应用闭区间套定理步骤方法
应用闭区间套定理的步骤及方法
摘要:本文首先介绍了闭区间套的定义及闭区间套定理,然后举例说明闭区间套定理的应用,最后总结出应用闭区间套定理的一般步骤和方法。
关键词:区间套闭区间套定理有界性定理
实数系的连续性是分析学的基础,对于我们学习的极限论、微积分乃至整个分析学具有无比的重要性,实数系r的连续性,从几何角度理解就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”,本文将以实数系的连续性中的闭区间套定理为例来说明其应用。
一、介绍闭区间套定义及闭区间套定理
定义1(闭区间套定义)设闭区间列{[an,bn]｝具有如下的性质:
(1){[an,bn]｝[an+1,bn+1],n=1,2,…
(2)lim(bn-an)=0
则称{[an,bn]｝为闭区间套,或简称区间套。
定理1(闭区间套定理)若{[an,bn]｝是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得∈[an,bn],n=1,2,…即an≤≤bn,n=1,2,…且==.
二、举例说明闭区间套定理的应用
例1.(有界性定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界.
证明:假设f(x)在[a,b]上无界,则闭区间[a,b]具有性质:f(x)在闭区间[a,b]无界,记该性质为p*.将闭区间[a,b]二等分得到[a,]
例 1 用单调有界定理证明区间套定理.
例 1 用单调有界定理证明区间套定理．即已知： 1 ）单调有界定理成立； 2 ）设为一区间套． 欲证：且惟一． [ 证] 证明思想：构造一个单调有界数列，使其极限即为所求的． 为此，可就近取数列（或）．由于 因此为递增数列，且有上界（例如）．由单调有界定理，存在，且 ． 又因，而，故 ； 且因递减，必使．这就证得． 最后，用反证法证明如此的惟一．事实上，倘若另有一个，则由 ， 导致与相矛盾．[ 证毕] 例 2 用区间套定理证明单调有界定理．即已知： 1 ）区间套定理成立． 2 ）设为一递增且有上界M的数列． 欲证：存在极限． [ 证]证明思想：设法构造一个区间套，使其公共点即为的极限． 为此令。记，并取 再记, 同理取 如此无限进行下去，得一区间套． 根据区间套定理，．下面用数列 极限定义证明： ，一方面，由于恒为的上界，因此
； 另一方面，由 ； 而由区间套的构造，任何不是的上界，故；再由为递增数列， 当时，必有．这样，当时，就有 , 即．[ 证毕] 例3 用确界定理证明区间套定理．即已知： 1 ）确界定理成立（非空有上界的数集必有上确界）； 2 ）设为一区间套． 欲证：存在惟一的点． [ 证] 证明思想：给出某一数集，有上界，使得的上确界即为所求的． 为此，取，其上界存在（例如）．由确界定理，存在． 首先，由为的一个上界，故．再由是的最小上 界，倘有某个，则不会是的上界，即，这与为区 间套相矛盾（）。所以任何．这就证得 ． 关于的惟一性，与例1中的证明相同．[ 证毕] 注本例在这里所作的证明比习题解答中的证明更加清楚． 例4 证明连续函数的局部有界性——若处连续，则和 ，使得． [ 证]据在连续的定义，满足 ． 现取，相应存在，就有 ．[ 证毕] 注类似可证连续函数的其余局部性质，例如四则连续性质、局部保号性质等等．例5 证明上一致连续的充要条件是：上连续，且 存在． [ 证] 先证充分性：令
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法-模板
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在20XX年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基
闭区间套定理的证明、推广及应用
重庆三峡学院数学分析课程论文 闭区间套定理的证明、推广及应用 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名姜清亭 年级 2009级 学号 200906034129 指导教师刘学飞 2011年5月
闭区间套定理的证明、推广及应用 姜清亭 （重庆三峡学院 数学与统计学院 09级数本（1）班） 摘 要 闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。同时得到与之相应的若干定理，并使闭区间套定理得到推广。其中在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。 关键词 开区间套定理 闭区闭套定理 聚点定理证明 有界性定理证明 1 空间上的区间套定理 定理1 (闭区间套定理) 设有闭区间列｛[],n n a b ｝若 1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ??? 2 lim()0 n n n b a →∞ -= 则存在唯一数属于l 。。所有的闭区间（即 []1 ,n n n a b l ∞ == ） ，且lim lim n n n n a b l →∞ →∞ == 证明:由条件1可知，数列增加有上界1b ，数列｛n b ｝单调减少有下界1a ， 1221.........n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤根据公理，数列｛n a ｝收敛，设lim n n a →∞ =l ．由条件2 有 ()lim lim ()lim lim 0n n n n n n n n nx n n b b a a b a a l l →∞ →∞ →∞ →∞ =-+=-+=+=于是，lim lim n n n n a b l →∞ →∞ ==， 对任意取定的,n k N k +∈? ,有k n n k a a b b ≤≤ ，从而，lim lim k n n k n n a a l b b →∞ →∞ ≤==≤， 或k k a l b ≤≤，即l 属于所有的闭区间． 证明l 唯一性．假设还有一个' l 也属于所有的闭区间，从而 '',,,,n n n n n N l l a b l l b a +???∈∈-≤-?? 有有有条件2),有'l l =即l 是唯一的． 2 闭区间套定理的推广 定理2 （开区间套定理）若开区间列｛() ,n n a b ｝，若 1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ??? 2 )(lim n n n a b -∞ →= n n a b 2lim -∞→=0 对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理知，存在唯一数l 属于所有
谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)
谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理
若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：
浅析定理闭区间套的推广及简单应用
本科毕业论文 (设计) 如果写作的是论文就删设计，如果写作的是设计就删论文 题目数学课堂教学 系别数学系 专业数学与应用数学 指导教师（姓名居中） 评阅教师（姓名居中） 班级2003级1班 姓名（姓名居中） 学号（学号居中） 年月日
目录 摘要(四号黑体不加粗) (Ⅰ) Abstract(四号Times New Roman体加粗) (Ⅰ) 1引言(四号黑体不加粗) (1) 1.1(小四号黑体不加粗) (1) 1.1.1(小四号仿宋体加粗) (1) 2闭区间套定理在1R的推广 (2) 3闭区间套定理在一般度量空间上的推广 (4) 4闭区间套定理在n R上的推广 (5) 5闭区间套定理的应用举例 (6) 结束语 (8) 参考文献 (8) 致谢 (9) （注：①目录不加页码； ②中、英文摘要加页码，用罗马数字：Ⅰ，Ⅱ…； ③正文另行加页码，用阿拉伯数字：1，2，3，…．）
摘要(四号黑体不加粗)：在介绍了闭区间套定理的基础上，通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将闭区间套定理进行了推广，得到了严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理以及一般完备度量空间上的闭集套定理和常用完备度量空间上的闭集套定理，并给出了这些定理的证明．结合典型例题，分析、讨论了闭区间套定理及推广后的闭集套定理的实际应用，说明了闭区间套定理不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值．(小四号仿宋体不加粗,“摘要”字数须300字以上)关键词(四号黑体不加粗)：闭区间套定理；严格开区间套定理；推广；应用(小四号仿宋体不加粗，关键词的个数：3—5个) Abstract(四号Times New Roman体加粗):The theorem of nested closed interval was extended on the basis of its definition with synthetic application of analogy analysis and deductive reasoning, and got a series of theorems such as the theorem of strict open nested interval, the theorem of strict open and closed nested interval and the theorem of closed nested set on ordinary and popular metric space, which were also testified. The real application of the theorem of nested closed interval and the theorem of closed nested set after extension was discussed by analysis of some typical examples so as to demonstrate its important theoretical meaning and useful application.(小四号Times New Roman体不加粗) Key words(四号Times New Roman体加粗): theorem of nested closed interval; theorem of strict open nested interval; extension; application(小四号Times New Roman体不加粗，每个关键词开头字母均不大写，结尾处无标点符号)
微分中值定理例题
理工大学 微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理
()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２ １２１２１２１２２１１１２１１１２１ １２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续， 在（，）内可导， 且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。
区间套定理在数学教学中的应用及意义
区间套定理在数学教学中的应用及意义 一、问题的由来 数学思想方法是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。然而，笔者在调研中发现无论是在教还是在学的活动中，教师和学生自觉运用数学的思想与方法去教学或解决数学问题的意识和能力都相当薄弱。这正如涂荣豹教授指出的：“在数学教学中注重知识的传授、记忆和模仿，忽视数学思想方法的渗透和教学的问题仍然比较普遍。”以至于在遇到一些重点教学内容和复杂的数学问题时往往缺少科学有效的解决办法，更难形成一类数学问题解决的思想方法。 案例1梯形中位线的性质定理是集位置关系和数量关系于一身的重要定理。然而在引导学生猜想梯形中位线性质的问题上，虽然在教学实践和相关文献中有许多方法，但绝大多数教师都因缺少恰当的数学思想方法的指导而没有较为明确的思维方向。许多教师不得不靠创设有较明显暗示的情境来引导学生思考，或者靠降低学生的思维层次让他们通过盲目地多次试验来找到解决问题的方法目。最近在全国性的一个学术活动上，上海某中学教师上的“梯形中位线”观摩课极具代表性。他在引导学生猜想梯形中位线的性质时是这样设计的：教师在黑板上画了8个全等的梯形(意为让学生逐一试验)后提出了供学生探讨的三个问题。问题一：在梯形中画出各边中点连线，并尝试分析画出的线段的情况?问题二：猜想梯形的中位线与梯形的各边有没有特殊的关系?问题三：怎样证明你的猜想?其结果，在降低了部分学生的思维层次和耗费了很多的时间后还有相当数量的学生仍没有发现结论。 案例2笔者曾对50位中学数学教师作了“用尽可能多的方法将一个正方形四等分”的能力测试，“结果能用6种以上(含6种)方法等分的教师仅占28.6％，而且这些方法几乎局限于被等分的部分是全等的图形”，其中仅有3人想出了图1的等分方法。尽管笔者作了“由图2和图3两种四等分方法你能推出第三种四等分方法吗?”的提示，仍有大部分人找不到这种等分方法。 由上述二案例不难看到，缺少数学思想方法指导的数学教学是低效的教学，即使我们通过大量的“试验”和“题海战术”获得的一些解题思路和方法也很难上升到方法论的层面，更难以形成具有宏观指导作用的数学思想。因此，用数学思想方法指导中小学数学教与学已成为提高中小学数学教学质量的一个十分重要而紧迫的课题。 二、区间套定理在中小学数学教学中的应用
拉格朗日中值定理在高考题中的妙用
拉格朗日中值定理在高考题中的妙用 一．拉格朗日中值定理[1] 拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件： （i ）f 在闭区间[,]a b 上连续； （ii ）f 在开区间(,)a b 内可导； 则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()'f b f a f b a ξ-= -. 几何意义： 在满足定理条件的曲线上()y f x =至少存在一点(,())p f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB （如图） 二．求割线斜率大小-----------几何意义的利用 由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率.即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析. 例1：（2011年福建省质检理19题）已知函数22()ln .a f x x a x x =++ （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）设'1,()(),a g x f x ==问是否存在实数k ，使得函数()g x 上任意不同两点连线的斜率都不小于k ？若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由. 解（Ⅰ）略（Ⅱ）当1a =时，221 ()1g x x x =- +，假设存在实数k ，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ，即对任意210x x >>，都有2121 ()() ,g x g x k x x -≥-即求任意两点割线斜 率的大小，由中值定理知存在12(,)x x x ∈，有'2121 ()() (),g x g x g x k x x -=≥-转为求切线斜率的大小. 即'32 41 ()g x k x x = -≥在(0,)+∞上恒成立.（以下同参考答案） 评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口．将 2121 ()() ,g x g x k x x -≥-转 化为2211()(),g x kx g x x -≥-转而考查函数()()h x g x kx =-，学生不是很容易想到， 但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受．
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法_1
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法连续函数是数学分析中非常重要的一类函数，下面是小编搜集整理的一篇探究闭区间上连续函数的有界性定理证明的论文范文，欢迎阅读参考。 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基
本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在2013年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即. 将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量
拉格朗日中值定理教学设计
教学设计 第六章微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 题目：罗尔定理与拉格朗日定理 一、教学目的： 1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推 论。 2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗 日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格 朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。 3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的 思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。 二、教学重点与难点： 1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的 高。 2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别 与联系。 三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法 四、教学手段：板书与课件相结合 五、教学基本流程：
六、教学 情境设计（1学时）： 1、知识回顾 费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。 2、引出定理，探究案例 微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括 四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。 定理 6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件： (i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得 ()0='ξf . ()1 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．
缠论本质及其区间套
缠论本质及其区间套操作 缠论之所以伟大，在于发现了股市是一个吻合于自然、社会等复杂系统普适的描述性的几何模型，即通过自同构性结构的自组和级别间的扩展自组递归函数。而缠论的应用，在于对这个天然而严密的数学系统的熟练和把握，也就是用动力和形态相结合的方法，找到这 个递归函数不同级别间的节点。 那么，什么又是递归函数呢？ 在数学上，关于递归函数的定义如下：对于某一函数f(x)，其定义域是集合A，那么若对于A集合中的某一个值X0，其函数值f(x0)由f(f(x0))决定，那么就称f(x)为递归函数。 在编程语言中，把直接或间接地调用自身的函数称为递归函数。函数的构建通常需要一个函数或者一个过程来完成。 一个含直接或间接调用本函数语句的函数被称之为递归函数，它必须满足以下两个条件：1）在每一次调用自己时，必须是（在某种意义上）更接近于解； 2）必须有一个终止处理或计算的准则。 那么我们再来看缠论中的递归函数的意义。 走势是以中枢为基本单元，通过级别联立构成立体的、层次分明的系统。 相邻级别间，遵循同一个递归的标准，即：本级别中枢为次级别三个走势类型的重叠。 级别的界定：通常我们所使用的1-5-30-60-日-周……级别界定方式，只是为了看盘方便而使用而已，并非是天然生长的级别。 那么，如何去选择初始分析级别（即通常所言的最低级别）？这是个令大多数缠论学习者迷惑的问题。 其实这个问题如果理解了上述的递归函数构建的终止（若递推叫起始）原则，就不存在了。为了直观的、容易的理解一些，还是来具体说说。 初始级别，即递归函数的起始点。 首先初始级别是取出来的。初始中枢，是所选最低级别三个线段重合部分。 线段只跟最低级别有关。如果你在某级别定义线段，那么就认定它是最低级别了，为避免混淆，我们称之为初始级别。线段，被人为认定为初始级别的次级别走势类型。 而分型，笔，都是线段构建的条件，分型只跟笔发生直接关系，笔只跟线段发生直接关系。比如你选择5F为初始级别，那么5F的线段，即认定为次级别走势类型，不管它是否 符合1F的实际走势类型。同理，比如你选择30F为初始级别，那么30F的线段，即认定为次级别走势类型，不管它是否符合5F的实际走势类型，而图上可以看到的1F基本就不用 考察了。即是说，当你选定了某个级别作为分析的初始级别以后，其次级别以下的波 动就可以全部忽略掉了。 而在实际应用中，通常为了兼顾精确与简便，选操作级别为初始级别，用次级别确定精度，高一级别观察中期方向，高二级别观察长期方向。 初始级别的选择，需要综合考虑几个条件：技术熟练度、投机性质、看盘时间、资金量、标的活跃度、方便性等。 精度的选择，除了跟操作级别相关联外，还需要考虑本期计划交易量，标的交易量可承受范围。 区间套是精度逐级确定的方法。区间套操作的终极意义是追踪节点。从高到低一级级背驰下去，一直追踪到某一单成交为止。这个概念就好比在某个区域搜索一个人，先去定哪个区，然后哪栋楼，然后哪间房，然后哪个座位。 方法1：运用了“区间套”逐步逼近的思想方法
六大定理互相证明总结
六大定理的相互证明总结 XXX 学号 数学科学学院 数学与应用数学专业 班级 指导老师 XXX 摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明. 关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理 1 确界定理 1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列{[,n a ] n b }适合下面两个条件： （1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b ) n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞ →n n n a b . 显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞ →n n n a b ∴βα= 即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1] 证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界 {}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y . 由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，
拉格朗日定理和函数单调性
第一节 拉格郎日定理和函数的单调性 教学目的 几个定理的条件与结论，应用 教材分析 重点：了解几个定理的条件与结论，特例 难点：运用定理解决问题 教学过程 一、导入新课 先考察可导函数在最大（小）值点处的导数性质。 例 函数221,x y x y -==分别在0=x 处取最小值，最大值，都有()00='y ，这一结果对于可导函数具有普遍性，利用最值、导数的概念和极限的保号性，可证明下列引理: 引理 若函数()x f y =在区间I 内的0x 处可导且取得最值，则()00='x f 二、罗尔定理 1、基本定理 定理1 若函数()x f 满足： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(),a b 内可导； （3）()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使()0='ξf . 略证 由条件（1），函数()x f 在[,]a b 上有最大值()M 和最小值()m ,只要证明函数()x f 至少有一个最值点落在(),a b 内即可。若m M =，则()x f 在[,]a b 上恒为常数，()b a ,内任一点是最值点。若m M >，则条件（3）至少有一个() x f
的最值点落在(),a b 内。 2、几何意义 连续曲线()x f y =的弧 AB 上，除端点外处处有不垂直于x 轴的切线，则弧上除端点外至少有一点c ，在该点处曲线的切线平行于x 轴，从而平行于AB . 3、注意事项 罗尔中值定理的三个条件是使结论成立的充分而不必要条件。 反例 ()2,11, 2,12 x x f x x x ?-≤≤=? <≤? 在闭区间[]1,2上有定义，在1=x 处不连续，也不可导，()()21f f ≠-，罗尔定理三个条件都不满足，但有()2,10-∈=ξ，使()0='ξf 4、典型例题 例1 对函数133+-=x x y 在[] 3,3-上验证罗尔定理 解 由于233y x '=-在[ ] 3,3-上成立．所以函数133+-=x x y 在 [] 3,3-上可导．又(1y y ==，因此函数y 在[]3,3-上满足罗 尔定理，从而有(ξ∈使()0f ξ'=.事实上2 ()33f ξξ'=-,当1ξ=或 1ξ=-时，都有()0f ξ'=．显然(1±∈.验证完毕。 讨论方程的根有重要、广泛的实际意义，利用罗尔定理可以帮助讨论某些方程根。 例2 不求函数()()()()321---=x x x x f 的导数，说明方程()0='x f 有几个实数根。 解 函数()x f 在R 上可导，由于()x f 有3个零点：1231,2, 3.x x x ===因此方程()0='x f 至少有两个实根；又()0='x f 是二次方程，至多有两个实根。所
套定理证明闭区间上连续函数的性质
西安工程学院学报 JOURNAL OF XI’AN ENGINEERING UNIVERSITY 1998年 第20卷 第2期 Vol.20 No.2 用区间套定理证明闭区间上连续函数的性质 周 明 提 要 用数学分析中的区间套定理证明了闭区间上连续函数的四个定理。 关键词 区间序列；连续；一致连续 中图法分类号 O174.1 PROOF TO PROPERTIES OF CONTINUOUS FUNCTION ON A CLOSED INTERVAL WITH AN INTERVAL SEQUENCE THEOREM Zhou Ming (Xi′an Engineering University,Xi′an 710054) Abstract Four theorems about continuous function on an closed interval are proved by a interval sequence theorem in mathematical analysis. Key words interval sequence, continuity, uniform continuity 在高等数学中所遇到的闭区间上连续函数的性质，通常都不加以证明，其实这些性质在数学分析中都给出了证明，可用数学分析中的一些定理来证明。实际上这些性质的证明也可用数学分析中的一个定理即区间套定理证得。下面就用区间套定理来证明这些性质。在证明这些性质之前，先叙述一下区间套定理。 区间套定理：设一无穷闭区间列｛〔a n,b n〕｝适合下面两个条件： (1)后一区间在前一区间之内，即对任一正整数n，有a n≤a n+1＜b n+1≤b n。 (2)当n→∞时，区间列的长度｛(b n-a n)｝所成的数列收敛于零，即limn→∞(b n-a n) =0。 则区间的端点所成两数列｛a n｝及｛b n｝收敛于同一极限ξ，且ξ是所有区间的唯一公共点。 1 有界性定理 若函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，则它在〔a,b〕上有界。 证明(反证法)：设f(x)在〔a,b〕上无界，将〔a,b〕二等分，则f(x)必在其一上无界，记其为〔a1,b1〕，再将〔a1,b1〕二等分，记f(x)在其上无界的区间为〔a2,b2〕，这样继
(整理)闭区间上连续函数的性质
§4.2 闭区间上连续函数的性质 一、 性质的证明 定理1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即?M >0,∈?x [a,b],有|)(x f |≤M . 证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数 )(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从 而得到M >0. 证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义， ∈?a [a,b]，取0ε=1，0δ?>0,∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b],有 |)(x f )(a f -|<1.从而∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1 即∈?a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间 {（k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n 也覆盖闭区间[a,b] ，且 ∈?x （k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n 取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈?x [a,b]，∈?i {1，2,…，n},且∈x （i i a i a i a a δδ+-,）?[a,b]， 有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M 定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间
第三章(2)戴得金定理证明6页word
Ⅰ 戴德金定理； Ⅱ 单调有界数列必收敛定理（一般的，我们取单调递增有上界数列）； Ⅲ 确界原理（一般的，我们取非空有上界数集）； Ⅳ 闭区间套定理； Ⅴ 致密性定理； Ⅵ 柯西收敛准则； Ⅶ 有限覆盖定理． 在证明它们的等价性时，一般采用循环证法，但在本篇论文中，为了说明这七个命题都可以作为构造实数的公理性命题，我们选择从一个命题出发，来证明其余六个命题．下面给出这42个证明过程． Ⅰ?Ⅱ：（戴德金定理?单调有界数列必收敛定理） 证明：设数列{n x }单调递增且有上界，其上界构成集合B ，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空、不漏、有序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数． 若A 中有最大数，不妨设为α，则由/A B 的构造可知α不是{n x }的上界，N N +?∈使N x α>，则 N x B ∈，且为数列{n x }的上界，由数列{n x }单调递增可知，,n N ?>均有n N x x =，从而{n x }极限存在． 若B 中有最小数，不妨设为β，现在证明β即为数列{n x }的极限．事实上，β是数列{n x }的上界， 且对0,εβε?>-不属于B ，从而不是{n x }的上界，即,N N N x βε+ ?∈>-使，又因为{n x }的单调性， 从而： ,.N n n N x x βεβ?>-<≤< 也即，数列{n x }收敛于β． Ⅰ?Ⅲ：（戴德金定理?确界原理） 证明：设数集E 非空且有上界，其上界构成集合B ，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空、不漏、有序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数． 若A 中有最大数，不妨设为α，则由/A B 构造可知α不是数集E 的上界，从而存在,E ξ∈ ξα>使．即B ξ∈为E 的上界，因此sup E ξ=，数集E 的上确界存在． 若B 中有最小数，不妨设为β，则对0,A εβε?>-∈不是E 的上界．从而,E ξ?∈ 使： βεξβ-<≤． 也即sup E ξ=，E 的上确界存在．
区间套定理的拓展及其应用
2012届本科毕业论文区间套定理的拓展及应用 姓名：骆盼 系别：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 学号： 指导教师： 2012年6月20日
区间套定理的拓展及应用 摘要 通过运用类比法、分析法、演绎法将区间套定理进行了拓展，得到若干定理并分别给出了证明，结合典型例题,分析讨论了区间套定理的实际应用. 关键词 区间套;拓展;应用 The expansion and application of the nested interval theorem Abstract s everal theorems which are testified are got after the expanding of the nested interval theorem through the application of analogy,analysis,and deductive and the application of the nested interval theorem was discussed by the analysis of some typical examples. Key words nested interval;expansion;application
0 引言 区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，因此区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续、闭区间的连续函数的介值性定理等.故区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。为了增大区间套定理的应用范围,本文从区间套定理的概念出发,综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理. 首先，将区间套定理在一维空间加以推广,形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理,增大了区间套定理的应用范围.紧接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式和完备性，把区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭区间套集定理，从而把一维空间上的情形推广到了更一般化的完备度量空间,使得区间套定理的应用范围更为广泛，而且给出了常用度量空间n R 上的闭集套定理.最后结合一些实例分析说明区间套定理的应用，比如证明闭区间上的连续函数有界、单调有界定理等，通过构造满足题意的闭区间列，在应用区间套定理证明存在满足题意的点.从实际例题中还可以看出区间套定理反映了实数的稠密性，所以区间套定理在证明与实数相关命题时发挥着重要的作用. 1 区间套定理在1R 上的推广 区间套定理是一个基本的定理，在把该定理推广前先回顾一下闭区间套定理的内容. 定义1.1 设[]{}),3,2,1(, =n b a n n 是R 中的闭区间列，如果满足: （1）[][] 3,2,1,,,11=?++n b a b a n n n n ; （2）()0lim =-∞ →n n n a b ; 则称[]{}n n b a ,为R 中的一个闭区间套，或简称区间套. 定理] 1[1.1 （闭区间套定理）若[]{}n n b a ,是一个闭区间套，则存在惟一一点ξ，使得 []),3,2,1(, =∈n b a n n ξ, 且 ξ==∞ →∞ →n n n n b a lim lim . 推论1.1 若[]),3,2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,确定的点,则对任意正数ξ,存在自然数N ,当N n >时,总有 []()εξ,,U b a n n ?. 定义2.1 (严格开区间套定理)设(){}),3,2,1(, =n b a n n 是R 中的开区间列,如果满