一次函数的对称性专题-教师版
一次函数的对称性专题-教师版
8.因为一次函数y=kx+b与y=-kx+b(k≠0)的图像关于y轴对称，所以我们定义：函数y=kx+b的对称函数为y=-kx+b。
(1) 首先，根据题意，函数y=3x-2的“镜子”函数为y=-3x-
2.因此答案为y=-3x-2.
其次，根据题意，一对“镜子”函数y=kx+b与y=-
kx+b(k≠0)的图像交于点A，且与x轴交于B、C两点，如图所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，且它的面积
是16，求这对“镜子”函数的解析式。
我们可以先求出三角形ABC的三个顶点坐标：B(-4,0)，
C(4,0)，A(0,4)。
将B、A分别代入y=kx+b得：
-4k+b=0，b=4
k=1
因此，函数的解析式为y=x+4，其“镜子”函数为y=-x+4.
(2) 如图，一次函数y=-3x+3的函数图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°。
首先，我们可以求出三角形ABC的三个顶点坐标：
A(1,0)，B(0,3)，C(1,2)。
(1) 我们可以通过向量的方法求出△ABC的面积：
设向量AB为a，向量AC为b，则△ABC的面积为|a ×
b|/2.
a =。
b =
a ×
b = 1×2 - 3×0 = 2
|a × b| = 2
因此，△ABC的面积为1.
接下来，我们可以求出点P在直线y=-3x+3上的坐标，设其为P(m。-3m+3)。
将P代入向量AP和BP的长度公式中，得到：
AP^2 = (m-1)^2 + (-3m+3)^2
BP^2 = m^2 + (-3m)^2
因为∠ABC=30°，所以AP^2 = 3BP^2.
代入上面的式子，解得m = -2/3.
因此，点P的坐标为(-2/3.7/3)。
接下来，我们可以通过向量的方法求出四边形AOPB的面积：
设向量AP为a，向量BP为b，则四边形AOPB的面积为|a × b|/2.
a =。
b =
a ×
b = (-2/3)×3 - 7/3×1 = -5
|a × b| = 5/3
因此，四边形AOPB的面积为5/3.
当△APB与△ABC面积相等时，有：
S△APB = S△ABC
1/2×AP×BP×sin∠APB = 1/2×AB×BC×sin∠ABC
代入已知的数据，解得m = -1/3.
(2) 如果△QAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，根据题意，点Q的坐标为(-3.-3)或(3.-3)。
(3) 如果存在实数a，b使一次函数y=-3x+3和y=ax+b的图像关于直线y=x对称，那么必须满足：
a = -3 + b
b = a + 3
解得a = 3/2，b = 3/2.
一次函数的对称性专题-教师版
一次函数的对称性专题 1．关于一次函数21y x =-，21y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ） A ．关于直线y x =-对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 【答案】B 2．若一次函数(0)(0)y kx b x k =+≠≠与一次函数112y x = +的图象关于x 轴对称，则一次函数y kx b =+的解析式为 ． 【答案】112y x =-- 3． ①函数24y x =--关于1y =对称的直线函数解析式为________________； ②函数24y x =--关于y x =对称的直线函数解析式为________________； ③一次函数y ax b =+的图象1L 关于直线y x =-轴对称的图象2L 的函数解析式是________________． 【答案】①26y x =+；②122y x =--；③1b y x a a =+ 4．和直线53y x =-关于y 轴对称的直线解析式为__________________． 和直线2y x =--关于x 轴对称的直线解析式为__________________． 【答案】53y x =--；2y x =+ 5．求一次函数21y x =+的图象关于原点对称图象的解析式． 【答案】解：直线21y x =+关于原点对称的解析式为21y x =-． 6．直线3y x =-与一次函数y kx b =+关于1x =对称，求k ，b ． 【答案】解：直线3y x =-与x ，y 轴交点分别为(3,0)，(0,3)-， ∴点(3,0)，(0,3)-关于直线1x =的对称点分别为(1,0)-，(2,3)-， ∴023k b k b -+=??+=-?，解得11k b =-??=-? ．
一次函数的对称性专题-教师版
一次函数的对称性专题-教师版 8.因为一次函数y=kx+b与y=-kx+b(k≠0)的图像关于y轴对称，所以我们定义：函数y=kx+b的对称函数为y=-kx+b。
(1) 首先，根据题意，函数y=3x-2的“镜子”函数为y=-3x- 2.因此答案为y=-3x-2. 其次，根据题意，一对“镜子”函数y=kx+b与y=- kx+b(k≠0)的图像交于点A，且与x轴交于B、C两点，如图所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，且它的面积 是16，求这对“镜子”函数的解析式。 我们可以先求出三角形ABC的三个顶点坐标：B(-4,0)， C(4,0)，A(0,4)。 将B、A分别代入y=kx+b得： -4k+b=0，b=4 k=1 因此，函数的解析式为y=x+4，其“镜子”函数为y=-x+4. (2) 如图，一次函数y=-3x+3的函数图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°。 首先，我们可以求出三角形ABC的三个顶点坐标： A(1,0)，B(0,3)，C(1,2)。 (1) 我们可以通过向量的方法求出△ABC的面积： 设向量AB为a，向量AC为b，则△ABC的面积为|a × b|/2.
a =。 b = a × b = 1×2 - 3×0 = 2 |a × b| = 2 因此，△ABC的面积为1. 接下来，我们可以求出点P在直线y=-3x+3上的坐标，设其为P(m。-3m+3)。 将P代入向量AP和BP的长度公式中，得到： AP^2 = (m-1)^2 + (-3m+3)^2 BP^2 = m^2 + (-3m)^2 因为∠ABC=30°，所以AP^2 = 3BP^2. 代入上面的式子，解得m = -2/3. 因此，点P的坐标为(-2/3.7/3)。 接下来，我们可以通过向量的方法求出四边形AOPB的面积： 设向量AP为a，向量BP为b，则四边形AOPB的面积为|a × b|/2. a =。 b = a × b = (-2/3)×3 - 7/3×1 = -5 |a × b| = 5/3 因此，四边形AOPB的面积为5/3.
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念： ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为a b x 2-=。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心， 2 ππ+=k x 是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，) 0,2(ππ+k 是它的对称中心。 （11）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中)0,2 ( πk 是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。 （12）对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴。 （13）三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
高考专题 函数对称性
函数对称性 一 知识点精讲： I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x += 的对称点为00(,) Q a b x y +-，00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--== ∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x += 对称. 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 (c b a +对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点( ,)2a b c +的对称点为00(,2) Q a b x c y +--，00()[()]f a b x f b x a +-=-+0002[()]2()2c f b b x c f x c y =---=-=- ∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,)2 a b c +对称. 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 II 两个函数的图象对称性（相互对称） 1、)(x f y =与)(x f y -=图象关于y 轴对称 2、)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于x 轴对称 4、函数)(x f y =与其反函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 5.函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线2a b x -=对称 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线 2 b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --，000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线
1一次函数Yx对称
1一次函数Y=kx+b的图像关于x轴对称的解析式,把(x,-y)代入Y=kx+b化简可得:y=-kx-b 2一次函数Y=kx+b的图像关于y轴对称对称的解析:把(-x,y)代入Y=kx+b化简可得:y=-kx+b 3.一次函数Y=kx+b的图像关于原点对称的解析:把(-x,-y)代入Y=kx+b化简可得:y=kx-b 已知一次函数y=kx+b的图像过点1,2，且与y轴交于点p，若直线y =-0.5x+2与y轴的交点为q，点q与点p关于x轴对称 y=kx+b过1,2得k+b=2 y=-0.5x+2与Y轴交q得q(0,2) q,p关于X轴对称知p(0,-2) 即y=kx+b与Y轴p(0,-2)得b=-2 代入第一个式子可得k=4 y=4x-2 一次函数y=kx+b的图像为C,C关于y轴对称的图形为C1,C1关于X轴对称的图形为C2，若C2与C重合，求k,b 解：由题意，C与C2关于原点对称 （推导：C :y=f(x),C1 :y=f(-x),C2:-y=f(-x),即对任意x，在C上为(x,y)，在C2上为(-x,-y)，所以C 与C2关于原点对称)， 因为二者重合，定义域为R， 所以C为奇函数， 则-(kx+b)=k(-x)+b恒成立， 解得 k为任意实数，b=0， 关于X轴Y轴及原点对称的性质 满意答案：关于x轴对称这个点P（a,b）的对称点为P‘（a,-b）:即横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称这个点P（a,b）的对称点为P‘（-a,b）:即横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称这个点P（a,b）的对称点为P‘（-a,-b）：即横坐标和纵坐标都互为相反数 小明将某点关于x轴的对称点误认为是关于y轴的对 称点,得到点(-3,-2),求该点关于x轴、原点的对称解:点(-3,-2)关于y轴的对称点为(3,-2),即该点为(3,-2),则该点关于x轴的对称点为(3,2)。原点的对称（-3,2） 将某一点关于X轴的对称点误认为是关于Y轴的对称点,得到(—3,—2),所以原点是（-3,2）关于x轴的对称点的坐标（3,2）原点的对称（3-2）
一次函数图象的变换--对称
一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。 知识点： 1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。 2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用： 例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。 分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数； 关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数； 关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点 解：1、关于x轴对称 设点（x , y ）在直线l上，则点（x , -y ）在直线y=2x+6上。 即：-y=2x+6 y=-2x-6 所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6. 关于直线对称。 2、关于y轴对称 设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。 即：y=2(-x) +6 y=-2x+6 所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.
3、关于直线x=5对称（作图） 由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10 所以点C （-x+10, y） 设点（x,y）在直线l上， 则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。 即：y=2（-x+10）+6 y=-2x+26 所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26. 总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。 关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数； 关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数； 关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题 中分析的方法去求对称点。 练习：1、和直线y=5x-3关于y轴对称的直线解析式为，和直线y=-x-2关于x轴对称的直线解析式为。 2、已知直线y=kx+b与直线y= -2x+8关于y轴对称， 求k、b的值。 答案：1、y=-5x-3;y=x+2 分析：设点（x,y）在直线上，则点（-x,y）在关于y轴对称的直线y=5x-3上，所以直线为y=-5x-3;设点（x,y）在直线上，则点（x,-y）在
2022年最新中考数学知识点梳理 考点09 一次函数(教师版)
2022年最新 中考数学知识点梳理 考点总结 + 真题演练 涵盖近年来的中考真题和中考模拟
考点09 一次函数 考点总结 一、正比例函数的概念 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数． 二、一次函数 1.一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2.一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0． 一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数. 3.注意 （1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. （2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数. （3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 三、一次函数的图象及性质 1．正比例函数的图象特征与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． 2.一次函数的图象特征与性质 （1）一次函数的图象
（2）一次函数的性质 ≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-b k ，即直线y=kx+b与x轴交于（– b k ，0）． ①当–b k >0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–b k =0，即b=0时，直线经过原点． ③当–b k <0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 四、待定系数法 1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．
高考数学复习专题3 函数的周期性、对称性(解析版)
专题3函数的周期性、对称性 1．函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()1f x -为偶函数，当[]01x ∈，时，()1 2f x x =,若函数()()g x f x x b =--恰有一个零点,则实数b 的取值集合是( ） A ．11224 4k k k z ⎛⎫ -+∈ ⎪⎝ ⎭， ， B ．15222 2k k k z ⎛⎫ ++∈ ⎪⎝ ⎭， ， C ．114444k k k z ⎛ ⎫ -+∈ ⎪⎝ ⎭ ， ， D ．1154444k k k z ⎛ ⎫ ++∈ ⎪⎝ ⎭ ， ， 【解析】 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数， ()(),(1)(1)f x f x f x f x -=---=-， (2)((1)1)()()f x f x f x f x -=--=-=-， 即(2)(),(4)(2)()f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=， ()f x ∴的周期为4。 []01x ∈，时,()1 2f x x ==, []1 2 ,[0,1],()()1,0()x f x x x f x -∈-=-=-∈-， ()f x ∴= (1)(1),()(2)f x f x f x f x --=-∴=--, ()f x 周期为4，()(2)(2)f x f x f x ∴=--=-+， 当[1,2],2[0,1],()(2)x x f x f x ∈-+∈=-+= 当[2,3],2[1,0],()(2)x x f x f x ∈-+∈-=-+= 做出函数()f x 图像,如下图所示: 令()()0g x f x x b =--=, 当[1,0]x ∈-，()()0g x f x x b x b =--=-=，
高中数学讲义微专题05 函数的对称性与周期性
微专题05 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2） ()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2 a b x += 轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如 ()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号 相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x += 为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为 方便 （3） ()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是 指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若 ()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相 反数，则函数值相等，所以有 ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦ ② 本结论也可通过图像变换来理解， ()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为 ()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。 3、中心对称的等价描述： （1） ()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数） （2） ()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭ 轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如 ()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点， 一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2 a b x += 为所给对称中心即可。例如：()f x 关于()1,0-中心对称()()2f x f x ⇒=---，或得到()()35f x f x -=--+均可，同样在求函数值方面，一侧是()f x 更为方 便 （3） ()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 轴对称。
2023年数学教案：数学 - 函数的对称性与周期性(精选3篇)
2023年数学教案：数学 - 函数的对称性与周期性（精选3篇） 教案一：函数的对称性 教学目标： 1. 能够理解函数的对称性的概念。 2. 能够识别并绘制函数的对称轴。 3. 能够利用函数的对称性来简化计算和证明过程。 教学准备： 1. 彩色粉笔或者白板笔 2. 图形绘制工具（纸和铅笔或者计算机绘图软件） 教学过程： 步骤1：引入概念（5分钟） 首先，教师可以引入函数的对称性概念。可以使用具体的例子来说明，例如y = x²这个函数。让学生观察这个函数的图像， 并指出函数的对称轴在x轴上。 步骤2：识别对称轴（15分钟） 然后，教师可以给学生更多的例子，让他们识别函数图像的对称轴。可以使用不同类型的函数，如多项式函数、三角函数等。 步骤3：绘制对称轴（25分钟） 现在，学生可以用纸和铅笔，或者计算机绘图软件，绘制给定函数的图像，并标出对称轴。教师可以给予学生一份工作表，上面列有几个函数，要求学生绘制它们的图像和标出对称轴。 步骤4：应用对称性（15分钟）
最后，教师可以给学生一些问题，让他们应用对称性来简化计算和证明过程。例如，让学生证明一个函数在对称轴上的值是相等的，或者让他们通过给定函数的对称轴来求出其他点的函数值。 教学延伸： 教师可以进一步探讨函数的奇偶性质与对称性的关系，以及函数的图像在对称轴两侧的关系。 教案二：函数的周期性 教学目标： 1. 能够理解函数的周期性的概念。 2. 能够识别函数的周期和周期的长度。 3. 能够利用函数的周期性来简化计算和证明过程。 教学准备： 1. 彩色粉笔或者白板笔 2. 图形绘制工具（纸和铅笔或者计算机绘图软件） 教学过程： 步骤1：引入概念（5分钟） 首先，教师可以引入函数的周期性概念。可以使用具体的例子来说明，例如y = sin(x)这个函数。让学生观察这个函数的图像，并指出函数的周期为2π。 步骤2：识别周期（15分钟） 然后，教师可以给学生更多的例子，让他们识别函数的周期和
一次函数对称与平移
§一次函数对称与平移 龙湖中学王丹凤 教学目标： 知识与能力：掌握直线y=kx+b关于x轴，关于y轴，关于原点对称的直线解析式中k,b 的规律；直线y=kx+b沿y轴上下 平移，沿x轴左右平移的规律。 过程与方法：学生自己动手画图，求解。老师再辅以几何画板直观演示。 情感与态度：在探究过程中，随着问题的不断深入，锻炼学生们探索钻研的精神。 教学重点：直线y=kx+b关于x轴，关于y轴，关于原点对称的直线解析式中k,b 的规律；直线y=kx+b沿y轴上下平移， 沿x轴左右平移的规律。 教学难点：探究求关于x轴，关于y轴，关于原点对称的直线解析式以及平移的方法和步骤。 教学过程： 一、温故知新 1、复习P(a,b)关于x轴对称点，关于y轴对称点，关于原点对称点。 2、一次函数y=kx+b（k≠0)中k,b的作用。 3、待定系数法的四个步骤。 二、新课讲授 〈一〉、对称
探究1： 请画出直线y=2x-2关于x 轴对称的图像并求出解析式。 （学生自己先动手画图求解；老师再用几何画板演示，并板书求解析式的过程。启发引导学生找出直线关于x 轴对称的k,b 的规律。） g x () = 2∙x + 2f x () = 2∙x 2 ◇[系统初始化] ◇[显示网格线] ◇[隐藏刻度线] ◇[隐藏刻度值] ◇[xy 等单位长] ◇[切换成数轴] ◇[还原坐标系] ◇[改刻度字体] ◇[操作控制台] 探究2： 请画出直线y=2x-2关于y 轴对称的图像并求出解析式。 （学生自己先动手画图求解；老师再用几何画板演示，请同学上黑板板演求解析式的过程。启发引导学生找出直线关于y 轴对称的k,b 的规律。） y g x () = 2∙x 2f x () = 2∙x 2◇[系统初始化] ◇[显示网格线] ◇[隐藏刻度线] ◇[隐藏刻度值] ◇[xy 等单位长] ◇[切换成数轴] ◇[还原坐标系] ◇[改刻度字体] ◇[操作控制台] 探究3：请画出直线y=2x-2关于原点对称的图像并求出解析式。 （学生自己先动手画图求解；老师再用几何画板演示，请同学上
高考数学专题复习 函数的周期性、对称性(原卷版)
第四讲函数的周期性与对称性 【套路秘籍】 一．对称性 （一）对称轴 1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。 2.常见函数的对称轴 ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a) ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心 ⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0） ⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。 ⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 ⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx │就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称 （二）中心对称 1.概念：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心
初二数学.秋.直升班.教师版.第8讲 反比例函数和一次函数综合
模块一：反比例函数和一次函数图象综合 模块二：反比例函数的对称性 模块三：平行和相等模型 （1）函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（）
A．B．C．D．（2）在同一坐标系内，表示函数与（，）的图像只可能是下图中的（）A．B．C．D．
（1）C；（2）B． 【教师备课提示】这道题主要考查一次函数和反比例函数的图象． 如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值小于一次函数的值． （1），； （2）或． 【教师备课提示】这道题主要考查图象和不等式综合，是A19最常考的题型． （1）如图3-1，直线与双曲线交于A、B两点，坐标分别为，，则的值为_________． （2）如图3-2，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4．过原点O 的另一条直线l交双曲线于P、Q两点（P点在第一象限），若由点P、Q、A、B为顶点组成的四边形面积为24，则点P的坐标为____________． 图3-1 图3-2
（1）；（提示：，） （2）由对称性可得，，，则四边形APBQ是平行四边形， ∴，设P点坐标为， 若，则，解得（舍负），∴； 若，则，解得（舍负），∴， 故P点坐标为或． 【教师备课提示】这道题主要考查反比例函数和正比例函数的对称性． （1）已知一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是_________． （2）已知一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是_________． （1）；（2）． 【教师备课提示】这道题主要考查反比例函数和特殊的一次函数的对称性，顺便复习下点关于或者对称的规律． （1）如图5-1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数在第一象限内的图象交于C、D两点，已知C点的横坐标为．则的面积为______________． （2）如图5-2，已知直线与双曲线交于两个不同的点()和．直线与y轴交于点C，则的面积S和m的函数关系式为_________________．
数学《函数的对称性与周期性》教案(新人教A版)
1．函数对称性与周期性 知识归纳： 一．函数自身的对称性结论 结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a －x ，2b －y ）也在y = f (x)图像上，∴ 2b －y = f (2a －x) 即y + f (2a －x)=2b 故f (x) + f (2a －x) = 2b ，必要性得证。 （充分性）设点P(x 0,y 0)是y = f (x)图像上任一点，则y 0 = f (x 0) ∵ f (x) + f (2a －x) =2b ∴f (x 0) + f (2a －x 0) =2b ，即2b －y 0 = f (2a －x 0) 。 故点P ‘（2a －x 0，2b －y 0）也在y = f (x) 图像上，而点P 与点P ‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (b －x)那么函数本身的图像关于直线x = 2a b +对称，反之亦然。 证明 ：已知对于任意的00,x y 都有f(a+0x ) =f(b －0x )=0y 令a+0x ='x , b －0x =" x 则Ａ（'x ，0y ），Ｂ（"x ，0y ）是函数y=f(x)上的点 显然，两点是关于x= 2a b +对称的。 反之，若已知函数关于直线x = 2a b +对称， 在函数y = f (x)上任取一点Ｐ（00,x y ）那么P （00,x y ） 关于x = 2a b +对称点'P （a+ b －0x ,0y ）也在函数上 故f(0x )=f(a+ b －0x )⇔f(a+(0x -a))=f(b-(0x -a)) 所以有f (a +x) = f (b －x)成立。 推论1：函数 y = f (x)的图像关于直线x = a 对称的充要条件是f (a +x) = f (a －x) 即f (x) = f (2a －x)
八年级数学一次函数之轴对称最值问题(人教版)(专题)(含答案)
一次函数之轴对称最值问题（人教版）（专题） 一、单选题(共7道，每道15分) 1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，点B(-2，1)，在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标( ) A.(0，0) B.(0，1) C.(0，-1) D.(-1，0) 答案：D 解题思路： 1.思路分析： 2.解题过程： 如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC， 则直线BC与x轴的交点即为使点P到A，B两点的距离之和最小的点．
设点B，C所在直线的表达式是y=kx+b， ∵B(-2，1)，C(2，-3)，在直线y=kx+b上， ∴， ∴， ∴， ∴当y=0时，x=-1， ∴图象与x轴交于点(-1，0)． 故选D． 试题难度：三颗星知识点：略 2.已知点M(1，2)和点N(5，6)，点P是y轴上的一个动点，当△PMN的周长最小时，点P 的坐标是( ) A.(0，) B.(0，1) C.(，0) D.(-1，0) 答案：A 解题思路： 1.思路分析： C△PMN=PM+PN+MN，MN的长度固定，可转化为PM+PN最小 2.解题过程： 如图，作点M关于y轴的对称点M′，连接M′N， 则直线M′N与y轴的交点即为使PM+PN最小的点．
设点M′，N所在直线的表达式是y=kx+b， ∵M′(-1，2)，N(5，6)在直线y=kx+b上， ∴， ∴， ∴， ∴当x=0时，y=， ∴图象与y轴交于点(0，)． 故选A． 试题难度：三颗星知识点：略 3.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB 的值最小时，点P的坐标为( )
一次函数中的折叠、翻折、对称问题专题(专项练习)
一次函数中的折叠、翻折、对称问题专题 （专项练习） 1．如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2-和()2,0，该图象记作直线l ．某同学 为观察k ，b 对函数图象的影响，将这个一次函数中的k 与b 交换位置后得到一个新的函数， 新函数图象记作直线l '． (1) 求直线l 的解析式； (2) 若直线3x =与直线l ，l '分别相交于点A ，B ，求AB 的长； (3) 若直线x m =与直线l ，l '及x 轴有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出m 的值． 2．一次函数y 3 ＋2的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第二象限内作等边△ABC ． (1)求C 点的坐标； (2)在第二象限内有一点M （m ，2），使ABM ABC S S =，求M 点的坐标； (3)将△ABC 沿着直线AB 翻折，点C 落在点E 处；再将△ABE 绕点E 顺时针方向旋转15°，点B 落在点F 处，过点F 作FG ⊥y 轴于G ．求△EFG 的面积．
3．一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A （﹣8，0）和点B （0，6）．点C 在线段AO 上．如图，将△CBO 沿BC 折叠后，点O 恰好落在AB 边上点D 处． （1）求一次函数的解析式； （2）求AC 的长； （3）点P 为x 轴上一点．且以A ，B ，P 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点坐标． 4．如图，一次函数y=-2 3 x+b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，线段AB 的中点为D （3，2）．将△AOB 沿直线CD 折叠，使点A 与点B 重合，直线CD 与x 轴交于点C ． （1）求此一次函数的解析式； （2）求点C 的坐标； （3）在坐标平面内存在点P （除点C 外），使得以A 、D 、P 为顶点的三角形与△ACD 全等，请直接写出点P 的坐标． 5．如图1．在平面直角坐标系中，一次函数323y x =-+x 轴，y 轴分别交
高数—12暑—10—对称性与周期性、函数的图像—顾铭鉴-教师版
高三数学暑假班（教师版）教师日期 学生 课程编号10 课型复习课题对称性与周期性、函数的图像 教学目标 1．掌握函数的对称性、周期性等性质，熟悉常考题型 2．掌握函数的图象变换的基本模型，能应用基本模型解决实际问题 教学重点 1．函数的周期、对称问题的综合 2．函数图像变换的基本模型的分析 教学安排 版块时长1例题解析80 2巩固训练30 3师生总结10 4课后练习30
一、对称性 （一）一个函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称性） 1、轴对称 ()()()f a x f b x f x +=-⇔ 的图象关于直线()()22 a x b x a b x ++-+= = 对称 推论1、()()()f a x f a x f x +=-⇔的图象关于直线x a =对称 推论2、()(2)()f x f a x f x =-⇔的图象关于直线x a =对称 推论3、()(2)()f x f a x f x -=+⇔的图象关于直线x a =对称 2、中心对称 ()()2()f a x f b x c f x ++-=⇔的图象关于点( ,)2 a b c +对称 推论1、()()2()f a x f a x b f x ++-=⇔的图象关于点(,)a b 对称 推论2、()(2)2()f x f a x b f x +-=⇔的图象关于点(,)a b 对称 推论3、()(2)2()f x f a x b f x -++=⇔的图象关于点(,)a b 对称 （二）两个函数的图象对称性（互对称性）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、()y f x =与()y f x =-图象关于y 轴对称 2、()y f x =与()y f x =--图象关于原点对称 3、()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称 4、()y f x =与其反函数1 ()y f x -=图象关于直线y x =对称 ※5、函数()y f a x =+与()y f b x =-图象关于直线2 b a x -= 对称 对称性与周期性、函数的图像 知识梳理