积（bc）整除。

余数和同余余数特性被除数（A）÷除数（B）=商（C）……余数（D），其中，余数总是小于除数，即： 0≤余数（D）<除数（B）。同余及其性质两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b(mod m)。也就是说，如果a，b除以m的余数相同，就称a，b对于除数m 来说是同余的，且有a与b的差能被m整除。（a，b，m均为自然数）1.两个数和的余数，同余与余数的和；两个数差的余数，同余与余数的差；两个数积的余数，同余与余数的积。 2.同余的重要性质同余的可传递性：若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m)；同余的反身性：a≡a(mod m)(a为任意自然数)；同余的对称性：若a≡b(mod m),则b≡a(mod m)；同余的可乘性: 若a≡b(mod m)，则ac≡bc(mod m)；若a≡b(mod m)，c≡d(mod m),则ac≡bd(mod m)。同余的乘方性：若a≡b(mod m)，则a n≡b n(mod m)。注意：一般地，同余没有“可除性”，但是：如果：ac≡bc(mod m)且（c,m）=1,则a≡b(mod m)。

能被整除的数的特征

能被整除的数的特征文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来, 再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除. 例如:判断491678能不能被11整除. —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除. 这种方法叫"奇偶位差法". 除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10 倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除. 又如:判断583能不能被11整除. 用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除. （1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。（3）能被3整除的数的特征

若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。（8）能被8整除的数的特征若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。（9）能被9整除的数的特征若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。（10）能被10整除的数的特征若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。（11）能被11整除的数的特征

数字整除特征

（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有a/1=a；0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则0|a=0。（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23（或29）整除，则这个数能被23整除。

数字的整除特性(实用好用)

数字的整除特性 1．我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。 2．末位数字为零的整数必被10整除。这种数总可表为10k（其中k为整数）。 3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。 4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。 5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。如判断765432是否能被8整除。因为765432＝765000＋432 显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432＝8×54，即432能被8整除，所以765432能8被整除。能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375； 125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750； 125×7＝875；125×8＝10000 故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625，750， 875。 6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。如478323是否能被3（9）整除？由于478323＝4×100000＋7×10000＋8×1000＋3×100＋2×10＋3 ＝4×（99999＋1）＋7（9999＋1）＋8×（999＋1）＋3×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝（4×99999＋7×9999＋8×999＋3×99＋2×9）＋（4＋7＋8＋3＋2＋3）前一括号里的各项都是3（9）的倍数，因此，判断478323是否能被3（9）整除，只要考察第二括号的各数之和（4＋7＋8＋3＋2＋3）能否被3（9）整除。而第二括号内各数之和，恰好是原数478323各个数位上数字之和。 ∵4＋7＋8＋3＋2＋3＝27是3（9）的倍数，故知478323是3（9）的倍数。在实际考察4＋7＋8＋3＋2＋3是否被3（9）整除时，总可将3（9）的倍数划掉不予考虑。即考虑被3整除时，划去7、2、3、3，只看4＋8，考虑被9整除时，由于7＋2＝9，故可直接划去7、2，只考虑4＋8＋3＋3即可。如考察9876543被9除时是否整除，可以只考察数字和（9＋8＋7＋6＋5＋4＋3）是否被9整除，还可划去9、5＋4、6＋3，即只考察8 如问3是否整除9876543，则先可将9、6、3划去，再考虑其他数位上数字之和。由于3整除（8＋7＋5＋4），故有3整除9876543。实际上，一个整数各个数位上数字之和被3（9）除所得的余数，就是这个整数被3（9）除所得的余数。 7．一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数。（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位。）如判断42559能否被11整除。 42559＝4×10000＋2×1000＋5×100＋5×10＋9 ＝4×（9999＋1）＋2×（1001－1）＋5（99＋1）＋5×（11－1）＋9 ＝（4×9999＋2×1001＋5×99＋5×11）＋（4－2＋5－5＋9）＝11×（4×909＋2×91＋5×9＋5）＋（4－2＋5－5＋9）前一部分显然是11的倍数。因此判断42559是否11的倍数只要看后一部分4－2＋5－5＋9是否为11的倍数。

能被某数整除的数的特征

能被某数整除的数的特征 1.能被2（4、8）或5（25、125）整除的数的特征: 未位上的数字所表示的数能被2或5整除，这个数的末位数能被2或5整除。（未位数是0、2、4、6、8的数能被2整除；未位数是0、5的数能被5整除）未两位数字所表示的数能被4或25整除，这个数能被4或25整除；未两位数能被25整除是00、25、50、75。未三位数字所表示的数能被8或125整除，这个数能被8或125整除； 2.能被3或9整除的数的特征：这个数的各个数位上的数字之和能被3或9整除，这个数能被3或9整除。 3.能被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位上的数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数能被7、11、13整除。例如：701239 末三位：239 末三位之前的数为701 701-239=462 462÷7=66 701239能被7整除

462÷11=42 701239能被11整除 462÷13=35……7 701239不能被13整除例如：642213 末三位：213 末三位之前的数为642 642-213=429 429÷7=61……2 701239不能被7整除 429÷11=39 701239能被11整除 429÷13=33 701239能被13整除例如：642213 末三位：213 末三位之前的数为642 642-213=429 429÷7=61……2 701239不能被7整除 429÷11=39 701239能被11整除 429÷13=33 701239能被13整除例如：694378906 末三位：906 末三位之前的数为694378 694378-906=693472 太大了，不能直接看出被7、11、13整除，继续运用此方法检查：末三位：472 末三位之前的数为693 693-472=221 221÷7=31……4 694378906不能被13整除 221÷11=20……1 694378906不能被11整除 221÷13=33 694378906能被13整除个位数字以前的数字按顺序组成的数字与个位数字的2倍之差（大减

数的整除特征

数的整除特征 1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。 2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。 3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。 4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9 或3整除。 5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。 6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位数。问：这样的三位数有几个？

【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了6 问：每本词典多少钱？【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。【例5】要使27A3B 一一一一一一这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？

数的整除专项练习： 1、五位数6A25B 一一一一一一一一的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五位数共有几个？ 2、在内填上合适的数使七位数能被72整除。 3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。 4能被11整除，求这个六位数。

整除的特征

（1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除

特殊数的整除特征

特殊数的整除特征几个重要的整除特征：（1）能被2整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被2整除，这个数就能被2整除。（2）能被3整除的数的特征；一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。（3）能被4整除的数的特征：一个整数的十位和个位所组成的数能被4整除，这个数就能被4整除。（4）能被5整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被5整除，这个数就能被5整除。（5）能被7整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被7整除，这个数就能被7整除。（6）能被8整除的数的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的数能被8整除，这个数就能被8整除。（7）能被9整除的数的特征；一个数的各位上的数的和能被9整除，这个数就能被9整除。（8）能被11整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被11整除，这个数就能被11整除；或者一个数的奇数位上数字的和与偶数位上的数字和的差能被11整除，这个数就能被11整除。（9）能被13整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被13整除，这个数就能被13整除。（10）能被25整除的数的特征：一个整数的十位和个位所组成的数能被25整除，这个数就能被25整除。（11）能被125整除的数的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的数能被125整除，这个数就能被125整除。例1、在□内填上适当的数，使五位数29□7□能被4整除，也能被3整除。练习：1、在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。这个六位数最小是多少？ 2、有一个四位数3AA1，它能被9整除。A代表的数字是几？ 3、在□内填上合适的数，使六位数8□12□能被125整除，也能被9整除。例2、有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除。它们的前四位都是9876，而末位数字不同。求这两个五位数的和。练习：4、一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足条件的最小的自然数。 5、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？例3、在□内填上合适的数，使五位数2□10□能被72整除。练习：6、七位数22A333A能被4整除，且它的末两位3A是6的倍数，那么A=（）。

能被整除的数的特征

数学】能被 2 、3 、4、 5 、7 、8 、9 、1 1 、1 3 、1 7 、1 9 、2 5 、1 2 5 整除的数的特征能被 2 整除的数的特征: 个位上是偶数，能被 3 或9 整除的数的特征: 所有位数的和是 3 或9 的倍数（例如：315 能被 3 整除，因为3+1+5=9 是 3 的倍感）能被 4 或25 整除的数的特征：如果一个数的末两位数能被 4 或25 整除，那么，这个数就一定能被 4 或25 整除．例如：4675 ＝46×100 ＋75 由于100 能被25 整除，100 的倍数也一定能被25 整除，4600 与75 均能被25 整除，它们的和也必然能被25 整除．因此，一个数只要末两位数能被25 整除，这个数就一定能被25 整除．又如：832 ＝8×100＋32 由于100 能被 4 整除，100 的倍数也一定能被 4 整除，8 00 与32 均能被 4 整除，它们的和也必然能被 4 整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被 4 整除，这个数就一定能被 4 整除．能被 5 整除的数的特征：个位上的数为0 或5，

能被6整除的数的特征：既能被2整除也能被 3 整除能被7 整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7 的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。这种方法叫“割减法”．此法还可简化为：从一个数减去7的10 倍、20 倍、30 倍、⋯⋯到余下一个100 以内的数为止，如果余数能被7整除，那么，这个数就能被7 整除．能被8 或125 整除的数的特征：如果一个数的末三位数能被8 或125 整除，那么，这个数就一定能被8 或125 整除．例如：9864 ＝9×1000+864 72375 ＝72 ×1000+375 由于8与125相乘的积是1000，1000能被8或125整除，那么，1000 的倍数也必然能被8或125 整除．因此，如果一个数末三位数能被8或125整除，这个数就一定能被8或125 整除．

7、11、13整除判定法则

7、11、13的整除判定法则华图教育邹维丽在公务员考试数学运算这部分中，不少题目通过适当运用数的整除性质就可快速选出答案，这就要求考生对数的整除判断法则要熟练掌握。下面我们先给出一些特殊数的整除判定基本法则：一、能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或5）除得的余数，就是其末位数字被2（或5）除得的余数一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数二、能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。三、能被7 整除的数的数字特性

能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。四、能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。五、能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。从上述表述中，我们发现7、11、13有一个相同的整除判断法则，就是判断其末三位与剩下的数之差，那么，为什么7、11、13有相同的整除判断法则呢？事实上，这一规律源自经典分解1001=7×11×13。下面我们利用1001=7×11×13来证明能被7整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7整除。设abcd为超过三位的数，其中b, c, d分别为百位数、十位数、个位数，则 abcd a bcd =+， 1000 为了凑出1001，我们将1000a写成1001a a-，于是我们有 =+=-+=+- 100010011001() abcd a bcd a a bcd a bcd a 因为1001能被7整除，所以，若bcd a-能被7 整除，则上式右边能被7整除，

能被特殊数整除的特征

能被特殊数整除的特征能被特殊数整除的特征 1、能被2整除的数的特征。如果一个数能被2整除，那么这个数末尾上的数为偶数，“0”、“2”、“4”、“6”、“8”。 2、能被3整除的数的特征。如果一个数能被3整除，那么这个数所有数位上数字的和是3的倍数。例如: 225能被3整除，因为2+2+5=9,9是3的倍数，所以225能被3整除。 3、能被4整除的数的特征。如果一个数的末尾两位能被4整除，这个数就能被4整除。例如:15692512能不能被4整除呢,因为15692512的末尾两位12，能被4整除，所以15692512能被4整除。 4、能被5整除的数的特征。若一个数的末尾是0或5则这个数能被5整除。 5、能被7 整除的数的特征。方法一: 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是 7 的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否是7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否是7 的倍数的过程如下:13,3×2,7，所以133是7的倍数;

又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613,9×2,595 ，59,5×2,49，所以6139 是7的倍数，以此类推。方法二: 如果一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差，是7的倍数，那么这个数就能被7整除。例如:280678末三位数是678，末三位以前数字所组成的数是280,679-280=399,399能被7整除，因此280679也能被7整除。方法三: 首位缩小法，减少7的倍数。例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。可对32669继续，32669-28000=4669,4669-4200=469,469- 420=49,49当然被7整除所以452669能被7整除。 6、能被8 整除的数的特征。若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 7、能被9整除的数的特征。若一个数的数位上的数字的和能被9整除，则这个整数能被9整除。例如:111111111能不能被9整除呢,因为1+1+1+1+1+1+1+1+1=9,9是9的倍数，所以111111111能被9整除。 8、能被11 整除的数的特征。方法一: 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和(从右往左数)的差能被11整除，则这个数能被11整除。例如，判断491678能不能被11整除。奇位数字之和