函数对称性的三类题型
对称性
一、有关对称性的常用结论
（一）函数图象自身的对称关系（加法）
1、轴对称
(1))(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称；
(2)函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+⇔()(2)f x f a x =-
（32（1（2（3（4，则函数
1.
2.
推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2(a b -对称。 类型一：双对称问题
1.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，x x f 2
1)(-=，则=)6.8(f ___________
解：因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以)(0x f y x ==是的对称轴；又因为(1)(1)f x f x +=-，所以1x =也是()y f x =的对称轴，故)(x f y =是以2为周期的周期函数，所以x =2,2(c a b -
3.0)6.0()6.0()6.08()6.8(=-==+=f f f f 。
2.（2005年广东卷I ）设函数)2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f 。
（1）试判断函数)(x f y =的奇偶性；非奇非偶函数
（2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。
3.设，则：
，图1. 2. （3.4..
2个单位所得.
因为反比例函数3y x
=的对称中心是()0,0,O 自然也进行相应地平移， 所以函数()121x f x x
-=+图象的对称中心是()1,2.-- 类型三：求值
1.已知函数f (x )＝，若f (a )＝，则f (－a )＝________.
2.设函数f (x )＝的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．
解析：f (x )＝＝1＋.设g (x )＝，则g (－x )＝＝－g (x )，
所以g (x )是R 上的奇函数．所以若g (x )的最大值是W ，则g (x )的最小值是－W .所以函数f (x )的最大值是1＋W ，最小值是1－W ，即M ＝1＋W ，m ＝1－W ，所以M ＋m ＝2.
答案：2
3.()()311f x x =-+，则()()()()()43056f f f f f -+-+++++=．
解析()()311f x x =-+是由3y x =平移得到的，
由于3y x =是奇函数，图象关于原点对称，
因此()f x 的对称中心为()1,1，()()22f x f x +-=，
所以()()()()()43056f f f f f -+-+++++ =))3b a 数列，()1a f A.0218π D.1316
π所以f 是公差为又因为已知条件()()()1255,a a a f f f π+++=
所以32a π=，()3f a π=，13284a a ππ=-⨯=，533284
a a ππ=+⨯=. 所以()()222231333153132cos cos .24416a a a a a a a f πππππ⎛⎫---=--⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
=
高考数学热点问题专题练习——函数的对称性与周期性知识归纳及典型例题分析
函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2 a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x +=为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦ ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以
函数的对称性
一、函数自身的对称性探究 定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 推论：函数y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得： f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
函数的对称性与周期性例题、习题(供参考)
函数的对称性与周期性 【知识梳理】 1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期； 2. 周期函数的其它形式 ()()f x a f x b +=+? ；()()f x a f x +=-? ；()()1f x a f x +=? ； ()()1f x a f x +=-? ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+? ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+? )()()2(x f a x f a x f -+=+? 1 )(1)(+-=+x f a x f ? ， 3. 函数图像的对称性 1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性 1）函数()()0ax b f x c cx d +=≠+的图像关于点 对称； 2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】 题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331 x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称； 4. 函数()3sin 23f x x π??=- ?? ?的图像关于直线 对称；关于点 对称； 题型二 平移变换后，函数图像的对称性 1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( ) 2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称； 3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式
函数的对称问题
函数的对称问题 一、函数的自对称问题 1． 函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称?f(a+x)=f(a-x)； 特别，函数y=f(x)的图象关于y 轴对称?f(x)=f(-x). 2． 函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称?f(a+x)+f(a-x)=2b ； 特别，函数y=f(x)的图象关于原点对称?f(-x)=-f(x). 主要题型： 1.求对称轴(中心)：除了三角函数y=sinx ，y=cosx 的对称轴（中心）可以由下列结论直接写出来(对称轴为函数取得最值时的x=)(,2 Z k k x k ∈=+ππ π,对称中心为函数与x 轴的 交点()()Z k k k ∈?? ? ?? + 2,0,πππ)外，其它函数的对称轴(中心)就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解. 例1 确定函数()x x x f +-=3 1)(的图象的对称中心. 解析1 设函数()x x x f +-=3 1)(的图象的对称中心为（h ，k ），在图象上任意取一 点P （x ，y ），它关于（h ，k ）的对称点为Q （2h-x ，2k-y ），Q 点也在图象上，即有 ()x h x h y k -+--=-21223 ，由于()x x y +-=3 1，两式相加得 ()()h x x h k 211223 3 +-+--=，化简得 ()()()() 0124116132 2 =+-+--+---h k h h h x h h x h （*）. 由于P 点的任意性，即（*）式对任意x 都成立，从而必有x 的系数和常数项都为0，即h=1，k=1. 所以函数()x x x f +-=3 1)(的图象的对称中心为（1,1）. 解析 2 设函数()x x x g +=3 ，则g(x)为奇函数，其对称中心为原点，由于 ()1)1(1)1(1)(3 +-=+-+-=x g x x x f ，说明函数f(x)的图象是由g(x)的图象分别向右、 向上平移1个单位得到，而原点向右、向上分别平移1个单位得到点(1,1). 所以函数()x x x f +-=3 1)(的图象的对称中心为（1,1）. 例2 曲线f(x)=ax 3+bx 2+cx ，当x=1-3时，f(x)有极小值；当x=1+3时，f(x)有极大值，且在x=1处切线的斜率为2 3. (1)求f(x)；
函数的对称性
函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ωϕ=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ⇔)()(x a f x a f -=+ ⇔)2()(x a f x f -= ⇔)2()(x a f x f +=-
三角函数图象的对称性题型分类解析
三角函数图象的对称性题型分类解析 对于正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋?)与余弦型函数y ＝Asin(ωx ＋?)的对称性一般需要根据基本函数y ＝sinx 与y ＝cosx 的对称性进行整体代换求解.本文对这类问题进行归类分析. 关于y ＝sinx 、y ＝cosx 与y ＝tanx 的对称性如下结论： ①函数y ＝sinx 的图象的对称轴方程为x k ＝k π＋π2 (k∈Z)，对称中心坐标为(k π,0)(k∈Z)； ②函数y ＝cosx 的图象的对称轴方程为x k ＝k π(k∈Z).对称中心坐标为(k π＋π2 ,0)(k∈Z)； 一、根据函数解析式确定图象的对称轴 例1函数y ＝cos(2x ＋π2 )的图象的一条对称轴方程是( ) A.x ＝－π2 B.x ＝－π4 C.x ＝π8 D.x ＝π 解：∵2x ＋π2＝k π(k ∈Z)得图象的对称轴方程为x ＝k π2－π4(k ∈Z).当k=0时，x ＝－π4 .故选B. 方法点拨：上面解法可以先利用诱导公式将函数解析式化简后进行求解，如例1化为y ＝－sin2x ，再由x ＝k π(k ∈Z)可求得结果.因为对称轴过三角函数型函数的最值点，因此可以根据选择题的特点还可以利用验证法，即将各选择项代入函数解析式的右端，如果所得的值为1或－1，则就为正确选项. 二、根据函数解析式确定图象的对称中心 例2函数y ＝sin(2x －π6 )图象的一个对称中心是( ) A.(﹣π12,0) B.(π12,0) C.(11π12,0) D.(﹣13π12 ,0) 解：由2x －π6＝k π(k ∈Z)得，对称中心为 (k π2＋π12,0)(k ∈Z).当k ＝0时，即为(π12 ,0)，故选B. 方法点拨：本题直接根据正弦函数的对称中心坐标，利用整体代换方法可求得结果.由于正函弦数的对称中心为图象提零点，因此可以将选择项代入解析式左端，如果所得的值为0，则就是正确的选项. 三、根据图象的对称轴确定函数的解析式 例3 如果函数y ＝sin2x ＋acos2x 的图象关于直线x ＝－π8 对称，那么a 等于（ ） A. 2 B.－ 2 C.1 D.－1 解析1：由三角函数的性质知，可知当x ＝－π8 时函数取最大值或最小值. ∴由题设条件知，函数的最大值为1＋a 2,最小值为－1＋a 2， 而当x ＝－π8,y ＝－22＋22a,∴|－22＋22 a|＝1+a 2,解得a ＝－1,故选D. 解析2：∵x ＝－π8是此函数的一条对称轴，∴f(－π8－x)＝f(－π8 ＋x)对定义域上的任何值都成立， 令x ＝－π8,则f(－π8＋π8 )＝f(0)＝sin0＋acos0＝a ， f(－π8－π8)＝f(－π4)＝sin(－π2)＋acos(－π2 )＝－1， ∴a ＝－1.故选D. 方法点拨：解法1主要是利用通过不同途径求的最值相同建立关于a 的方程而求得的，而解法2是利用函数的对称性，同时结合特殊值来求解的. 四、根据图象的对称中心确定函数解析式 例4函数y ＝sin(3x ＋?)图象的一个对称中心是(－7π12 ,0),则?取（ ） A.π4 B.－π4 C.7π12 D.－7π12
18函数对称性的典型例题(补充)
函数对称性的典型例题 几种常见对称关系 一、点的对称 点),(y x P 关于x 轴对称为) -,(1y x P ，对称关于y ),-(2y x P ，对称关于O ),(3y x P --，对称关于x y =),y (4x P ，对称关于x y -=)-,-y (4x P ， 二、函数)(x f y =的对称，可以直接改写 )(x f y =对称关于x )(-x f y =，即)(-x f y =；)(x f y =对称关于y )-(x f y =， )(x f y =对称关于O )-(-x f y =，即)-(-x f y = )(x f y =对称关于x y =)(x y f =，反解出y 即可。 典型例题 题型一、利用对称性求交点个数 1．若函数()y f x =图象上不同两点M ，N 关于原点对称，则称点对[M ，]N 是函数()y f x = 的一对“和谐点对”，（点对[M ，]N 与[N ，]M 看作同一对“和谐点对” )，已知函数2,0 ()4,0x e x f x x x x ?<=?->? ， 则此函数的“和谐点对”有( ) A ．3对 B ．2对 C ．2对 D ．0对 解：由题意知函数2()4f x x x =-，0x >，关于原点对称的图象为24y x x -=+， 即24y x x =--，0x <，作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在0x <上的交点个数只有2个，所以函数()f x 的“和谐点对”有2个，故选：B ． 2．若函数()y f x =图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，]B 是函数()y f x =的一对“和谐点对”（注：点对[A ，]B 与[B ，]A 可看作同一对“和谐点对” )．已知函数2,0 ()4,0-x e x f x x x x ?<=?? ， 则此函数的“和谐点对”有( ) A ．0对 B ．1对C ．2对 D ．3对
一次函数的对称性专题
一次函数的对称性专题 1．关于一次函数21y x =-，21y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ） A ．关于直线y x =-对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2．若一次函数(0)(0)y kx b x k =+≠≠与一次函数112y x = +的图象关于x 轴对称，则一次函数y kx b =+的解析式为 ． 3． ①函数24y x =--关于1y =对称的直线函数解析式为________________； ②函数24y x =--关于y x =对称的直线函数解析式为________________； ③一次函数y ax b =+的图象1L 关于直线y x =-轴对称的图象2L 的函数解析式是________________． 4．和直线53y x =-关于y 轴对称的直线解析式为__________________． 和直线2y x =--关于x 轴对称的直线解析式为__________________． 5．求一次函数21y x =+的图象关于原点对称图象的解析式． 6．直线3y x =-与一次函数y kx b =+关于1x =对称，求k ，b ．
7．已知某一次函数的图象如图所示． （1）求这个一次函数的解析式． （2）请直接写出该直线关于y轴对称的直线解析式． 8．因为一次函数y kx b =-+≠的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数=+与(0) y kx b k =-+≠互为“镜子”函数． y kx b k =+与(0) y kx b （1）请直接写出函数32 y x =-的“镜子”函数：； （2）如果一对“镜子”函数y kx b y kx b k =-+≠的图象交于点A，且与x轴交于 =+与(0) B、C两点，如图所示，若ABC △是等腰直角三角形，90 ∠=?，且它的面积是16，求 BAC 这对“镜子”函数的解析式．
函数的对称问题讲解
函数的对称问题讲解 一、函数对称性的定义 函数的对称性是指函数图像关于某条直线或某个点对称的性质。函数的对称性可以通过函数自身的性质进行描述和刻画，例如函数在某点的导数可以描述函数图像在该点的切线斜率。函数的对称性分为轴对称和中心对称两种，轴对称是指函数图像关于某条直线对称，中心对称是指函数图像关于某点对称。 二、函数图像的对称轴和对称中心 1.对称轴：如果函数图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。 2.对称中心：如果函数图像关于点(a,b)对称，那么对于任意x，都有f(a+x)+f(a-x)=2b，即函数在x=a处的值等于b。 三、奇函数和偶函数的对称性 1.奇函数：如果对于任意x，都有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。奇函数的图像关于原点对称。 2.偶函数：如果对于任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。 四、对称性与周期性的关系 函数的对称性和周期性之间有一定的联系。例如，如果函数f(x)是周期为T的周期函数，并且图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。因此，函数的对称性和周期性是相互联系的。
五、对称性与函数最值的关系 函数的对称性和最值之间也有一定的关系。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或递减，并且图像关于直线x=(a+b)/2对称，那么f(x)在(a,b)上的最小值或最大值一定出现在对称轴上。因此，函数的对称性和最值之间也是相互联系的。 六、对称性在解题中的应用 函数的对称性在解题中有着广泛的应用。例如，在求解函数的极值、最值等问题时，可以利用函数的对称性简化问题；在判断函数的单调性时，可以利用函数的对称性寻找关键点；在解决与周期性相关的问题时，可以利用函数的对称性寻找周期的规律等等。因此，掌握函数的对称性对于解决数学问题具有重要的意义。 七、函数对称性的判定方法 1.奇偶性判定：利用奇偶性的定义进行判定，即对于任意x，都有f(-x)=-f(x)则为奇函数，f(-x)=f(x)则为偶函数。 2.渐近线判定：如果函数具有垂直渐近线或者水平渐近线，则可以根据这些渐近线的性质判断函数的对称性。 3.图像判定：通过对函数图像的观察和分析，可以判定函数的对称性。例如，如果函数图像关于某条直线或者某个点对称，则该函数具有相应的对称性。
高三数学一轮专题复习 函数对称性与周期性 题型归纳讲义(原卷版)
专题四 《函数》讲义 5.7 对称性与周期性 知识梳理.对称性与周期性 1.轴对称： ①f(x)=f(-x)，关于x=0对称 ②f(a+x)=f(a -x)，关于x=a 对称 ③f(a+x)=f(b -x)，关于x= 2 b a 对称 2.中心对称： ①f(x)-f(-x)=0，关于(0,0)对称 ②f(a+x)-f(a -x)=0，关于(a,0)对称 ③f(a+x)-f(a -x)=2b ，关于(a,b)对称 3.周期性： ①f(x)=f(x+T)，最小正周期为T ，有多个对称轴，有多个对称中心. ②f(x+a)=f(x+b)，T=lb -al ③f(x+a)=-f(x+b)，T=2lb -al ④f(x+a)=± ) (f 1 x ，T=l2al
题型一. 轴对称 1．已知函数f （x ）＝f （2﹣x ），x ∈R ，当x ∈[1，+∞）时，f （x ）为增函数．设a ＝f （1），b ＝f （2），c ＝f （﹣1），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．c ＞b ＞a 2．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x （3﹣2x ），则f （312 ）＝（ ） A ．﹣1 B ．−1 2 C ．1 2 D ．1 3．已知定义域为R 的函数f （x ）在[1，+∞）单调递增，且f （x +1）为偶函数，若f （3）＝1，则不等式f （2x +1）＜1的解集为（ ） A ．（﹣1，1） B ．（﹣1，+∞） C ．（﹣∞，1） D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 题型 1．已知函数f （2x +1）是奇函数．则函数y ＝f （2x ）的图象成中心对称的点为（ ） A ．（1，0） B ．（﹣1，0） C ．（1 2，0） D ．（−1 2，0） 2．已知函数f （x ﹣1）（x ∈R ）是偶函数，且函数f （x ）的图象关于点（1，0）成中心对称，当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝x ﹣1，则f （2019）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．2 3．（2016·全国2）已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （﹣x ）＝2﹣f （x ），若函数y =x+1 x 与y ＝f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则∑ m i=1（x i +y i ）＝（ ） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 题型 1．已知函数f （x ）={log 0.5(3−x)，x ≤0−1 f(x−4)，x ＞0，则f （2019）＝（ ） A ．4 5 B ．2 3 C ．1 2 D ．1 3 2．（2017•山东）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x +4）＝f （x ﹣2）．若当x ∈[﹣3，
高考数学重难点分析：函数的周期性与对称性(题型战法)(解析版)
第二章 函数 2.3.1函数的周期性与对称性（题型战法） 知识梳理 一 函数的周期性 函数()y f x =满足定义域内的任一实数x (其中,a b 为常数) (1)()()f x f x a =+，则()x f 是以T a =为周期的周期函数； (2)()()f x a f x b +=-, 则()x f 是以b a T +=为周期的周期函数； (3)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； (4)()() 1 f x a f x +=± ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 二 函数的对称性 轴对称：若()()f a x f b x +=- 则f(x)关于2b a x += 对称. 中心对称：若()()2f a x f b x m ++-= 则f(x)关于(2 b a +，m) 对称. 三 由对称性推周期性 (1) 函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >）， ①若()x f 为奇函数，则函数()f x 4T a =，②若()x f 为偶函数，则函数()f x 周期为2T a =. (2) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b ≠都对称，则函数()f x 是以 2a b -为最小正周期的周期函数； (3) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y ,()0,B b y ()a b ≠都对称，则函数 ()f x 是以2a b -为最小正周期的周期函数； (4) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b ≠都对称，则函数()f x 是以4a b -为最小正周期的周期函数； 题型战法 题型战法一 周期性与对称性的判断
热点2-2 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)
热点2-2 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10 大题型 函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。 一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数: ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠， ()() 02 121>--x x x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()() 0212 1>--x f x f x x . 2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数: ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠， ()() 02 121<--x x x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()() 0212 1<--x f x f x x . 二、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇
函数对称性的三类题型
对称性 一、有关对称性的常用结论 （一）函数图象自身的对称关系（加法） 1、轴对称 (1))(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称； (2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+⇔()(2)f x f a x =- ⇔()(2)f x f a x -=+； （3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的 图象关于直线对称。 2、中心对称 （1）)(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；. （2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称⇔)()(x a f x a f --=+⇔()(2)f x f a x =-- ⇔)2()(x a f x f +=-； （3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称⇔b x a f x a f 2)()(=++- （4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数）， 则函数)(x f y =的图象关于点 对称。 （二）两个函数图象之间的对称关系（减法） 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线 对称。 推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对 称。 推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。 2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点 对称。 推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2 ( a b -对称。 类型一：双对称问题 1. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时， 2 a b x -= )2 ,2( c a b -2 b a x += )2 ,2(c b a +
高三函数周期、对称性专项训练题
周期性和对称性 1.周期函数和最小正周期：在定义域内，若存在有一个非零常数T ，恒满足 ƒ(x+T)= ƒ(x)，则称T 为其一个周期。 2.对称性：①ƒ（x+a ）=ƒ（b-x ），则ƒ（x ）关于 对称 ②若有ƒ（x+a ）=-ƒ（b-x ），则ƒ（x ）的图象关于 对称 ③若ƒ(a+x)是奇函数 ⇒则ƒ(a-x)= ,ƒ(x)的图象关于 对称； ④若ƒ(a+x)是偶函数 ⇒则ƒ(a-x)= ,ƒ(x)的图象关于 对称； ⑤若()()2f a x f b x m ++-=，则f(x)关于点 __ 对称 ⑥若ƒ（x ）与g （x ）的图象关于直线x=m 对称,则g （x ）= ⑦若ƒ（x ）与g （x ）的图象关于点(m,0)对称,则g （x ）= 3.关于周期的常见结论： ①若ƒ（x+a ）=ƒ（x+b ）， 则ƒ（x ）的周期为 ; ②若ƒ（x+a ）=－ƒ（x ）， 则ƒ（x ）的周期为 ; 若ƒ（x+a ）= ) (1 x f ， 则ƒ（x ）的周期为 ; 若ƒ（x+a ）=－)(1x f ， 则ƒ（x ）的周期为 ; 若ƒ（x+a ）=1() 1()f x f x -+，则ƒ（x ）的周期为 ; 若ƒ（x+a ）=) (1) (1x f x f -+，则ƒ（x ）的周期为 ; ③若ƒ(x)是关于点（a,0）和（b,0）对称，则ƒ(x)的周期为 ④若ƒ(x)是关于直线x=a 和直线x=b 对称，则ƒ(x)的周期为 ⑤若ƒ(x)是关于点（a,0）和线x=b 对称， 则ƒ(x)的周期为 1、R 上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x)+f(2)，x ∈[0，2]时，y= f(x)递减，命题：①f(2)=0； ②x= 一4为y= f(x)图象的一条对称轴； ③y= f(x)在[8，10]递增； ④若f(x)=m 在[一6，一2]上的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2= 一8 以上命题中正确命题的序号为
二次函数的对称性
（一）、教学内容 1. 二次函数的解析式六种形式 ① 一样式 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) ② 极点式 2 ()y a x h k =-+（a ≠0已知极点） ③ 交点式 12()()y a x x x x =--（a ≠0已知二次函数与X 轴的交点） ④ y=ax 2 (a ≠0) (极点在原点) ⑤ y=ax 2+c (a ≠0) (极点在y 轴上) ⑥ y= ax 2 +bx (a ≠0) (图象过原点) 2. 二次函数图像与性质 对称轴：2b x a =- 极点坐标：2 4(,)24b ac b a a -- 与y 轴交点坐标（0，c ） 增减性：当a>0时，对称轴左侧，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大 当a<0时，对称轴左侧，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小 ☆ 二次函数的对称性 二次函数是轴对称图形，有如此一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:12 2 x x x += 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0) 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0) 当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大； 【典型例题】 题型 1 求二次函数的对称轴 1、 二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3，那么m=________。 2、 二次函数c bx x y ++=2的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，那么此拋物线的对称轴是（ ） （A ）1x =- （B ）1x = （C ）2x = （D ）3 x = y x O
2014 图像的周期性与对称性
良好的开端是成功的一半 专题:函数对称性,周期性的应用 题型一、对称轴 例1、若函数()2 f x x bx c =++对一切实数都有f (2＋x) = f (2－x)则（ ） A.f (2)
高考数学：专题05 函数的周期性和对称性(解析版)
【高考地位】 函数周期性和对称性是函数两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数对称性和周期性，以及它们之间联系。因此，我们应该掌握一些简单常见几类函数周期性与对称性基本方法。 【方法点评】 一、函数周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型 解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形；第二步 准确求出函数周期性； 第三步 运用函数周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件) (1 )2(x f x f = +，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A 、5- B 、5 C 、51 D 、5 1- 【答案】D 【解析】 考点：函数周期性、 (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2 ，则()=2016 f （ ） A 、-12 B 、-16 C 、-20 D 、0 【答案】A 【解析】 试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 周期为10，因此 ()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A. 考点：1、函数奇偶性；2、函数解析式及单调性、
【点评】(1)函数周期性反映了函数在整个定义域上性质、对函数周期性考查，主要涉及函数周期性判断，利用函数周期性求值、(2)求函数周期方法 【变式演练1】已知定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A 、3- B 、0 C 、1 D 、3 【答案】B 【解析】 【变式演练2】定义在R 上函数()f x 满足()()[)20,0,2f x f x x ++=∈时，()31x f x =-，则() 2015f 值为（ ） A.-2 B.0 C.2 D.8 【答案】A 【解析】 试题分析： 由已知可得⇒=+-=+)()2()4(x f x f x f ()f x 周期⇒=4T ()2015f ==)3(f 2)1(-=-f ，故选A. 考点：函数周期性. 【变式演练3】定义在R 上偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，且在[2,0]x ∈-上为增函数， 3 ()2a f =，7()2b f =，12 (log 8)c f =，则下列不等式成立是（ ） A 、a b c >> B 、b c a >> C 、b a c >> D 、c a b >>【答案】B 【解析】 试题分析：因为定义在R 上偶函数()y f x =在[2,0]x ∈-上为增函数，所以在[0,2]x ∈上单调递减，又 (4)()f x f x +=，所以()()12 71(),(log 8)3122b f f c f f f ⎛⎫ ====-= ⎪⎝⎭，又13122<<，所以b c a >>、 考点：1、偶函数性质；2、函数周期性、 二、函数对称性问题
高中函数的对称性(含练习题及解析)
【答案】5 【分析】先根据①①可知函数的对称中心和对称轴，再分别画出()f x 和()g x 的部分图像，由图像观察交点的个数． 【详解】根据题意，①(2)()0f x f x -+=，得函数()f x 的图像关于点()1,0对称， ①(2)()0f x f x ---=，得函数()f x 的图像关于1x =-对称，则函数()f x 与()g x 在区间[3,3]-上的图像如图所示， 由图可知()f x 与()g x 的图像在[]3,3-上有5个交点．
由图知()f x 与()h x 的图象在区间()2,6-有四个交点，设交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，且 14 22 x x +=，23 22 x x +=，所以12348x x x x +++=，所以()f x 与()h x 的图象所有交点的横坐标之和为8， 3．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,14 1log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩ ，若对任意的 [,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（ ） A ．1- B ．2 3 - C ．13 - D ． 13 【答案】C 【分析】 若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ≥+，进而可得答案. 【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-，当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[ )1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =， 若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()2 2 1x x t -≥+，即()2 2110t x t ++-≤， ()()()2 2 211011321110 t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩，故实数t 的最大值为1 3-. 4．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，(1)(1)f x f x +=-，当01x ≤≤时，()1x f x e =-，则23x ≤≤时， ()f x 的解析式为（ ）