专题 训练 函数的对称性
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专题 函数的对称性
一、单选题
1．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间()0+∞，上单调递减的是（ ） A ． 1
y x
=
B ． 2log y x =
C ． 2x y =
D ． 21y x =-+ 2．已知函数()f x 的图象关于原点对称，且周期为4，当()0,2x ∈时， ()()2
84f x x =--，
则(f =
（ ）[参考数据：
()6,6.5．] A ． 36 B ． 36- C ． 18 D ． 18- 3．已知函数()2
2x
x f x -=-，则其图象( )
A ． 关于x 轴对称
B ． 关于直线y x =对称
C ． 关于原点对称
D ． 关于y 轴对称
4．函数 在[0，2]上单调递增，且函数 是偶函数，则下列结论成立的是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
5．函数 在 上单调递减，且 的图像关于 对称，若 ，则满足 的 取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 6．设函数 与函数 的图象关于点 对称，则有（ ） A ． B ． C ． D ．
7．函数y=f （x ）与
的图像关于直线y ＝x 对称,则 的单调递增区间为（ ） A ． B ． （0,2） C ． （2,4） D ． （2,＋∞）
8．下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是（ ） A ． B ． C ． D ． 9． 的图象为
A ．
B ．
C ．
D ．
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10．已知函数 满足 ， ，且 时， ，则 （ ） A ． 0 B ． 1
C ．
D ．
11．已知()y f x =满足()()112f x f x ++-+=，则以下四个选项一定正确的是( ) A ． ()11f x -+是偶函数 B ． ()11f x -+-是奇函数 C ． ()11f x ++是偶函数 D ． ()11f x +-是奇函数
12．函数 与 ，两函数图象所有交点的横坐标之和为（ ） A ． 0 B ． 2 C ． 4 D ． 8
二、填空题
13．函数()(0,1)x
f x a a a =>≠的反函数图像经过点()2,1，则a =____________
14．已知函数()f x =
21
1214
x x
+++,若()f a =1,则()f a -=_____. 15．已知函数()1y f x =+图像关于直线1x =-对称，当[
)1,x ∈-+∞时， ()1f x +是增函数，则不等式()()30f x f x -->的解集为__________．
16．函数()1
x a f x x a
++=
+图象的对称中心横坐标为3，则a =_______．
17．若函数 的图象关于直线
对称，则 的最大值是 .
18．已知函数()11112f x x x x =++++，由()111111
f x x x x -=++-+是奇函数，可得函数()f x 的图象关于点()1,0-对称，类比这一结论，可得函数()237
126
x x x g x x x x +++
=++++++的图象关于点___________对称. 19．已知函数())
lg
f x ax =图象关于原点对称.则实数a 的值为__________．
20．函数()12y f x =++是定义域为R 的奇函数，则()()2f e f e +-=________．
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参考答案
1．D
【解析】对于选项A ， 1
y x
=
是奇函数，不符合题意；对于选项B ， 2log y x =在()0,+∞为增函数，不符合题意；对于选项C ，图象不是轴对称图形，不符合；对于选项D ，函数21y x =-+为开口向下的二次函数，对称轴为y 轴，为偶函数，轴对称图形，在()0,+∞为减函数，符合题意。故选D. 2．B
【解析】(
(
)(
()
2
8888436f f f ==--=--+=-，故选B 。
3．C
【解析】函数()2
2x
x f x -=-定义域为R ，且()()()2222x x x x
f x f x ---=-=--=--,所以函数
()22x x f x -=-为奇函数，其图像关于原点对称.
4．C 【分析】
函数 是偶函数可得函数 图像关于 对称，利用对称性将数值转化到 内比较大小. 【详解】
函数 是偶函数，则其图象关于 轴对称，所以函数 的图像关于 对称，则
，
，函数 在 上单调递增，则有
，所以
.选 .
本题考查抽象函数的性质.由 的奇偶性得到 的对称性是本题解题关键.需要考生熟练掌握函数解析式与函数图象变换之间的关系. 5．D 【分析】
根据函数的图象平移可知， 关于 对称，所以 关于y 轴对称，所以 ，结合增减性可知 只需 即可,所以可解出 . 【详解】
因为 的图象向左平移2个单位可得到 的图象，所以由 的图像关于 对称可知 的图象关于y 轴对称，为偶函数，所以 上为增函数且 ，所以 只需
，解得，故选D.
本题主要考查了抽象函数的奇偶性、增减性及解不等式，属于中档题.
6．D
【分析】
设出点坐标，表示出关于对称的点坐标，即可求出结果
【详解】
设图象上的点，，
则点关于对称点为，
在()的图像上，
则
故选
本题考查了图像的对称性，只需设出点坐标，表示出关于对称的点坐标，即可求出结果，较为基础。7．C
【分析】
由条件求得f（4x﹣x2）=（4x﹣x2），令t=4x﹣x2＞0，求得0＜x＜4，故f（4x﹣x2）的定义域为（0，4），本题即求函数f（4x﹣x2）在（0，4）上的减区间．
再利用二次函数的性质可得函数f（4x﹣x2）在（0，4）上的减区间．
【详解】
由题意可得函数f（x）与g（x）=的互为反函数，故f（x）=，
f（4x﹣x2）=（4x﹣x2）．
令t=4x﹣x2＞0，求得0＜x＜4，
故f（4x﹣x2）的定义域为（0，4），
个本题即求函数f（4x﹣x2）在（0，4）上的减区间．
再利用二次函数的性质可得函数f（4x﹣x2）在（0，4）上的减区间为（2，4），
故选：C．
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复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．
8．B
分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可。
详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点。故选项B正确
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题。
9．C
【分析】
根据对数函数的性质，得到函数的图象关于对称，再根据选项，即可得到答案．
【详解】
由可知函数的定义域为：或，函数的图象关于对称，
由函数的图象，可知，A、B、D不满足题意．
故选：C．
本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟记对数函数的性质及函数的对称性的应用，得到函数的对称性是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．
10．D
【分析】
根据，可判断出函数的对称轴；由函数可得函数的单调性与奇偶性，进而通过函数周期性和对称性求得。
【详解】
因为，
所以函数关于x=1与x=4轴对称
当时，
因为
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所以当 时 ，即 为奇函数，且 在 上为单调递增函数 根据函数对称性与周期性，可知 的周期为T=6 所以 所以 所以选D
本题考查了函数的对称性和奇偶性及其综合应用，关键是对函数性质能够很好的理解和应用，属于中档题。 11．D
【解析】根据题干条件可知函数()f x 关于点（1，1）中心对称，故()1f x +是关于（0，1）中心对称，则
()11f x +-是关于（0，0）中心对称，是奇函数.
故答案为：D. 12．C
【解析】由 ,得 ,画出 两个函数图像如下图所示,由图可知,两个函数图像都关于直线 对称,故交点横坐标之和为 .故选 .
13．2
【解析】反函数过()2,1，则原函数过()1,2，所以()12f a ==。 14．2
【解析】因为()f x =
21
1214x x
+++, 所以()()f x f x +-=212112141214x x x x --+++++++=()
22222443,222244x x x x
x x x x
---
-+++++=++++
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因为()f a =1, 所以()f a -=2. 答案为：2. 15．3,
2??-∞ ???
【解析】由题意可知()y f x =是偶函数，且在[
)0,+∞递增，所以()()30f x f x -->得()()3f x f x ->即()()33f x f x x x ->∴-> 解得32x <
，所以不等式()()30f x f x -->的解集为3,2?
?-∞ ??
?. 故答案为3,
2?
?-∞ ???
点睛：本题考查了函数的对称性，单调性的应用，由()1y f x =+得到()y f x =需要进行平移变换，注意方向即可,偶函数()f x 利用单调性来解决问题常转化为()f x .
16．3- 【解析】()11
1a
x a f x x a x ++=
=+++，易得对称中心为()a 1-，
又函数()f x 图象的对称中心横坐标为3， ∴a 3-=，即3a =- 故答案为： 3- 17． 【分析】
先找出函数图象上两个特殊点（由 获取），它们关于直线
的对称点也在函数图象上，把这两点坐标代入函数解析式可求得 ．然后把函数 的表达式因式分解后，重新组合利用换元法转化为求二次函数的的最大值问题． 【详解】
因为点 ， 在函数 的图象上，且 的图象关于直线 对称， 所以点 ， 必在 图象上， 则
，解得
. 所以 ，
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令
，
则 ， 当 时，函数 的最大值为 . 【点晴】
本题主要考查了多项式函数的图象的对称性、求解函数的最大值等问题，着重考查了函数的性质和换元法的应用，属于中档试题．本题的解答中，根据点 ， 在函数 的图象上，且 的图象关于直线
对
称，确定 ， 必在 图象上，求解 的值，从而确定函数的解析式，再把函数分解为 ，利用换元法求解函数的最值． 18．7,62??
-
???
【解析】由题得()234567
6111111123456
x x x x x x g x x x x x x x ++++++-=
-+-+-+-+-+-++++++ 111111123456
x x x x x x =+++++++++++ 711111167777772123456222222g x x x x x x x ?
?--=+++++ ???-+-+-+-+-+-+
()711111165311352222222
g x f x x x x x x x ?
?--=+++++= ???---+++
()()1111115
311352
2
2
2
2
2
f x f x x x x x x x ∴-=
+
+
+
+
+
=---
--
--
-+
-+
-+
所以()f x 是奇函数，所以函数()23
712
6x x x g x x x x +++=
+++
+++的图象关于点7,62??
- ???
对称. 故填7,62??
-
???
.
19．2±
【解析】关于原点对称，则
()()f x f x --=
))
lg
ax lg
ax =-
ax =
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222141x a x +-=， 2224x a x = 24a =，解得2a =±
20．-4
【解析】函数()12y f x =++是奇函数,所以图象关于原点()0,0 对称,则函数()y f x = 的图象由函数
()12y f x =++的图象先向下平移2个单位,再向右平移1个单位得到,所以函数()y f x = 的图象关于点
()1,2-对称,所以()()24f e f e +-=-.
函数周期性与对称性的函数方程 专题
函数周期性与对称性的函数方程 【问题提出】 问题1：满足下列条件的函数是否为周期函数？为什么？如果是，请写出它的一个正周期. （1）)()(a x f x f += ； （2）)()(a x f x f +-=；（3）)()(a x f b x f +=+ （4）) (1 )(a x f x f +± =.（其中0,0>>b a ） 问题2：满足下列条件的函数是否具有对称性？为什么？如果有，请写出它的对称性质. （1）)()(x a f x a f -= +； （2）)()(x b f x a f -=+ （3）)()(x a f x a f --=+；（4）)()(x b f x a f --=+ 【探究拓展】 探究1：设()b a ,为函数) (x f y =的对称中心，则必有等式 ________________________ 变式：（复旦自主招生）写出函数)3sin()(-+=x x x f 的一个对称中心为____________ 探究2：已知奇函数 )(x f 的图像关于直线2-=x 对称，当[]2,0∈x 时， ,2)(x x f = 则______)9(=-f 变式1：奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且1)1(=f ，则 =+)9()8(f f _____ 1
变式2：已知偶函数)(x f 满足)(1 )2(x f x f - =+，当 32<
高中数学总结归纳 抽象函数的对称性
抽象函数的对称性 关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。 一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b = +2的对称点为()A a b m n '+-，。 []∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--== ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2 的对称点为()A b a m n '--，。 ∵f b b a m f a m n [()]()---=+= ∴点A'在y f b x =-()的图象上 反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2 的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。
易知，函数y f x a b =++? ? ???2与y f x a b =-++?? ?? ?2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--?? ???++?? ????=+22()的图象，由y f x a b =-++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---?? ???++????? ?=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 三、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x c f b x ()()+=--2，则函数y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称。 证明：设点() A m n ，是y f x =()图象上任一点，则f m n ()=，点A 关于点a b c +?? ?? ?2，的对称点为()A a b m c n '+--，2。 []∵f a b m c f b b m c f m c n ()()()+-=---=-=-222 ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称 说明：（1）当a b c ===0时，奇函数图象关于点（0，0）对称。（2）易知此命题的逆命题也成立。 四、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -?? ?? ?2，对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于点b a c -?? ?? ?2，的对称点为()A b a m c n '---，2
函数的对称性
函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-
函数的周期性与对称性
第5炼 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=+?()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+?关于2 a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x +=为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ?=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+????：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+???? ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
(完整版)常见函数对称性和周期性
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
二次函数对称性的专题复习
二次函数图象对称性的应用 一、几个重要结论： 1、抛物线的对称轴是直线__________。 2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于_________对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线_____________；反之亦然。 3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是__________（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。 4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B 的坐标可以用＿＿＿＿表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。 5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则?ABC是＿＿＿＿三角形，且?ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的＿＿＿＿＿＿＿上。 二、在解题中的应用： 例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。 例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足 . （1）求抛物线的解析式； （2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。 例3已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。 例4已知抛物线的顶点A在直线上。 （1）求抛物线顶点的坐标； （2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标； （3）求?ABC的外接圆的面积。
y O x -1 -2 1 2 - 3 3 -1 1 2 -2 二次函数专题训练——对称性与增减性 一、选择 1、若二次函数 ，当x 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则 当x 取+时，函数值为（ ） （A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（ 2 1 ，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0） 3、已知抛物线2 (1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4、抛物线c bx x y ++-=2 的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（ ） A.14<<-x B. 13<<-x C. 4- ( 函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ > )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线 2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知， )2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点 ),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。 ∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f -= ∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f +=- （2）函数的点对称： · 函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 高中数学函数的对称性与周期性讲义 一、引例：若)(x f 是定义在R 上的函数，对于满足下例条件中，)(,x f r x ∈?某一个，那么对于每个条件下的)(x f ，各具有哪些特殊性质？ (1),)1()1(x f x f -=+ (4),)1()1(x f x f --=+ (7),)1()1(-=+x f x f (2),)2()(x f x f -= (5),)2()(x f x f --+ (8),)()2(x f x f =+ (3),)3()1(x f x f -=+- (6),)2(4)(x f x f --= (9),)()1(x f x f -=+ 二、 函数的对称性 1、轴对称 )()()() 2()() ()()(] 0[x f x f y x f x a f x f x a f x a f a x x f a =-?-=?-=+?=?=轴对称关于对称关于 2、点对称 0 )()()()()00()(] 0[) ()()2()()0,()(] 0[2)()()2(2)(),()(=-+?--=?=-=+?--=?==-++?--=?x f x f x f x f x f a x a f x a f x a f x f a x f b b x a f x a f x a f b x f b a x f 对称，关于对称关于对称关于 3、本质特征： 【自变量】 为常数） （定义域）且a a x x D x x (2212,1=+∈? 【函数值】 a x x x x x f x f =→+=→→=对称轴对称轴轴对称性2 )()(2121 ),)22,2(2)()(2121b a b x x b x f x f 对称中心（对称中心中心对称 →+→→=+ 模型：对称关于2 )()()(,b a x x f x b f x a f D x +=?-=+∈? 对称关于)0,2 ()()()(,b a x f x b f x a f D x +?--=+∈? 三，函数的周期性 定义：设定义在D 上的函数,),(D x x f ∈?对于都存在非零常数T ，使得)()(x f T x f =+则函数)(x f 为周期函数,T 为)(x f 的一个周期， 【自变量】 D x x ∈?21,（定义域）且T x x =-21（T 为非零常数） 函数的对称性应用（一） ──含绝对值函数的图象 内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军 在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。 图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。 一、含绝对值的函数常见情况的分类： 已知函数，叫做函数的自变量；叫做函数的应变量（函数值）。 ①对自变量取绝对值：；②对应变量取绝对值：； ③对全都取绝对值：；④对整个函数取绝对值：； ⑤对都取绝对值：；⑥部分自变量取绝对值：。 二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法： ①对自变量取绝对值： 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于 轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留时函数的图象； （3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。 【作图展示：】作函数的图象 ②对应变量取绝对值：； 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于 轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留时函数的图象； （3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。 【作图展示：】作函数的图象 ③对全都取绝对值：； 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，它与点关于轴对称、与点关于轴对称且与点关于原点对称。因为点、、 与都在函数上，所以函数图象关于轴、轴及原点对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留（第一象限）时函数的图象； （3）利用对称性作出（2）中图象关于轴、轴及原点对称后的图象。 函数的对称性 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念： ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为a b x 2-=。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2π π+=k x 是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，)0,2(ππ+k 是它的对称中心。 （11）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中)0,2(π k 是它的对称中心， 容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。 （12）对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴。 （13）三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 函数的对称性和周期性 一.明确复习目标 1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期； 2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。 3.掌握常见的函数对称问题 二、建构知识网络 一、两个函数的图象对称性 1、 )(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。 2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。 3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对 称。 4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对 称。 5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(,)a b 对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点 (,)a b 对称。 6、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2b a x += 对称。 二、单个函数的对称性 性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称。 证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线 2 a b x +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时 11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--== 故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。 高中数学函数对称性和周期性小结 一、函数对称性： 1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称 2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称 3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点（a，0）对称 4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称 5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[（a+b）/2 ，c/2] 对称 6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称 7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称 8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称 例1：证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。 【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。 证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)] ∴b – 2t =a ，==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为x=(b-a)/2 . 例2：证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。 证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m) = f[ (2t – m)– b] ∴2t - b =a ，==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为x=(a + b)/2 . 二、函数的周期性 令a , b 均不为零，若： 1.函数y = f(x) 存在f(x)=f(x+a) ==> 函数最小正周期T=|a| 2.函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a| 3.函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a| 4.函数y = f(x) 存在f(x + a) =1/f(x) ==>函数最小正周期T=|2a| 5.函数y = f(x) 存在f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==>函数最小正周期T=|4a| 这里只对第2~5点进行解析。 第2点解析： 令X=x+a ，f[a +(x –a)] = f[b +(x – a)] ∴f(x) = f(x + b – a) ==> T=b – a 高中函数对称性总结 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图 函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） 对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。 一:有关周期性的讨论 在已知条件()()f a x f b x +=-或 ()()f x a f x b +=-中， (1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2 b a x +=。 (2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。 设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立 周期性规律 对称性规律 (1))()(a x f a x f +=- a T 2=? (1))()(x a f x a f -=+ a x =? (2))()(a x f x f += a T =? (2))()(x b f x a f -=+ 2 b a x += ? (3))()(x f a x f -=+ a T 2=? (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=? (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=? (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2 (b a +? (5))(1)(x f a x f - =+ a T 2=? (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ? (6)1 )(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=? (7) 1()()1() f x f x a f x -+=+ a T 2=? (8) 1()()1()f x f x a f x -+=- + a T 4=? (9) ) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=? (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=? 实用文档 文案大全函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 (一)复习指导 单调性： 设函数y＝f(x)定义域为A，区间M?A，任取区间M中的两个值x1，x2，改变量Δx＝ x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称f(x)在区间M上是增函数，当Δy=f(x2)－f(x1)＜0时，就称f(x)在区间M上是减函数． 如果y＝f(x)在某个区间M上是增(减)函数，则说y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间M叫做y=f(x)的单调区间． 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x1，x2，当x1＜x2时判断相应的函数值f(x1)与f(x2)的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的． 对于y=f[φ(x)]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u=φ(x)，然后分别根据u=φ(x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律． 此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述． 奇偶性： (1)设函数f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)=－f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数． 函数的奇偶性有如下重要性质： f(x)奇函数?f(x)的图象关于原点对称． f(x)为偶函数?f(x)的图象关于y轴对称． 此外，由奇函数定义可知：若奇函数f(x)在原点处有定义，则一定有f(0)=0，此时函数f(x)的图象一定通过原点． 函数的对称性?专题练习试卷?及解析 1.2015年北 京市西城区高 三第一次模拟 考试数学理科 试题第8题 已知抛物线和?214y x = 21 516 y x =-+所围成的封闭?曲线如图所示?， 给定点(0,)A a ，若在此封闭曲?线上恰有三对?不同的点，满足每一对点?关于点A 对称，则实数的取值?a 范围是 ( ) A. (1,3) B. (2,4) C. 3 (,3)2 D. 5(,4)2 2.2012年天?津市河北区高?三第一次模拟?数学理科试题?第8题 下图展示了一?个由区间到实?(0,1)数集的映射过?R 程：如图1，在区间中数轴?(0,1)上的点对应实?M 数m ；如图2，将线段围成一?AB 个圆，使两端点A 、B 恰好重合；如图3，将这个圆放在?平面直角坐标?系中，使其圆心在轴?y 上，点A 的坐标为(0,1)，射线与轴交于?AM x 点(,0)N n ．则n 就是m 的象，记作()f m n =．下列说法： ① ()f x 的定义域为(0,1)，值域为R ； ②()f x 是奇函数； ③ ()f x 在定义域上是?单调函数； ④11()42 f = ； ⑤ ()f x 的图象关于点?1(,0)2 对称． 其中正确命题?的序号是（ ） A. ②③⑤ B. ①③⑤ C. ①③④ D. ③④⑤ 3.2015年皖?北协作区高三?年级联考数学?文科试卷第9?题 定义在上的函? R 数的图像关于?()f x 直线3 2 x = 对称，且对任意实数?x 都有3 ()(),(1)1,(0)22 f x f x f f =-+-==-，则 (2013)(2014)(2015) f f f ++=（ ） A. 0 B. 2- C. 1函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
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