高中数学专题-函数的对称性
函数对称性
1. 函数自身的对称性探究
高考题回放：设函数
，，且在闭区间［0，7］上只有
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。
分析：由可得：函数图象既关于x＝2对称，又关于x＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。
定理1函数的图像关于直线x＝a对称的充要条件是
即
证明（略）
推论函数的图像关于y轴对称的充要条件是
定理2函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是
证明（略）
推论函数的图像关于原点O对称的充要条件是
偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。
定理3①若函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且是其一个周期。
②若函数的图像同时关于直线成轴对称（），则
是周期函数，且是其一个周期。
③若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。
以下给出③的证明，①②的证明留给读者。
因为函数的图像关于点A（a，c）成中心对称。
所以代得：
又因为函数的图像关于直线成轴对称。
所以代入（*）得：
得
代入（**）得：
是周期函数，且是其一个周期。
2. 不同函数对称性的探究
定理4函数的图像关于点成中心对称。
证明：设点图像上任一点，则。点关于点的对称点为，此点坐标满足，显然点
在的图像上。
同理可证：图像上关于点对称的点也在的图像上。
推论函数与的图像关于原点成中心对称。
定理5函数与的图像关于直线成轴对称。
证明设点是图像上任意一点，则。点关于直线的对称点为，显然点在的图
像上。
同理可证：图像上关于直线对称的点也在图像上。
推论函数与的图像关于直线y轴对称。
定理6①函数与的图像关于直线成轴对称。
②函数与的图像关于直线成轴对称。
现证定理6中的②
设点是图像上任一点，则。记点关于直线的对称点，则，所以
代入
之中得。所以点在函数的图像
上。
同理可证：函数的图像上任一点关于直线的轴对称点也在函数的图像上。故定理6中的②成立。
推论函数的图像与的图像关于直线成轴对称。
3. 函数对称性应用举例
例1 定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（）
A. 是偶函数，也是周期函数
B. 是偶函数，但不是周期函数
C. 是奇函数，也是周期函数
D. 是奇函数，但不是周期函数
解：因为为偶函数，所以。
所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。
例2 设定义域为R的函数、都有反函数，并且和
的函数图像关于直线对称，若，那么（）
A. 2002
B. 2003
C. 2004
D. 2005
解：因为的函数图像关于直线对称，所以
的反函数是，而的反函数是，所以，所以有
故，应选（C）。
例 3 设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________
解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；
又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以
例4 函数的图像的一条对称轴的方程是（）
解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选（A）。
例 5 设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：
_____________
解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以
新教材数学函数对称性高中洋葱数学
新教材数学函数对称性高中洋葱数学 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它
的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心。
高中数学《函数对称性》重要结论—优享文档
高中数学《函数对称性》重要结论 二、函数对称性的几个重要结论 （一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
高中的函数对称性的总结
高中函数对称性总结 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图
函数的对称性
一、函数自身的对称性探究 定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 推论：函数y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得： f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
高中数学专题-函数的对称性
函数对称性 1. 函数自身的对称性探究 高考题回放：设函数 ，，且在闭区间［0，7］上只有 （1）试判断函数的奇偶性； （2）试求方程在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。 分析：由可得：函数图象既关于x＝2对称，又关于x＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。 定理1函数的图像关于直线x＝a对称的充要条件是 即 证明（略） 推论函数的图像关于y轴对称的充要条件是 定理2函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是 证明（略） 推论函数的图像关于原点O对称的充要条件是 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。 定理3①若函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且是其一个周期。 ②若函数的图像同时关于直线成轴对称（），则 是周期函数，且是其一个周期。 ③若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。 以下给出③的证明，①②的证明留给读者。 因为函数的图像关于点A（a，c）成中心对称。 所以代得： 又因为函数的图像关于直线成轴对称。 所以代入（*）得： 得 代入（**）得： 是周期函数，且是其一个周期。 2. 不同函数对称性的探究 定理4函数的图像关于点成中心对称。 证明：设点图像上任一点，则。点关于点的对称点为，此点坐标满足，显然点 在的图像上。 同理可证：图像上关于点对称的点也在的图像上。
推论函数与的图像关于原点成中心对称。 定理5函数与的图像关于直线成轴对称。 证明设点是图像上任意一点，则。点关于直线的对称点为，显然点在的图 像上。 同理可证：图像上关于直线对称的点也在图像上。 推论函数与的图像关于直线y轴对称。 定理6①函数与的图像关于直线成轴对称。 ②函数与的图像关于直线成轴对称。 现证定理6中的② 设点是图像上任一点，则。记点关于直线的对称点，则，所以 代入 之中得。所以点在函数的图像 上。 同理可证：函数的图像上任一点关于直线的轴对称点也在函数的图像上。故定理6中的②成立。 推论函数的图像与的图像关于直线成轴对称。 3. 函数对称性应用举例 例1 定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（） A. 是偶函数，也是周期函数 B. 是偶函数，但不是周期函数 C. 是奇函数，也是周期函数 D. 是奇函数，但不是周期函数 解：因为为偶函数，所以。 所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。 例2 设定义域为R的函数、都有反函数，并且和 的函数图像关于直线对称，若，那么（） A. 2002 B. 2003 C. 2004 D. 2005 解：因为的函数图像关于直线对称，所以 的反函数是，而的反函数是，所以，所以有 故，应选（C）。 例 3 设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________ 解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴； 又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以
【教育学习文章】高一数学《函数的对称性》知识点总结
高一数学《函数的对称性》知识点总结 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数y=f的图像关于点A对称的充要条件是 f+f=2b 证明：（必要性）设点P是y=f图像上任一点，∵点P 关于点A的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f图像上，∴2b－y=f 即y+f=2b故f+f=2b，必要性得证。 （充分性）设点P是y=f图像上任一点，则y0=f ∵f+f=2b∴f+f=2b，即2b－y0=f。 故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f图像上，而点P与点P'关于点A对称，充分性得征。 推论：函数y=f的图像关于原点o对称的充要条件是f+f=0 定理2.函数y=f的图像关于直线x=a对称的充要条件是f=f即f=f （证明留给读者） 推论：函数y=f的图像关于y轴对称的充要条件是f=f 定理3.①若函数y=f图像同时关于点A和点B成中心对称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。 ②若函数y=f图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。
③若函数y=f图像既关于点A成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y=f图像既关于点A成中心对称， ∴f+f=2c，用2b－x代x得： f+f[2a－]=2c………………（*） 又∵函数y=f图像直线x=b成轴对称， ∴f=f代入（*）得： f=2c－f[2+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f[2+x]=2c－f[4+x]代入（**）得： f=f[4+x],故y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。 二、不同函数对称性的探究 定理4.函数y=f与y=2b－f的图像关于点A成中心对称。 定理5.①函数y=f与y=f的图像关于直线x=a成轴对称。 ②函数y=f与a－x=f的图像关于直线x+y=a成轴对称。 ③函数y=f与x－a=f的图像关于直线x－y=a成轴对称。 定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③ 设点P是y=f图像上任一点，则y0=f。记点P关于直线x－y=a的轴对称点为P'（x1，y1），则x1=a+y0,y1=x0－a，∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f之中得x1－a=f∴点P'（x1，
数学对称性专题
高中数学中的对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若 ()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且2()T a b =-是函数的一个周期。
高中函数的对称性(含练习题及解析)
【答案】5 【分析】先根据①①可知函数的对称中心和对称轴，再分别画出()f x 和()g x 的部分图像，由图像观察交点的个数． 【详解】根据题意，①(2)()0f x f x -+=，得函数()f x 的图像关于点()1,0对称， ①(2)()0f x f x ---=，得函数()f x 的图像关于1x =-对称，则函数()f x 与()g x 在区间[3,3]-上的图像如图所示， 由图可知()f x 与()g x 的图像在[]3,3-上有5个交点．
由图知()f x 与()h x 的图象在区间()2,6-有四个交点，设交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，且 14 22 x x +=，23 22 x x +=，所以12348x x x x +++=，所以()f x 与()h x 的图象所有交点的横坐标之和为8， 3．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,14 1log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩ ，若对任意的 [,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（ ） A ．1- B ．2 3 - C ．13 - D ． 13 【答案】C 【分析】 若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ≥+，进而可得答案. 【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-，当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[ )1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =， 若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()2 2 1x x t -≥+，即()2 2110t x t ++-≤， ()()()2 2 211011321110 t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩，故实数t 的最大值为1 3-. 4．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，(1)(1)f x f x +=-，当01x ≤≤时，()1x f x e =-，则23x ≤≤时， ()f x 的解析式为（ ）
高中数学函数的对称性专题含答案
高中数学函数的对称性专题含答案 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 已知函数f(x)=x2−2x+m，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则f(x1+x2 2 )=() A.1 B.2 C.m−1 D.m 2. 在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=lg(x+1)的图象与函数g(x)=lg(−x+1)的图象关于( ) A.原点对称 B.x轴对称 C.直线y=x对称 D.y轴对称 3. 下列给出函数y=f(x)的部分对应值,则f(f(8))等于() A.π B.4 C.8 D.0 4. 已知幂函数y=f(x)，f(8)=2，则y=f(x)一定经过的点是( ) A.(2, 1) B.(2, 4) C.(4, 2) D.(0, 1) 5. 已知函数f(x+1)＝3x+2，则f(x)的解析式是( ) A.3x+2 B.3x+1 C.3x−1 D.3x+4 6. 若函数f(x)＝x2+e x−1 2 (x<0)与g(x)＝x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是() A.(−∞,√e) B. √e ) C. √e √e) D.(−√e, √e ) 7. 定义在上的偶函数，其图像关于点对称，且当时， ，则( )
A. B. C. D. 8. 已知函数f (x )=ln (x −2)+ln (4−x )，则( ) A.f (x )的图象关于直线x =3对称 B.f (x )的图象关于点(3,0)对称 C.f (x )在(2,4)上单调递增 D.f (x )在(2,4)上单调递减 9. 函数f (x )=x 3−2021x +1图象的对称中心为（ ） A.(0,0) B.(1,0) C.(0,1) D.(1,1) 10. 已知函数f (x )=11+e x ，若正实数m ，n 满足f (m −1)=1−f (n )，则 1m +4 n 的最小值为( ) A.7 B.9 C.3+2√2 D.8 9 11. 函数f (x )满足f (x )=f (2−x )，x ∈R ，且当x ≥1时，f (x )=lg x ，则有( ) A.f (1 3)
2021《高中数学专题题型分类大全》第一分册函数专题3函数的奇偶性及对称性
《必修1》函数专题 三、函数的奇偶性与对称性 『知识与方法梳理』☟ 1、奇偶函数的定义与性质： 2、几个初等函数的奇偶性： （1）函数：y = ax + b 为奇函数时b=0 ；为偶函数时a=0 . 为奇函数时a=c=0 ；为偶函数时 b=0 . （3）函数：y = a x为奇函数的时a∈R ；为偶函数时a=0 . （4）指数函数：y = a x(a≠1,a>0) 与对数函数：y = log a x(a≠1,a>0)属于非奇非偶函数. （5）幂函数：y = xα(α∈Q) 为奇函数时α为奇数；为偶函数时α为偶数. 3、函数图形的对称性： 4.常识知识与方法： （1）复合及合成函数的奇偶性： . 奇函数在原点有定义时一定经过原点 (3)一个定义在R上的函数如果有两个对称轴或对称中心，则该 函数一定是周期函数. (4)定义域关于原点对称的常函数是偶函数 (5)既是奇函数又是偶函数的函数必是零函数 『题型分类例析』✍ （一）函数奇偶性的概念性质问题 ■题型结构特征：无解析式函数的奇偶性的判断. ★判断识真☆ 1.下列说法正确的是() A．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数 B．如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称 C．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数 D．如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为奇函数 2.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是() A．奇函数B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数 【例题1】[2014全国课标1文5]设函数) ( ), (x g x f的定义域为R，且) (x f是奇函数，) (x g是偶函数，则下列结论中正确的是（） A.) ( ) (x g x f是偶函数 B. ) ( |) ( |x g x f是奇函数 C. |) ( |) (x g x f是奇函数 D. |) ( ) ( |x g x f是奇函数 〖类型题〗(一) 1.f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是() A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x) C．f(x)·f(－x)≤0 D. f(x) f(－x) ＝－1 2.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结 论恒成立的是（） A．f(x)+|g(x)|是偶函数B．f(x)-|g(x)|是奇函数C．|f(x)|+g(x)是偶函数D．|f(x)|- g(x)是奇函数 3.函数() f x的定义域为R，若(1) f x+与(1) f x-都是奇函 数，则( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.()(2) f x f x =+ D.(3) f x+是奇函数 4.函数121 1 111 (),(),,(),, ()() n n f x f x f x x x f x x f x + === ++ 则函 数 2015 () f x是（） A.奇函数但不是偶函数 B.偶函数但不是奇函数 奇偶性定义性质 偶函数对定义域内任意x都有 f(-x) = f(x) 关于y轴对称 奇函数对定义域内任意x都有 f(-x) = - f(x) 关于原点对称 函数y = f(x)满足对称性对称轴或中心f(x) = f– 1(x) 轴对称y=x f(x) = f(2a – x) 轴对称x=a f(a + x) = f(a – x) 轴对称x=a f(a + x) = f(b – x) 轴对称x= a+b 2 f(a + x) + f(a - x) = 2b 中心对称(a, b) f(x) + f(2a - x) = 2b 中心对称(a, b) f(a + x) + f(b - x) = c 中心对称(a+b 2, c 2) 函数f(x) g(x) f[g(x)] f(x) ± g(x) f(x) ⋅ g(x) 奇偶性奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶奇偶偶非奇偶奇偶非奇非奇非非非非偶偶非非奇非非非非偶非非非非
高三函数对称性知识点归纳
高三函数对称性知识点归纳 函数对称性是数学中一个重要的概念，通过对函数的变换和图 像的观察，可以揭示函数的性质和规律。在高三数学学习中，函 数对称性是一个基础而又重要的知识点。本文将对高三函数对称 性的相关知识进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这 一概念。 一、函数关于y轴对称 当函数图像在y轴上下对称时，称该函数关于y轴对称。也就 是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相等。 在代数表示中，如果函数f(-x) = f(x)，则函数f(x)关于y轴对称。例如，函数f(x) = x^2就是关于y轴对称的函数，因为 f(-x) = (- x)^2 = x^2 = f(x)。 函数图像关于y轴对称，也可以通过以下特征来判断： 1. 函数是偶函数时，即f(x) = f(-x)。 2. 函数的表达式只含有偶次幂的项且系数都是实数。
二、函数关于x轴对称 当函数图像在x轴左右对称时，称该函数关于x轴对称。也就 是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相等。 在代数表示中，如果函数f(x) = f(-x)，则函数f(x)关于x轴对称。例如，函数f(x) = sin(x)是关于x轴对称的函数，因为 sin(-x) = - sin(x) = f(x)。 函数图像关于x轴对称，也可以通过以下特征来判断： 1. 函数是奇函数时，即f(x) = -f(-x)。 2. 函数的表达式只含有奇次幂的项且系数都是实数。 三、函数关于原点对称 当函数图像在原点对称时，称该函数关于原点对称。也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相反。
在代数表示中，如果函数f(x) = -f(-x)，则函数f(x)关于原点对称。例如，函数f(x) = sin(2x)是关于原点对称的函数，因为 sin(2(-x)) = -sin(2x) = -f(x)。 函数图像关于原点对称，也可以通过以下特征来判断： 1. 函数的表达式中含有奇数个奇次幂的项，且系数不都为0。 2. 函数的表达式中含有偶数个奇次幂的项，且系数之和为0。 四、其他对称性 除了关于y轴、x轴和原点的对称性外，函数还可能具有其他特殊的对称性。例如，某些函数可能在其他直线上对称，如关于斜线、关于一般直线的对称等。 这些特殊的对称性需要具体情况具体分析，并可以通过数学方法求解对称轴的位置和特性。 综上所述，高三函数对称性是一个重要的数学知识点。通过对函数关于y轴、x轴和原点的对称性的研究，可以帮助我们更深入地理解和分析函数的性质和规律，进而解决与函数对称性相关的
高三函数对称性知识点汇总
高三函数对称性知识点汇总 函数是数学中的重要概念，在高三数学学习中，函数的对称性 是一个重要的知识点。本文将对高三函数对称性的相关知识进行 汇总，并介绍不同函数的对称性及其特点。 函数的对称性是指函数图像在某种变换下保持不变的性质。在 高三函数学习中，常见的函数对称性有以下几种：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称。 一、关于x轴对称 若函数图像在x轴两侧关于x轴对称，即对于函数中的每一个 点(x, y)，都存在另一个点(x, -y)也在函数图像上，则称函数关于x 轴对称。 对于一个函数关于x轴对称的特点有： 1. 函数的解析式中只含有偶次项，或不包含奇次项。 2. 函数图像关于y轴对称。
若函数图像在y轴两侧关于y轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, y)也在函数图像上，则称函数关于y 轴对称。 对于一个函数关于y轴对称的特点有： 1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。 2. 函数图像关于x轴对称。 三、关于原点对称 若函数图像关于原点对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, -y)也在函数图像上，则称函数关于原点对称。 对于一个函数关于原点对称的特点有： 1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。 2. 函数图像关于原点对称。
当函数图像在直线L两侧对称时，我们称函数关于直线L对称。 对于关于直线对称的函数，其特点有： 1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有 形如|x|的项。 2. 函数图像上关于直线L对称。 五、关于点对称 若函数图像在点P两侧对称时，我们称函数关于点P对称。 对于关于点对称的函数，其特点有： 1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有 形如|x|的项。 2. 函数图像关于点P对称。
高中数学函数图像的对称与周期性
高中数学函数图像的对称与周期性 在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。 一、对称性 1. 关于y轴对称 当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。 例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。 2. 关于x轴对称 当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。 例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。 3. 关于原点对称 当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。 例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。 二、周期性
1. 周期函数 周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。周期函数的图像具 有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。 例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。我们可以通过绘 制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。 2. 非周期函数 非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。非周期函数的图像通 常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。 例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。我们需要根据函数的性质和 变化规律来绘制函数图像。 三、举一反三 通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。举一反三的思想是指通过理解和掌握一个例子，推广到其他类似的问题。 例如，考虑函数y = cos(x)，它是一个周期为2π的余弦函数。我们可以利用对 称性和周期性来解决以下问题： 问题1：求函数y = cos(x)在区间[0, 4π]上的图像。 解决方法：由于余弦函数具有关于y轴对称和周期为2π的性质，我们只需绘 制函数图像在一个周期内的部分，然后利用对称性和周期性得到完整的图像。 问题2：求函数y = cos(2x)在区间[0, 2π]上的图像。 解决方法：由于函数y = cos(2x)是函数y = cos(x)的变形，它的周期为π。我们 可以通过绘制函数图像在一个周期内的部分，再利用周期性得到完整的图像。
高中数学讲义微专题05 函数的对称性与周期性
微专题05 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2） ()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2 a b x += 轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如 ()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号 相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x += 为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为 方便 （3） ()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是 指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若 ()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相 反数，则函数值相等，所以有 ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦ ② 本结论也可通过图像变换来理解， ()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为 ()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。 3、中心对称的等价描述： （1） ()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数） （2） ()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭ 轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如 ()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点， 一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2 a b x += 为所给对称中心即可。例如：()f x 关于()1,0-中心对称()()2f x f x ⇒=---，或得到()()35f x f x -=--+均可，同样在求函数值方面，一侧是()f x 更为方 便 （3） ()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 轴对称。
函数的对称性真题答案解析
函数的对称性真题答案解析 在高中数学的学习中，函数的对称性是一个重要的概念。了解和掌握函数的对称性对于解题和理解函数性质都有很大的帮助。下面，我们将通过对几道函数对称性的真题进行解析，来深入了解函数对称性的应用和解题技巧。 1. 已知函数f(x)在R上满足f(1-x) = f(x) + 1，求f(0)的值。 首先，我们来分析题目中给出的函数对称性条件，即f(1-x) = f(x) + 1。这个条件意味着函数关于直线x=1/2对称。我们可以利用这个对称性进行解题。 假设f(x)的图像在平面直角坐标系上对称于直线x=1/2，那么对于任意x，x和1-x关于直线x=1/2的距离是相等的。也就是说，对于任意实数x，有|x-1/2|=|1-x-1/2|。 当x=0时，左边的绝对值式子等于1/2，右边的绝对值式子也等于1/2。所以，f(0)的值与f(1/2)的值是相等的。进一步推导，我们可以得到f(0) = f(1/2) + 1。 再来看题目中给出的等式f(1-x) = f(x) + 1。将x替换为1/2，得到f(1/2) = f(1/2) + 1。这个等式显然是不成立的。所以，我们可以得出结论，函数f(x)在R上不存在。 通过这道题目的解析，我们可以看到函数的对称性在解题中的应用。通过观察题目中给出的条件，我们可以得到函数图像的对称轴，进而得到所求的函数值。这种方法可以解决关于函数对称性的问题，尤其是对称于直线x=a的情况。
2. 已知函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，且满足f(x) = f(3x)，求f(0)的值。 对于这道题目，我们需要利用函数的对称性以及函数在给定区间上等式的性质来进行解答。首先，我们来分析题目中给出的条件。 题目中指出函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，说明函数关于原点(0,0)对称。另外，已知f(x) = f(3x)，表明函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。 结合这两个条件，我们可以得到f(x)在[-1,1]上的对称轴是直线x=0，同时函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。进一步推导，我们可以得到函数图像在[-1,1]上的一些性质。 由于f(x)在[-1,1]上是奇函数，即满足f(x) = -f(-x)，所以函数的对称轴是直线y=0。结合图像对称性和等式关系，我们可以得到 f(0) = f(3*0) = f(0)。 通过这个等式，我们可以得到f(0)的值可以是任意实数。因此，题目中没有给出f(0)的具体值，所以我们无法确定f(0)是多少。 通过对这道题目的解析，我们可以看到函数的对称性和等式性质在解答题目中的应用。通过观察题目中给出的条件，我们可以得出函数图像的对称轴和等式关系，进而得到所求的函数值或确定所求值的范围。 综上所述，函数的对称性在高中数学中很常见。在解题中，我们可以通过观察题目中给出的函数对称性和等式条件，来确定函数图像的对称轴和得出所求函数值的范围。函数对称性的理解和应用对于解
高一数学《函数的对称性》知识点总结
高一数学《函数的对称性》知识点总结 高一数学《函数的对称性》知识点总结 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是 f(x)+f(2a－x)=2b 证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x) 即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0) ∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。 故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P'关于点A(a,b)对称，充分性得征。 推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0 定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是 f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者） 推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x) 定理 3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。 ②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称， ∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得： f(2b－x)+f2a－(2b－x)]=2c………………（*） 又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称， ∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得： f(x)=2c－f2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f2(a－b)+x]=2c－f4(a－b)+x]代入（**）得： f(x)=f4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。 二、不同函数对称性的探究 定理4.函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。定理5.①函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图像关于直线x=a成轴对称。 ②函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。 ③函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。 定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③ 设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)。记点P(x,y)关于直线x－y=a的轴对称点为P'（x1，y1），则x1=a+y0,y1=x0－a，∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f(x0)之中得x1－a=f(a+y1)∴点P'（x1，y1）在函数x－a=f(y+a)的图像上。
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念： ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为a b x 2-=。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心， 2 ππ+=k x 是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，) 0,2(ππ+k 是它的对称中心。 （11）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中)0,2 ( πk 是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。 （12）对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴。 （13）三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。