数学分析21.7n重积分(含习题及参考答案)

第二十一章 重积分

7 n 重积分

引例：设物体V 1中点的坐标为(x 1,y 1,z 1), V 2中点的坐标为(x 2,y 2,z 2), 它们的密度函数分别为连续函数ρ1(x 1,y 1,z 1)与ρ2(x 2,y 2,z 2), 且 设它们之间的引力系数为1. 在V 1中取质量微元ρ1dx 1dy 1dz 1, 在V 2中取质量微元ρ2dx 2dy 2dz 2. 由万有引力定律知, V 1的微元对V 2的微元的吸引力在x 轴上的投影为

3

2

221112121)(r

dz dy dx dz dy dx x x -ρρ, 其中r=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.

将两个物体的所有微元间的吸引力在x 轴上投影的量相加，就 得到物体V 1与V 2间的引力在x 轴上投影的值. 它是一个六重积分， 即F x =??????

-V

dz dy dx dz dy dx r

x x z y x z y x 2221113

2122221111)

)(,,(),,(ρρ.这是在由

六维数组(x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2)构成六维空间中六维区域V=V 1×V 2上的积分. 吸引力在y 和z 轴上的投影也同样可由六个自变量的积分来表示.

概念：规定n 维长方体区域：V=[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]的体积为 (b 1-a 1)×(b 2-a 2)×…×(b n -a n ). 又存在以下n 维体体积： n 维单纯形：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h. n 维球体：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2.

设n 元函数f(x 1,x 2,…,x n )定义在n 维可求体积的区域V 上. 通过对V 的分割、近似求和、取极限的过程，即得到n 重积分： I=n n V

dx dx dx x x x f ??????2121),,,(.

性质：1、若f(x 1,x 2,…,x n )在n 维有界区域V 上连续，则存在n 重积分. 2、若积分区域为长方体[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]，则有 I=n n V

dx dx dx x x x f ?????2121),,,(=?????n

n

b a n n b a b a dx x x x f dx dx ),,,(212122

11

.

3、当V 由不等式组

a 1≤x 1≤

b 1, a 2(x 1)≤x 2≤b 2(x 1),…, a n (x 1,…,x n-1)≤x n ≤b n (x 1,…,x n-1) 表示时，则有I=???--????)

,,,()

,,,(21)()(2112112

1

121

2

11

),,,(n n n n

x x x b x

x x a n n x b x a b a dx x x x f dx dx .

4、设变换T ：??????

??=???=?=)

,,,(),,,(),,,(2121222111n n n n

n x x x x x x ξξξξξξξξξ把n 维ξ1,ξ2,…,ξn 空间区域V ’ 一对一地映射成n 维x 1,x 2,…,x n 空间的区域V ，且在V ’上函数行列式

J=),,,(),,,(2121n n x x x ξξξ????=n n

n n n n x x x x x x x x x ξξξξξξξξξ???

?????

??????

???????

????2

1

2

221

2

12111

恒不为零,则有n 重积分换元公式：

I= n n n V

dx dx x x f ?????11),,(个=

n n n n n V

d d J x x f ξξξξξξ???????1111||)),,(,),,,((个.

例1：求n 维单纯形T n ：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h 的体积. 解：作变换x 1=h ξ1,x 2=h ξ2,…,x n =h ξn , 则J=h n , 单纯形T n 的体积为

△T n =h n

n n D d d d ξξξ????211

个=h n a n . 其中

D 1={(ξ1,ξ2,…,ξn )|ξ1+ξ2+…+ξn ≤1, ξ1≥0, ξ2≥0,…, ξn ≥0}，则

a n =

121110

1

--????-?n n T n d d d d n ξξξξ个, 其中

T n-1={(ξ1,ξ2,…,ξn-1)|ξ1+ξ2+…+ξn-1≤1-ξn , ξ1≥0, ξ2≥0,…, ξn-1≥0}. 又对积分a n 作变换ξ1=(1-ξn )ζ1,…, ξn-1=(1-ξn )ζn-1, 则J=(1-ξn )n-1,

a n = 1211101

2)1(---????-?n n D n n n d d d d ζζζξξ个= a n-1?--101)1(n n n d ξξ=n

a n 1-, 其中

D 2={(ζ1, ζ2,…, ζn-1)| ζ1+ζ2+…+ζn-1≤1, ζ1≥0, ζ2≥0,…, ζn-1≥0}.

当n=1时，a 1=1, ∴a n =!

1

n , 于是单纯形T n 的体积为△T n =!n h n .

例2：求n 维球体V n ：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2的体积.

解法一：作变换x 1=R ξ1,x 2=R ξ2,…,x n =R ξn , 则J=R n , 球体V n 的体积为

△V n =R n

n n d d d n ξξξξξ????≤+?+211

221 个

=R n b n . 其中

b n =121111

1

2

2121---≤+?+-????-?n n n d d d d n

n ξξξξξξξ 个

=?-11n d ξ△V n-1=b n-1?---1

1

21

2

)1(n n n d ξξ. 令ξn =cos θ, 则有b n =b n-1?-0

1cos sin πθθd n =2b n-1?20sin π

θθd n . 又

?20sin π

θθd n =??

?

????+=+=-12!)!12(!)!2(22!!2!)!12(m n ，m m m n ，m m π

, 及b 1=2, ∴△V n =R n

b n =???

????+=+=+12!)!12()2(22!122m n ，m R m n ，m R m m m

m ππ.

解法二：作变换x 1=rcos φ1,x 2=rsin φ1cos φ2, x 3=rsin φ1sin φ2cos φ3,…, x n-1=rsin φ1sin φ2…sin φn-2cos φn-1, x n =rsin φ1sin φ2…sin φn-1, 则 J=r n-1sin n-2φ1sin n-3φ2…sin 2φn-3sin φn-2, 积分区域为：

0≤r ≤R, 0≤φ1,φ2,…,φn-2≤π, 0≤φn-1≤2π, 从而 △V n =????------??π

ππ??????201

22312102001sin sin sin n n n n n n R

d r d d dr

=???----?πππ?????2010220112sin sin n n n n n d d d n R =????

???+=+=+12!

)!12()2(22!122m n ，m R m n ，m R m m m

m ππ.

注：特别地，当n=1,2,3时，有△V 1=2R ，△V 2=πR 2，△V 3=3

4πR 3.

求n 维空间中的曲面面积：

设x n =f(x 1,…,x n-1), f(x 1,…,x n-1)∈△?R n-1为n 维空间中的曲面，

则其面积为 112

121

11---?

????

? ????+?+????

????+???n n n n

n dx dx x x x x 个

.

例3：求n 维单位球面x 12+x 22+…+x n 2=1的面积.

解：n 维单位球面上半部为：x n =)(12

121-+?+-n x x (2121-+?+n x x ≤1), 又

2

1211???

? ????+?+???? ????+-n n n x x x x =n x 1

, ∴上半球面面积为 21

△S=n n n x x x dx dx n 11112121--≤+?+????- 个=)(1212111112121---≤+?++?+-??

??-n n n x x x x dx dx n

个

=?---+?+-+?+------≤+?++?+-????)

(1)

(121

2

1

1

2121

22212

2212121)

(1n n n x x x x n n n n x x x

x dx dx dx

个

. 又

?

--+?+-+?+----+?+-)

(1)

(1212112

2212221)

(1n n x x x x n n x x dx =π, ∴21

△S=π21212121--≤+?+????-n n x x dx dx n

个

=πb n-2, 其中b n-2=2121

2121--≤+?+????-n n x x dx dx n

个

为n-2维空间中单位球体体积.

由例2得n 维球面面积为：△S=2πb n-2=?????

??+=-=-12!

)!12()2(22)!

1(2m n ，m m n ，m m

m

ππ.

注：特别地，当n=1,2,3时，有△S 1=2，△S 2=2π，△S 3=4π.

习题

1、计算五重积分?????V

dxdydzdudv , 其中V ：x 2+y 2+z 2+u 2+v 2≤r 2.

解：根据例2的结论，当n=5时V 5=!!5)2(225πr =15

85

2r π.

2、计算四重积分????

++++----V

dxdydzdu u z y x u z y x 2

222222211, V ：x 2+y 2+z 2+u 2≤1.

解：令x=rcos φ1, y=rsin φ1cos φ2, z=rsin φ1sin φ2cos φ3, u=rsin φ1sin φ2sin φ3, 原式=????+-1

0212

32

22030201sin sin 11dr r r

r d d d ?????πππ =??+-1

320112

11sin 4dr r r r d π??π=2π2?+-103

2

2

11dr r r r =π2(1-4

π).

3、求n 维角锥x i ≥0,

n

n a x a x a x +?++22

11≤1, a i >0 (i=1,2,…,n)的体积. 解：令ξi =i

i

a x (i=1,2,…,n), 则V=n n a x dx dx n i i

i ??∑??≤=111

个=a 1…a n n n d d n i i ξξξ??∑??≤=11

1

个

.

由例1得V=!

1

n a 1…a n .

4、把Ω：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2上的n(n ≥2)重积分

n n n dx dx x x x f ?+?++???12

2221Ω

)(个化为单重积分，其中f(u)为连续函数. 解：令x 1=rcos φ1, x 2=rsin φ1cos φ2,…, x n-1=rsin φ1sin φ2…sin φn-2cos φn-1,

x n =rsin φ1sin φ2…sin φn-2sin φn-1, 则

n

n n dx dx x x x f ?+?++???12

2221Ω

)(个

=?????------??π

πππ???????2012231202020101sin sin sin )(n n n n n R

n d d d d dr r f r ,

∵?π0sin tdt n =2?20cos π

tdt n =?

??

??+Γ???

??+Γ2221n n π. ∴原式=?-??

? ??ΓR n h

dr r f r h 012)(22π.