函数的对称性

一、有关对称性的常用结论

1、轴对称

(1))(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称；

(2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+⇔()(2)f x f a x =- ⇔()(2)f x f a x -=+；

（3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2

b a x +=

对称。 2、中心对称

（1）)(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；.

（2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称⇔)()(x a f x a f --=+⇔()(2)f x f a x =-- ⇔)2()(x a f x f +=-；

（3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称⇔b x a f x a f 2)()(=++-

⇔b x f x a f 2)()2(=+-

（4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函

数)(x f y =的图象关于点)2

,2(

c b a + 对称。二、练习题

（一）选择题

1. 已知定义域为R 的函数)(x f 在）

，（∞+8上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（） A ．)7()6(f f > B.)9()6(f f > C.)9()7(f f > D.)10()7(f f >

2．设函数)(x f y =定义在实数集R 上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（）对称。

A.直线0=y

B.直线0=x

C.直线1=y

D.直线1=x

3.（中山市09年高三统考）偶函数()()f x x R ∈满足：(4)(1)0f f -==，且在区间[0,3]与),3[+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为（）

A ．),4()4,(+∞--∞Y ；

B ．)4,1()1,4(Y --

C ．)0,1()4,(---∞Y ；

D ．)4,1()0,1()4,(Y Y ---∞

4. 若函数c bx x x f ++=2)(对一切实数都有)2()2(x f x f -=+，则（）

A. )4()1()2(f f f <<

B. )4()2()1(f f f <<

C. )1()4()2(f f f <<

D. )1()2()4(f f f <<

5．函数)(x f y =在)20(，上是增函数，函数)2(+=x f y 是偶函数，则下列结论中正确的是

（） A. )27()25()1(f f f << B. )2

()1()27(f f f << C. )1()25()27(f f f << D. )1()2

7()25(f f f << 6.设函数3)()(a x x f +=对任意实数x 都有)2()2(x f x f --=+,则=-+)3()3(f f ( )

A.－124

B. 124

C. －56

D.56

7.函数)(x f 的定义域为R ，且满足)()-12(x f x f =,方程0)(=x f 有n 个实数根，这n 个实数根的和为1992，那么n 为（）

A. 996

B. 498

C. 332

D. 116

8.设)(x f y =是定义在实数集R 上的函数，且满足)()-(x f x f =与)()-4(x f x f =，若当

]2,0[∈x 时，1)(2+-=x x f ,则当]4,6[--∈x 时，=)(x f （）

A.12+-x

B.1)2(2+--x

C. 1)4(2++-x

D. 1)2(2

++-x 9.(2009全国卷)函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1-(x f 都是奇函数，则( )

A ．)(x f 是偶函数

B ．)(x f 是奇函数

C ．)2()(+=x f x f

D ．)3(+x f 是奇函数

10.(2009·四川高考)已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则))25((f f 的值是( ) A ．0 B.12 C ．1 D.52

11.设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)10()-10(x f x f +=与)20()-20(x f x f +-=，则)(x f 是（）

A. 偶函数，又是周期函数，

B. 偶函数，但不是周期函数

C. 奇函数，又是周期函数，

D. 奇函数，但不是周期函数

(二)填空题

12. 函数)1(+=x f y 为偶函数，则函数)(x f 的图像的对称轴方程为

13. 函数)2(-=x f y 为奇函数，则函数)(x f y =的图像的对称中心为

14.（09年深圳九校联考）已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，若当(0,)∈+∞x 时，()lg =f x x ，

则满足()0>f x 的x 的取值范围是．

15. 已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，对于R x ∈都有)3()()6(f x f x f +=+成立，且

2)4(-=-f ，当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有

0)()(21>-x f x f .则给出下列命题：

①2)2008(-=f ；

②函数)(x f y =图像的一条对称轴为6-=x ；

③函数)(x f y =在]6,9[--上为减函数；

④方程0)(=x f 在]9,9[-上有4个根．

其中所有正确命题的序号为____ ____．

（三）解答题

16. 设1)(2

+=x x f ,求)1(+x f 关于直线2=x 对称的曲线方程。

17．已知函数)1(+x f 的图象，通过怎样的变换可以得到函数)2(+-x f 的图象。

18．已知实系数多项式函数)(x f 满足)3()1(x f x f +=-, 并且方程0)(=x f 有四个根，求这四个根之和。

19．设1)(2+=x x f , 若)(x g 的图象与)2(+=x f y 的图象关于点)1,1(对称，求)(x g .

参考答案

（一）选择题

1～4、DDDA 5～8、BACC

9、解: Q (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--， ∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数 . )3()41()1()1()41()3(+--=+---=---=-=+-=+∴x f x f x f x f x f x f ， )3()3(+-=+-∴x f x f ，即(3)f x +是奇函数。故选D

10、解：若x ≠0，则有)(1)1(x f x x x f +=+取2

1-=x ，则有)21()21()21(2

121

1)121()21(f f f f f -=--=---

=+-=由此得0)21(=f 于是0)2

1(5)21(]21211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+=+==+=+=f f f f f f f 故选A

11、40102044=-=-=b a T

=+-=-=--=-+=+-=-∴)4020()20()]30(10[)]30(10[)40()(x f x f x f x f x f x f )()]10(10[)]10(10[)20()20(x f x f x f x f x f -=---=-+-=--=+

所以为奇函数。故选C

(二)填空题

12、1=x 13、)0,2(- 14、画出草图可知),1()0,1(+∞-∈Y x

15、①②③④ 在)3()()6(f x f x f +=+中令3-=x 得0)3(=-f ， 0)3()3(=-=∴f f 故)()6(x f x f =+,6=∴T ,2)4()4()46334()2008(-=-==+⨯=f f f f

结合函数草图可知①②③④都正确。

（三）解答题

16、解：26102

+-=x x y 17、解：)()1(1x f y x f y =−−

−−→−+=个单位右移)(x f y y -=−−−−→−轴对称

关于

)2()]2([2+-=--=−−−−→−x f x f y 个单位右移

18、解：在)3()1(x f x f +=-中令t x =-1得)4()(t f t f -=)2()2(t f t f -=+∴

)(x f y =∴的对称轴为2=x

设方程0)(=x f 的四个根分别为22112,2,2,2x x x x -+-+，则它们的和为8.

19、解：158)(2

-+-=x x x g

函数的对称性

函数的对称性新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念： ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为a b x 2-=。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2π π+=k x 是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，)0,2(ππ+k 是它的对称中心。（11）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中)0,2(π k 是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。（12）对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴。（13）三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

函数的对称性

函数的对称性函数的对称性是指函数的图形在一条对称轴上的对称表现，或者说任意函数的定义域内的变化模式有着一定的对称特征。通俗地讲，当给定一个函数，可以通过将它的图形翻转沿着某条对称轴的方式去考察其对称性，而是否存在某种对称性则会取决于函数的形式及其参数，也就是说它们会决定函数的对称轴甚至其非对称情况。对称性非常重要，因为它有助于记忆和理解函数。举个例子来说，如果你有一个函数f，它的定义域内具有左右对称性，那么你可以通过在x=0处切割它们，为此可以将函数中的x称为对称轴，这样就可以很容易地推断出它的行为规律。而此外，如果一个函数的定义域内没有对称的规律，它可能不是很容易理解。人们可以用三种方式来表达函数的对称性：反比例、反射和旋转。反比例方式指的是在定义域内以反比例多少的方式进行调整，即以相同的数字翻转，使得变化的规律完全一致，但是具体的数字却不同。反射方式指的是把一个函数的所有点的x坐标的值取反，使表达式（f（-x））成为另一个函数（f（x））的对称图形。而旋转方式则是指以y轴或者x轴中心点旋转，使每个点的坐标的值发生变化，从而形成对称的函数图形。另外，函数的对称性还受把某个参数称为平移向量或旋转角度所影响。对于平移向量来说，可以将函数内部的某些坐标（x，y）向左右或上下方移动，使其变得更加对称，形成相对简单的函数图形。而旋转角度则是指以一个定义域内某个点为中心，

使整个函数的图像旋转一定的角度，使函数的变化模式更加简单。总而言之，函数的对称性是一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解函数的表现规律，还可以帮助我们把函数的参数和变量更好地对应起来。各种不同的变换会使函数的定义域内的变化模式发生改变，这同样也影响了函数的对称性，所以理解函数的对称性也是重要的，也是一个要注意的问题。

函数的对称性

函数的对称性知识梳理一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。二、抽象函数的对称性【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-

函数的性质对称性

函数的性质对称性张磊函数的对称性是函数的重要性质之一,主要包括轴对称和中心对称两种.在解几中,许多问题中都隐含对称性,如角的平分线,线段的中垂线,光的反射等,要注意挖掘,充分利用对称性,中点坐标公式,斜率关系加以解决;在函数中,对称性与函数的奇偶性、周期性又有着内在的联系,解题时常常要进行相互转化,再加以解决. 一对称性的有关结论 1 y=f(x)关于x=a对称f(2ax) =f(x) f(2a+x) =f(-x) f(ax) =f(x+x) 内反外同轴对称对称f(ax) =f(bx) 引申 y=f(x)关于x=a+b 2 2 y=f(x)关于点(a,0)对称f(2ax) =-f(x) f(2a+x) =-f(-x)f(ax) =f(a+x) 内外都反点对称引申 y=f(x)关于点(a,b)对称 f(2ax) =2bf(x) 二对称性与奇偶性关系奇函数的图像关于原点(0 ,0)对称;偶函数图像关于y轴对称.奇偶性实际是一种特殊的对称性. 三对称性与周期性关系

双对称周期性 (联系正余余弦函数对称性与周期性关系) 1 {f (2a +x ) =f (?x )f (2b +x ) =f (?x ) f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x) 所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a ?2b | 2 {f (2a +x )=?f (?x )f (2b +x )=?f (?x ) f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x) 所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a ?2b | 3 {f (2a +x )=f (?x )f (2b +x )=?f (?x ) f (2a +x )=? f (2b +x ) f(2a-2b+x)= -f(x) f(4a-4b+x)= f(x) 所以函数f(x)是周期函数,周期为|4a ?4b | 四点关于线的对称点点(x 0 ,y 0)关于直线ax+by+c=0的对称点为 (x 02a a 2+b 2(a x 0+by 0+c ) , y 02b a 2+b 2(a x 0+by 0+c ))

函数的性质对称性

函数的性质对称性集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

函数的对称性与奇偶性判定

函数的对称性与奇偶性判定函数是数学中的重要概念，它描述了两个集合之间的对应关系。在数学中，我们经常遇到一些特殊的函数，它们具有对称性或奇偶性。这些性质不仅在数学理论中有重要意义，而且在实际问题中也有广泛应用。本文将介绍函数的对称性与奇偶性的判定方法，帮助中学生或他们的父母更好地理解和应用这些概念。一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像在某个特定条件下具有对称性。常见的对称性有关于x轴对称、y轴对称和原点对称。 1. 关于x轴对称如果函数图像关于x轴对称，那么对于函数中的任意一点(x, y)，它的对称点也在函数图像上，坐标为(x, -y)。要判断函数是否关于x轴对称，可以通过观察函数的解析式或者绘制函数图像来进行。例如，考虑函数y = x^2。我们可以发现，对于函数中的任意一点(x, y)，它的对称点(x, -y)也在函数图像上。因此，函数y = x^2关于x轴对称。 2. 关于y轴对称如果函数图像关于y轴对称，那么对于函数中的任意一点(x, y)，它的对称点也在函数图像上，坐标为(-x, y)。同样地，要判断函数是否关于y轴对称，可以通过观察函数的解析式或者绘制函数图像来进行。例如，考虑函数y = sin(x)。我们可以发现，对于函数中的任意一点(x, y)，它的对称点(-x, y)也在函数图像上。因此，函数y = sin(x)关于y轴对称。 3. 关于原点对称

如果函数图像关于原点对称，那么对于函数中的任意一点(x, y)，它的对称点也在函数图像上，坐标为(-x, -y)。同样地，要判断函数是否关于原点对称，可以通过观察函数的解析式或者绘制函数图像来进行。例如，考虑函数y = x^3。我们可以发现，对于函数中的任意一点(x, y)，它的对称点(-x, -y)也在函数图像上。因此，函数y = x^3关于原点对称。二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的解析式中的各项次数的奇偶性。奇函数的解析式中只包含奇次幂的项，偶函数的解析式中只包含偶次幂的项。 1. 奇函数如果函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)是奇函数。奇函数关于原点对称，即函数图像关于原点对称。例如，考虑函数f(x) = x^3。我们可以验证，对于任意实数x，f(-x) = -(-x)^3 = - x^3 = -f(x)。因此，函数f(x) = x^3是奇函数。 2. 偶函数如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，那么函数f(x)是偶函数。偶函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。例如，考虑函数f(x) = x^2。我们可以验证，对于任意实数x，f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。因此，函数f(x) = x^2是偶函数。三、应用举例函数的对称性和奇偶性在数学和实际问题中有广泛应用。举一个实际问题的例子来说明。

函数的对称性

函数的对称性函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。例如，y=|lnx|没有对称性，而 y=|sinx|却有对称性。函数的对称性公式推导 1.对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2 如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例. 对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a 原函数与反函数的对称轴是y＝x．而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R． f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0，还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了．如f（x－3）＝x－3。令t＝x－3，则f（t）＝t。可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移） 2，至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键．同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如f（x）＝sinX，T＝2π（T＝2π/W）但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T＝π．

函数对称性总结

函数对称性总结函数的对称性三角函数图像的对称性三角函数包括y=sin x。y=cos x。y=tan x。两个函数的图像对称性 1、y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称。换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=-g(x)，那么它们关于y=0对称。 2、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=g(-x)，那么它们关于x=0对称。

3、y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=g(2a-x)，那么它们关于x=a对称。 4、y=f(x)与y=2a-f(x)关于直线y=a对称。换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)+g(x)=2a，那么它们关于y=a对称。 5、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)对称。换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)+g(2a-x)=2b，那么它们关于点(a,b)对称。 6、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线x=a+b/2对称。单个函数的对称性 1、函数的轴对称：

定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。推论1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称。推论2：如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数y=f(x)的图像关于y轴对称。特别地，推论2就是偶函数的定义和性质。 2、函数的点对称：定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数 y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。推论3：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0，则函数 y=f(x)的图像关于点(a,0)对称。推论4：如果函数y=f(x)满足f(x)+f(π-x)=π/2，则函数 y=f(x)的图像关于点(π/2,π/4)对称。

函数对称性的总结

参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性 1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。 2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。 3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。 4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。 5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。 6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x = 二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b 2a +b 2对称。对称. 推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化. 二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称. 推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对

函数对称性总结

函数的对称性一、三角函数图像的对称性 1、 )(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。 2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。 3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(,)a b 对称。换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(,)a b 对称。 6、 )(x a f y -=与)(b x f y -=关于直线2b a x += 对称。二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2b a x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化. 二、函数的点对称：定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.

函数的性质之---函数的对称性

函数图像的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。 1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）: 定理1: 函数()y f x =的图象关于直2 a b x += 对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 特殊的有： ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。 ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（偶函数）)()(x f x f =-⇔。 ③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称 ()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++ 特殊的有： ① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。 ② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。 ③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。定理3：（性质） ①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。 ②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。 ③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。 ④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。 2.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。

函数的对称性和奇偶性

函数的对称性和奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，用于描述函数的性质和特点。通过研究函数的对称性和奇偶性，我们可以更深入地了解函数的行为和图像的形状。本文将详细介绍函数的对称性和奇偶性的定义、性质以及在实际问题中的应用。一、对称性的定义和性质函数的对称性是指函数在某些变换下具有不变性的性质。常见的对称性包括关于y轴的对称、关于x轴的对称和关于原点的对称。下面将分别介绍这三种对称性的定义和性质。 1. 关于y轴的对称性如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = f(x)，则称函数关于y 轴对称。也就是说，函数图像相对于y轴是对称的。例如，函数y = x^2就是关于y轴对称的，因为对于任意x值，都有(-x)^2 = x^2。 2. 关于x轴的对称性

如果对于函数中的任意x值，都有f(x) = -f(-x)，则称函数关于x轴对称。也就是说，函数图像相对于x轴是对称的。例如，函数y = sin(x)就是关于x轴对称的，因为对于任意x值，都有sin(x) = -sin(-x)。 3. 关于原点的对称性如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)，则称函数关于原点对称。也就是说，函数图像相对于原点是对称的。例如，函数y = x^3就是关于原点对称的，因为对于任意x值，都有(-x)^3 = -x^3。对于一个函数而言，可能同时具有以上三种对称性，也可能只具有其中一种对称性。在实际应用中，我们可以根据函数的对称性来简化计算和分析。二、奇偶性的定义和性质

函数的奇偶性是指函数在某些变换下具有不变性的性质。奇函数和偶函数是最常见的具有奇偶性的函数。下面将分别介绍奇函数和偶函数的定义和性质。 1. 奇函数如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数。也就是说，奇函数关于原点对称。例如，函数y = sin(x)就是奇函数，因为对于任意x值，都有sin(-x) = -sin(x)。奇函数的特点是在定义域内存在x = 0时，函数值为0。这意味着奇函数的图像关于原点对称，并且在原点处穿过坐标轴。 2. 偶函数如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = f(x)，则称函数为偶函数。也就是说，偶函数关于y轴对称。例如，函数y = x^2就是偶函数，因为对于任意x值，都有(-x)^2 = x^2。

函数的对称问题讲解

函数的对称问题讲解一、函数对称性的定义函数的对称性是指函数图像关于某条直线或某个点对称的性质。函数的对称性可以通过函数自身的性质进行描述和刻画，例如函数在某点的导数可以描述函数图像在该点的切线斜率。函数的对称性分为轴对称和中心对称两种，轴对称是指函数图像关于某条直线对称，中心对称是指函数图像关于某点对称。二、函数图像的对称轴和对称中心 1.对称轴：如果函数图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。 2.对称中心：如果函数图像关于点(a,b)对称，那么对于任意x，都有f(a+x)+f(a-x)=2b，即函数在x=a处的值等于b。三、奇函数和偶函数的对称性 1.奇函数：如果对于任意x，都有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。奇函数的图像关于原点对称。 2.偶函数：如果对于任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。四、对称性与周期性的关系函数的对称性和周期性之间有一定的联系。例如，如果函数f(x)是周期为T的周期函数，并且图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。因此，函数的对称性和周期性是相互联系的。

五、对称性与函数最值的关系函数的对称性和最值之间也有一定的关系。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或递减，并且图像关于直线x=(a+b)/2对称，那么f(x)在(a,b)上的最小值或最大值一定出现在对称轴上。因此，函数的对称性和最值之间也是相互联系的。六、对称性在解题中的应用函数的对称性在解题中有着广泛的应用。例如，在求解函数的极值、最值等问题时，可以利用函数的对称性简化问题；在判断函数的单调性时，可以利用函数的对称性寻找关键点；在解决与周期性相关的问题时，可以利用函数的对称性寻找周期的规律等等。因此，掌握函数的对称性对于解决数学问题具有重要的意义。七、函数对称性的判定方法 1.奇偶性判定：利用奇偶性的定义进行判定，即对于任意x，都有f(-x)=-f(x)则为奇函数，f(-x)=f(x)则为偶函数。 2.渐近线判定：如果函数具有垂直渐近线或者水平渐近线，则可以根据这些渐近线的性质判断函数的对称性。 3.图像判定：通过对函数图像的观察和分析，可以判定函数的对称性。例如，如果函数图像关于某条直线或者某个点对称，则该函数具有相应的对称性。

函数的对称性

函数的对称性（内容需原创） 1. 函数的对称性是指一个函数的值在某一点或几个点取到最大值或最小值的性质。 2. 函数的对称性是一种比较容易发现的函数性质。掌握函数的对称性有助于提升函数分解、求导和求解数学问题的能力。 3. 常见的函数对称性有： (1) 奇函数的对称性：如果它以某一点经过或以其为中心对称，则称其为奇函数。例如，三次多项式函数y=ax^3+bx^2+cx+d，它以x = 0 为中心，应用自变量的变换x→-x，函数变化f（x）→-f（x），可知y=ax^3+bx^2+cx+d也是一个奇函数。 (2)偶函数的对称性：如果以某一点经过左右对称，则称其为偶函数。例如，二次多项式函数y=ax^2+bx+c，它以 x = 0 中心对称，若将自变量x变换x→-x，函数变化f(x)→f(x)，可知y=ax^2+bx+c也是一个偶函数。 (3) 关于y轴对称性：如果函数的每一对对称点，在y轴中对称，则称其为y轴对称性。例如，三次多项式函数y= ax^3+bx^2+cx+d，它的每一对对称点（x1,y1）（x2,y2），在y轴中也是对称的，即（-x1,y1）（-x2,y2），因此y=ax^3+bx^2+cx+d也具有y轴对称性。

4. 位移与缩放函数作为其他对称性。位移函数可以理解为在某一段函数上进行位移，缩放函数可以理解为改变某一段函数的显示大小。 5. 函数对称性可用已知特征函数作为依据来发现，其变换规律可以用三角函数，指数函数以及幂函数等来描述。 6. 对函数的对称性有所了解，能够从宏观和微观的角度更好的理解函数的定义及其变化规律，并有效的运用它们解决数学问题。

函数的对称性与奇偶性的判断

函数的对称性与奇偶性的判断函数是数学中的一个重要概念，描述了一种输入和输出之间的关系。在研究函数的性质时，对称性和奇偶性是两个常见的概念。本文将就函数的对称性和奇偶性进行详细的介绍和判断方法。一、对称性的概念和判断方法对称性是指函数在定义域内关于某个中心对称轴对称的性质。对称轴可以是x轴、y轴或者其他直线。常见的对称性有偶对称和奇对称两种。 1. 偶对称性：若对于函数的定义域内的任意x，都有f(x) = f(-x)，即函数在关于y 轴对称的情况下，称为偶对称函数。判断函数是否具有偶对称性，可以通过以下步骤： (1) 将函数中所有的x换成-x； (2) 然后化简这个新的表达式； (3) 若化简后的表达式与原函数完全相同，则函数具有偶对称性。例如，对于函数f(x) = x^2，将x替换成-x得到f(-x) = (-x)^2 = x^2。与原函数表达式相同，因此该函数具有偶对称性。 2. 奇对称性：

若对于函数的定义域内的任意x，都有f(x) = -f(-x)，即函数在关于原点对称的情况下，称为奇对称函数。判断函数是否具有奇对称性，可以通过以下步骤： (1) 将函数中所有的x换成-x； (2) 然后将新表达式中的符号取相反数； (3) 若化简后的表达式与原函数完全相反，则函数具有奇对称性。例如，对于函数f(x) = x^3，将x替换成-x得到f(-x) = (-x)^3 = -x^3。化简后的表达式与原函数的相反数相同，因此该函数具有奇对称性。二、奇偶性的概念和判断方法奇偶性是指函数在定义域内的某个位置对应的函数值的正负关系。奇函数指函数在原点对应的函数值为0以及对任意非零x，f(-x) = -f(x)。偶函数指函数在原点对应的函数值为0以及对任意x，f(-x) = f(x)。判断函数的奇偶性，可以通过以下步骤： 1. 判断函数在原点的函数值是否为0，若为0，则函数具有奇偶性，否则需继续下一步判断。 2. 将函数中所有的x换成-x，然后比较新表达式与原函数的关系。 - 若新表达式与原函数完全相同，则函数具有偶性； - 若新表达式与原函数完全相反，则函数具有奇性； - 若新表达式与原函数既不相同也不相反，则函数既不具有偶性也不具有奇性。

函数对称性的总结

函数对称性的总结 1. 两个关于函数图象对称性的结论 1.x=0 2.x=(a+b)/2. ∵y=f(a+x)=f[(a+b)/2+(a-b)/2+x]=f[(a+b)/2+t]，其中t=(a-b)/2+x, 而 y=f(b-x)=f[(a+b)/2-(a-b)/2-x]=f[(a+b)/2-((a-b)/2+x)]=f[(a+b )/2-t], 所以：函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称。楼主你好： 2的答案就是x=(a+b)/2.不是x=(b-a)/2.若是后者，当a=b时对称轴就成x=0了，这明显错误。其实当a=b时对称轴明显是x=a，与我这里的答案符合。 2. 函数对称性结论是怎样推出的周期函数是指函数值随自变量的变化而呈周期性变化，正弦、余弦函数都是周期函数.表达式是f(x+T)=f(x)(x取任意值)，假如一个函数能找到满意这一条件的T，那么这个函数就叫做周期函数，周期为T. f(1+x)=f(1-x) (1+x)+(1-x)=2 也就是说在这个函数中假如两个

自变量的平均值为1，则它们的函数值相等，也就是此函数关于x=1对称. 同理，f(2+x)=f(2-x),(2+x)+(2-x)=4 也就是说在这个函数中假如两个自变量的平均值为2，则它们的函数值相等，也就是此函数关于x=2对称. 假如一个函数同时具备两个对称轴，那么，相临的轴的间距就是函数的半个周期，你可以对比正弦、余弦函数的图像发觉这个规律. 这样，本题的函数周期为2，那么函数必定还关于x=0对称，所以函数是偶函数. 依据定义或者画图象，不过画图象比较麻烦，一般选择用定义 3. 求真正有用的函数周期性对称性结论对于函数y=f(x) 周期性 1.关于x=a and x=b(a>b) 都对称函数周期2(a-b) 2.关于（a,0） (b,0)都对称周期同上 3.关于（a,0）和x=b 都对称周期是4(a-b) 对称性 1. f(a+x)=f(b-x) 那么y=f(x)的图像关于y=(a+b)/2对称 2.f(a-x)=-f(b+x)，那么y=f(x)的图像关于（（a+b）/2 ,0 ）对称 …………许多可以搜一下，更具体的

函数的对称性及应用

函数的对称性及应用对称性是和谐的表现形式，对称性充分体现了数学的和谐美，给人以审美的愉悦感。在函数中，函数的对称性是函数的一个基本性质，不仅表现出形式美、结构美，应用到一些数学问题中，更有方法美与思路美。对称性对于简捷地解决某些函数问题至关重要，它可以帮助我们快速找到突破口。 1、函数内部的对称性（自对称） 1.1 关于点对称函数y=f（x）关于点（a，b）对称？圳f（a+x）+f（a-x）=2b，也可以写成f（x）+f（2a-x）=2b。若写成f（a+x）+f（b-x）=c，则函数f（x）关于点（，）对称。 1.2 关于直线对称函数y=f（x）关于x=a对称？圳f（a+x）+f（a-x），也可以写成f（x）=f （2a-x）。若写成f（a+x）+f（b-x），则函数f（x）关于直线x= = 对称。 2、函数之间的对称性（互对称） 2.1 关于点对称 y=f（x）与y=g（x）关于点（a，b）对称？圳f（x）+g（2a-x）=2b或f（a+x）+g（a-x）=2b。 2.2 关于直线对称 y=f（a+mx）与y=f（b+mx）（m≠0）关于直线x= 对称。特别地，y=f（x）与y=f（2a-x）关于直线x=a对称。 3、函数对称性应用举例例1 设二次函数f（x）满足f（x+2）=f（-x+2），且其图像与y轴交于点（0，1），在x轴上截得的线段长为2 ，求f（x）的解析式。解：f（x）关于x=2对称，可设f（x）=a（x-2）2+b。由4a+b=1，再由x1-x2=2 ？圯2 =2 ，解得a= ，b=-1。f（x）= （x-2）2-1 例2 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1-x），当-1？燮x？燮0时，f（x）=- 则f（8.6）= 。