数学分析21.6重积分的应用(含习题及参考答案)

第二十一章 重积分 6重积分的应用

一、曲面的面积

问题：设D 为可求面积的平面有界区域，函数f(x,y)在D 上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程z=f(x,y), (x,y)∈D 所确定的曲面S 的面积.

分析：对区域D 作分割T ，把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). 曲面S 同时也被分割成相应的n 个小曲面片S i (i=1,2,…,n). 在每个S i 上任取一点M i , 作曲面在这一点的切平面πi , 并 在πi 上取出一小块A i , 使得A i 与S i 在xy 平面上的投影都是σi . 现在M i 附近，用切平面A i 代替小曲面片S i . 则当T 充分小时，有 △S=∑=?n

i i S 1

≈∑=?n

i i A 1

, 这里的△S, △S i , △A i 分别表示S, S i 和A i 的面积.

∴当T →0时，可用和式∑=?n

i i A 1

的极限作为S 的面积.

建立曲面面积计算公式：

∵切平面πi 的法向量就是曲面S 在点M i (ξi ,ηi ,ζi )处的法向量， 记其与z 轴的夹角为γi , 则|cos γi |=)

,(),(11

22i i y

i i x

f f ηξηξ++.

∵A i 在xy 平面上投影为σi , ∴△A i =

i

i

γσcos ?=i i i y i i x f f σηξηξ?++),(),(122. 又和数∑=?n

i i A 1

=∑=?++n

i i i i y i i x f f 1

22),(),(1σηξηξ是连续函数

),(),(122y x f y x f y x ++在有界闭区域D 上的积分和，∴当T →0时，有 △S=∑=→?++n

i i i i y i i x T f f 1220

),(),(1lim σηξηξ=??++D

y x dxdy y x f y x f ),(),(122, 或△S=∑

=→?n

i i i

T 1

cos lim

γσ=??∧

D

z n dxdy )

,cos(,

其中),cos(∧

z n 为曲面的法向量与z 轴正向夹角的余弦.

例1：求圆锥z=22y x +在圆柱体x 2+y 2≤x 内那一部分的面积. 解：由x 2+y 2≤x, 得D={(r,θ)|0≤r ≤2

1

, 0≤θ≤2π}, 又z x =

2

2y x x +=

r r θcos =cos θ, z y =22y

x y

+=r r θsin =sin θ, ∴△S=??++D

y

x

dxdy z z 221=??

π

θ20210

2rdr d =

π4

2.

例2：设平面光滑曲线的方程为y=f(x), x ∈[a,b] (f(x)>0). 求证：此曲线绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为： S=?'+b

a dx x f x f )(1)(22π.

证：由上半旋转面方程为z=22)(y x f -, 得 z x =

2

2)()()(y

x f x f x f -', z y =

2

2

)(y

x f y --. 即有

221y x

z z ++=2

22

2222)()()()(1y

x f y y x f x f x f -+-'+=2

222)())

(1)((y

x f x f x f -'+. ∴S=??--'+b a x f x f dy y x f x f x f dx )

()

(2

22)()(1)(2=??-'+b a x f dy

y x f dx x f x f )(0222)(1

)(1)(4

=??---'+b

a x f x yf d x f y dx x f x f )

(0

1

2

22))(()(11)(1)(4

=??-'+b a dt t

dx x f x f 1

02211)(1)(4=?'+b a

dx x f x f )(1)(22

π.

注：若空间曲面S 由参量方程：x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈D 确定, 其中x(u,v), y(u,v), z(u,v)在D 上具有连续一阶偏导数，且

),(),(v u u y x ?,),(),(v u u z y ?,)

,()

,(v u u x z ?中至少有一个不等于0，则 曲面S 在点(x,y,z)的法线方向数为

???),(),(v u u z y ,),(),(v u u x z ?,???

?

?),(),(v u u y x , 则 它与z 轴的夹角的余弦的绝对值为：

),cos(∧

z n =

2

2

2

),(),(),(),(),(),()

,()

,(???

? ???+???? ???+???? ????v u u y x v u u x z v u u z y v u u y x

=

2

222222)

())(()

,()

,(v u v u v u v

v

v

u

u

u

z z y y x x z y x z y x v u u y x ++-++++?=

2

1)

,(),(F

EG v u u y x -?,

其中E=222u u u z y x ++,G=222v v v z y x ++,F=v u v u v u z z y y x x ++.

当

),()

,(v u u y x ?≠0，则有△S=??∧

D

z n dxdy )

,cos(=dudv z n v u u y x D ??

'

∧

?)

,cos(),()

,(=dudv F EG D ??'

-2.

例3：求球面上两条纬线和两条经线之间 的曲面的面积(图中阴影部分). 解：设球面方程为：(R 为球的半径). x=Rcos ψcos φ,y=Rcos ψsin φ, z=Rsin ψ

.

由E=222ψψψz y x ++=R 2, G=2

22?

??z y x ++=R 2cos 2ψ, F=?ψ?ψ?ψz z y y x x ++=0， 得2F EG -=R 2cos ψ. ∴△S=??2

1

21

cos 2ψψ??ψψ?d R d =R 2(φ2-φ1)(sin ψ2-sin ψ1).

二、质心

引例：设V 是密度函数为ρ(x,y,z)的空间物体，ρ(x,y,z)在V 上连续. 为求得V 的质心坐标公式，先对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则小块v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 若把每一小块看作质量集中在(ξi ,ηi ,ζi )的质点时，整个物体就可用这n 个质点的质点系来近似代替. 由于质点系的质心坐标公式为：

∑∑==??=

n

i i

i

i

i

n

i i

i

i

i

i

n v v x 1

1

),,(),,(ζ

ηξρζ

ηξρξ, ∑∑==??=

n

i i

i

i

i

n

i i

i

i

i

i

n v v y 1

1),,(),,(ζ

ηξρζ

ηξρη, ∑∑==??=

n i i

i

i

i

n

i i

i i i i

n v v z 1

1),,(),,(ζ

ηξρζηξρζ

.

当T →0时，n x , n y , n z 的极限x , y , z 就定义为V 的质心坐标，即

??????=

V

V

dV

z y x dV

z y x x x ),,(),,(ρρ, ??????=

V

V

dV

z y x dV

z y x y y ),,(),,(ρρ, ??????=

V

V

dV

z y x dV

z y x z z ),,(),,(ρρ.

当物体V 的密度均匀即ρ为常数时，则有

????=

V

xdV V

x 1, ????=

V

ydV V

y 1, ????=

V

zdV V

z 1, 这里△V 为V 的体积.

又密度分布为ρ(x,y)的平面薄板D 的质心坐标为：

????=

D

D

d y x d y x x x σ

ρσ

ρ),(),(, ????=

D

D

d y x d y x y y σ

ρσ

ρ),(),(. 当平面薄板的密度均匀时，即

ρ为常数时，则有???=D

xd D x σ1, ???=D yd D y σ1

, △D 为薄板D 的面积.

例4：求密度均匀的上半椭球体的质心.

解：设椭球体由不等式a x 2+b

y 2+c z 2

≤1表示.

由对称性知x =0, y =0, 又由ρ为常数，得z =

??????V

V

dV

dV

z ρρ=

abc abc ππ3

2

42

=

8

3c .

三、转动惯量

质点A 对于轴l 的转动惯量J 是质点A 的质量m 和A 与转动轴l 的距离r 的平方的乘积，即J=mr 2.

设ρ(x,y,z)为空间物体V 的密度分布函数，它在V 上连续. 对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 当以质点系{(ξi ,ηi ,ζi ), i=1,2,…, n}近似替代V 时，质点系对于x 轴的转动惯量为：i i i i n

i i i x v J n

?+=∑=),,()(1

22ζηξρζη.

当T →0时，上述积分和的极限就是物体V 对于x 轴的转动惯量 J x =???+V

dV z y x z y ),,()(22ρ. 类似地,V 对于y 轴与z 轴的转动惯量分别为：

J y =???+V

dV z y x x z ),,()(22ρ, J z =???+V

dV z y x y x ),,()(22ρ.

同理，V 对于坐标平面的转动惯量分别为：

J xy =???V

dV z y x z ),,(2ρ, J yz =???V

dV z y x x ),,(2ρ, J xz =???V

dV z y x y ),,(2ρ.

平面薄板对于坐标轴的转动惯量分别为：

J x =??D

d y x y σρ),(2, J y =??D

d y x x σρ),(2. 以及有J l =??D

d y x y x r σρ),(),(2,

其中l 为转动轴, r(x,y)为D 中点(x,y)到l 的距离函数.

例5：求密度均匀的圆环D 对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量. 解：设圆环D 为R 12≤x 2+y 2≤R 22, 密度为ρ, 则

D 中任一点(x,y)与转轴的距离平方为x 2+y 2, 于是转动惯量为：

J=??+D

d y x σρ)(2

2

=??2

1

320R R dr r d π

θρ=

2

πρ

(R 24-R 14)=

例6：求均匀圆盘D 对于其直径的转动惯量.

解：设D 为x 2+y 2≤R 2, 密度为ρ, D 内任一点(x,y)与y 轴的距离为|x|, 于是转动惯量为：(m 为圆盘质量) J=??D

d x σρ2

=??R

dr r d 02

3

20cos θθρπ

=

?

π

θθρ20

2

4

cos 4

d R =

44

R ρπ=4

2mR .

例7：设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量.

解：设球体由x 2+y 2+z 2≤R 2表示，密度为k 222z y x ++, k 为比便常数. 切平面方程为x=R, 则球体对于平面x=R 的转动惯量为： J=k ???-++V

dV x R z y x 2

2

2

2

)(=k ???-ππ?θ??θ003220sin )cos sin (R

dr r r R d d

=kR 6????

? ??+-ππ?θ?θ?θ023220cos sin 6

1cos sin 524

1d d =?πθθ202

6cos 911d kR =9

11k πR 6.

四、引力

求密度为ρ(x,y,z)的立体对立体外质量为1的质点A 的引力.

设A 的坐标为(ξi ,ηi ,ζi )，V 中点的坐标用(x,y,z)表示. V 中质量微元dm=ρdV 对A 的引力在坐标轴上的投影为 dF x

y

z

其中K 为引力系数， r=222)()()(ζηξ-+-+-z y x 是A 到dV 的距离，于是 力F 在三个坐标轴上的投影分别为： F x =K ???

-V

dV r x ρξ3, F y =K ???-V dV r y ρη3, F z =K ???-V

dV r z ρζ

3, 所以F=F x i+F y j+F z k.

例8：设球体V 具有均匀的密度ρ, 求V 对球外一点A(质量为1)的引力(引力系数为k).

解：设球体为x 2+y 2+z 2≤R 2，球外一点坐标为(0,0,a) (R

F z =k ???-++-V dV a z y x a z ρ2/3222])([=k ρ???-++--z

D R R a z y x dxdy

dz a z 2/3222])([)(, 其中D z ={(x,y)|x2+y2≤R 2-z 2}. 运用极坐标计算得： F z =k ρdr a z r r

d dz a z z R R

R ???---+-2

202

/32220])([)(π

θ =2πk ρ?-+---

-R R dz a

az R a z )21(2

2

=2πk ρ????

??+--++-+-?-R R dz a az R R a a az R a R 2

2222222212= 2πk ρ??

?

??

?-+---

-+---?

?

--R

R

R

R

az d a az R a R a az d a az R a R )2(21

4)2(241

2222

2

22

2

2

=2πk ρ??

???

?+---

+-----R

R

R

R

a az R a R a a az R a R 2

22

22322

2

22)

2(61

2 =2πk ρ??

?

???-++----2

22233)(6)()(2a R a R a a R R a R

=2πk ρ???

?

??-+++-232332a R R a R R R =2334a R k ρπ-. (注：z ≤R

习题

1、求曲面az=xy 包含在圆柱x 2+y 2=a 2内那部分的面积.

解：∵z x =a y

, z y =a

x , D={(r,θ)|0≤r ≤a, 0≤θ≤2π}, ∴曲面面积为： S=??

??

?

??+??? ??+D

dxdy a x a y 2

21=??+a dr a r r d 022201πθ=)122(322-a π.

2、求锥面z=22y x +被柱面z 2=2x 所截部分的曲面面积. 解：且面在xy 平面的投影区域为：D={(r,θ)|0≤r ≤1, 0≤θ≤2π}, 且z x =

2

2

y

x x +, z y =

2

2

y

x y +, ∴曲面面积为：

S=??

?

??

? ??++???? ??++D

dxdy y x y y x x 2

222

221=??10202rdr d πθ=π2.

3、求下列均匀密度的平面薄板质心：

(1)半椭圆22

22b

y a x +≤1, y ≥0；(2)高为h, 底分别为a 和b 的等腰梯形.

解：(1)设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.

y =

????D

D

d yd σ

ρσρ=

????D

D

d yd σ

σ

=

??D

yd ab σπ

2

=

dr r ab d ab ?

?π

θθπ

1

22sin 2=

π

34b . (2)不妨设a 为下底，以下底中点为原点建立直角坐标系，则 D={(x,y)|l 1(y)≤x ≤l 2(y),0≤y ≤h}.

设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.又等腰三角形的面积为

2

)(h

b a +, ∴y =??+D yd h b a σ)(2=??+h y l y l dx ydy h b a 0)()(21)(2

=

??????

?+---+--+h ydy a h y h a b a h y h b a h b a 02)(22)(2)(2

=

???????+--+h ydy a h y h b a h b a 0)()(2=???

? ??+-+h dy by y h b a h b a 02

)(2=h b a a b )(32++. 其中：l 1(y): x=2)(2a h y h a b ---; l 2(y): x=2

)(2a

h y h b a +--.

4、求下列均匀密度物体的质心.

(1)z ≤1-x 2-y 2, z ≥0；(2)由坐标面及平面x+2y-z=1所围的四面体. 解：(1)设质心为(x ,y ,z ), 由对称性x =y =0, 应用柱面坐标变换有,

z =??????V

V dV dV

z ρρ=??????--22

10

201010201

0r r dz r d r d zdz r d r d ππθθ=dr r r dr r r )1()1(212

102

210--??=3

1. (2)设质心为(x ,y ,z ),∵V=???V

dV =

12

1， ∴x =

?

??--+210

01

21

1

x y x dz dy xdx V =?

?---210

1

)21(12x dy y x xdx =?-1

024)1(12dx x x =4

1

. y =???--+y

y x dz dx ydy V 210

12210

1=?

?---y

dx x y ydy 210

210

)21(12=?

-210

22)21(12dy y y =81

. z =?

??

--+y

y x zdz dx dy V

210

1

221

1=?

?--+-y

dx y x dy 210

2

210

)12(6=?

--210

33)21(6dy y =4

1

-.

5、求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量： (1)半径为R 的圆关于其切线的转动惯量；

(2)边长为a 和b, 且夹角为φ的平行四边形，关于底边b 的转动惯量.

解：(1)设切线为x=R, 密度为ρ.

则对任一点P(x,y)∈D, P 到x=R 的距离为R-x ，从而转动惯量 J=ρ??-D

d x R σ2)(=ρ??+-R

dr r Rr R r d 022220)cos cos 2(θθθπ

=ρ?

+-π

θθθ20

24

)cos 41cos 3221(d R

= R 4. (2)设密度为ρ. 以底边为x 轴，左端点为原点，则转动惯量 J=??D

d y σ2=ρ?

?+b

y y a dx dy y ??

?

cot cot sin 0

2

=

3

sin 33?

ρb a .

6、计算下列引力：

(1)均匀薄片x 2+y 2≤R 2, z=0对于轴上一点(0,0,c) (c>0)处的单位质量的引力；

(2)均匀柱体x 2+y 2≤a 2, 0≤z ≤h 对于点P(0,0,c) (c>h)处的单位质量的引力；

(3)均匀密度的正圆锥体(高h, 底半径R)对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.

解：(1)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.

F z =k ρ??++D

dxdy c y x c 2/3222)(=kc ρ??+R dr c r r d 02/32220)(πθ=2k .

∴F={0,0,2k }.

(2)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0. F z =k ρ???

-++-V

dV c z y x c z 2

/3222])([=k ρ???-+-a h dr c z r r

d dz c z 02/322200])([)(πθ

=-2k πρdz c z a c z h

????

?

????-+-+0

22)(1=2k πρ[]

h c h a c a --+-+2222)(. ∴F={0,0,2k πρ[]

h c h a c a --+-+2222)(}.

(3)以圆锥体的顶点为原点, 对称轴为z 轴建立xyz 三维直角坐标系. 根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.

F z =k ρm ???++V dV z y x z 2/3222)

(=k ρm ???+R hr

R dz z r z

rdr d 02/322020)(πθ

=2k πR ρm ???

?

??++-222

21R h R h R . ∴F={0,0, 2k πR ρm ???

? ?

?++-22221R h R h R }.

7、求曲面??

???=+=+=ψ?ψ?

ψsin sin )cos (cos )cos (a z a b y a b x (0≤φ≤2π, 0≤ψ≤2π) 的面积，其中

常数a,b 满足0≤a ≤b.

解：∵x φ=-(b+acos ψ)sin φ, y φ=(b+acos ψ)cos φ, z φ=0; x ψ=-asin ψcos φ, y ψ=-asin ψsin φ, z ψ=acos ψ.

∴E=222???z y x ++=(b+acos ψ)2, G=2

22ψ

ψψz y x ++=a 2, F=ψ?ψ?ψ?z z y y x x ++=0. ∴S=σd F EG D ??'

-2

=σψd a b a D ??'

+)cos (=??+π

πψψ?2020)cos (d a b d a =4ab π2.

8、求螺旋面??

???===???b z r y r x sin cos (0≤r ≤a, 0≤φ≤2π) 的面积.

解：∵x r =cos φ, y r =sin φ, z r =0; x φ=-rsin φ, y φ=rcos φ, z φ=b.

∴E=222r r r z y x ++=1, G=2

22?

??z y x ++=r 2+b 2, F=???z z y y x x r r r ++=0.

∴S=σd F EG D ??'-2

=σd b r D ??'

+2

2

=??+π

?2002

2

d dr b r a

=π???

?

??++++b b a a b b a a 222

22ln .

9、求边长为a 密度均匀的正方体关于其任一棱边的转动变量. 解：以正方体的一个顶点为原点，顶点上方的棱为z 轴，使 正方体处于第一卦限中，则正方体对z 轴上的棱的转动变量为： J z =ρ???+V dV y x )(22=ρ???+a

a

a

dz y x dy dx 00220)(=a ρ??+a

a

dy y x dx 0220)(

=a ρ?+a

dx a ax 032)31(=3

2a 5ρ. (ρ为正方体密度)