(2021年整理)高考专题函数对称性

（完整）高考专题函数对称性

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函数对称性

一知识点精讲：

I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明:函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y (满足00()f x y =)关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-，00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==

∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2

a b x +=对称. 推论1：)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 2、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2

(c b a +对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =)关于点(,)2

a b c +的对称点为00(,2)Q a b x c y +--,00()[()]f a b x f b x a +-=-+0002[()]2()2c f b b x c f x c y =---=-=-

∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,)2

a b c +对称. 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 II 两个函数的图象对称性(相互对称）

1、)(x f y =与)(x f y -=图象关于y 轴对称

2、)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数

3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于

x 轴对称 4、函数)(x f y =与其反函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称

5.函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线2

a b x -=对称 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -=

的对称点为00(,)Q b a x y --，000[()]()f b b a x f a x y ---=+=

∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2

b a x -=

的对称点也在函数()y f a x =+图象上。从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线

2

b a x -=对称。 推论1：函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称

推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称

推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(

,0)2

b a -对称。 证明:函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2

b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-

∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上;反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2

b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上。从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2

b a -对称. 二典例解析：

1、定义在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时,5

12)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。

解析:)(x f y =关于直线1=x 对称,)2()(x f x f +=-,又 是)(x f 奇函数， )()(x f x f -=-，故有)()2(x f x f -=+，4=T , )420(log )20(log 22-=f f 15

12)54(log )45(log 54log 222-=--=-==f f 答案为：1- 2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__对称. 解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知)(x f y =图象关于)0,1(对称

3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于______对称。 解析：这是两个函数的对称性,两函数的图象关于1=x 对称答案:1=x

4、设函数)(x f y =的定义域为R,且满足)1()1(x f x f -=-,则)(x f y =的图象关于_______对称。 解析：这是一个函数的对称性，)(x f y =的图象关于y 轴即0=x 对称答案：0=x

5、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于______对称.

解析：)(x f y =关于直线1=x 对称，)1(+=x f y 是由)(x f y =向左平移一个单位得到 的，故)1(+=x f y 的图象关y 轴对称正确答案为y 轴

6、设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-,则)(x f y =关于______对称，

)2(x f y =图象关于________对称，

。 解析：令x t 2=，则有)()1(t f t f =-∴)(t f y =关于直线21=t ,即)(x f y =关于2

1=x 对称，)2(x f y =是由)(x f y =的图象纵坐标不变,横坐标变为原来的21，)2(x f y =关于4

1=x 对称.正确答案为21=x ，4

1=x 7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为_______

解析：)(x f y =的图象关于直线3=x 对称,故五个实根,有两对关于直线3=x 对称，它们的和为12,还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为15

8、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，

①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称；

②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称;

③若)2()2(x f x f -=-,则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称， 其中正确命题序号为_______。 解析：①错)2(+=x f y 关于直线2-=x 对称,②对③错若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线0=x 对称；④对正确答案为②④