高中数学《函数的周期性与对称性》针对练习及答案

第二章函数

2.3.2 函数的周期性与对称性（针对练习）

针对练习

针对练习一周期性与对称性的判断

1．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是 A ．sin y x = B ．cos y x =

C ．ln y x =

D ．3y x =

2．已知函数()3lg x f x x =+，则下列选项正确的是（） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是偶函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 没有最大值

3．函数22

()f x x x =+的图像关于（） A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y x =对称

4．函数5x y =与5-=x y 的图象（） A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =轴对称

5．函数cos y x =与函数cos y x =-的图象 A ．关于直线1x =对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称

针对练习二由函数周期性求函数值

6．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(2,0)x ∈-时，2()2f x x =，则

(2019)f 等于（）

A ．-2

B ．2

C ．-98

D ．98

7．已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则

()722f f ⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

A ．1

B ．-1

C ．0

D ．2

8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3

()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，

则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（） A ．4 B ．4- C ．0 D ．6-

9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，当(]0,2x ∈时，()22log x

f x x =+，

则(2022)f =（） A ．5 B ．1

C ．2

D ．－2

10．定义在R 上的函数()f x ，满足()()5f x f x +=，当(]3,0x ∈-时，()1f x x =--，当

(]0,2x ∈时，()2log f x x =，则()()()122022f f f ++⋅⋅⋅+=（）.

A ．403

B ．405

C ．806

D ．809

针对练习三由函数对称性求函数值

11．设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-，且当

10,2x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭

的值等于（） A ．12

- B ．13

C ．14

D ．15

12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当

02x <<时，()2

2x x f x +=-，则()5f =

A ．3

B ．3-

C ．7

D ．7-

13．已知(1)y f x =+是定义在R 上的奇函数，且(4)(2)f x f x +=-，当[1,1)x 时，

()2x f x =，则(2021)(2022)+=f f （）

A ．1

B ．4

C ．8

D ．10

14．函数()y f x =为偶函数，且图象关于直线3

x =对称，()54f =，则()1f -=（） A ．3 B ．4 C ．3- D ．4-

15．已知函数()2

f x x ax =+对定义域内任意的x 都有()()22f x f x -=+，则实数a 等于

（） A ．4 B ．-4

C ．14

D ．14

针对练习四由周期性与对称性求函数解析式

16．设奇函数()f x 的定义域为R ，且(4)()f x f x +=，当(]4,6x ∈时()21x f x =+，则()f x 在区间[)2,0-上的表达式为 A ．()21x f x =+ B ．4()21x f x -+=-- C ．4()21x f x -+=+ D ．()21x f x -=+

17．函数y ＝f （x ）是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f （x ）＝x +1，则在x ∈（1，2）时f （x ）＝（） A ．﹣x ﹣3 B ．3﹣x C ．1﹣x D ．x +1

18．设函数()()y f x x R =∈为偶函数，且x R ∀∈；满足3122

f x f x ⎛

⎫

⎛⎫

-=+ ⎪ ⎪⎝

⎭

⎝

⎭

，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则当[]2,0x ∈-时，()f x = A ．

x + B ．2x - C ．21x ++ D ．31x -+

19．函数()f x 的图象与曲线2log y x =关于x 轴对称，则()f x =（） A ．2x B ．2x - C ．2log ()x - D ．21log x

20．若函数()y g x =的图象与ln y x =的图象关于直线2x =对称，则()g x =（） A ．()ln 2x + B ．()ln 2x -

C ．()ln 4x -

D ．()ln 4x +

针对练习五由周期性与对称性比较大小

21．已知函数()f x 是奇函数，且(2)()f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上是增函数，

313

(1),(),()23

f f f 的大小关系是（）

A ．313(1)()()23

f f f << B ．313()(1)()23

f f f << C ．133()(1)()3

f f f << D ．133()()(1)3

f f f <<

22．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件：

①对任意的1212x x ≤<≤，都有()()12f x f x >；②()1y f x =+的图象关于y 轴对称； ②对任意的R x ∈，都有()()2f x f x =+，则13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，83f ⎛⎫

⎪⎝⎭的大小关系是（）

A ．8

31323f f f ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫>

> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．8

13332f f f ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫>

> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．1

38323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>

> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

D ．3

81233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>

> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

23．定义在R 上的函数()f x 满足：()()1

11f x f x -=-+成立且()f x 在[]2,0-上单调递

增，设()6a f =，(b f =，()4c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c b a >>

24．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：②任意[]12,4,8x x ∈，当

12x x <时，都有

()()1212

0f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-；②()4y f x =+是偶函数；若

()()()6,11,2025a f b f c f ===，则a b c 、、的大小关系正确的是（）

A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．b a c <<

D ．c b a <<

25．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x f x -=；（2）(2)(2)f x f x +=-；（3）

12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->．则(2019),(2020),(2021)f f f 的大小关系是

（）

A ．(2021)(2020)(2019)f f f >>

B ．(2019)(2020)(2021)f f f >>

C ．(2020)(2021)(2019)f f f >>

D ．(2020)(2019)(2021)f f f >>

针对练习六由抽象函数周期性与对称性求函数值

26．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数,且满足()()2f x f x +=-,()01f =,则

()()()()1232018f f f f +++

+= ( )

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2018

27．已知函数()f x 是R 上的奇函数,且对任意x ∈R 有()1f x +是偶函数,且()11f -=,则()()20202021f f +=. A ．1- B ．0 C ．1 D ．2

28．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x -为偶函数，且函数()f x 与直线y x =有一个交点()()1,1f ，则()()()()()12320182019f f f f f +++++=（）

A ．2-

B ．0

C ．1-

D ．1

29．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=，若(1)2f =，则(99)f = A ．13

B ．

134

C ．2

D ．4

30．已知函数()f x 对任意的R x ∈都有()()()21f x f x f +-=.若函数()2y f x =+的图象关于2x =-对称，且()08f =，则()()99100f f +=（）

A ．0

B ．4

C ．5

D ．8

第二章函数

2.3.2 函数的周期性与对称性（针对练习）

针对练习

针对练习一周期性与对称性的判断

1．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是 A ．sin y x = B ．cos y x =

C ．ln y x =

D ．3y x =

【答案】A 【解析】【详解】

根据函数的奇偶性定义可知函数3sin ,y x y x ==为奇函数，sin y x =为周期函数，选A.

2．已知函数()3lg x f x x =+，则下列选项正确的是（） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是偶函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 没有最大值

【答案】D 【解析】【分析】

根据指数函数、对数函数的性质直接进行分析即可. 【详解】

因为()3lg x f x x =+的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，排除A 和B ；又因为3,lg x y y x ==在()0,∞+上单调递增，所以()f x 易知不是周期函数，排除C ，

()f x 在()0,∞+上单调递增没有最大值，故D 正确，

故选：D. 3．函数22

()f x x x =+的图像关于（） A ．y 轴对称

B ．直线y x =-对称

C ．坐标原点对称

D ．直线y x =对称

【答案】A 【解析】【分析】

函数2

()f x x x =+

，观察知该函数是一个偶函数，解答本题要先证明其是偶函数再由偶函数的性质得出其对称轴是y 轴. 【详解】

函数的定义域为R ， ()()

()

()2

f x x x f x x x -=-+

=-， ()22

f x x x ∴=+

是一个偶函数，由偶函数的性质知函数2

21()f x x x

的图像关于y 轴对称. 故选：A . 【点睛】

本题考点是奇偶函数图象的对称性，考查了偶函数的证明以及偶函数的性质，属于一道基本题.

4．函数5x y =与5-=x y 的图象（） A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =轴对称

【答案】A 【解析】【分析】

设()5x f x =，得()5x

f x --=，根据函数()y f x =与函数()y f x =-之间的对称性可得出

正确选项. 【详解】

设()5x f x =，得()5x f x --=，由于函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于y 轴对称，

因此，函数5x y =与5-=x y 的图象关于y 轴对称. 故选A. 【点睛】

本题考查函数图象之间对称性的判断，熟悉两函数关于坐标轴、原点对称的两个函数解析式之间的关系是关键，考查推理能力，属于基础题. 5．函数cos y x =与函数cos y x =-的图象 A ．关于直线1x =对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称

【答案】C 【解析】【分析】

作出函数cos y x =与函数cos y x =-的简图，即可得到答案．【详解】

根据余弦函数的图像，作出函数cos y x =与函数cos y x =-的简图如下：

由图可得函数cos y x =与函数cos y x =-的图象关于x 轴对称，故答案选C 【点睛】

本题考查余弦函数的图像问题，属于基础题．

针对练习二由函数周期性求函数值

6．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(2,0)x ∈-时，2()2f x x =，则

(2019)f 等于（）

A ．-2

B ．2

C ．-98

D ．98

【答案】B 【解析】【分析】

根据已知条件判断出()f x 的周期，由此求得()2019f 的值. 【详解】

由于(4)()f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以

()()()()2

2019505411212f f f =⨯-=-=⨯-=.

故选：B 【点睛】

本小题主要考查利用函数的周期性化简求值，属于基础题.

7．已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则

()722f f ⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

A ．1

B ．-1

C ．0

D ．2

【答案】A 【解析】【详解】

函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数, (2)(2)(2)(2)0f f f f ∴-==-⇒=,

又1

711()()()log 1222

f f f =-=-=-=,所以()7212f f ⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

，故选A. 8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3

()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，

则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（） A ．4 B ．4- C ．0 D ．6-

【答案】B 【解析】【分析】

由已知可求得函数的周期为3，结合函数为奇函数可得

(2021)(2022)(2023)2()2

f f f f -+--=即可求解.

【详解】

因为3

()()2

f x f x -=-，所以(3)()f x f x -=，因此函数的周期为3，

所以(2021)(2022)(2023)f f f -+--(2)(0)(1)f f f =-+--，又函数()f x 是R 上的奇函数，所以(3)()()f x f x f x -==--，所以(1)(2)f f -=--，即(2)(1)f f =-，

所以原式1(2)(0)(1)(2)(1)2(1)2()2

f f f f f f f =-++=-+==，

又当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，可得1()22f =-，因此原式1242f ⎛⎫

==- ⎪⎝⎭.

故选：B ．

9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，当(]0,2x ∈时，()22log x

f x x =+，

则(2022)f =（） A ．5 B ．1

C ．2

D ．－2

【答案】A 【解析】【分析】

根据题中条件，先确定函数以4为周期，利用函数周期性，再由给定区间的解析式，即可求出结果. 【详解】

由()()2=-+f x f x 可得()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，

因此函数()f x 以4为周期，又当(]0,2x ∈时，()22log x

f x x =+，所以()()2

22450522log 25(2022)f f f =+⨯==+=.

故选：A.

10．定义在R 上的函数()f x ，满足()()5f x f x +=，当(]3,0x ∈-时，()1f x x =--，当

(]0,2x ∈时，()2log f x x =，则()()()122022f f f ++⋅⋅⋅+=（）.

A ．403

B ．405

C ．806

D ．809

【答案】B 【解析】【分析】

由函数的周期性计算．【详解】

由()()5f x f x +=得()f x 是周期函数，周期是5，

2(1)log 10f ==，2log (2)21f ==，(3)(2)(2)11f f =-=---=，

(4)(1)0f f =-=，(5)011f =--=-，

所以(1)(2)(3)(4)(5)1f f f f f ++++=，

()()()1220224041(1)(2)405f f f f f ++⋅⋅⋅+=⨯++=．

故选：B ．

针对练习三由函数对称性求函数值

11．设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-，且当

10,2x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭

的值等于（） A ．12

- B ．13

C ．14

D ．15

【答案】C 【解析】【分析】

利用函数()y f x =的奇偶性和对称性可分别求得()3f 和3

2f ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

的值，相加即可求得

结果. 【详解】

由于函数()y f x =为R 上的奇函数，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-，则()()()()()()()()31322121100f f f f f f f f =-=-=-=--=--===，

333111112222224f f f f f ⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-=-=--=--==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

因此，()31

324f f ⎛⎫

+-=- ⎪⎝⎭.

故选：C. 【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性与对称性求函数值，考查计算能力，属于基础题. 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当

02x <<时，()2

2x x f x +=-，则()5f =

A ．3

B ．3-

C ．7

D ．7-

【答案】D 【解析】【分析】

由题意可得()()22f x f x +=-+，再将()5f 化成()1f -，即可得到答案；【详解】

由题意可得()()22f x f x +=-+，

所以()()()()()()3

5323211217f f f f f =+=-+=-=-=--=-.

故选：D. 【点睛】

本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力.

13．已知(1)y f x =+是定义在R 上的奇函数，且(4)(2)f x f x +=-，当[1,1)x 时，

()2x f x =，则(2021)(2022)+=f f （）

A ．1

B ．4

C ．8

D ．10

【答案】A 【解析】

根据函数的奇偶性，对称性判断函数的周期并求解. 【详解】

因为(1)f x +是定义在R 上的奇函数，

所以()y f x =图象的对称中心为(1,0)，且(1)0f =．因为(4)(2)f x f x +=-，

所以()y f x =图象的对称轴方程为3x =，故()f x 的周期8T =，

(2021)(5)==f f (1)0f =，(2022)(6)(0)1===f f f ，

从而(2021)(2022)1+=f f ，故选：A ．

14．函数()y f x =为偶函数，且图象关于直线32

x =对称，()54f =，则()1f -=（） A ．3 B ．4 C ．3- D ．4-

【答案】B 【解析】【分析】

利用函数的对称性和偶函数的性质进行求解即可. 【详解】

因为函数()y f x =的图象关于直线32

x =对称，所以()(2)54f f -==，又因为函数()y f x =为偶函数，所以()2(2)4f f -==，()1(1)f f -=，而函数()y f x =的图象关于直线3

2x =对称，所以()1(1)(2)4f f f -===.

故选：B

15．已知函数()2

f x x ax =+对定义域内任意的x 都有()()22f x f x -=+，则实数a 等于

（） A ．4 B ．-4 C ．14

D ．14

【答案】B 【解析】【分析】

根据()()22f x f x -=+得到()f x 关于2x =对称，利用对称轴公式得到答案. 【详解】

()()22f x f x -=+则()f x 关于2x =对称，故242

a -=∴=-

故选：B 【点睛】

本题考查了函数的对称问题，根据()()22f x f x -=+确定函数的对称轴是解题的关键.

针对练习四由周期性与对称性求函数解析式

【答案】B 【解析】【分析】

由()()4f x f x +=，可得原函数的周期，再结合奇偶性，把自变量的范围[)2,0-转化到(]4,6上，则f (x )在区间[)2,0-上的表达式可求．【详解】

当[2,0)x ∈-时，(]0,2x -∈，

(]44,6x ∴-+∈

又②当(]4,6x ∈时，()21x f x =+，

4(4)21x f x -+∴-+=+

又(4)()f x f x +=，

∴函数()f x 的周期为4T =，

(4)()f x f x ∴-+=-

又②函数()f x 是R 上的奇函数，

()()f x f x ∴-=-

∴4()21x f x -+-=+，

∴当[)2,0x ∈-时，4()21x f x -+=--．

故选：B ．【点睛】

本题综合考查函数的周期性､奇偶性，以及函数解析式的求法．要注意函数性质的灵活转化，是中档题．一般这类求函数解析式的题目是求谁设谁，再由周期性或者奇偶性将要求的区间化到所给的区间内．

17．函数y ＝f （x ）是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f （x ）＝x +1，则在x ∈（1，2）时f （x ）＝（） A ．﹣x ﹣3 B ．3﹣x

C ．1﹣x

D ．x +1

【答案】B 【解析】【分析】

先设x ∈（1，2），根据周期性和奇偶性将x 转化到（0，1），代入函数解析式，然后根据性质化简求出解析式即可．【详解】

设x ∈（1，2），则﹣x ∈（﹣2，﹣1），2﹣x ∈（0，1）， ∴f （2﹣x ）＝2﹣x +1＝3﹣x ，

函数y ＝f （x ）是以2为周期的偶函数， ∴f （x +2）＝f （x ），f （﹣x ）＝f （x ），则f （2﹣x ）＝f （﹣x ）＝f （x ）＝3﹣x . 故选：B ．【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性、周期性等有关性质，同时考查了函数解析式的求解

方法，属于基础题．

18．设函数()()y f x x R =∈为偶函数，且x R ∀∈；满足3122

f x f x ⎛

⎫

⎛⎫

-=+ ⎪ ⎪⎝

⎭

⎝

⎭

，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则当[]2,0x ∈-时，()f x = A ．

x + B ．2x - C ．21x ++ D ．31x -+

【答案】D 【解析】【详解】

试题分析:由3122

f x f x ⎛⎫

⎛⎫

-=+ ⎪ ⎪⎝

⎭

⎝

⎭

可得 (2)()f x f x +=，则当[2,1]x ∈--时，

4[2,3],()(4)413x f x f x x x +∈=+=+=++；当 [1,0]x ∈-时，[0,1]x -∈， 2[2,3]x -∈，

()()(2)231f x f x f x x x =-=-=-=--，应选D.

考点：分段函数的解析式及分类整合思想.

【易错点晴】函数的周期性、奇偶性及分类整合思想不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从题设中的已知条件

3122f x f x ⎛⎫⎛

⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭入手，探究出其周期为 2，再分类求出当[]2,0x ∈-时，和当

[1,0]x ∈-时函数的解析表达式分别为4[2,3],()(4)x f x f x +∈=+

413x x =+=++和 [0,1],2[2,3]x -∈-，()()(2)231f x f x f x x x =-=-=-=--，从而

使得问题巧妙获解．

19．函数()f x 的图象与曲线2log y x =关于x 轴对称，则()f x =（） A ．2x B ．2x - C ．2log ()x - D ．21

log x

【答案】D 【解析】

任取函数()f x 上的一点(),x y ，先求出点(),x y 关于x 轴对称的点坐标为(),x y -，又点

(),x y -在曲线2log y x =上，整理即可得出结果.

【详解】

任取函数()f x 上的一点(),x y ，

由函数()f x 的图象与曲线2log y x =关于x 轴对称，则点(),x y 关于x 轴对称的点坐标为(),x y -，又点(),x y -在曲线2log y x =上，可得222log log log 1y y x

x x -=⇒=-=，则()21

log f x x

=. 故选：D. 【点睛】

关键点睛：求出点(),x y 关于x 轴对称的点坐标是解题的关键.

20．若函数()y g x =的图象与ln y x =的图象关于直线2x =对称，则()g x =（） A ．()ln 2x + B ．()ln 2x -

C ．()ln 4x -

D ．()ln 4x +

【答案】C 【解析】【分析】

在函数()y g x =的图象上任取一点(),x y ，由对称性的知识可知，点(),x y 关于直线2x =的对称点在函数ln y x =的图象上，然后计算即可得解. 【详解】

在函数()y g x =的图象上任取一点(),x y ，则点(),x y 关于直线2x =对称的点为()4,x y -，

且点()4,x y -在函数ln y x =的图象上，所以()ln 4y x =-. 故选：C . 【点睛】

本题考查函数的对称性的应用，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.

针对练习五由周期性与对称性比较大小

21．已知函数()f x 是奇函数，且(2)()f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上是增函数，

313

(1),(),()23

f f f 的大小关系是（）

A ．3

13(1)()()23

f f f <<

B ．313()(1)()23

f f f <<

C ．133()(1)()32

f f f << D ．133()()(1)32

f f f <<

【答案】D 【解析】【分析】

由f （x+2）=﹣f （x ），得f （x+4）=f （x ），利用函数奇偶性单调性之间的关系，即可比较大小．【详解】

②f （x+2）=﹣f （x ），函数f （x ）是奇函数， ②f （x+2）=﹣f （x ）=f （﹣x ）， ②函数f （x ）关于x=1对称，且f （x+4）=f （x ），

②函数是周期为4的周期数列． ②f （x ）在[﹣1，0]上是增函数，

②f （x ）在[﹣1，1]上是增函数，f （x ）在[1，2]上是减函数， f （

133

）=f （4+13）=f （13）=f （5

3），

②f （x ）在[1，2]上是减函数，且1＜3

＜53

， ②f （1）＞f （32

）＞f （53

），即f （

133

）＜f （3

2）＜f （1），

故选D ．【点睛】

本题主要考查函数值的大小比较，利用函数的奇偶性，对称性和单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质，考查学生的转化意识，属于中档题． 22．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件： ②对任意的1212x x ≤<≤，都有()()12f x f x >； ②()1y f x =+的图象关于y 轴对称； ②对任意的R x ∈，都有()()2f x f x =+ 则13f ⎛⎫

⎪⎝⎭

，

32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，83f ⎛⎫

⎪⎝⎭

的大小关系是（）

A ．8

31323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>

> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭ B ．8

13332f f f ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫>

> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

C ．1

38323f f f ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫>

> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭ D ．3

81233f f f ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫>

> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

【答案】A 【解析】【分析】

根据②可得()y f x =在()1,2上单调递减，根据②可得()y f x =的图象关于1x =对称，根据②可得()y f x =周期为2，根据单调性、周期性、对称性即可比较大小. 【详解】

因为②对任意的1212x x ≤<≤，都有()()12f x f x >；可得()y f x =在()1,2上单调递减，因为②()1y f x =+的图象关于y 轴对称；可得()y f x =的图象关于1x =对称，因为②对任意的R x ∈，都有()()2f x f x =+，所以()y f x =周期为2，

因为()y f x =的图象关于1x =对称，所以1

533f f ⎛⎫

⎛⎫=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，因为()y f x =周期为2，所以8

24333f f f ⎫

⎛⎫⎛⎫=

=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

，因为()y f x =在()1,2上单调递减，4

35323

<，所以4

35323f f f ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

，即831323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，故选：A.

23．定义在R 上的函数()f x 满足：()()1

11f x f x -=-+成立且

()f x 在[]2,0-上单调递

增，设()6a f =，(b f =，()4c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．a c b >>

C ．b c a >>

D ．c b a >>

【答案】D 【解析】【分析】

由()()1

11f x f x -=-+，

可得函数()f x 周期4T =，将自变量的值利用周期转化到[]2,0-，结合单调性，即得解【详解】

由题意，()()111f x f x -=-+，则

()()1

13f x f x +=-+ ()1(3)f x f x ∴-=+

()(4)f x f x ∴=+，可得函数()f x 周期4T =

()

6(2)a f f ∴==-，(()

4b f f ==，()4(0)c f f ==

由于()f x 在[]2,0-上单调递增

(2)4)(0)f f f ∴-<<

即a b c ∴<< 故选：D 【点睛】

本题考查了函数的周期性与单调性综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题

24．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：②任意[]12,4,8x x ∈，当

12x x <时，都有

()()1212

0f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-；②()4y f x =+是偶函数；若

()()()6,11,2025a f b f c f ===，则a b c 、、的大小关系正确的是（）

A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．b a c <<

D ．c b a <<

【答案】C 【解析】【分析】

由条件②确实单调性，条件②确定周期性，条件②确定对称性，由对称性和周期性化自变量到区间[4,8]上，再由单调性得大小关系、【详解】

因为任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()1212

0f x f x x x ->-，所以()f x 在[4,8]上是增函

数，

因为()()4f x f x +=-，所以(8)(4)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期函数，周期是8；由()4y f x =+是偶函数，得()f x 的图象关于直线4x =对称，

(11)(3)f f =(5)f =，(2025)(1)(7)f f f ==，

又(5)(6)(7)f f f <<，所以b a c <<．故选：C ．【点睛】

思路点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性．解题方法一般是利用周期性把自变量化小，再由周期性（或对称性）化自变量到同一个单调区间上，然后由单调性得函数值大小．

25．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x f x -=；（2）(2)(2)f x f x +=-；（3）

12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->．则(2019),(2020),(2021)f f f 的大小关系是

（）

A ．(2021)(2020)(2019)f f f >>

B ．(2019)(2020)(2021)f f f >>

C ．(2020)(2021)(2019)f f f >>

D ．(2020)(2019)(2021)f f f >>

【答案】B 【解析】

根据已知可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，周期为4，且在[]1,3上为增函数，得出()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =，根据单调性即可比较

(2019),(2020),(2021)f f f 的大小．

【详解】

解：②函数()f x 满足：

(2)()f x f x -=，故函数的图象关于直线1x =对称； (2)(2)f x f x +=-，则()()4f x f x +=，故函数的周期为4；

12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->，故函数在[]1,3上为增函数；

故()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =，而()()()321f f f >>，所以(2019)(2020)(2021)f f f >>. 故选：B. 【点睛】

本题考查函数的基本性质的应用，考查函数的对称性、周期性和利用函数的单调性

函数的对称性与周期性例题、习题(供参考)

函数的对称性与周期性【知识梳理】 1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期； 2. 周期函数的其它形式 ()()f x a f x b +=+? ；()()f x a f x +=-? ；()()1f x a f x +=? ； ()()1f x a f x +=-? ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+? ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+? )()()2(x f a x f a x f -+=+? 1 )(1)(+-=+x f a x f ? ， 3. 函数图像的对称性 1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点对称； 4. 常见函数的对称性 1）函数()()0ax b f x c cx d +=≠+的图像关于点对称； 2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线对称；【例题选讲】题型一根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331 x f x x +=-的图像关于对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于对称； 4. 函数()3sin 23f x x π??=- ?? ?的图像关于直线对称；关于点对称；题型二平移变换后，函数图像的对称性 1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( ) 2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于对称； 3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于对称；题型三函数图像的对称性求函数解析式

高中数学《函数的周期性与对称性》针对练习及答案

第二章函数 2.3.2 函数的周期性与对称性（针对练习）针对练习针对练习一周期性与对称性的判断 1．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是 A ．sin y x = B ．cos y x = C ．ln y x = D ．3y x = 2．已知函数()3lg x f x x =+，则下列选项正确的是（） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是偶函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 没有最大值 3．函数22 1 ()f x x x =+的图像关于（） A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y x =对称 4．函数5x y =与5-=x y 的图象（） A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =轴对称 5．函数cos y x =与函数cos y x =-的图象 A ．关于直线1x =对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称针对练习二由函数周期性求函数值 6．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(2,0)x ∈-时，2()2f x x =，则 (2019)f 等于（）

A ．-2 B ．2 C ．-98 D ．98 7．已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当02x <<时，()2log f x x =，则 ()722f f ⎛⎫ += ⎪⎝⎭ A ．1 B ．-1 C ．0 D ．2 8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3 ()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤ ∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（） A ．4 B ．4- C ．0 D ．6- 9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，当(]0,2x ∈时，()22log x f x x =+，则(2022)f =（） A ．5 B ．1 2 C ．2 D ．－2 10．定义在R 上的函数()f x ，满足()()5f x f x +=，当(]3,0x ∈-时，()1f x x =--，当 (]0,2x ∈时，()2log f x x =，则()()()122022f f f ++⋅⋅⋅+=（）. A ．403 B ．405 C ．806 D ．809 针对练习三由函数对称性求函数值 11．设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-，且当 10,2x ⎡⎤ ∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 的值等于（） A ．12 - B ．13 - C ．14 - D ．15 - 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当 02x <<时，()2 2x x f x +=-，则()5f = A ．3 B ．3- C ．7 D ．7-

高一数学函数周期性和对称性复习练习题

函数周期性和对称性高一数学一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。二．重要结论 1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数 4、 y=f(x)满足f(x+a)=() x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= () x f 1 -(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 6、1() ()1() f x f x a f x -+= +，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1() f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。 9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数； 10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()4b a -为周期的周期函数； 11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。 13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。 14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T≠0), 则f(2 T )=0. 函数的轴对称：定理1：如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2 a b x += 对称. 推论1：如果函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.

函数的周期性-奇偶性-对称性经典小题练(含答案)

函数的周期性练习题一．选择题（共15小题） 1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（） A．1 B．C．﹣1 D．﹣ 2．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3， ﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣ 3．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f（x）=4x，则f（119.5）=（）A．10 B．﹣10 C．D．﹣4．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f （8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 5．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x） =2x+log2x，则f（2015）=（）A．﹣2 B．C．2 D．5 6．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2014）+f（2015）=（） A．3 B．2 C．1 D．0 7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.5 8．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2 9．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（）A．5 B．﹣5 C．0 D．3 10．f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则

(完整版)函数的性质练习(奇偶性、单调性、周期性、对称性)(附答案)

函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性) 1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是 A.0 B.1 C.3 D.5 2、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( ) A ．1 B ．4 C ．3 D ．2 3、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(f A.0 B.2 C. 2- D.2± 4、已知1 1 2)(-+ =x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.16 5、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则 A.)(x f 为偶函数 B.)(x f 为奇函数 C.)(x f =)2(+x f D.)3(+x f 为奇函数 6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是 A.)(x f 的周期为4 B. )(x f 的周期为6 C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称 D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3 )(x x f =，则=)2013(f A.1- B.0 C.1 D.2 8、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(f A.1 B.2 C.3 D.4 9、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ???? 32 等于( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．－1 2 11、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)

专题12函数的周期性与对称性-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题(解析版)

第 12 题函数的周期性与对称性一．题源探究·黄金母题已知函数 y ＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数 y ＝f(x ＋1)的图象；（3）你能写出函数 y ＝f(x)的解析式吗？【解析】（1）从图象得知，x 从 0 变 1 化到 1，函数经历个周期，即 2 T = 1 ，故函数的周期 T=2； 2 （2）函数 y=f （x+1）的图象可由函数 y=f （x ）的图象向左平移 1 个单位得到，因为函数 y=f （x ）的图象过点（0，0）、点（1，1）所以 y=f （x+1）的图象经过（-1，0）、点（0，1），再根据函数为周期函数画出图象：（3）当-1≤x ＜0 时，f （x ）=-x ，当 0≤x ＜1 时，f （x ）=x ；当 2n-1≤x ＜2n 时，f （x ）=f （x-2n ）=-（x-2n ）=2n-x ，当 2n ≤x ＜2n+1 时，f （x ）=f （x-2n ）=x-2n ， ∴ f (x ) = ⎧2n - x , 2n -1 ≤ x < 2n （n 为整数） ⎨x - 2n , 2n ≤ x < 2n +1 ⎩ 【试题来源】人教版 A 版必修四第 47 页 B 组第 3 题【母题评析】本题以 y ＝f(x)的图象为载体，考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式（根据图像求解析式）问题，此类问题是高考常考的题型之一．【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的解题思想之一，特别是在解决函数问题中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”．二．考场精彩·真题回放

高三数学周期性和对称性试题答案及解析

高三数学周期性和对称性试题答案及解析 1.设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则 . 【答案】1 【解析】. 【考点】周期函数及分段函数. 2.设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（） A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真【答案】C 【解析】由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题P是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题由此结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题考查四个选项，C选项正确，故选C 3.定义在R上的函数满足．当时，，当时，．则（） A．335 B．338 C．1678 D．2012 【答案】B 【解析】由，可知函数的周期为6，所以，，，，所以在一个周期内有，所以 4.设定义在上的函数满足，若，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴是一个周期为4的周期函数，∴．∵，∴＝＝．【考点】抽象函数． 5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,f(x+2)=对任意x∈R恒成立,则f(2011)等于() A．1B．2C．3D．4

【答案】A 【解析】由f(x+2)=, 得f(-1+2)=, 即f(1)f(-1)=1, 而f(1)=1,故f(-1)=1, 且f(x+4)==f(x), ∴f(2011)=f(503×4-1)=f(-1)=1. 故选A. 6.已知奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈(0,1)时,f(x)=2x,则f()的值为. 【答案】- 【解析】∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x), ∴函数f(x)的周期T=4, ∴f()=f(-4)=f(-)=-f()=-=-. 7.函数y=f(x)(x∈R)有下列命题: ①在同一坐标系中,y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关于直线x=1对称; ②若f(2-x)=f(x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称; ③若f(x-1)=f(x+1),则函数y=f(x)是周期函数,且2是一个周期; ④若f(2-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于(1,0)对称,其中正确命题的序号是. 【答案】②③④ 【解析】对于①,y=f(x+1)的图象由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到,y=f(-x+1)的图象,由y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到,而y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称,从而y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关于直线x=0对称,故①错; 对于②,由f(2-x)=f(x)将x换为x+1可得f(1-x)=f(1+x),从而②正确; 对于③,由f(x-1)=f(x+1)将x换为x+1可得,f(x+2)=f(x),从而③正确. 对于④,由f(2-x)=-f(x)同上可得f(1-x)=-f(1+x),从而④正确. 【误区警示】解答本题时,易误以为①正确,出错的原因是混淆了两个函数y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关系与一个函数y=f(x)满足f(x+1)=f(-x+1)时图象的对称关系. 8.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．【答案】－10 【解析】因为函数f(x)是周期为2的函数，所以f(－1)＝f(1)⇒－a＋1＝，又f＝f＝f ⇒＝－a＋1，联立列成方程组解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝2－12＝－10. 9.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点成中心对称，对任意实数x都有f(x)＝－，且f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(0)＋f(1)＋…＋f(2013)＝________. 【答案】－2

2021高考数学新高考版一轮习题：专题2 第12练函数的奇偶性、周期性与对称性 (含解析)

1．(2019·宁夏银川一中月考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋3)＝f (x －1)，若当x ∈[－2,0]时，f (x )＝3－ x ＋1，则f (2 021)等于( ) A ．6 B ．4 C ．2 D ．1 2．若函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足2f (x )－g (x )＝e x ，则( ) A ．f (－2)

高考数学：专题05 函数的周期性和对称性(解析版)

【高考地位】函数周期性和对称性是函数两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数对称性和周期性，以及它们之间联系。因此，我们应该掌握一些简单常见几类函数周期性与对称性基本方法。【方法点评】一、函数周期性求法使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步合理利用已知函数关系并进行适当地变形；第二步准确求出函数周期性；第三步运用函数周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件) (1 )2(x f x f = +，若5)1(-=f ，则=))5((f f （） A 、5- B 、5 C 、51 D 、5 1- 【答案】D 【解析】考点：函数周期性、 (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2 ，则()=2016 f （） A 、-12 B 、-16 C 、-20 D 、0 【答案】A 【解析】试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 周期为10，因此 ()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A. 考点：1、函数奇偶性；2、函数解析式及单调性、

【点评】(1)函数周期性反映了函数在整个定义域上性质、对函数周期性考查，主要涉及函数周期性判断，利用函数周期性求值、(2)求函数周期方法【变式演练1】已知定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（） A 、3- B 、0 C 、1 D 、3 【答案】B 【解析】【变式演练2】定义在R 上函数()f x 满足()()[)20,0,2f x f x x ++=∈时，()31x f x =-，则() 2015f 值为（） A.-2 B.0 C.2 D.8 【答案】A 【解析】试题分析：由已知可得⇒=+-=+)()2()4(x f x f x f ()f x 周期⇒=4T ()2015f ==)3(f 2)1(-=-f ，故选A. 考点：函数周期性. 【变式演练3】定义在R 上偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，且在[2,0]x ∈-上为增函数， 3 ()2a f =，7()2b f =，12 (log 8)c f =，则下列不等式成立是（） A 、a b c >> B 、b c a >> C 、b a c >> D 、c a b >>【答案】B 【解析】试题分析：因为定义在R 上偶函数()y f x =在[2,0]x ∈-上为增函数，所以在[0,2]x ∈上单调递减，又 (4)()f x f x +=，所以()()12 71(),(log 8)3122b f f c f f f ⎛⎫ ====-= ⎪⎝⎭，又13122<<，所以b c a >>、考点：1、偶函数性质；2、函数周期性、二、函数对称性问题

高中数学黄金100题系列专题10函数的周期性与对称性(解析版) Word版(含解析)

I ．题源探究·黄金母题例1 设2 2 1()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=；（2）1 ()()f f x x =-. 【解析】（1） 22 22 1()1()1()1x x f x x x +-+-==--- ()()f x f x ∴-= （2） 2 22211()11()11 1()x x f x x x ++==-- 2 2 2211()11 x x f x x x ++-=- = -- 1 ()()f f x x ∴=- 例2容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心。除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗?其坐标是?正弦曲线是轴对称图形吗?如果是，对称轴的方程是? 你能用已学过的正弦函数性质解释上述现象吗? 对于弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题。【解析】由周期函数的性质知，T=2π 所以对称中心为 (,0)()k k z π∈，正弦曲线是轴对称图形同样由周期函数的性质知其对称轴方程纬()2 x k k Z π π= +∈。对于余弦函数同样有类似的性质，因为cosA=sin(A+2π) 所以对称中心为(,0)()2 k k Z π π+∈，余弦曲线是轴对称图形同样由周期函数的性质知 X=K π(K 为整数) 正切函数同样有类似的性质，对称中心为(k π/2,0)(K 为精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第44页A 组第 8题【母题评析】本题以2 21()1x f x x +=-为载体，考查函数奇偶性的证明、复合函数的运算问题，此类问题是高考常考的题型之一。【思路方法】赋值法是解决复合函数、函数奇偶性的判断问题常用的解题方法之一，使用时要注意赋值的合理性。精彩解读【试题来源】人教版A 版必修四第46页A 组第 11题【母题评析】本题以正弦函数是奇函数为依据，让你去探索正弦函数有没有对称中心、对称轴，然后类比正弦函数，在去探索总结余弦函数、正切函数的对称性，此题的结论也是高考常考的知识点。【思路方法】以旧探新是一种重要的学习、解题方法，这种类比推理思想是近几年高考试题常常

新高考数学一轮复习之函数的周期性与对称性专题训练卷(含答案)

专题2.10 函数的周期性与对称性-重难点题型精练【新高考地区专用】考试时间：90分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2020秋•解放区校级月考）函数f （x ）=|x|+x 4 x 2−1 的图象关于（） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 2．（5分）（2021•眉县模拟）设f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1﹣x ），则f （−92 ）＝（） A ．−12 B ．−1 4 C ．1 4 D ．1 2 3．（5分）（2020春•南阳期末）若定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）+f （2a ﹣x ）＝2b ，则其图象关于点（a ，b ）成中心对称．已知：函数f （x ）=1 4 x−1 +1 ，则函数f （x ）图象的中心对称点是（） A ．（0，1） B ．（1 2，1） C ．（1，0） D ．（1，1 2 ） 4．（5分）（2020秋•高新区校级月考）已知定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足条件f(x +3 2)=−f(x)，且函数y =f(x −3 4)为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（） A ．函数f （x ）是周期函数 B ．函数f （x ）为R 上的偶函数 C ．f （x ）的图象关于点(−34 ，0)对称函数 D ．f （x ）为R 上的单调函数 5．（5分）（2020•白山模拟）已知函数f （x ）＝3|x ﹣a | +2，且满足f （5+x ）＝f （3﹣x ），则f （6）＝（） A ．29 B ．11 C ．3 D ．5 6．（5分）（2020•泰安一模）已知定义在R 上的函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(1 3)x −x −4，

2020年高考数学一轮复习专题2.4函数的周期性、对称性练习(含解析)

第四讲函数的周期性与对称性一.对称性 (一)对称轴 1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。 2.常见函数的对称轴 ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a) ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称 ⑦哥函数：显然哥函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；哥函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的哥函数不具备对称性 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中( k % , 0)是它的对称中心，x=k % + % /2是它的对称轴 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(④x+4)既是轴对称又是中心对称，只需从④ x+(j)=k7t中解出x,就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从④ x+0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。 ⑬三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 (14)绝对值函数：这里主要说的是y=f( x )和y= f(x) 两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称；后者是把x轴下方的图像对称到 x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如 y= lnx 就没有对称性，而 y= sinx 却仍然是轴对称

高考数学专题函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合练习(文)(解析版)

高考数学专题函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合练习一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若函数||)(a x e x f -= (a 为常数)在区间)1[∞+，上是增函数，则实数a 的范围是( )。 A 、]2(，-∞ B 、]1(，-∞ C 、)1[∞+-， D 、)1[∞+，【答案】B 【解析】设||)(a x x g t -==，则t e t f =)(，171828.2>⋅⋅⋅=e ，)(t f 单调递增， )(x g 在)1[∞+，内单调递增，1≤a ，故选B 。 2．函数⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )1(4)13()(x x x a x a x f a ，，满足：对任意实数21x x <，0)()(21>-x f x f ，则a 的取值范围是( )。 A 、)10(， B 、)310(， C 、)3171[， D 、]17 1[，【答案】C 【解析】013<-a ，10<a 且0≠c 【答案】A 【解析】a x x f -='26)(，则0)(≥'x f 恒成立，则0≤a ，c 无要求，故选A 。 4．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在)0(∞+，上单调递增，则( )。 A 、)2()13log ()3(6.03f f f <-<- B 、)13log ()2()3(36.0-<<-f f f C 、)3()13log ()2(36.0-<-