简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题
求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.
某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?
参考答案
例1：
依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.
｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为
或其平面区域如图：
或或
∴面积S=×4×4=8
画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.
例2：
弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.
设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252x+160y，
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图
作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.
观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.
此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，
zmin=252×2+160×5=1304.
答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.
用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.
篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析
线性规划讲义
【考纲说明】
（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．
（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．
（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．
【知识梳理】
简单的线性规划问题一、知识点
1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函
数，称为目标函数． 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．
4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．
5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析
线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．
3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．
4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优
解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.
积储知识：
一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=0
2. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B0时，Ax0+By0+C当B0时，Ax0+By0+C0
3. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B0时，Ax0+By0+C当B0时，Ax0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入
Ax+By+C,所得实数的符号都相同,
（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,
即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)0
2.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有
（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)0 二.二元一次不等式表示平面区域:
①二元一次不等式Ax+By+C0（或0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;
②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;
注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二
元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域
原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。方法二：利用规律：
1.Ax+By+C0,当B0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），
当B0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;
2.Ax+By+C0,当B0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）
当B0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。
四、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：②线性目标函数：
③线性规划问题：④可行解、可行域和最优解：
【经典例题】
一．建构数学
?4x?y?10?4x?3y?20?
1．问题：在约束条件?下，如何求目标函数P?2x?y的最大值？
?x?0??y?0
首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图
（1）所示．
其次，将目标函数P?2x?y变形为y??2x?P的形式，它表示一条直线，斜率为，且在y轴上的截距为P．
平移直线y??2x?P，当它经过两直线4x?y?10与4x?3y?20的交点A(,5)时，直线在y
轴上的截距最
54
大，如图（2）所示．
因此，当x?
555
,y?5时，目标函数取得最大值2??5?7.5，即当甲、乙两种产品分别生产t和5t时，可
444
54
获得最大利润7.5万元．
这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中(,5)使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．说明：平移直线y??2x?P时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．
二．数学运用
?x?4y??3?
例1．设z?2x?y，式中变量x,y满足条件?3x?5y?25，求z的最大值和最小值．
?x?1?
解：由题意，变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当x?0,y?0时，z?2x?y?0，即点(0,0)在直线l0：2x?y?0上，作一组平行于l0的直线l：2x?y?t，t?R，可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点(x,y)
满足2x?y?0，即t?0，而且，直线l往右平移时，t随之增大．由图象可知，
当直线l经过点A(5,2)时，对应的t最大，当直线l经过点B(1,1)时，对应的t最小，所以，zmax?2?5?2?12，zmin?2?1?1?3．y
x?1
C
A x?4y?3?0
O
3x?5y?25?0
x
?x?4y??3?
例2．设z?6x?10y，式中x,y满足条件?3x?5y?25，求z的最大值和最小值．
?x?1?
解：由引例可知：直线l0与AC所在直线平行，则由引例的解题过程知，
当l与AC所在直线3x?5y?25?0重合时z最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当l经过点B(1,1)时，对应z最小，
∴zmax?6x?10y?50，zmin?6?1?10?1?16．
?2x?y?3?0?
例3．已知x,y满足不等式组?2x?3y?6?0，求使x?y取最大值的整数x,y．
?3x?5y?15?0?
解：不等式组的解集为三直线l1：2x?y?3?0，l2：2x?3y?6?0，l3：
3x?5y?15?0所围成的三角形内部
y（不含边界），设l1与l2，l1与l3，l2与l3交点分别为A,B,C，则A,B,C坐标分别为
Al1(8,4)，B(0,?3)，
7512C(,?)，l3
A 1919
作一组平行线l：
x?y?t平行于l0：x?y?0，当l往l0右上方移动时，t随之增大，
153
O
C
l2
x
63
∴当l过C点时x?y最大为，但不是整数解，
19
75
又由0?x?知x可取1,2,3，
19
当x?1时，代入原不等式组得y??2，∴x?y??1；当x?2时，得y?0或?1，∴x?y?2或1；当x?3时，y??1，∴x?y?2，
?x?2?x?3
故x?y的最大整数解为?或?．
?y?0?y??1
例4．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
解：设生产A产品x百吨，生产B产品y米，利润为S百万元，
?2x?3y?14?2x?y?9?
则约束条件为?，目标函数为S?3x?2y．
?x?0??y?0
作出可行域（如图），
3S3S3S
x?，它表示斜率为?，在y轴上截距为的直线，平移直线y??x?，当它经
__-__5S135
过直线与2x?y?9和2x?3y?14的交点(,)时，最大，也即S最大．此时，S?3??2??14.75．
__
将目标函数变形为y??
因此，生产A产品3.25百吨，生产B产品2.5米，利润最大为1475万元．说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际
含义及计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解．
一、对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最
佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
三、画区域
1. 用不等式表示以A(1,4)，B(?3,0)，C(?2,?2)为顶点的三角形内部的平面区域．
分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。解：直线AB的斜率为：
kAB?4?0?1，其方程为y?x?3．
1?(?3)可求得直线BC的方程为y??2x?6．直线AC的方程为
y?2x?2．?ABC的内部在不等式x?y?3?0所表示平面区域内，同时在不等式
同时又在不等式2x?y?2?0所表示2x?y?6?0所表示的平面区域内，
区域内（如图）．?x?y?3?0,所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组??2x?y?6?0,表示．
?2x?y?2?0?
的平面
说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线． 2 画出2x?3?y?3表示的区域，并求所有的正整数解(x,y)．
?y?2x?3,
解：原不等式等价于?而求正整数解则意味着x，y还有限制条件，即求
y?3.??x?0,y?0,
?x?z,y?z,?．?
?y?2x?3,??y?3.
依照二元一次不等式表示的平面区域，知2x?3?y?3表示的区域如下图：对于2x?3?y?3的正整数解，容易求得，在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)．
3设x?0，y?0，z?0；p??3x?y?2z，q?x?2y?4z，x?y?z?1，用图表示出点(p,q)的范围．分析：题目中的p，q与x，y，z是线性关系．可借助
于x，y，z的范围确定(p,q)的范围．1?x
?(8?q?6p),
?3x?y?2z??p,?27
?
解：由?得1?x?2y?4z?q,?(14?5q?3p),?y?
?x?y?z?1,27??
1?z?(5?4p?3q),?27?
篇三：简单的线性规划典型例题精析(二)
典例剖析
?5x?3y?15?［例1］求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y 满足约束条件?y?x?1
?x?5y?3?
?5x?3y?15?由不等式组?y?x?1
?x?5y?3?
作出可行区域，如图7—26所示的阴影部分．
∵目标函数为z=3x+5y,
∴作直线l:3x+5y=t(t∈R)．
当直线l在l0的右上方时，l上的点(x,y)满足3x+5y＞0，即t＞0，而且，直线l向右平移时，t随之增大，在可行域内以经过点A(35,)的直线l1所对应的t最大．22
类似地，在可行域内，以经过B(－2,－1)的直线l2所对应的t最小．∴zmax35?3??5??17,zmin?3?(?2)?5?(?1)??11．22
正确地作出不等式组表示的平面区域(可行域)，再由线性目标函数作出一组平行线考查最值，是解线性规划问题的基本步骤．
［例2］某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?
将已知数据列成下表：
?2x?y?300,?x?2y?250,?解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y 吨，利润总额为z元，那么?
?x?0,
??y?0;
z=600x+900y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图7—27)，即
可行域．
作直线l:600x+900y=0，即直线l:2x+3y=0,把直线l向右
上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原
点距离最大，此时z=600x+900y取最大值．解方程组
?2x?y?__-__0,得M的坐标为x=,y=. ?33?x?2y?250
应生产甲种棉纱__吨，乙种棉纱吨，能33
使利润总额达到最大．
解线性规划应用问题的步骤是：①从实际问题中抽象出不等式列出不等式组及线性目标函数;②由不等式组作出可行域;③作出一组平行直线
Ax+By－ｚ=0考查最值．
［例3］要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：
今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少．
?2x?2y?13,?x?3y?16,??设需截甲种钢管x根，乙种钢管y根，
则?4x?y?18,
?x?0,???y?0.
作出可行域(如图7—28)：
目标函数为z=x+y,
作出一组平行直线x+y=t中(t为参数)经过可行域内
的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线
4x+y=18和直线x+3y=16的交点A(3846,)，直线方程1111
为x+y=__.由于和都不是整数，所以可行域内__
的点(3846,)不是最优解．1111
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=8,经过的整点是B(4，4)，它是最优解．
要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少，方法是截甲种钢管、乙种钢管各4根．
此例的解法是，先依条件列出不等式组，作出可行域，不考虑x、y
为非负整数的条件，求出符合题中其他条件的最优解，然后看此最优解是否为非负整数解，若是非负整数解，则即为所求.若不是非负整数解，则应求出经过可行域内的非负整数解且与原点距离最远(或最近)的点的直线，这个非负整数解就是最优解．
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(优秀经典专题及答案详解)
专题7 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学习目标 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组； 2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 . 知识点一二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式表示区域 Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧 的所有点组成的平面区域不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0包括边界直线 不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分 知识点二点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0. 知识点三简单的线性规划中的基本概念 名称意义 约束条件由变量x，y组成的不等式(组) 线性约束条件由变量x，y组成的一次不等式(组) 目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 线性目标函数关于x，y的一次函数解析式 可行解满足线性约束条件的解(x，y) 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域 【典例1】（山东烟台二中2019届模拟）
(1)不等式组???? ? 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( ) A ．4 B ．1 C ．5 D ．无穷大 (2)若不等式组????? x －y ≥0，2x ＋y ≤2， y ≥0， x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( ) A.?? ??43 ，＋∞ B ．(0,1] C.????1，4 3 D ．(0,1]∪????43，＋∞ 【答案】(1)B (2)D 【解析】(1)作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2，2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝1 2 ×(2－1)×2＝1. (2)不等式组???? ? x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0 表示的平面区域如图中阴影部分所示． 由? ???? y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A ???? 23，23，
高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题 【知识概述】 线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题. 解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点 1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题； 2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节 （1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）； （2）求目标函数的最值. （3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型： ①0 b>时，截距最大（小），z的值最大（小）； ②0 b>时，截距最大（小），z的值最小（大）； 【学前诊断】 1.[难度] 易 满足线性约束条件 23, 23, 0, x y x y x y +≤ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? 的目标函数z x y =+的最大值是（） A.1 B.3 2 C.2 D.3 2.[难度] 易 设变量,x y满足约束条件 0, 0, 220, x x y x y ≥ ? ? -≥ ? ?--≤ ? 则32 z x y =-的最大值为( ) A.0 B.2 C.4 D.6
3. [难度] 中 设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥??≤??+≤? 下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取 值范围为（ ） A ．(1,1 B ．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 【经典例题】 例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =+的最大值为( ) A.5 B.4 C.1 D.8 例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =-的最大值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥??--≤??≥≥? ，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小 值为8，则a b +的最小值为____________. 例4. 在约束条件下0,0,,24, x y x y s x y ≥??≥??+≤??+≤?当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )
简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题 例1画出不等式组 ? ? ? ? ? ≤ + - ≤ - + ≤ - + - .0 3 3 4 2 y x y x y x ， ， 表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分． 解：把0 = x，0 = y代入2 - + -y x中得0 2 0< - + - ∴不等式0 2≤ - + -y x表示直线0 2= - + -y x下方的区域（包括边界）， 即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示． 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法． 例2 画出3 3 2≤ < -y x表示的区域，并求所有的正整数解),(y x． 分析：原不等式等价于 ? ? ? ≤ - > .3 ,3 2 y x y 而求正整数解则意味着x，y
有限制条件，即求 ? ? ? ? ? ? ? ≤ - > ∈ ∈ > > .3 ,3 2 , , ,0 ,0 y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知3 3 2≤ < -y x表示的区域如下图： 对于3 3 2≤ < -y x的正整数解，先画出不等式组． ? ? ? ? ? ? ? ≤ - > ∈ ∈ > > .3 ,3 2 , , ,0 ,0 y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示． 容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来． 例3求不等式组 ?? ? ? ? + - ≤ - + ≥ 1 1 1 x y x y 所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够
高中 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 知识点+例题 全面
辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划
[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1( [巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞ [例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y [巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.?? ? ??-≥≤+≤11y y x x y [例6] 画出不等式组?? ? ??≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.
[巩固] 画出不等式0 )4 )( 1 2 (< - - + +y x y x表示的平面区域. 1．基本概念 名称意义 约束条件由变量x，y组成的不等式组 线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组 目标函数关于x，y的解析式，如：2 2y x z+ = 线性目标函数关于x，y的一次解析式，如y x z+ =2 可行解满足线性约束条件的解（x，y） 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题 注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点； （2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解. 2．应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 （1）在平面直角坐标系内作出可行域． （2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形． （3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. [例1] 设y x z- =2，其中x，y满足 ? ? ? ? ? ≤ ≥ - + ≥ + - 2 2 1 x y x y x ，则z的取值范围是_________________.]4, 2 1 [- 知识模块2简单的线性规划 精典例题透析
线性规划经典例题及详细解析
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩ 则22 x y +的最小值是 。 3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩ ，则 y x 的取值范围是（ ）. A. [95，6] B.（－∞，9 5 ]∪[6，＋∞） C.（－∞，3]∪[6，＋∞） D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤≥+-≥-.112,932, 22115x y x y x 则1010z x y =+的最大 值是 。 四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ，y 满足约束条件14 22x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处 取得最大值，则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪ -+≤⎨⎪≤⎩ ，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的 值为（ ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 五、求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪ +-≤⎨⎪≤⎩ 表示的平面区域的面积为 （ ） A. 4 B. 1 C. 5 D. 无穷大
简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题 篇一：典型例题：简单的线性规划问题 典型例题 【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积. 【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低? 参考答案 例1： 【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积. 【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为 或其平面区域如图： 或或 ∴面积S=×4×4=8 【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界. 例2：
【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解. 【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么 z=252x+160y， 作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小. 观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求. 此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时， zmin=252×2+160×5=1304. 答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低. 【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点. 篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析 线性规划讲义 【考纲说明】 （1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法． （3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题 一、基本知识 1.规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础。因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0) （若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。 2.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小）。要会在可行域中确定最优解。 3.新概念:①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解⑤可行域⑥最优解 4.重要的思想方法：数形结合化归思想 5.解线性规划问题总体步骤： 设变量→ 找约束条件，找目标函数 找出可行域求出最优解 二、典型例题： 例1．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t, 生产乙种产品 1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元。每1t乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲，乙这两种产品应各生产多少。（精确到1t)。能使利润总额达到最大？ 解：设生产甲，乙两种产品分别为x(t), y(t)，利润总额为Z元， 则，Z=600x+1000y。
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。 作直线600x+1000y=0即3x+5y=0。 将直线向上平移到如图位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，即Z 取最大值。 得x=360/29≈12。 y=1000/29≈34。 例2．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表： 问每周生产空调器，彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？ 解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则
简单地线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题 例1 画出不等式组⎪⎩ ⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，， 表示的平面区域． 分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分． 解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+- ∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包 括边界）， 即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表 示的区域如图所示． 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法． 例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ． 分析：原不等式等价于⎩ ⎨ ⎧≤->.3, 32y x y 而求正整数解则意味着x ，y
有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≤->∈∈>>. 3,32, ,,0,0y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图： 对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≤->∈∈>>. 3,32, ,, 0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示． 容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(． 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来． 例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥1 1 1x y x y 所表示的平面区域的面积． 分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够
高一 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识点+例题+练习 含答案
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． (2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 2．线性规划相关概念 名称意义 约束条件由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数关于x，y的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 3. (1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： ①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； ②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有 ①当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； ②当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系： 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ ) (3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) (4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( √ ) 1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________． 答案 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0 解析 两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0 为所表示的可行域． 2．(教材改编)不等式组⎩ ⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是________．
简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题 应生产甲种棉纱350200吨，乙种棉纱吨，能33 使利润总额达到最大． 解线性规划应用问题的步骤是：①从实际问题中抽象出不等式列出不等式组及线性目标函数;②由不等式组作出可行域;③作出一组平行直线A_+By－ｚ=0考查最值． ［例3］要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示： 今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少． ?2_?2y?13,?_?3y?16,设需截甲种钢管_根，乙种钢管y根，则?4_?y?18, ?_?0,?y?0. 作出可行域(如图7—28)： 目标函数为z=_+y, 作出一组平行直线_+y=t中(t为参数)经过可行域内 的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线 4_+y=18和直线_+3y=16的交点A(3846,)，直线方程1111 为_+y=843846.由于和都不是整数，所以可行域内111111 的点(3846,)不是最优解． 1111 经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是_+y=8,经过的整点是B(4，4)，它是最优解． 要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少，方法是截
甲种钢管、乙种钢管各4根． 此例的解法是，先依条件列出不等式组，作出可行域，不考虑_、y为非负整数的条件，求出符合题中其他条件的最优解，然后看此最优解是否为非负整数解，若是非负整数解，则即为所求.若不是非负整数解，则应求出经过可行域内的非负整数解且与原点距离最远(或最近)的点的直线，这个非负整数解就是最优解．
二元一次不等(组)与简单线型规划问题.
二元一次不等（组）与简单线型规划问题 一．双基复习、课前预习讲评 感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题． 二．典型例题精析 1． 题型一 二元一次不等（组）表示平面区域 １．画出下列不等式（组）表示的平面区域 ()01021<-+y x ()⎪⎩ ⎪⎨⎧≤≥++≥+-301052x y x y x ２．求不等式⎪⎩ ⎪⎨⎧≤≥+≥+-3006x y x y x 表示的平面区域的面积． 题型二 求目标函数的最值 ３．已知变量y x ,满足⎪⎩ ⎪⎨⎧≥≤+-≤-,1,2553,34x y x y x 求y x z +=2的最大值和最小值．
题型三 线性规划应用题 ４．某工厂制造A 种仪器45台，Ｂ种仪器55台．现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板由甲，乙两种规格：甲种钢板每张面积２2 m ，每张可做Ａ种仪器外壳３个和Ｂ种仪器外壳５个，乙种钢板每张面积３2m ，每张可做Ａ种仪器外壳６个和Ｂ种仪器外壳６个．问：甲，乙两种矩形钢板各用多少张才能用料最省（指所用的钢板的总面积最小） 三．巩固练习 1．（北京理科6）若不等式组220x y x y y x y a -0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥， ≤，≥， ≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ D ） Ａ．43a ≥ Ｂ．01a <≤ Ｃ．413a ≤≤ Ｄ．01a <≤或43 a ≥ 2.（天津理科2）设变量x y ，满足约束条件11 33x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩ ， ，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ B ． Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14 3．（福建理科13）已知实数x 、y 满足2 203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩ ，则2Z x y =-的取值范围是___[5,7]-_______； 4．（浙江理科17）设m 为实数，若22250(,) 30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩ ⎭，则m 的取值范围是 四．作业 数学之友:第41页
不等式和线性规划
【典型例题】 例1 解不等式 分析：不等式（其中）可以推广为任意 都成立，且为代数式也成立。 解：原不等式又化为 ∴原不等式的解集为 点评：可利用去掉绝对值符号。 例2 解不等式||x+3|-|x-3||>3。 解法一：分区间去绝对值（零点分段法）： ∵||x+3|-|x-3||>3。 ∴（1）Þx<-3； （2）Þ3/2
点评：本题由于运用了x∈R时，x2=|x|2从而避免了一场大规模的讨论。 例4 求使不等式|x-4|+|x-3|
中职简单的线性规划典型例题
1、 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t ，已知生产甲产品1t 需煤9t ，电力4kW ，劳力3个（按工作日计算）；生产乙产品1t 需煤4t ，电力5kW ，劳力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤最不得超过300吨，电力不得超过200kW ，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少t ，才能既保定完成生产任务，又能为国家创造最多的财富． 分析：先设每天生产甲、乙两种产品的产量分别为xt 和yt ，建立约束条件和目标函数后，再利用图形直观解题． 解：设每天生产甲产品xt ，乙产品yt ，总产值St ，依题意约束条件为： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤+≤+≥≥. 300103,20054,30049,15,15y x y x y x y x 目标函数为y x S 127+=． 约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边线上的点(如图阴影部分)． 现在就要在可行域上找出使y x S 127+=取最大值的点),(y x ．作直线y x S 127+=，随着S 取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为12S ，可以看出，当直线的纵截距越大，S 值也越大． 从图中可以看出，当直线y x S 127+=经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值． 解方程组⎩⎨⎧=-+=-+, 0300103,020054y x y x
得)24,20(A ．故当20=x ，24=y 时， 4282412207=⨯+⨯=最大值S (万元)． 答：第天生产甲产品20t ，乙产品24t ，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富428万元． 说明：解决简单线性规划应用题的关键是：(1)找出线性约束条件和目标函 数；(2)准确画出可行域；(3)利用S 的几何意义，求出最优解．如本例中，12 S 是目标函数y x S 127+=的纵截距． 2、 某工厂生产A 、B 两种产品，已知生产A 产品1kg 要用煤9t ，电力4kW ，3个工作日；生产B 产品1kg 要用煤4t ，电力5kW ，10个工作日．又知生产出A 产品1kg 可获利7万元，生产出B 产品1kg 可获利12万元，现在工厂只有煤360t ，电力200kW ，300个工作日，在这种情况下生产A ，B 产品各多少千克能获得最大经济效益． 分析：在题目条件比较复杂时，可将题目中的条件列表． 解：设这个工厂应分别生产A ，B 产品xkg ，ykg ，可获利z 万元．根据上 表中的条件，列出线性约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+, 0,0,20054,36049,300103y x y x y x y x 目标函数为y x z 127+=(万元)． 画出如图所示的可行域，做直线0127'=+y x l ：，做一组直线t y x =+127与'l 平 行，当l 过点A 时t 最大．由⎩ ⎨⎧=+=+,20054,300103y x y x 得A 点坐标为)24,20(．把A 点坐标代入l 的方程，得428=t (万元)．
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习题(基础、经典、好用)
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一、选择题 1．不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是 ( ) A ．a <5 B ．a ≥8 C ．5≤a <8 D ．a <5或a ≥8 2．(2012·辽宁高考)设变量x ，y 满足则2x ＋3y 的最大值为 ( ) A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 3．已知实数x ，y 满足则ω＝y －1x ＋1 的取值范围是( ) A ．[－1，13] B ．[－1213] C ．[－1 2，＋∞) D ．[－1 2，1) 4．已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[0，2] D ．[－1，2] 5．(2012·四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安
排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A ．1 800元 B ．2 400元 C ．2 800元 D ．3 100元 二、填空题 6．已知点P (x ，y )满足定点为A (2，0)，则|OP →|sin ∠AOP (O 为坐标原点)的最大值为________． 7．(2012·浙江高考)设z ＝x ＋2y ，其中实数x ，y 满足则z 的 取值范围是________． 8．已知变量x ，y 满足约束条件若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围为________． 三、解答题 9．当x ，y 满足约束条件 (k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的 最大值为12，试求k 的值． 10．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表： a b (万吨) c (百万元) A 50% 1 3 B 70% 0.5 6 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，求购买铁矿石的最少费用为多少百万元？ 11．(2012·江苏高考改编)已知正数a 、b 、c 满足约束条件 其
高二线性规划
二元一次不等式（组）与简单线性规划 知识要点： 1、 二元一次不等式表示平面区域 注意：以线定界，以点定域 0≥++C By Ax 表示的平面区域 2、 线性规划 （1） 二元一次不等式组是一组对变量y x ,的线性约束条件； （2） by ax z +=（a 、b 是实常数）是欲达到最大值或最小值所涉及的变量y x ,的解析式，叫做目标函数。 （3） 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。 【典型例题】 例1：变量y x ,满足⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x （1） 假设y x z 34-=，求z 的最大值； （2） 设x y z = ，求z 的最小值； （3） 设22y x z +=，求z 的取值范围。 总结：求目标函数的最优解，要注意分析目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系。 变式练习： 1、（2012广东）已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥+≤-≤+,01,1,1x y x y x 则y x z 2+=的最小值为( ) A 、3 B 、1 C 、5- D 、6-
2、实数y x ,满足不等式组⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥--≥-≥, 022,0, 0y x y x y 则11+-=x y ω的取值范围是（ ） A 、]31,1[- B 、]31,21[- C 、],21[+∞- D 、)1,2 1[- 3、设动点坐标（x ，y ）满足⎩⎨⎧≥≥-++-, 3, 0)4)(1(x y x y x 则22y x +的最小值为（ ） A 、5 B 、10 C 、 2 17 D 、10 例2：某工厂要生产甲、乙两种产品分别为45个与55个，所用原料为A 、B 两种规格金属板，每张面积分别为2m 2 与3m 2 . 用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个。 问A 、B 两种金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？ 总结：本题属如何统筹安排才能完成任务且所需人力、物力、资源量最小的题型。 关键是抽取出数学模型，列出不等式组（约束条件）以及表示出要求的目标函数。 变式练习： 4、现有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表： 效果 方式 种类 每艘轮船运输量（t ） 每架飞机运输量（t ） 粮食 300 150 石油 250 100 现在要在一天内运输2000t 粮食和1500t 石油需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
【备战】高考数学 高频考点归类分析 应用线性规划求最值(真题为例)
应用线性规划求最值 典型例题： 例1. （2012年天津市理5分）已知函数2|1| =1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 ▲ . 【答案】(0,1) (1,4)。 【考点】函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点。 【分析】函数1 ) 1)(1(1 12-+-= --= x x x x x y ， 当1>x 时，111 12+=+=--= x x x x y ， 当1
∵1 ,0 ()2,0 x y f x x x ⎧>⎪'==⎨⎪-≤⎩，(1)1f '=， ∴曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-。 ∴由x 轴和曲线()y f x =及1y x =-围成的封闭区域为三角形。2z x y =-在点(0,1)-处取得 最大值2。 例3. （2012年四川省理5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、 B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶 乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是【 】 A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C 。 【考点】线性规划的应用。 【解析】]设公司每天生产甲种产品X 桶，乙种产品Y 桶，公司共可获得 利润为Z 元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y ，且⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0 0122122Y X Y X Y X 画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y 可变形为 Y=400 z x 43+- 这是随Z 变化的一族平行直线， 解方程组⎩ ⎨ ⎧=+=+12y 2x 12y x 2得x 4 y 4=⎧⎨=⎩，即A （4,4） 。 ∴max 120016002800Z =+=。故选C 。 例4.（2012年山东省理5分）若x,y 满足约束条件：x 2y 2 2x y 44x y 1+≥⎧⎪ +≤⎨⎪-≥-⎩， 则目标函数z=3x y -的取值范围是【 】 A 263⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ， B 213⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ ， C []16- ， D 362⎡ ⎤-⎢⎥⎣ ⎦ ， 【答案】A 。 【考点】线性规划。
不等式之线性规划
典型例题一 例1 画出不等式组⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，，表示的平面区域． 分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区 域，然后求其公共部分． 解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+- ∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包 括边界）， 即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表 示的区域如图所示． 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法． 典型例题二 例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ． 分析：原不等式等价于⎩⎨ ⎧≤->. 3, 32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求
⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨ ⎧≤->∈∈>>. 3,32,,,0,0y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图： 对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧≤->∈∈>>. 3,32,,, 0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域， 如图所示． 容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(． 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区 域内找出符合题设要求的整数点来． 典型例题三 例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥1 1 1x y x y 所表示的平面区域的面积． 分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其 面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论． 解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ； 不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ．
高考数学考点24简单的线性规划试题解读与变式(new)
考点24 简单的线性规划 【考纲要求】 1．掌握确定平面区域的方法（线定界、点定域）． 2．理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法（图解法），注意线性规划问题与其他知识的综合．【命题规律】 简单的线性规划是高考题中一定出现的，一般是在选择题或填空题中考查,有时会出现解答题中于其他知识结合考查. 【典型高考试题变式】 （一）求目标函数的最值 例1。【2017课标1,文7】设x,y满足约束条件 33, 1, 0, x y x y y +≤ ⎧ ⎪ -≥ ⎨ ⎪≥ ⎩ 则z=x+y的最大值为（） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域,则目标函数z x y =+经过(3,0) A时z取得最大 值，故 max 303 z=+=，故选D． 【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域,并明确可行域对应的封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围． 【变式1】【改变结论】设x，y满足约束条件 33, 1, 0, x y x y y +≤ ⎧ ⎪ -≥ ⎨ ⎪≥ ⎩ 则z=x+y的最小值为（）
A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(1,0)B 时z 取得最小值，故min 101z =+=,故选B ． 【变式2】【改变条件】变量x ，y 满足约束条件错误!则z ＝x ＋y 的最大值是（ ) A ．4- B ．4 C ．2 D ．6 【答案】B （二)非线性目标函数的最值 例2。【2016高考山东文数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩ 则x 2+y 2 的最大值是（ ） A.4 B 。9 C 。10 D.12 【解析】画出可行域如图所示，点31A -（，） 到原点距离最大，所以 22max ()10x y +=,选C 。
二元一次方程简单地线性规划
§3.3.1二元一次不等式（组）与 平面区域（1） 1．了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力. 一、课前准备 复习1：一元二次不等式的定义_______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________ 复习2：解下列不等式： （1）210x -+>； （2）22320 41590 x x x x ⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩ . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，30 40x x +>⎧⎨-<⎩的解集 为 . 那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？ 探究2：你能研究：二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？） 从特殊到一般： 先研究具体的二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形. 如图：在平面直角坐标系内，x -y =6表示一条直线. 平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线x -y =6上的点； 第二类：在直线x -y =6左上方的区域内的点； 第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点. 设点1(,)P x y 是直线x-y=6上的点，选取点2(,)A x y ，使它的坐标满足不等式6x y -<，
并思考： 当点A 与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_______________ 根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式6x y -<有什么关系？______________ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？ 在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线x-y=6的_____；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<. 因此，在平面直角坐标系中，不 等式6x y -<表示直线x-y=6左上 方的平面区域；如图: 类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图: 直线叫做这两个区域的边界 结论： 1. 二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2. 不等式中仅>或<不包括 ；但含“≤”“≥”包括 ； 同侧同号，异侧异号. ※ 典型例题 例1画出不等式44x y +<表示的平面区域. 分析：先画 ___________（用 线表示），再取 _______判断区域，即可画出． 归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点. 变式：画出不等式240x y -+-≤表示的平面区域. 例2用平面区域表示不等式组312 2y x x y <-+⎧⎨<⎩ 的解集