数学分析 重积分的推广
数学分析论文
曲线积分的计算 摘要：曲线积分是定积分的推广，曲线积分的积分区域是平面的或空间的曲线，是某种和式的极限。从计算方法讲，曲线积分要化为定积分来计算。曲线积分分为第Ⅰ型、第Ⅱ型，重点放在第Ⅱ型上。 关键词：对弧长曲线积分 对坐标曲线积分 定积分 对称性 格林公式 积分与路径无关 斯托克斯公式 前言：第二型曲线积分与第一型曲线积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线积分可以看成是定积分的计算，其意义较容易理解，计算也相对简单。而第二型曲线积分又称为对坐标的积分，具有第一型曲线积分不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，变力分别在x 轴，y 轴沿曲线做功，这在物理学上有着重要的应用。对于不同类型的被积函数，对应的计算方法也不同。为了使计算更为简单，本文阐述了曲线积分的计算方法。 一、基本方法 1、曲线积分【第一类 ( 对弧长 )、第二类 ( 对坐标 ) 】→ （转化）定积分 （1） 选择积分变量 Ⅰ.用参数方程 Ⅱ.用直角坐标方程 Ⅲ.用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 Ⅰ.第一类: 下小上大 Ⅱ.第二类: 下始上终 2、对弧长曲线积分的计算 (1)设f （x ，y ）在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为{ （α≥t ≤β），其中φ（t ）、ψ（t ）在[α,β] 上具有一阶连续导数且ds y x f L ?),(=dt t t t t f ?+βα ψ?ψ?)(')(')](),([22(α<β) 注意： (1)定积分的下限α一定要小于上限β。 (2)f(x,y)中x,y 不彼此独立，而是相互有关的。 特殊情形 (1) L:y=)(x ψ a b x ≤≤ ds y x f L ? ),(=dx x x x f b a ?+)('1)](,[2ψψ (2)L:x=)(y ? c d y ≤≤ ds y x f L ?),(=y y f d c ?),([?例1求I=?L xyds ,L:椭圆 解：I=22 /02)cos ()sin (sin cos ?+-πt b t a t tb a dt x=φ(t) y=ψ(t)
数值分析公式、定理等
第一章 绪论 1. *x ＝ n 21k a a a .010?±，如果｜*x －x|≤0.5n k 10-?（这里n 是使此式成立的最大正整数），则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值。 2．定理：设x 的近似值*x 有（1-1）的表示式： （１）如果*x 有n 位有效数字，则 n 11 10a 21|x ||x x |-**?≤ - （２）如果n 1110) 1a (21 | x ||x x |-* *?+≤ -，则*x 至少有n 位有效数字。 第二章 非线性方程根求解 1. （零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使f(a)?f(b)<0，则必存在α∈(a,b)，使f(α)=0。 2.二分法的误差： |1 k 1k k k 2a b |x x ||x x +-*-=-≤- 3. 局部收敛性：设α是f(x)=0的根，若存在α的一个邻域?，当迭代初值属于?时，迭代法得到的序列{k x }收敛到α，则称该迭代法关于根α具有局部收敛性。 4. 收敛速度：设i x 为第i 次迭代值，α是f(x)=0的根，令α-=εi i x ，且假设迭代收敛，即α=∞ →i i x lim 。若存在实数P ≥1，使 c | |||lim p i 1i i =εε+∞ →≠0 ，则称此方法关于根α具有P 阶收敛速度。C 称为渐近误差常数，渐近误差常数C 与f(x)有关。C ≠0保证了P 的唯一性。对于特殊的函数，C 可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。一般情况下，P 越大，收敛就越快。当P=1时，我们称为线性收敛。P>1，称为超线性收敛。P=2，称为平方收敛。 5.牛顿迭代法：) x (f ) x (f x x k k k 1k '- =+ 定理3：如果方程f(x)=0的根α是单根，且在α的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton 迭代法必是局部收敛的 且 ) (f 2)(f lim 2i 1 i i α'α''- =εε+∞ →（即具有二阶收敛速度） 定理4：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r 阶连续导数，则Newton 法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。 定理5：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r+2阶连续导数，则修正Newton 迭代公式：)x ()x (f r x x i i i 1i '?-=+，具有局部收敛性，且具有二阶收敛速度。
数学分析学年论文
学年论文 题目： 学生： 学号： 院（系）： 专业： 指导教师： 2011 年月日
浅谈微积分以及如何学好数学分析 什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。 微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。 微积分的基本原理告诉我们求导和积分是互逆的运算，微积分的精髓告诉我们我们之所以可以解决很多非线性问题，本质的原因在于我们化曲为直了，现实生活中我们会遇到很多非线性问题，那么解决这样的问题有没有统一的方法呢？经过研究思考和总结，我认为，微积分的基本方法在于：先微分，后积分。 定理：如果函数F(x)是连续函数，则f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.牛顿--莱布尼兹公式公式进一步揭示了定积分与原函数(不定积分）之间的联系。它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数在[a,b]上的增量。因此它就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。通常也把牛顿--莱布尼兹公式称作微积分基本公式 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。 要学好微积分，我觉得应该注意以下3个方面： 1、基本概念 常常是这样,理解概念比理解定理更困难,而且更基本.概念不清前进.理解概念要从两个方面入手.一是概念的内涵,一是概念的外延.概念的内涵就是概念的基本属性.概念的外延就是概念所概括的一切对象.微积分的基本概念有五个:函数,极限,导数,微分和定积分. 函数概念讲的是两个实数集合间的对应关系.首先使用函数一词的是莱布尼兹,在1692年的论文中他第一次提出函数这一概念.随着数学的发展,函数的定义不断改进和明确.最先将函数概念公式化的是约翰.伯努利,他在1718年说:"一个变量的函数是指由这个变量和常量以任意一种方式组成的一种量."欧拉将伯努利的思想进一步解析化.在《无限小分析引论》(1748)中,他将函数定义为"变量的函数是一个由该变量与一些常数以任意方式组成的解析表达式.并明确宣布:"数学分析是关于函数的科学."微积分被视为建立的微分基础上的函数论.欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位.在这一定义的基础上,函数概念本身大大丰富了.欧拉还明确区分了代数函数与超越函数.他把超越函数看成是用无穷多次算术运算得到的表达式,即用无穷级数表示的函数.第一个给出函数一般定义的是
数学分析·下定义及定理
第十二章 数项级数 1、级数的收敛性 定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 ???++???++n u u u 21 （1） 称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中n u 称为数项级数（1）的通项. 数项级数（1）也常写作: ∑∞ =1 n n u 或简单写作 ∑n u . 数项级数（1）的前n 项之和，记为 n n k k n u u u u S +???++==∑=211 ， （2） 称它为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称部分和. 定义 2 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项级 数（1）收敛，称S 为数项级数（1）的和，记作 ???++???++=n u u u S 21或∑=n u S . 若{}n S 是发散数列，则称数项级数（1）发散. 定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m >N 以及对任意的正整数，都有 p m m m u u u ++++???++21<ε. （6） 定理12.2 若级数∑n u 与 ∑n υ 都收敛，则对任意常数,,d c 级数 ()∑+n n d cu υ亦收 敛，且 ()∑∑∑+=+. n n n n d u c d cu υυ 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性.
定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。 正向级数 定理12.5 正项级数 ∑n u 收敛的充要条件：部分和数列{}n S 有界，即存在某个正数M ， 对一切正整数n 有n S 第八5章不定积分 教学要求： 1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。 2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。 3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。 教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式； 教学时数：18学时 § 1 不定积分概念与基本公式（4学时）教学要求：积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。 教学重点：深刻理解不定积分的概念。 一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算. 二、讲授新课： （一）不定积分的定义: 1.原函数： 例1填空: ; ( ; ; ; ; . 定义. 注意是的一个原函数. 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法. 原函数的个数: Th 若是在区间上的一个原函数, 则对，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有. ( 证) 第二十一章重积分 教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分； 2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关的数学、物理方面的计算问题； 教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。 教学时数：22学时 § 1 二重积分概念 一.矩形域上的二重积分 :从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 . 定义二重积分 . 例1用定义计算二重积分 . 用直线网 分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点 . 解 . 二. 可积条件 : D . 大和与小和. Th 1 , . Th 2 , . Th 3 在D上连续 , Th 4 设 D ) . 若在D上有界 , 且 ( 或 在D \ 上连续 , 则 三．一般域上的二重积分： 1．定义：一般域上的二重积分. 2．可求面积图形: 用特征函数定义. 四.二重积分的性质 : 性质1 . 性质2 关于函数可加性 . 在D上可积在 性质3 则 和可积 , 且. 性质4 关于函数单调性 . 性质5 . 性质6 . 性质7 中值定理 . Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线 ( 或 在D上可积 . )组成 , 在D上连续 , 则 例3去掉积分中的绝对值 . § 2 二重积分的计算 二. 化二重积分为累次积分: 矩形域上的二重积分: 1. 2. 简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9. 例1 , . 解法一P221例3 , 解法二为三角形, 三个顶点为 . 例2 , . P221例2. 的两直交圆柱所围立体的体积 . P222例4. 例3求底半径为 数学分析中求极限的方法总结 摘要 数学分析是以极限为工具来研究函数的学科，掌握求极限的方法对学习数学分析有很大帮助，然而求极限的题型多变，技巧性强，本文总结了几种一般的求极限方法，并对专用于求数列极限和函数极限以及两者通用的方法进行归类总结，同时为每种方法相应的举例对方法加以说明. 关键词 极限 数列极限 函数极限 方法 总结 在我们所学过的数学分析中有数列极限和函数极限两种，我将用于专门求数列极限或函数极限，两者通用的方法进行了如下归纳. 1 求数列极限的方法 1.1 定义法 这是求数列极限最基本的方法. 设{n x }是数列，A 为常数，0>?ε，?正整数N ，当N n >有ε<-A x n 成立，称{n x }以A 为极限或{n x }收敛于A ，记作A x n n =∞ →lim .[1] 例1 证明0)1(lim =-∞→n n n 证明：0>?ε，取1]1 [+=εN ,则当N n >时，有 ε<--0)1(n n 0)1(l i m =-∴∞→n n n 1.2 等差等比数列的应用 求等比数列极限用此法必须保证公比1 求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →. 第九章 不定积分 1 定积分概念 一、问题提出 1、曲边梯形的面积：设f 为[a,b]上的连续函数，且f(x)≥0，由曲线y=f(x)，直线x=a ，x=b 以及x 轴所围成的平面图形，称为曲边梯形. 在[a,b]内任取n-1个分点，依次为：a=x 0 作的功就近似等于F(ξi )△x i , 从而W ≈∑=n 1 i F (ξi )△x i (△x i =x i -x i-1). 对[a,b]作无限细分时，和式与某一常数无限接近，则把此常数定义为变力所作的功W. 注：解决这类问题的思想方法概括为“分割，近似求和，取极限”. 二、定积分的定义 定义1：设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为：a=x 0 数学分析精品课程系列讲座 如何撰写数学分析优秀论文 张开能 (2010年2月10日) 第一章学术论文 §1.何谓学术优秀论文 学术论文是对某科学领域中的某个问题进行探讨、研究，表述其研究成果的文章。学术论文，也称科学论文、研究论文。 一.学术论文 1.可以是在某学科领域中经过自己的观察、实验、实践，有新的发现、发明、创造，陈述新的见解或主张； 2.可以是把一些分散的材料系统化,用新的观点或用新的方法加以论证，得出新的结论； 3.可以是推翻某学科领域中的某种旧的观点，提出新的见解。 二.学术论文的特征 学术论文的显著特征： 论文内容必须具有新发现、新发明、新创造或新推进。 三.学术论文的功能 学术论文的功能： 1.促进社会发展. 2.进行学术交流. 3.为人材考核提供一定的依据. 4.训练提高科研能力和写作能力. 总体上讲，撰写学术论文，可以提高作者调动和运用知识的能力，掌握分析研究问题的方法，可以提高科研能力、科研水平及理论思维水平。研读学术论文，则可以从中获取较为密集的、系统的、深广的知识，从而大大提高读者的知识水平和理论水平. §2.学术论文的性质 一.科学性 1.学术论文应本着科学的态度，运用科学的原理和方法，去阐明新的科学问题. 2.学术论文引用的观点和材料要有科学性. 二.理论性 1.每一门学科都有独特的研究领域，也都有各自的专门的学术语言、理论概念及理论体系. 2.学术论文应以正确的理论为基石，表述有一定的理论深度的科学研究成果. 三.创造性 1.论文一定要有新意. 2.创造性或创新性、创见性、独创性，是科学研究和学术论文的生命，是衡量学术论文价值的根本标志. 四.规范性 1.学术论文行文格式上要规范. 2.学术论文语言表达上要规范. §3.学术论文的分类 一.科研专业论文 科研专业论文，是记述创新性研究工作成果的书面文章。这种文章是指: 1.学科领域中专业技术人员表述科研的研究成果. 2.某些实验性理论性或观测性的新知识的科学记录. 3.某些已知原理应用于实际并取新进展的科学总结. 二.学业论文 (一).学年论文 学业论文指在校学生撰写的学术论文,它包括学年论文和毕业论文.在校学生在老师的指导下，通过撰写学年论文和毕业论文，培养科学研究的能力，同时借以考察同学掌握知识的深度、广度及解决问题的能力。 学年论文,是高等学校三年级学生的一种独立作业，写作目的是使学生初步学会运用专业知识进行科学研究的方法. (二). 毕业论文 (Ⅰ) .毕业论文 毕业论文,是高等学校应届毕业生的一种总结性的独立作业. 写毕业论文是高等学校学生为完成学业必须科目之一，是高等学校（包括函授、自学考试等办学形式）教学过程中的重要环节之一.其目的在于总结学生在校期间的学习成果，培养其具有综合应用所学知识解决实际问题的能力,并使学生受到科学研究的基本训练. 毕业论文根据学生所学专业的培养要求,在老师的指导下,选定题目,进行研究和撰写. 毕业论文完成后要进行答辩并评定成绩。 (Ⅱ).毕业论文的基本性质 毕业论文具有三方面的基本性质： 1.作为高等学校一种独立作业,毕业论文富有科学研究能力的培养性. 2.毕业论文需有一定的创见性. 3.毕业论文应具有科学性. 4.毕业论文应具有规范性. (三).学位论文 学位论文是学位申请者为申请学位在导师的指导下，完成的学术论文。学位论文包括学士论文、硕士论文、博士论文。 (Ⅰ) .学士论文 学士论文，是写得合乎要求的大学毕业论文:表明学位申请者,一是能够较好地掌握本学科的基础理论,专门知识和基本技能,二是初步具备从事科学研究工作或担负专门技术工作的能力。 数学分析学习方法 数学分析是基础课、基础课学不好，不可能学好其他专业课。工欲善其事，必先利其器。这门课就是器。学好它对计算科学专业的学生都是极为重要的。这里，就学好这门课的学习方法提一点建议供同学们参考。 1.提高学习数学的兴趣 首先要有学习数学的兴趣。两千多年前的孔子就说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”这里的“好”与“乐”就是愿意学、喜欢学，就是学习兴趣，世界知名的伟大科学家、相对论学说的创立者爱因斯坦也说过：“在学校里和生活中，工作的最重要动机是工作中的乐趣。”学习的乐趣是学习的主动性和积极性，我们经常看到一些同学，为了弄清一个数学概念长时间埋头阅读和思考；为了解答一道数学习题而废寝忘食。这首先是因为他们对数学学习和研究感兴趣，很难想象，对数学毫无兴趣，见了数学题就头痛的人能够学好数学，要培养学习数学的兴趣首先要认识学习数学的重要性，数学被称为科学的皇后，它是学习科学知识和应用科学知识必须的工具。可以说，没有数学，也就不可能学好其他学科；其次必须有钻研的精神，有非学好不可的韧劲，在深入钻研的过程中，就可以领略到数学的奥妙，体会到学习数学获取成功的喜悦。长久下去，自然会对数学产生浓厚的兴趣，并激发出学好数学的高度自觉性和积极性。用兴趣推动学习，而不是用任务观点强迫自己被动地学习数学。 2.知难而进，迂回式学习 首先要培养学习数学分析的兴趣和积极性，还要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，这一点在刚开始进入大学学习数学分析时尤为重要。 中学数学和大学数学，由于理论体系的截然不同，使得同学们会在学习该课程开始阶段遇到不小的麻烦，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 第21章重积分 21.1本章要点详解 本章要点 ■二重积分的概念 ■二重积分的定义、存在性及性质 ■格林公式 ■曲线积分与路径无关的定义 ■二重积分的变量替换 ■三重积分的定义、计算 ■重积分的应用 重难点导学 一、二重积分的概念 1．平面图形的面积 （1）设P是一平面有界图形，用某一平行于坐标轴的一组直线网T分割这个图形（如图21-1所示）这时直线网T的网眼——小闭矩形Δi可分为三类 ①Δi上的点都是P的内点； ②Δi上的点都是P的外点，即； ③Δi上含有P的边界点． 图21-1 将所有介于直线网T 的第①类小矩形（如图21-1中阴影部分）的面积加起来，记这个和数为s p （T ），则有（这里ΔR 表示包含P 的那个矩形R 的面积）；将所有第①类与笫③类小矩形（如图21-1中粗线所围部分）的面积加起来，记这个和数为S p （T ），则有s p （T ）≤S p （T ）． 由确界存在定理可以推得，对于平面上所有直线网，数集{s p （T ）}有上确界，数集{S p （T ）}有下确界，记 显然有 通常称I P 为P 的内面积，P I 为P 的外面积． （2）若平面图形P 的内面积I P 等于它的外面积P I ，则称P 为可求面积，并称其共同值P P P I I I ==为P 的面积． （3）平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给的ε＞0，总存在直线网T ，使得 S p （T ）－s p （T ）＜ε （4）平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积0P I =，即对任给的ε＞0，存在直线网T ，使得S p （T ）＜ε或对任给的ε＞0，平面图形P 能被有限个面积总和小于ε的 《函数极限的求法和技巧》论文 摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 关键词：函数极限 正文 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 lim ()0,0,:,x f x b A x x A ε→∞=??>?>?>有()f x b ε-< lim ()0,0,,x f x b A x A ε→-∞ =??>?>?<-有()f x b ε-< lim ()0,0,,x f x b A x A ε→+∞ =??>?>?>有()f x b ε-< lim ()0,0,:0,x a f x b x x a εδδ→=??>?>?<-<有()f x b ε-< lim ()0,0,:,x a f x b x a x a εδδ→+=??>?>?<<+有()f x b ε-< lim ()0,0,:,x a f x b x a x a εδδ→-=??>?>?-<<有()f x b ε-< 例1： 用极限定义证明 1 11lim x x x →+∞ -=+ 证明：不妨设想x>-1,? ε>0 ,要使不等式 12 111 x x x ε--=<++ 成立.解得x> 2 1ε -(限定0< ε<2)取A= 2 1ε -.于是， 2 0,1,,A x A εε ?>?= -?>有 1 11 x x --+< ε,即 函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。本论文将通过对函数的诞生与发展、函数在各个领域的应用及函数在未来的发展进行研究，从而让我们对函数有进一步的认识。 了解函数的诞生背景 1.早期函数的概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。 2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数 1718年约翰?贝努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。 1755，欧拉把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”18世纪中叶欧拉给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰?贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰?贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1821年，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。 1822年傅里叶发现某些函数也可以用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。 1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关 定义1 给定两个非负实数 其中00,a b 为非负整数，(),1,2,k k a b k =L 为整数，若有 则称x 与y 相等，记为x y =. 定义2 定义3 绝对值得一些性质 定义4 区间和邻域 定义5 有界的定义 定义6 确界的定义 定理1 定理一 确界原理 定理2 推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）. 函数的概念 定义1 函数的四则运算 初等函数 定义2 几个重要的等式（不等式） 数列极限 定义1 收敛数列的性质 定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且12k n n n <<< 无穷小量阶的比较（定义见下页末） 函数极限存在的条件 两个重要极限 常见的几个等价无穷小量 函数的连续 区间上的连续函数 连续函数的性质 导数和微分 定义2单侧导数 导函数 导数的几何意义 求导法则 反函数的导数 复合函数的导数 基本求导法则 基本初等函数导数公式 参变量函数的导数 高阶导数 定义略 微分 定义1 定理5.10 可微函数 若函数在定义区间上每一点都可微，则称函 数为可微函数. 微分的运算法则 高阶微分 第九章定积分 教学要求： 1知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题； 2.深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分； 3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题； 4.理解并熟练地应用定积分的性质； 5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点： 1.深刻理解并掌握定积分的思想，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分； 2.掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题； 3.理解并熟练地应用定积分的性质； 4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学时数：14学时 § 1 定积分概念（2学时） 教学要求：知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题； 教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想. 一、问题背景： 1.曲边梯形的面积: 2. 变力所作的功: 二、不积分的定义: 三、举例: 例1已知函数在区间上可积 .用定义求积分. 解取等分区间作为分法, . 取 .= . 由函数在区间上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 . 例2已知函数在区间上可积 ,用定义求积分. 解分法与介点集选法如例1 , 有 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分. 例3讨论Dirichlet函数在区间上的可积性 . 四、小结：指出本讲要点 § 2 Newton — Leibniz公式（2学时） 教学要求：深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学重点：能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. Th9.1 （N — L公式）( 证 ) 例1求ⅰ> ; ⅱ> ; 例2 求. §3可积条件（4学时） 教学要求：理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题. 教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题； 一、必要条件: Th 9.2 ，在区间上有界. 二、充要条件: 河南科技大学 课程设计说明书 课程名称数学分析课程设计 题目函数项级数的一致收敛性 学院数学与统计学院 班级＿＿数学与应用数学121班 学生姓名＿＿＿常惠丽 指导教师＿＿＿冯爱芬 日期＿2015年1月9号 课程设计任务书 （指导教师填写） 课程设计名称数学分析课程设计学生姓名常惠丽专业班级基数121 设计题目函数项级数的一致收敛性 一、课程设计目的 数学分析课程设计运用所学数学分析知识归纳、推广、研究若干有关课题。通过本课程设计，使学生更深入地理解所学数学分析的知识，掌握运用所学数学分析知识用于数学理论，设计算法，培养学生数学的思维和分析能力，为今后数学学习和应用打好基础。 二、设计内容、技术条件和要求 运用级数理论解决一定的实际问题。由此对级数收敛的判别方法形成深刻的认识，从而利用函数的级数展开分析问题和解决问题。 掌握数学分析的基本知识和基本理论，能熟练地进行基本运算，并具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及分析论证能力。 三、时间进度安排 第一天, 集中学习、讨论，给出参考资料，进行资料查阅。 第二天, 学生选题，初步拟定实习题目，开始研究、设计。 第三天, 再次讨论实习中所涉及的问题。教师指导。 第四天, 检查各小组的实习情况。教师指导。 第五天, 提交实习成果及文档。 四、主要参考文献 1．陈纪修．数学分析．第二版．北京：高等教育出版社，2004． 2．陈传璋，欧阳光中．数学分析．第二版．北京：高等教育出版社，2003．3．华东师大数学系编.数学分析．第三版．北京：高等教育出版社，2001．4．费定晖．Б.П.吉米多维奇数学分析习题集题解（1～6册）．第四版．济南：山东科学技术出版社，2012． 指导教师签字：2015 年 1 月 5 日 第一章 变量与函数 §1 函数的概念 一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示 二 函数 １．定义１ 设,X Y R ?，如果存在对应法则f ，使对x X ?∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量， y 为因变量。函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X . {}()|(),f X y y f x x X ==∈。 ２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。 例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ= ∈（相同，对应法则的表达形式不同） 。 （2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函 数()y f x =”或“函数f ”。 （3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的 象。a 称为()f a 的原象。 3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >?? ==??-，则称f 为X 上的严格减函数。 第二十一章 重积分 6重积分的应用 一、曲面的面积 问题：设D 为可求面积的平面有界区域，函数f(x,y)在D 上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程z=f(x,y), (x,y)∈D 所确定的曲面S 的面积. 分析：对区域D 作分割T ，把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). 曲面S 同时也被分割成相应的n 个小曲面片S i (i=1,2,…,n). 在每个S i 上任取一点M i , 作曲面在这一点的切平面πi , 并 在πi 上取出一小块A i , 使得A i 与S i 在xy 平面上的投影都是σi . 现在M i 附近，用切平面A i 代替小曲面片S i . 则当T 充分小时，有 △S=∑=?n i i S 1 ≈∑=?n i i A 1 , 这里的△S, △S i , △A i 分别表示S, S i 和A i 的面积. ∴当T →0时，可用和式∑=?n i i A 1 的极限作为S 的面积. 建立曲面面积计算公式： ∵切平面πi 的法向量就是曲面S 在点M i (ξi ,ηi ,ζi )处的法向量， 记其与z 轴的夹角为γi , 则|cos γi |=) ,(),(11 22i i y i i x f f ηξηξ++. ∵A i 在xy 平面上投影为σi , ∴△A i = i i γσcos ?=i i i y i i x f f σηξηξ?++),(),(122. 又和数∑=?n i i A 1 =∑=?++n i i i i y i i x f f 1 22),(),(1σηξηξ是连续函数 ),(),(122y x f y x f y x ++在有界闭区域D 上的积分和，∴当T →0时，有 △S=∑=→?++n i i i i y i i x T f f 1220 ),(),(1lim σηξηξ=??++D y x dxdy y x f y x f ),(),(122, 或△S=∑ =→?n i i i T 1 cos lim γσ=??∧ D z n dxdy ) ,cos(, 其中),cos(∧ z n 为曲面的法向量与z 轴正向夹角的余弦. 例1：求圆锥z=22y x +在圆柱体x 2+y 2≤x 内那一部分的面积. 解：由x 2+y 2≤x, 得D={(r,θ)|0≤r ≤2 1 , 0≤θ≤2π}, 又z x = 2 2y x x += r r θcos =cos θ, z y =22y x y +=r r θsin =sin θ, ∴△S=??++D y x dxdy z z 221=?? π θ20210 2rdr d = π4 2. 例2：设平面光滑曲线的方程为y=f(x), x ∈[a,b] (f(x)>0). 求证：此曲线绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为： S=?'+b a dx x f x f )(1)(22π. 证：由上半旋转面方程为z=22)(y x f -, 得 z x = 2 2)()()(y x f x f x f -', z y = 2 2 )(y x f y --. 即有 221y x z z ++=2 22 2222)()()()(1y x f y y x f x f x f -+-'+=2 222)()) (1)((y x f x f x f -'+. ∴S=??--'+b a x f x f dy y x f x f x f dx ) () (2 22)()(1)(2=??-'+b a x f dy y x f dx x f x f )(0222)(1 )(1)(4 =??---'+b a x f x yf d x f y dx x f x f ) (0 1 2 22))(()(11)(1)(4数学分析不定积分
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