数的整除特征及应用
数的整除特征及应用
数的整除特征及应用(一)
姓名：
一、知识要点：
1．能被2、5、3、9整除的数的特征：
2．能被4或25整除的特征：如果一个数的末两位能被4或25整除，那么这个数一定能被4或25整除。如：4/3512 25/3725 3．能被8或125整除的数的特征：如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么这个数就一定能被8或125整除。如：8/5816 125/83750
4．能被11整除的数的特征：如果一个数的奇位数字之和与偶位数字之和相减所得的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就一定能被11整除。如：11/3861 11/90970022
5．能被7、11、13整除的数的特征：如果一个数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被7、11、13整除，那么这个数就可以被7、11、13整除。如：123123能分别被7、11、13整除，123149能被13整除，167123能被11整除
二、整除的性质
1．若则b/a, c/b,则：c/a, 如： 9/54,3/9,3/54
2．若则b/a, c/b,则c/(a+b),如：4/24,4/12,4/(24+12)
3．若则b/a,则b/(a×b),如：7/14,7/(14×3)
三、例题：
3AA它能被9整除，这个A代表多少？
1．有一个四位数1
2．能同时被2、3、5整除的三位数中最小的是多少？
3．四位数44整除，这个四位数是多少？
4．36整除，求满足条件的所有六位数。
5．已知4、5、9整除，如果要使这个七位数尽可能小，那么这568，分别能被3、4、5整除，这个六位数最小、最大分别是多少？
a679能被72整除，求符合条件的最小数是几？
7．已知b
8．求各位数字都是7，并且能被63整除的最小自然数是多少？
9．个位数是6，且能被3整除的五位数共有多少个？
10．用1、2、3、4能组成多少个没有重复数字的四位数，它们分别能被11整除？
11．如果六位数33整除，那么这个数是多少？
12．把144分成三个数，使这三个数能分别被2、3、7整除，并且所得的商相等，那么这三个数是，，。
13．用1—6这六个数字组成一个六位数abcdef，是6的倍数，这个六位数的前两位是2的倍数，前三位是3的倍数，前四位是4的倍数，前五位数是5的倍数，这个六位数是多少？
14．将数字1、2、3、……、8、9以任意的顺序填入下面一排数字的空位上，
8 396 9 55 383 23 28 0 7 36，这个多位数能被哪些两位数整除？（12，18，36）
四、练习题
1．能同时被2、3、5、7整除的四位数最小是多少？
2．1803X6是一个六位数，当X是数字或时，这个数能被12整除。
3．能被3、4、5整除的最小三位数是。
4．有五张卡片，上面分别写着数字0、、1、5、7、8，从中间任意取出3张卡片组成三位数，其中能被3整除的共有多少个？
5．有一个六位数能被11整除，这个六位数的首位数字是7，其余的各位数字都不相同，这个六位数最小是多少？
130861是12的倍数，那么A是几？
6．如果自然数A
7．六位数72整除，这个六位数是。
81919能被66整除，这个六位数是多少？
9．33整除，这样的六位数最大是。
10．期末考试中，五年级（2）班的数学平均分是90分，这个班有学生？
11．写出由0、1、2、3、4、6六个不同数字组成的能被22整除的最大六位数。
12．若M23456N能被165整除，则M等于多少？
13．已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且的的各个数位上的数字只有0和8两种。问：A最小是多少？
14．在451的后面补上三个数字，组成一个六位数，使得这个六位数能被783整除。
数的整除特征
数的整除特征 1)被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。 2)被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3)被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4)被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。 5)被7整除 第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 6)被11整除 第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。第二种方法：奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 第三种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7)被13整除 第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。 8)被10整除：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）。 9)被12整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 10)被17整除 第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 11)被19整除 第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 12)被23整除：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。 13)被99整除：从个位开始，两位一截，各段求和，看和能否能被99整除。 14)被999整除：从个位开始，三位一截，各段求和，看和能否能被999整除。
数的整除特征以及应用
2014年12月28日 数的整除特征以及应用 第一部分：课前检测 一、巧算 1. 6×127+71×2×3+12 2. 8×（25+125）×32 二、应用题 1.一本百科全书中数字0出现了180次。问：这本百科全书至少有多少页？ 2.鸡兔同笼共有200个头，鸡的腿数比兔的腿数少56只。问：鸡兔各几只？ 3.小军在计算两位数乘两位数时,把一个因数十位上的6错写成9,结果得2772,这道题的正确积应 是1932。问：这两个两位数各是多少？ 4.某厂生产一批零件，如果每天生产1800个，将比原计划多用2天；如果每天多生产600个，将 比原计划提前一天完成。现在要求按计划生产完，那么每天应完成多少个？ 5.今年阿姨的年龄是侄女的4倍，再过10年，阿姨的年龄就是侄女的2倍。问：明年阿姨多少岁？ 6.幼儿园买来的苹果的个数是菠萝的5倍，吃掉10个菠萝和10个苹果后，剩下苹果个数正好是 菠萝的10倍。问：原来买来苹果和菠萝各多少个？ 第二部分：数的整除特征以及应用
数的整除性质技巧 一、整除的基本法则 （一）能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性 能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除； 能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除； 能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除； （二）能被3、9 整除的数的数字特性 能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。 （三）能被7 整除的数的数字特性 能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。 能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。 （四）能被11 整除的数的数字特性 能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。 能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。 （五）能被13 整除的数的数字特性 能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。 判断下面各数中，哪些是9的倍数。 123453 245689 5617 4950 3825814527 判断下面各数能否被11整除。 4653 10714 22814 578543 判断：在215292、7534534、1076985、333333四个数中，能被7整除的数有（）；能被11整除的数有（）。能被13整除的数有（） 二、典型例解 典型例解1：有72位同学，向灾区共损款a527.b元，平均每人捐了多少元？ 练一练： 一个四位数9AA9，它能被9整除，A是多少？ 典型例解2：一个数，它是15的倍数，且各位数字只有5和8两种，当这个数最小时，它是15的几倍？
数的整除特征及应用
数的整除特征及应用 数的整除特征及应用(一) 姓名： 一、知识要点： 1．能被2、5、3、9整除的数的特征： 2．能被4或25整除的特征：如果一个数的末两位能被4或25整除，那么这个数一定能被4或25整除。如：4/3512 25/3725 3．能被8或125整除的数的特征：如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么这个数就一定能被8或125整除。如：8/5816 125/83750 4．能被11整除的数的特征：如果一个数的奇位数字之和与偶位数字之和相减所得的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就一定能被11整除。如：11/3861 11/90970022 5．能被7、11、13整除的数的特征：如果一个数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被7、11、13整除，那么这个数就可以被7、11、13整除。如：123123能分别被7、11、13整除，123149能被13整除，167123能被11整除 二、整除的性质 1．若则b/a, c/b,则：c/a, 如： 9/54,3/9,3/54 2．若则b/a, c/b,则c/(a+b),如：4/24,4/12,4/(24+12) 3．若则b/a,则b/(a×b),如：7/14,7/(14×3) 三、例题： 3AA它能被9整除，这个A代表多少？ 1．有一个四位数1 2．能同时被2、3、5整除的三位数中最小的是多少？ 3．四位数44整除，这个四位数是多少？ 4．36整除，求满足条件的所有六位数。 5．已知4、5、9整除，如果要使这个七位数尽可能小，那么这568，分别能被3、4、5整除，这个六位数最小、最大分别是多少？
数的整除特征及应用
数的整除特征及应用(一) 姓名： 一、知识要点： 1．能被2、5、3、9整除的数的特征： 2．能被4或25整除的特征：如果一个数的末两位能被4或25整除，那么这个数一定能被4或25整除。如：4/3512 25/3725 3．能被8或125整除的数的特征：如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么这个数就一定能被8或125整除。如：8/5816 125/83750 4．能被11整除的数的特征：如果一个数的奇位数字之和与偶位数字之和相减所得的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就一定能被11整除。如：11/3861 11/90970022 5．能被7、11、13整除的数的特征：如果一个数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被7、11、13整除，那么这个数就可以被7、11、13整除。如：123123能分别被7、11、13整除，123149能被13整除，167123能被11整除 二、整除的性质 1．若则b/a, c/b,则：c/a, 如： 9/54,3/9,3/54 2．若则b/a, c/b,则c/(a+b),如：4/24,4/12,4/(24+12) 3．若则b/a,则b/(a×b),如：7/14,7/(14×3) 三、例题： 3AA它能被9整除，这个A代表多少？ 1．有一个四位数1 2．能同时被2、3、5整除的三位数中最小的是多少？ 3．四位数44整除，这个四位数是多少？ 4．36整除，求满足条件的所有六位数。 5．已知4、5、9整除，如果要使这个七位数尽可能小，那么这568，分别能被3、4、5整除，这个六位数最小、最大分别是多少？ 6．一个六位数abc a679能被72整除，求符合条件的最小数是几？ 7．已知b 8．求各位数字都是7，并且能被63整除的最小自然数是多少？ 9．个位数是6，且能被3整除的五位数共有多少个？ 10．用1、2、3、4能组成多少个没有重复数字的四位数，它们分别能被11整除？ 11．如果六位数33整除，那么这个数是多少？ 12．把144分成三个数，使这三个数能分别被2、3、7整除，并且所得的商相等，那么这三个数是，，。 13．用1—6这六个数字组成一个六位数abcdef，是6的倍数，这个六位数的前两位是2的倍数，前三位是3的倍数，前四位是4的倍数，前五位数是5的倍数，这个六位数是多少？ 14．将数字1、2、3、……、8、9以任意的顺序填入下面一排数字的空位上， 8 396 9 55 383 23 28 0 7 36，这个多位数能被哪些两位数整除？（12，18，36） 四、练习题 1．能同时被2、3、5、7整除的四位数最小是多少？
数的整除性
&&&教育1对1辅导讲义 数的整除性 个性化学习问题解决 数的整除性的特点 教学内容 【基础知识】 数的整除性(一) 数的整除性质主要有: (1) 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 (2) 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整 除。 (3) 如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互 质的自然数的乘积整除。 (4) 如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数 中的一个。 (5) 几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。 灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。 例1在□里填上适当的数字，使得七位数□ 7358口□能分别被9, 25和8整除。 分析与解：分别由能被9, 25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为 9, 25，8两两互质，由整除的性质(3)知，七位数能被9 X 25X 8=1800整除，所以七位数的个 位，十位都是0;再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填 4。这个七位数是4735800。 例2由2000个1组成的数111 11能否被41和271这两个质数整除? 分析与解：因为41 X 271=11111所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。 按“ 1111T 把2000个1每五位分成一节，2000- 5=400，就有400节, 1111,1111,-■-1111. ■V. __________________________________ ____________________________________ > 400<11111 因为2000个1组成的数11, 11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根 据整除的性质(1)可知，由2000个1组成的数111, 11能被41和271整除。 例3现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘 积能被12整除? 分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12X 1=6X 2=3X 4。 教学目标 同步教学知识内容 五年级 教学重点 能被各个数整除的数的特点; 教学难点 能被各个数整除的数的特点; 课题名称
数的整除特征总结
数的整除特征总结 数的整除特征是指一个数能够被另外一个数整除时所具有的特征和规律。在数学中，整除是一种基本的整数关系，研究整除特征可以帮助我们 深入理解数学的基本概念和性质。本文将总结数的整除特征，以便读者更 好地理解和掌握整除的规律和应用。 1.一个数除以1等于它本身，这是整除的最基本特征。任何一个数都 能被1整除。 2.如果a能够被b整除，即a/b是一个整数，那么a被b整除的余数 为0。 3.如果a能够被b整除，即a/b是一个整数，那么a能够被b的因数 整除。换句话说，如果a能够被b整除，那么b的所有因数也能够整除a。 4.如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a能够被c整除。整 除具有传递性。 5.如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a能够被c的所有因 数整除。 6.如果一个数能够被2整除，那么这个数一定是偶数。偶数的特征是 最后一位数字为0、2、4、6或8 7.如果一个数能够被3整除，那么这个数的各位数字之和也能被3整除。 8.如果一个数能够被4整除，那么这个数的末尾两位组成的数能被4 整除。
9.如果一个数能够被5整除，那么这个数的最后一位数字一定是0或 5 10.如果一个数能够被6整除，那么这个数一定能被2和3同时整除。 11.如果一个数能够被8整除，那么这个数的末尾三位组成的数能被 8整除。 12.如果一个数能够被9整除，那么这个数的各位数字之和也能被9 整除。 13.如果一个数能够被10整除，那么这个数的末尾一定是0。 14.如果一个数能够被11整除，那么这个数的各位数字之差也能被 11整除。 15.如果一个数能够被12整除，那么这个数一定能被3和4同时整除。 这些整除特征是数学中的常见规律和性质，通过了解和应用这些特征，我们可以更快地判断一个数是否能够被另外一个数整除。同时，这些特征 也有助于我们解决问题和证明数学定理。 总结：数的整除特征是数学中的基本规律和性质，包括整除的基本定义、整除的性质、整除特征与数字的关系等。掌握和应用整除特征可以帮 助我们更好地理解数学的基本概念和性质，同时也有助于我们解决问题和 证明定理。
整除特性
公务员考试数学运算考点汇总：整除特性（一） 整除特性是公务员考试，考生必须掌握的一个知识点，这个知识看似简单，没有依托的题型，但是由于其灵活多变，隐藏在试题中间，所以掌握起来并不容易，不过当我们做题的题量达到一定程度的时候，就很容易的把握住里面的一些关键信息，找到整除的突破口，快速得到正确答案。 一、基本整除性质 一般地，如果a、b、c为整数，b≠0，且a/b=c，那么称a能被b整除（或者说b能整除a）。对于我们来说，通常会用到以下性质： （1）如果数a和数b能同时被数c整除，那么a±b也能被数c整除。 【例如】36/9=4，45/9=5，而36+45=81，且81/9=9；同时有45-36=9，且 9/9=1，所以和差均能被9整除。 （2）如果数a能同时被数b和数c整除，那么数a能被数b与数c的最小公倍数整除。 【例如】84/21=4，84/42=2，而21、42的最小公倍数是42，且有84/42=2。 【注】由于数a能同时被数b和数c整除，则数a的约数中必然包括数b和数c，那肯定数b和数c的最小公倍数必然小于等于数a。 （3）如果数a能被数b整除，c是任意整数，那么积ac也能被数b整除。 【例如】18/9=2，而36/9=（18×2）/9=2×2=4，也同样可以被9整除。 二、常用数字整除性质 （1）被2整除的数字的特性：末位数为0、2、4、6、8。 （2）被3（或9）整除的数字的特性：各位数字之和能被3（或9）整除。 （3）被4（或25）整除的数字的特性：末两位数字能被4（或25）整除。 （4）被8（或125）整除的数字的特性：末三位数字能被8（或125）整除。 （5）被5整除的数字的特性：末位数字是0或5。 （6）被7（或13）整除的数字的特性：末三位与末三位之前的数字之差能被7（或13）整除（对于位数较多的数字，可反复使用）。 （7）被11整除的数字的特性：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。 （8）被10n（n为正整数）整除的数字的特性：末n位数字为0。 （9）合数进行因数分解后得到的约数能整除该合数。 【例如】被28整除的数字，需同时被4和7整除。 （10）三个连续的自然数之和（积）能被3整除。 三、整除特性适用题型 （一）整除特性初阶应用
数的整除特征
数的整除特征 首先，我们来定义一下整除的概念。对于任意两个整数a和b，如果 存在一个整数k，使得a=k*b，那么我们称b整除a，记作b，a。其中， 整数k就是a除以b的商。例如，2整除8，可以表示为2，8，因为 8=2*4 有了整除的定义，我们就可以讨论整除的一些基本特征了。首先，任 何数都能被1整除。这是因为对于任意一个整数a，都存在一个整数k=1，使得a=k*a，即a，a。 其次，对于任意一个整数a，a除以a的商为1，即a=a*1、因此，任 何一个数都能被自身整除，即a，a。 接下来，我们来讨论一下整除特征中的一个重要性质，即整除的传递性。如果整数a能够被整数b整除，而整数b能够被整数c整除，那么整 数a也能够被整数c整除。这是因为如果有a=k*b和b=m*c，其中k和m 都是整数，那么可以将a表示为a=(k*m)*c，即a=k'*c（其中，k'=k*m），这样就证明了a能够被c整除，即a，c。 最大公约数在整数的整除特征中有很重要的应用。一个重要的结论是，如果整数a能够被整数b整除，那么a和b的最大公约数就是b。即，如 果a，b，则GCD(a,b)=b。这可以通过a=k*b和b=m*b，其中k和m都是 整数，来进行证明。因此，对于整除的判断可以使用最大公约数的概念来 简化。 最后，我们谈到了整除特征在分解因式和求解方程中的应用。通过观 察一个数的因子和倍数的关系，可以将一个数进行因式分解，找到它的素
数因子。而有一些数论定理也基于整除特征，如唯一分解定理，它指出每个大于1的整数都可以唯一地分解为素数的乘积。 在求解方程中，对于形如ax≡b (mod n)的同余方程，如果数x满足这个方程，那么a和n都能够整除(ax-b)。根据同余方程的性质，我们可以利用整除特征来求解方程。 总结一下，整除特征是研究整数之间整除关系的基本性质。它涉及到整除的定义、整除的传递性、最大公约数、最小公倍数以及整除在因式分解和求解方程中的应用等。对于数学研究和实际应用中，掌握整除特征是非常重要的基础知识。
整除的特征
（1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 （6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 （7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！ （12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 （13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 （17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 （18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除
数的整除特征
数的整除特征 1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。 2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。 3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。 4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9 或3整除。 5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。 6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。 [例1]七位数能被15整除，A与B 可以是哪些数字？ [例2]从0，4，9，5这四个数中任选三个排列成能同时被2，5，5 整除的三位数。问：这样的三位数有几个？
[例3]五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了6 问：每本词典多少钱？ [例4]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。 [例5]要使这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？ [例6]能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？ 数的整除专项练习：
1、五位数的A，B各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五位数共有几个？ 2 167 整除。 3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。 4能被11整除，求这个六位数。 5、能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几？
数字的整除特性(实用好用)
数字的整除特性 1．我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。 2．末位数字为零的整数必被10整除。这种数总可表为10k（其中k为整数）。 3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。 4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。 如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。 5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。 由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。 如判断765432是否能被8整除。 因为765432＝765000＋432 显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432＝8×54，即432能被8整除，所以765432能8被整除。能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。 由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375； 125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750； 125×7＝875；125×8＝10000 故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625，750， 875。 6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。 如478323是否能被3（9）整除？ 由于478323＝4×100000＋7×10000＋8×1000＋3×100＋2×10＋3 ＝4×（99999＋1）＋7（9999＋1）＋8×（999＋1）＋3×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝（4×99999＋7×9999＋8×999＋3×99＋2×9）＋（4＋7＋8＋3＋2＋3） 前一括号里的各项都是3（9）的倍数，因此，判断478323是否能被3（9）整除，只要考察第二括号的各数之和（4＋7＋8＋3＋2＋3）能否被3（9）整除。而第二括号内各数之和，恰好是原数478323各个数位上数字之和。 ∵4＋7＋8＋3＋2＋3＝27是3（9）的倍数，故知478323是3（9）的倍数。 在实际考察4＋7＋8＋3＋2＋3是否被3（9）整除时，总可将3（9）的倍数划掉不予考虑。 即考虑被3整除时，划去7、2、3、3，只看4＋8，考虑被9整除时，由于7＋2＝9，故可直接划去7、2，只考虑4＋8＋3＋3即可。 如考察9876543被9除时是否整除，可以只考察数字和（9＋8＋7＋6＋5＋4＋3）是否被9整除，还可划去9、5＋4、6＋3，即只考察8 如问3是否整除9876543，则先可将9、6、3划去，再考虑其他数位上数字之和。由于3整除（8＋7＋5＋4），故有3整除9876543。 实际上，一个整数各个数位上数字之和被3（9）除所得的余数，就是这个整数被3（9）除所得的余数。 7．一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数。（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位。） 如判断42559能否被11整除。 42559＝4×10000＋2×1000＋5×100＋5×10＋9 ＝4×（9999＋1）＋2×（1001－1）＋5（99＋1）＋5×（11－1）＋9 ＝（4×9999＋2×1001＋5×99＋5×11）＋（4－2＋5－5＋9） ＝11×（4×909＋2×91＋5×9＋5）＋（4－2＋5－5＋9） 前一部分显然是11的倍数。因此判断42559是否11的倍数只要看后一部分4－2＋5－5＋9是否为11的倍数。
5.1数的整除特征及其应用
01 数的整除特征及其应用 学习目标: 1、理解整除的意义，能判断一个数能否被另一个数整除。 2、理解整除的两种说法，a能被b整除与b能整除a，知道除尽与整除的区别。 3、理解一些特殊数的倍数特征，熟练掌握能被它们整除的数的特征。 4、会灵活的运用数的整除整除特征解决相关的数学问题。 教学重点: 1、理解整除的两种说法，a能被b整除与b能整除a，知道除尽与整除的区别 2、理解一些特殊数的倍数特征，熟练掌握能被它们整除的数的特征。 教学难点： 会灵活的运用数的整除整除特征解决相关的数学问题。 教学过程： 一、情景体验 师：昨天，老师去到文具店购买了8本笔记本和12支钢笔，售货员告诉老师8本笔记本和12支钢笔共需要支付74元，老师当即判断说：“你肯定算错了”，同学们你们知道老师是如何快速的判断售货员算错了吗？同学们想不想学习老师的这个本事呢？（想）今天这堂课我们就一起来学习一下数的整除特征，通过今天这节课程的学习，老师相信同学们也能和老师一样快速的进行判断。 师：首先，我们一起来回顾一下数的倍数特征，考查一下大家对于一些特殊的数的倍数特征掌握的如何？快问快答哦！2的倍数特征是什么？ 生：个位上是0、2、4、6、8的数。 师：5的倍数特征是什么呢？ 生：个位上是0或5的数。 师：3（或9）的倍数特征是什么呢？
生：各个数位上的数字之和能被3（或9）整除。 师：以上是大家比较熟悉的数的倍数特征，也是在解决数学问题时用的比较多的，接下来我们再一起来回顾一下像4、25、8、125的倍数又有什么特征呢？ 生：4（或25）的倍数特征是末两位能被4（或25）整除。 生：8（或125）的倍数特征是末三位能被8（或125）整除。 师：大家说的都非常正确，那么同学们还记得7、11、13这三个数的倍数特征是什么吗？ 生：11的倍数特征是奇数位与偶数位上数字之和的差（以大减小）是11的倍数。生：7和13的倍数特征是这个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差（以大减小）能被7、13整除。 师：对，其实这个规律同时也适用于11的倍数特征，看来同学们对于以上这些数的倍数特征已经很熟悉了，接下来我们一起来看一下都有哪些数学问题等着我们去解决吧！ 二、思维探索（建立知识模型） 展示例题： 3AA，它能被9整除，那么A是几？ 例1：有一个四位数1 师：要确定一个数能被9整除，这个数就需要满足9的倍数特征，刚刚我们回顾了9的倍数特征，请一个同学复述一下9的倍数特征是什么？ 生：各个数位上的数字之和是9的倍数。 师：很好，既然这是一个四位数，其中千位和个位的数字分别是3和1，而十位和百位的数字是相同的A，要确定A的值，同学们有什么想法呢？ 生：把各数位的数字加起来等于9的倍数，列等量关系求值。 师：想法很好，可是9的倍数是不确定的，那么1+3+2A到底应该等于多少呢？生：可以等于9、18。 师：为什么呢？ 生：因为每个数位上的数字只能是0到9，若A=9，则3+9+9+1=22，这个四位数各数位数字之和最大只能是22。 师：说的太棒了，还有同学有不一样的想法吗？
数的整除特征
数的整除性质主要有： （1）若甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）若两个数能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 （3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除. （4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。 （5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。 （6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。 （7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除. （8）个位上是0或者5的数都能被5整除. （9）若一个整数各位数字之和能被3（或9)整除，则这个整数能被3（或9）整除。 （10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除. （11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （12）若一个整数各位数字之和能被9整除,则这个整数能被9整除. （13）一个三位以上的整数能否被7（11或13)整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小)能否被7（11或13）整除 （14）末位数字为零的整数必能被10整除 （15）另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数。（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位.） （16）至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可:各位数之和能被3整除的偶数能被6整除;各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。