数的整除特征
数的整除特征
1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。
2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。
3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。
4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9
或3整除。
5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。
6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。
【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一
能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？
【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位 数。问：这样的三位数有几个？
【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了6 问：每本词典多少钱？
【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。
【例5】要使27A3B 一一一一一一
这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？
【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？
数的整除专项练习：
1、五位数6A25B 一一一一一一一一
的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五位数共有几个？
2、在
内填上合适的数使七位数
能被72整除。
3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。
4能被11整除，求这个六位数。
5、能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几？
6、一个六位数37A46B 一一一一一一一一
是99的倍数，求这个数除以33的商。
7、在15整除？填上什么数字就能被45整除？填上什么数字就能被21整除？
8、四年级有72名学生，共交5内的数字模糊不清）。平均每人交多少钱？
9、四位数 能被2和3中应填（ ）。
10、在下列各数中，能被3整除，又能被11整除的是（ ）。 1001 2375 1155 3772 1515 8415
11、在里填上适当的数字，使这个数能同时被2、5、9整除。
12、一个数能被11整除，首位数字是7，其余各位数字各不相同的最小六位数是什么？
13能被33整除，那么这个六位数是多少？
14、能同时被9、25、8整除的7 ，这个七位数是多少？
15、五位数2A89B 一一一一一一一
能同时被4和9整除，求这样的五位数。
16、自然数1—100中，共有多少个不能被3或11整除的数？
17、判断306741， 3287690 能否被7整除，能否被13整除？
18、五（1）班数学测验平均分90分，总分A86B 一一一一一一
。问这个班多少名同学？
19、七位数72AAABB 是6的倍数，问，这样的七位数有几个？
20、在1—100这100个自然数中，不能被2整除，或者不能被3整除，不能被5整除的数有几个？
质数与合数，分解质因数
1、质数:只能被1或它本身整除的自然数。
合数：除了能被1和它本身整除外还能被其他一些自然数整除的数。
2、质数除了2以外，其余的全都是奇数。
3、100以内质数顺口溜：二、三、五、七、一十一，
一三、一九、一十七，
二三、二九、三十七，
三一、四一、四十七，
四三、五三、五十九，
六一、七一，六十七，
七三、八三，八十九，
还有七九，九十七。
【例1】A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数，求A。
【例2】有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是143，如果它的长、宽、高都是质数。那么这个长方体的体积是多少？
【例3】有4名同学参加数学夏令营，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，而他们年龄的乘积是17160.他们分别是多少岁？
【例4】写出从小到大的五个质数，要求后面的质数都比它前面一个质数大12。
【例5】（1）如果两个质数的和是1999，那么这两个质数的积是多少？
（2）如果三个质数和是130，那么这三个质数的积最大是多少？
【例6】小瑜同学参加高年级数学竞赛，她的成绩、名次及年龄的乘积是3492。问：小瑜的年龄、名次、成绩各是多少？
分解质因数专项练习：
1、写出50以内5个连续自然数，要求每个数都是合数。
2、把一个一位数的质数A，写在另一个两位数质数B的后面，得到一个新的三位数，这个三位数是A的119倍，求A和B。
3、一个整数a 与720相乘是一个完全平方数，求a的最小值。
4、有五位同学的年龄恰好一个比一个大一岁，五个人的年龄乘积是95040。问：这五个同学的年龄各是多少？
5、一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100，求这两个质数的积是多少？
6、岸上有867名学生，准备乘船到对岸，来了一批小船，每船载人数相等，3次往返把学生全部运到对岸。有多少只船？每船每次载多少人？
7、用2,3,4,5中的3个数码能组成的三位质数是（）。
8、已知M×N+5=ᵡ，其中M,N,为质数，而且都小于1000，ᵡ为奇数，问ᵡ最大是多少？
9、3个质数的和是能被2、3整除的最小三位数，这3个质数的积最小是多少？最大是多少？
10、长方体的体积是2100立方厘米，它的高是10厘米，长和宽都大于高。求长方体的长和宽各是多少？
11、一个长方体，它的正面和上面面积之和是299平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
奇偶数分析：
1、能被2整除的自然数叫偶数，不能被2整除的自然数叫奇数。依据因数、被除数、除数的奇偶性可判断积、商的奇偶性；依据加数、被减数、减数的奇偶性可判断和、差的奇偶性。
2、奇、偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数;奇数±偶数=奇数；奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数；奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数；任意个偶数和是偶数；奇数的连乘积是奇数；因数中有一个偶数，积是偶数。
【例1】1+2+3+…+1997的和是奇数还是偶数
【例2】有一本180页的故事书，从中任意撕下40张纸，这40张纸的所有页码之和能否等于2009？请说明理由。
【例3】某次数学竞赛，试卷共有30道题，评分方法是：答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分。问：某班参加数学竞赛同学的总分是奇数还是偶数？
【例4】有11只杯口向上的杯子放在桌上，每次将其中8只杯同时翻转，使其杯口向下，能否经过若干次翻动后，11只杯口全部向下？
【例5】幼儿园有25名小朋友，坐成5行5列。每个座位的前后左右的位置叫做这个位置的邻座。如果想让每一个小朋友都换到邻座上去，能成功吗？为什么？
【例6】某展览馆共有36个陈列室，相邻两室之间都有门通行，有人希望每个展览馆只去一次，你能帮他设计参观路线吗？
奇偶数分析专项练习：
1、25人参加羽毛球比赛，能不能让每个队员都恰好与另5个球员各赛一场，为什么？
2、电影院小放映厅有50个观众，坐成10行5列。每个座位的前后左右的位置叫做这个位置的邻座。如果想让每一个观众都换到邻座上去，能成功吗？为什么？
3、从1—1995中，共有多少个奇数？多少个偶数？
4、（1+2+3+4+5+...+99+100）×（1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+...+11）的积是奇数还是偶数？
5、49个学生做游戏，每一次都有8个学生向后转。能不能经过若干次的向后转，使每个学生全部都转过身去？
6、五年级二班参加数学竞赛，试题共有50道。评分标准是：答对一题得3分，不答得1分，答错倒扣1分。问：请你说明这个班参加数学竞赛同学的总分一定是偶数。
7、能不能用8张1×3的长方形纸片完全盖住下面的图。
8、正方形的展厅如下图，共分16个展室，每个展室之间互通，你能不能设计一条路线，使参观的人不重复地走完全部展室？
整除的特征
整除的特征： 一个数能否被另一个数整除，要根据一定的规律来判断，所以要掌握一些特征。 （1）能被2 整除的数的特征：个位数是0、2、4、6、8的整数能被2整除。 例如：10、72、34、56、98都能被2整除。 （2）能被5整除的数的特征：个位数是0或5的整数能被5整除。 例如：180、315都能被5整除。 （3）能被3或9整除的数的特征：各个数位上数字的和是3或9的倍数的整数，能被3或9整除。 例如：5037各数位上的数的和是15，15是3的倍数，所以5037能被3整除。 4878各数位上的数的和是27，27是9的倍数，所以4878能被9整除。 能被9整除的数必然能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除。 一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同。 （4）能被4 和25整除的数的特征：末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。 例如：712末尾两倍数是12，12是4 的倍数，所以712
能被4整除。 975的末尾两倍数是75，75是25的倍数，所以975能被25整除。 如果一个数既能被4整除，又能被25整除，那么这个数一定是整百数。如700、2800都能同时被4 和25整除。（5）能被8和125整除的数的特征：末尾三位数是8或是125的倍数，能被8或25整除。 例如：2408的末尾三位数是408，408是8的倍数，所以2408能被8整除。 9250末尾三位数是250，因为250是125的倍数，所以9250能被125整除。 如果一个数既能被8整除，又能被125整除，那么这个数一定是整千数。如1000、3000、78000等。 （6）能被11整除的数的特征：如果一个数奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差是11的倍数，那么这个整数就能被11整除。 例如：189354奇数位上的数之和是1+9+5=15，偶数位的数之和是8+3+4=15，它们的差是15-15=0，因为0能被11整除，所以189354能被11整除。 （7）能被7整除的数的特征：把一个数的末尾数割去，从留下的数中减去所割数的2倍，这样继续下去，如果最后的结果是7的倍数，那么原来这个数就能被7整除。
数的整除特征
数的整除特征 一、整除特征------尾数分析法 1、尾数分析法判断整除性 （1）一个数的末一位能被2或者说整除，这个数就能被2或5整除。 （2）一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。 （3）一个数的末三位数能被8或者125整除，这个数就能被8或是25整除。 2、被25或125整除的数的特点 （1）被25整除的数必须是以25、75、00结尾的数 （2）被125整除的数必须是以125、250、375、500、625、750、875、000结尾的数。 二、整除特征-----数位和分析法 1、数位和分析法判断整除性 （1）一个数各个数位上的数字和能被3整除，这个数能被3整除。 （2）一个数各个数位上的数字和能被9整除，这个数就能被9整除. 2、数位和分析法原理 数位和分析法同样是根据位值原理推导出来的， 举例：1234=1×1000+2×100+3×10+4×1 =1×（999+1）+2×（99+1）+3（9+1）+4×1 =1×999+2×99+3×9+（1+2+3+4） 其中999、99、9都能被3或9整除，所以只需要看1234的各位数字和1+2+3+4能否被3或9整除即可，用这种方法同样能求出1234除以3或9的余数。 3、弃9法 “弃九法”也叫做弃九验算法，利用这种方法可以验算加、减、乘计算的结果是否错误，把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原来数的弃九数。 三、整除特征---数位差分析法 1、 11的整除特征： 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。 2、 7、11、13的整除特征 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11、或者3整除，那么这个数能被7、11、或者3整除。
能被整除的数的特征
能被整除的数的特征 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征 能被2整除的数的特征是个位上是偶数， 能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数） 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 能被5整除的数个位上的数为0或5， 能被7整除的数的特征 若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数 能被11整除的数的特征 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。 例如：判断491678能不能被11整除。 奇位数字的和9+6+8=23 偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。 能被13整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 如：判断1284322能不能被13整除。 128432+2×4=128440 12844+0×4=12844 1284+4×4=1300 1300÷13=100 所以，1284322能被13整除。 【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。】例1：判断1059282是否是7的倍数 例2：判断3546725能否被13整除 能被17整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 例如：判断1675282能不能被17整除。 167528-2×5=167518 16751-8×5=16711
数的整除特征
数的整除特征 1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。 2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。 3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。 4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9 或3整除。 5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。 6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。 【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一 能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？ 【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位 数。问：这样的三位数有几个？ 【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了 问：每本词典多少钱？
【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。 【例5】要使27A3B 一一一一一一 这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？ 【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？ 数的整除专项练习： 1、五位数6A25B 一一一一一一一一 的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五位
数共有几个？ 2、在 内填上合适的数使七位数 能被72 整除。 3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。 4能被11整除，求这个六位数。 5、能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几？
整除的特征
整除的特征 数的乘除特征： 1．个位数是偶数的数能被2整除； 2．个位数是0或5的数能被5整除； 3．末两位数能被4(或25)整除的数能被4(或25)整除； 4．末三位数能被8(或125)整除的数能被8(或125)整除； 5．能被6整除的数只需满足能被2，3整除。 6．各位数字之和能被3(或9)整除的数能被3(或9)整除； 7．奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除的数能被11整除； 8．末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差(大数减小数) 能被7(或11或13)整除的数能被7(或11或13)整 例题 1、有72名学生，共捐款b a 7.52，平均每人捐了多少元？ 2、一个数，它是15的倍数，且各位数字只有8和5两种，当这个数最小它是15的几倍？ 3、已知整数a a a a a 54321能被11整除，求所有满足这个条件的整数。 4、超市里有6箱货物，分别重16、19、20、1 5、18、31千克，两顾客买了其中5箱货物，其中一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍，超市里剩下的那箱货物是多少千克？ 练习： 1、有一个四位数24aa ，它能被9整除，请问a 代表什么数字？ 2、一个正整数，它与13的和为5的倍数，与13的差是3的倍数，那么这个数最小是多少？ 3、012005 (200520052005) 个n 能被11整除，那么n 最小值是多少？ 4、七箱油分别是汽油、柴油、机油，它们容量分别是12升、13升、16升、17升、22升、27升和32升。现在知道汽油有一桶，而柴油的总量分别是机油的3倍，但是不哪箱是什么油。请你判断每只油桶里装的各是什么油？ 5、在六位数3□2□1□的三个方框里分别填入数字，是得到的数能被15整除，这样的六位数中最小的是多少？
数的整除特征
数的整除特征 1、能被2整除的数：个位数字是0、 2、4、6、8的整数。（个位数包括0在内的偶数。） 2、能被5整除的数：个位是0或者5. 3、能被3（或9）整除的数：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 4、能被4（或25）整除的数：末两位数能被4（或25）整除。 5、能被8（或125）整除的数：末三位数能被8（或125）整除。 例1：判断65000能否被8整除？因为0除以8商0，所以65000能被8整除。 判断65250能否被8整除？因为250除以8商31余2.所以65250不能被8整除。 判断65250能否被125整除？因为250除以125商2.所以65250能被125整除。 6、能被11整除的数：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大的减小的）是11的倍数。 例1：判断4468798712322能否被11整除？ 这个数的奇数位上的数字之和是：2+3+1+8+7+6+4=31 这个数的偶数位上的数字之和是：2+2+7+9+8+4=32 两者的差：32-31=1，1不能被11整除。所以这个数不能被11整除。 例2：判断502468934能否被11整除？ 这个数的奇数位上的数字之和是：4+9+6+2+5=26 这个数的偶数位上的数字之和是：3+8+4+0=15 两者的差：26-15=11，11能被11整除。所以这个数能被11整除。 7、能被7（11或13）整除的数：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（11或13）整除的。 例1：判断446879能否被7整除？ 这个数的末三位数组成的数是：879。 这个数末三位以前的数字所组成的数：446。 两者的差：879-446=443，443除以7余2，不能被7整除。所以这个数不能被7整除。 例2：判断319746能否被7整除？ 这个数的末三位数组成的数是：746。 这个数末三位以前的数字所组成的数：319。 两者的差：746-319=427，427除以7等61。能整除，所以这个数能被7整除。
数的整除的特征归类
数的整除的特征归类 --蒋睿宇学习资料 在小学阶段，数的整除的特征无非就是以下几种形式： 第一类：看被整除的这个数的末一位。（也就是这个数的个位）。这主要是，判断能否被2和5 整除的数的特征。 其特征是： （1）能被2整除的数，个位上的数字一定是0、2、4、6、8。 例如：12、24、36、28、50 （2）能被5整除的数，个位上的数字一定是0和5。 例如：20、45 第二类：看被整除的这个数的末两位。（也就是这个数的个位和十位）这是判断能否被4和25整除的数的特征。 其特征是：末两位数能被4和25整除的数，一定能被4和25整除。 例如：1320÷4=440 （20÷4=5） 750÷25=30（50÷25=2）第三类：看被整除的这个数的末三位。（也就是这个数的个位和十位以及百位）这是判断能否被8和125整除的数的特征。 例如：789160÷8=98645（160÷8=20） 456375÷125=3651（375÷125=3） 第四类：看被整除的数的末三位数字，组成的数与末三位数前面的数字组成的数之间的差，（大数减小数）能否被7、11、13整除，它们之间的差能被7、11、13整除，则这个数就能被7、11、13整除。 例如：789803（803-789=14,14÷7=2） 584628（628-584=44,44÷11=4） 26299（299-26=273,273÷13=21） 第五类：看被整除的这个数的各个数位上的数字相加的和能否被
3和9整除，如果它们相加的和能被3和9整除，则这个数就能被3和9整除。这是判断能否被3和9整除的数的特征。 例如：12345678（1+2+3+4+5+6+7+8=36,36÷3=12,36÷9=4）
整除特性
数的整除检定 1.被2整除特点：偶数； 2.被3整除特点：每位数字相加的和是3的倍数; 3.被4整除特点：末两位是4的倍数； 4.被5整除特点：末位数字是0或5； 5.被6整除特点：能同时被2和3整除; 6.被8整除特点：末三位是8的倍数； 7.被9整除特点：每位数字相加的和是9的倍数； 8.被11整除特点：奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间 的差是11的倍数； 9.被25整除特点：末两位数是25的倍数； 10.被7、11、13整除的特点：多位数的末三位与前面数字之差能否 被7、11、13整除。 数的整除性质 1.如果数a能被c整除，数b也能被c整除，那么它们的和（a+b） 也能被c整除。 2.几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，则这几个 数的积也能被这个数整除。 3.数a能被数b整除，数a也能被数c整除，如果b、c互质，那么 数a能被数b与c的积（bc）整除。
余数和同余 余数特性 被除数（A）÷除数（B）=商（C）……余数（D），其中，余数总是小于除数，即： 0≤余数（D）<除数（B）。 同余及其性质 两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b(mod m)。 也就是说，如果a，b除以m的余数相同，就称a，b对于除数m 来说是同余的，且有a与b的差能被m整除。（a，b，m均为自然数）1.两个数和的余数，同余与余数的和；两个数差的余数，同余与余 数的差；两个数积的余数，同余与余数的积。 2.同余的重要性质 同余的可传递性：若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m)； 同余的反身性：a≡a(mod m)(a为任意自然数)； 同余的对称性：若a≡b(mod m),则b≡a(mod m)； 同余的可乘性: 若a≡b(mod m)，则ac≡bc(mod m)； 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m),则ac≡bd(mod m)。 同余的乘方性：若a≡b(mod m)，则a n≡b n(mod m)。 注意：一般地，同余没有“可除性”，但是： 如果：ac≡bc(mod m)且（c,m）=1,则a≡b(mod m)。
整除的特征
（1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 （6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 （7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！ （12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 （13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 （17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 （18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除.
常见数的整除特征
常见数的整除特征 1.偶数的特征：偶数是可以被2整除的数。任何一个偶数都可以表示为2n（n为整数），所以偶数除以2的余数必为0。 2.能被5整除的特征：一个数能被5整除的条件是它的个位数字为0或5、例如，10、25、45等。 3.能被10整除的特征：一个数能被10整除的条件是它的个位数字为0。例如，30、80、120等。 4.能被2和5同时整除的特征：一个数能同时被2和5整除的条件是它的个位数字为0、2、4、6或8、例如，40、60、100等。 5.能被3整除的特征：一个数能被3整除的条件是它的各位数字之和能被3整除。例如，36（3+6=9，9能被3整除），258（2+5+8=15，15能被3整除）等。 6.能被9整除的特征：一个数能被9整除的条件是它的各位数字之和能被9整除。例如，99（9+9=18，18能被9整除），891（8+9+1=18，18能被9整除）等。 7.能被4整除的特征：一个数能被4整除的条件是它的末尾两位数能被4整除。例如，116（16能被4整除），528（28能被4整除）等。 8.能被8整除的特征：一个数能被8整除的条件是它的末尾三位数能被8整除。例如，216（216能被8整除），1152（152能被8整除）等。 9.能被6整除的特征：一个数能被6整除的条件是它能同时被2和3整除。根据特征1和特征5，一个数能被6整除的条件是它是一个偶数且各位数字之和能被3整除。
10.质数的特征：质数是只能被1和自身整除的数。特征1中提到的偶数和特征2中提到的能被5整除的数不是质数。 11.完全平方数的特征：完全平方数是能被一个自然数的平方整除的数。例如，1、4、9、16等。一个数是否是完全平方数可以通过求平方根并判断是否是整数来确定。 总结起来，常见数的整除特征包括偶数、能被2和5同时整除的数、能被3和9整除的数、特定位数（个位、末尾两位、末尾三位）能被4和8整除的数、能被6整除的数、质数和完全平方数。通过了解这些特征，我们可以更快地判断一个数是否能被其他数整除。
数的整除特征
数的整除特征 几个重要的整除特征： （1）能被2或5整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被2或5整除，这个数就能被2或5整除。（2）能被4或25整除的数的特征：一个整数的十位和个位所组成的数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。 （3）能被8或125整除的数的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。 （4）能被3或9整除的数的特征；一个数的各位上的数的和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。（5）能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上数字的和与偶数位上的数字和的差能被11整除，这个数就能被11整除。 （6）能被7、11或13整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三位数外所有数字组成的数的差能被7、11或13整除，这个数就能被7、11或13整除。 例1、在□内填上适当的数，使五位数29□7□能被4整除，也能被3整除。 练习：1、在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。这个六位数最小是多少？ 2、有一个四位数3AA1，它能被9整除。A代表的数字是几？ 3、在□内填上合适的数，使六位数8□12□能被125整除，也能被9整除。 例2、有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除。它们的前四位都是9876，而末位数字不同。求这两个五位数的和。 练习：4、一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足条件的最小的自然数。 5、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？ 例3、在□内填上合适的数，使五位数2□10□能被72整除。 练习：6、七位数22A333A能被4整除，且它的末两位3A是6的倍数，那么A=（）。 7、已知87654321□□这个十位数能被36整除，那么，这个数个位上的数最小是几？ 8、一个六位数12□34□是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？ 例4、某校六年级共有学生72人，每人买了一本语文课外读物和一本数学课外读物。已知两本书的单价不同，但是语文课外读物和数学课外读物的总价都在200元与300元之间，且元位上的数都是8，角位上的数都是4。问：每个学生为购买这两本书付了多少钱？ 例5、某校有13个兴趣小组，各组的人数如下表： 一天下午，学校同时举办语文和数学两个讲座，已知有12个小组去听讲座，其中听语文讲座的人数是听数
数的整除特征
数的整除特征
数的整除性质主要有： （1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 （3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。 （4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。 （5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。 （6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。 （7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。 （8）个位上是0或者5的数都能被5整除。 （9）若一个整数各位数字之和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。 （10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （13）一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除,只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小） 能否被7（11或13）整除 （14）末位数字为零的整数必能被10整除 （15）另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数,那么这个整数也是11的倍数.（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位,十位、千位、百万位……称为偶数位.） （16）至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可：各位数之和能被3整除的偶数能被6整除；各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两 位数能被4整除的整数能被12整除。