两参数线性规划问题的解法
两参数线性规划问题是一类常见的数学规划问题，通常表示为:
有两个变量x和y，求解以下线性规划问题:
max z = ax + by
s.t.
c1x + d1y ≤b1
c2x + d2y ≤b2
...
cnx + dny ≤bn
x, y ≥0
其中，a、b、c1、d1、...、cn、dn和b1、b2、...、bn均为常数。
两参数线性规划问题的解法通常采用解析法和数值法两种方法。
解析法:
解析法是指用数学方法直接求解最优解的方法。常用的解析法有单纯形法、图解法等。
单纯形法是一种常用的解析法，它通过构造单纯形来求解线性规划问题。
图解法是一种简单易懂的解析法，它通过绘制线性规划模型的图象来求解问题。
数值法:
数值法是指通过计算机程序或其他数学工具来近似求解线性规划问题的方法。常用的数值法有随机化算法、贪心算法、遗传算法等。
随机化算法是指利用随机数来求解线性规划问题的方法。常用的随机化算法有随机化单纯形法、随机化贪心算法等。
贪心算法是一种解决线性规划问题的有效算法，它的基本思想是每一步都选择最优的解决方案。
遗传算法是一种基于自然进化规律的算法，它通过模拟自然界中物种进化的过程来求解线性规划问题。
总的来说，两参数线性规划问题可以采用解析法和数值法两种方法来求解。在选择求解方法时，应根据实际情况和需求的精度来决定使用哪种方法。如果需要精确求解最优解，可以使用解析法，如果只需要大致估算最优解，则可以使用数值法。
此外，在求解两参数线性规划问题时，还需要注意以下几点:
确定目标函数: 目标函数是线性规划问题的核心，通常表示为max z = ax + by或min z = ax + by，其中z是目标函数值，a和b是系数。
确定约束条件: 约束条件是线性规划问题的基本要求，表示为c1x + d1y ≤b1、c2x + d2y ≤b2、...、cnx + dny ≤bn，其中c1、d1、...、cn、dn和b1、b2、...、bn均为常数。
确定变量的取值范围: 变量的取值范围是线性规划问题的基本要求，通常表示为x, y ≥0。在这里，x和y是两个变量，0表示非负数，即变量的取值范围为非负数。
求解最优解: 最优解是指能够使目标函数达到最大值或最小值的解。在求解两参数线性规划问题时，需要通过解析法或数值法来求解最优解。
判定最优解的可行性: 最优解的可行性是指最优解是否满足约束条件和变量的取值范围。在求解两参数线性规划问题时，应该先判定最优解的可行性，再决定是否采用该解。
判定最优解的唯一性: 最优解的唯一性是指最优解是否唯一。在求解两参数线性规划问题时，可能会出现多个最优解，因此需要判定最优解的唯一性。如果最优解不唯一，则需要根据具体情况选择最优解。
确定决策方案: 决策方案是指根据最优解来决定如何实施的具体方案。在求解两参数线性规划问题时，需要根据最优解确定决策方案，并确保决策方案能够得到有效实施。
第三章线性规划的解法习题解答090426y
第三章线性规划的解法 §3.1重点、难点提要 一、线性规划问题的图解法及几何意义 1．图解法。 线性规划问题采用在平面上作图的方法求解，这种方法称为图解法。图解法具有简单、直观、容易理解的特点，而且从几何的角度说明了线性规划方法的思路，所以，图解法还有助于了解一般线性规划问题的实质和求解的原理。 （1）图解法适用于求解只有两个或三个变量的线性规划问题，求解的具体步骤为： 1）在平面上建立直角坐标系； 2）图示约束条件，找出可行域。具体做法是画出所有约束方程(约束条件取等式)对应的直线，用原点判定直线的哪一边符合约束条件，从而找出所有约束条件都同时满足的公共平面区域，即得可行域。求出约束直线之间，以及约束直线与坐标轴的所有交点，即可行域的所有顶点； 3）图示目标函数直线。给定目标函数Z一个特定的值k，画出相应的目标函数等值线； 4）将目标函数直线沿其法线方向向可行域边界平移，直至与可行域边界第一次相切为止，这个切点就是最优点。具体地，当k值发生变化时，等值线将平行移动。对于目标函数最大化问题，找出目标函数值增加的方向(即坐标系纵轴值增大的方向)，等值线平行上移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最大值的最优解；对于目标函数最小化问题，找出目标函数值减少的方向(即坐标系纵轴值减少的方向)，等值线平行下移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最小值的最优解。 （2）线性规划问题的几种可能结果： 1）有唯一最优解； 2）有无穷多个最优解； 3）无最优解(无解或只有无界解)。 2．重要结论。 （1）线性规划的可行域为一个凸集，每一个可行解对应该凸集中的一个点； （2）每一个基可行解对应可行域的一个顶点。若可行解集非空，则必有顶点存在，从而，有可行解必有基可行解。 （3）一个基可行解对应约束方程组系数矩阵中一组线性无关的列向量，对
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。 一、线性规划的定义 线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示： $$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$ 其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。在线性规划中，会涉及到许
多变量，这些变量需要受到一些限制。这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。例如： $$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$ $$X_i≥0, i=1,2,……, n $$ 这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。 二、线性规划的模型建立 在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素： 1. 决策变量：它是模型求解的关键。决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还 要知道哪些变量是影响目标函数的。 3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的 限制。例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人 工的数量等等，这些都是约束条件。 4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。 基于以上要素，可以将线性规划模型建立出来。例如，对于一 个简单的生产问题，如生产苹果酒和橙子酒，在水果供应有限的 情况下，生产苹果酒和橙子酒的成本、利润、生产的数量都有限制。则可以建立如下的线性规划模型： $$minimize\ 2X_1+3X_2$$ 约束条件为：
线性规划问题
线性规划问题 一、线性规划问题的基本概念 先看几个典型实例 例1 生产计划问题 某工厂拥有a 、b 两种原材料生产A 、B 两种产品，现有设备使用限量为8台时，已知每件产品的利润、所需设备台时及原材料的消耗如下表所示： 试问：在计划期内应如何安排计划才能使工厂获得的利润最大？ 解 设x 1、x 2分别表示在计划期内产品A 、B 的产量，则所用设备的有效台时必须满足x 1＋2x 2≤8同样，由原材料的限量，可以得到4x 1≤16，4x 2≤12因此，生产计划就是满足如下约束条件的一组变量x 1、x 2的值： x 1＋2x 2≤8， 4x 1≤16， 4x 2≤12， x 1≥0，x 2≥0 显然，可行的生产计划有限多个，现在问题就是要在很多个可行计划中找一个利润最大的，即求一组变量x 1、x 2的值，使它满足约束条件，并使目标函数L=2x 1＋3x 2的值最大（即利润最大） 例2 资金分配问题 某商店拥有100万元资金，准备经营A 、B 、C 三种商品，其中A 商品有A 1、A 2两种型号，B 商品有B 1、B 2两种型号，每种商品的利润率如下表所示：
在经营中有以下限制： (1)经营A 或B 的资金各自都不能超过总资金的50%； (2)经营C 的资金不能少于经营B 的资金的25%； (3)经营A 2的资金不能超过经营A 的总资金的60%； 试问应怎样安排资金的使用才能使利润最大？ 解 设经营A 1、A 2、B 1、B 2、C 的资金分别为x 1，x 2,x 3,x 4，x 5（万元），这一问题的数学模型为求一组变量x 1、x 2，…，x 5的值，使它满足 x 1＋x 2＋…＋x 5=100， x 1＋x 2≤50， x 3＋x 4≤50， 025x 3＋0.25x 4－x 5≤0 0.6x 1－0.4x 2≥0， x j ≥0 （j=1，2， (5) 并使目标函数L=0.073x 1＋0.103x 2＋0.064x 4＋0.075x 4＋0.045x 5的值最大(利润最大) 上面我们建立了几个实际问题的数学模型，虽然实际问题各不相同，但是它们的数学模型却有相同的数学形式，这就是：表示约束条件的数学式子都是线性等式或线性不等式，表示问题最优化指标的目标函数都是线性函数，因为约束条件和目标函数都是线性的，所以把具有这种模型的问题称为线性规划问题。 线性规划问题的数学模型的一般形式是 Max(Min)L=c 1x 1＋c 2x 2＋…＋c n x n . (1) a 11x 1＋a 12x 2＋…＋a 1n x n ≤ b 1 (或≥b 1，或=b 1), a 21x 1＋a 22x 2＋…＋a 2n x n ≤ b 2 (或≥b 2，或=b 2), ……………………………… (2) a m1x 1＋a m2x 2＋…＋a mn x n ≤ b m (或≥b m ，或=b m )， x j ≥（j=1，2，…，n ）. (3) 即求一组变量x j （j=1，2，…，n ）的值，满足约束条件，使目标函数L 的值最大（或最小），其中，x 1，x 2，…，x n 称为决策变量，简称变量，约束条件（3）称为变量的非负约束。 满足约束条件的一组变量的值称为线性规划问题的一个可行解，使目标函数L
线性规划问题及其数学模型
第一章线性规划问题及其数学模型 一、问题旳提出 在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。 例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。 表1-1 该工厂每生产一件产 品I可获利2元，每生 产一件产品II可获利3 元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为： x1+2x2≤8 同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式 4x1≤16 4x2≤12 该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：
目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤8 4x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0 例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？ 解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧++++++33 23134322124211 4144 x x x x x x x x x x 。 ，， ，25201510==== 又每个季度生产旳用于当季度和后来各季度旳冰旳数量不也许超过该季度旳生产能力，故又有
任务二图解法求解线性规划问题
任务二 图解法求解线性规划问题 情境导入： 我们上一个任务成功的将一个实际问题转化为数学语言，用数学模型表达了出来，但是该问题到底该怎么解决呢？我们又该如何对该数学模型进行求解呢？ 任务：掌握图解法求解两个决策变量的线性规划问题的思路，了解线性规划问题解的性质 任务引入： 现在我们要想办法求解例1的数学模型 MaxZ=2x 1+3x 2 ??????≥?≤≤≤+0 12416482..212121x x x x x x t s 一、任务分析 图解法是指求解仅含两个变量的线性规划问题的一种方法。是求解线性规划的一种几何解法。只含两个变量的线性规划问题，由约束条件确定的可行域可以在二维平面上表示出来，按照一定规则，在可行域上移动目标函数的等值线，从而得到线性规划问题的最优解。这里的可行域是凸区域，最优解必在可行域的某个顶点上达到。[1] 图解法仅适用于仅含有两个变量的线性规划问题的求解，因而图解法的实际用途并不广泛。针对线性规划几何解还有一些重要的性质，这里不加证明叙述如下： 1. 若线性规划可行域非空，则可行域必定是一个凸集，即集合中任意两点连线上的一切点仍然在该集合巾，这样的凸集表现为一个凸多边形，在空间上为一个凸几何体。 2.若线性规划优解存在，则最优解或最优解之一肯定能够在可行域（凸集）的某个极点找到。 3.线性规划的可行域若有界，则一定有最优解。 4.线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷多最优解、无有限最优解、无可行解。 以上结论是非常有用的，特别是结论2非常明确地告诉我们，线性规划的最优解不可能在可行域的内点取得，而只能在凸集的某一个顶点(特殊情况为在凸集的某一条边界上)上达到。因此，求解线性规划问题可转化为如何在可行域的顶点上求出使目标函数值达到最优的点的问题。由于可行域的顶点个数是有限的，因此在求解线性规划模型的最优解时，只要在可行域的有限个顶点范围内一一寻找即可，这样就极大地降低了线性规划问题的复杂程度，将减少大量的工作。 通过图解法直观的画图表现形式，也能让我们对线性规划解的进行更加理解。 二、基本理论
线性规划教案
线性规划教案 标题：线性规划教案 引言概述：线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。为了匡助学生更好地理解和掌握线性规划的基本原理和应用方法，编写一份专业的线性规划教案至关重要。 一、线性规划的基本概念和原理 1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学建模方法，通过建立数学模型来求解最优化问题。 1.2 线性规划的基本要素：目标函数、约束条件、决策变量是线性规划问题的三个基本要素。 1.3 线性规划的解法：常用的线性规划解法包括单纯形法、对偶理论等方法。 二、线性规划的应用领域和案例分析 2.1 工程领域：线性规划可以用于优化资源分配、成本控制等问题，如工程项目管理中的资源调配问题。 2.2 经济领域：线性规划可以用于制定最优化的生产计划、市场营销策略等，如企业生产优化问题。 2.3 管理领域：线性规划可以用于优化生产过程、人力资源分配等问题，如企业管理中的人力资源调配问题。 三、线性规划教学方法和技巧 3.1 实例分析法：通过实际案例分析，匡助学生理解线性规划的应用场景和解题方法。
3.2 互动教学法：通过小组讨论、案例分析等互动教学方式，激发学生学习兴趣，提高学习效果。 3.3 实践操作法：引导学生在实践中掌握线性规划的解题方法，提高实际应用能力。 四、线性规划教案设计和实施 4.1 教学目标：明确教学目标，明确学生应该掌握的知识和技能。 4.2 教学内容：根据线性规划的基本原理和应用领域设计教学内容，包括理论讲解和实例分析。 4.3 教学评估：通过作业、考试等方式对学生的学习效果进行评估，及时调整教学方法和内容。 五、线性规划教案的优化和改进 5.1 教学资源更新：及时更新线性规划教学资源，引入新颖的案例和实例，提高教学质量。 5.2 教学方法改进：根据学生反馈和实际效果，不断改进线性规划教学方法，提高学生学习兴趣和效果。 5.3 教学成果评估：定期对线性规划教学成果进行评估，总结经验教训，不断优化和改进线性规划教案设计。 结语：通过精心设计和实施线性规划教案，可以匡助学生更好地理解和掌握线性规划的基本原理和应用方法，提高实际应用能力，为其未来的学习和工作打下坚实的基础。
线性规划问题的解法与应用
线性规划问题的解法与应用 线性规划是一种数学工具，被广泛应用于各个行业，例如生产、物流、财务等。其基本思想是在各种限制条件下，求出某些目标 的最优解，被称之为线性规划问题。解决线性规划问题的方法有 很多种，包括普通单纯性法、双纯性法、内点法等。本文将简要 介绍一些解决线性规划问题的方法，并探讨其应用。 一、普通单纯性法 在解决线性规划问题时，大多数情况下会采用普通单纯性法。 普通单纯性法是通过对线性规划问题进行简化，来寻找一个最优 解的算法。 具体而言，普通单纯性法是基于线性规划的一个关键特性实现的：也就是说，一个线性规划的可行解有一个凸的区域，而这个 区域的顶点就是这个线性规划问题的最优解。因此，普通单纯性 法通过不断地沿着顶点移动来查找最优解。
普通单纯性法的优点在于算法复杂度较低，适用于许多简单的线性规划问题。然而，由于它的原理，普通单纯性法可能会在特定情况下变得相当低效，因此我们将考虑其他方法。 二、双纯性法 双纯性法是一种更复杂但最终更有效的线性规划解法。与普通单纯性法不同的是，双纯性法以两个方法的组合方式来寻找最优解。首先，与普通单纯性法一样，它通过着眼于最优解所在的多维坐标系的顶点来寻找最优解。然后，它采用对迭代过程进行精细检查来确保它没有跨过最优解。 双纯性法比普通单纯性法更准确，因为它在每一步操作时都会重新确定一个可行解的凸区域，而不是只沿着现有凸区域的边界线来确定最优解。尽管双纯性法比普通单纯性法更复杂，但在大多数情况下，它可以在更短的时间内发现最优解。 三、内点法
相比之下，内点法是一种数学计算质量不错的算法，它不依赖 于这个可行域的顶点。相反，内点法使用了每个可行域内部的点，即“内点”，来寻找目标函数的最优解。具体地说，它会构建一个 搜索方向，然后在可行域的内部沿着这个方向探索最优解。这个 方法非常适用于那些具有较大维度和复杂约束条件的线性规划问题。 除此之外，值得一提的是，在线性规划的解决过程中，其中一 个非常重要的问题是约束条件的表示。通常，约束条件的表示在 某些情况下会影响算法的选择和效率。因此，很多时候，我们需 要通过分析约束条件的特性来确定最优的解法。 总之，线性规划的解法和应用有很多种。当然，在大多数情况下，普通单纯性法是最常见和最有效的选择。当然，对于某些需 要更高精度的情况，我们可以考虑采用双纯性法或内点法。此外，我们还可以通过约束条件的特性来确定最优解法。无论采用何种 方法，线性规划的解决过程中，我们需要了解问题的性质进行权衡，并具备数学计算及分析的能力，才能有效地应用线性规划来 解决实际问题。
第六章 线性规划及其解的实现
第六章 线性规划及其解的实现 线性规划是目前应用最广泛的一种系统优化方法，它的理论和方法已十分成熟，可以应用于生产计划、物质调运、资源优化配置、地区经济规划等许多实际问题.线性规划最早由前苏联学者L V Kantorovich 于1939年提出，但他的工作当时并未为人所熟知.直到1947年，美国学者G B Danzing 提出求解线性规划最有效的算法-----单纯性算法后，才引起数学家、经济学家和计算机工作者的重视，并迅速发展成为一门完整的学科而得到广泛的应用.利用线性规划建立数学模型也是中国大学生数学建模竞赛中最常用的方法之一. 优化模型的一般形式为 T n X x x x X X f z ),,,(),(min 21 == (1) m i X g t s i ,,2,1,0)(.. =≤ (2) 其中)(x f 称为目标函数，)(X g i 称为约束条件.只满足式(2)的X 称为可行解；同时满足式(1)、式(2)两式的解* X X =称为最优解. 由式(1)、式(2)组成的模型属于约束优化，若只有式(1)就是无约束优化.一般情况下，优化问题都是有约束的，但是如果最优解不是在可行域的边界上，而是在可行域的内部，那么就可以用无约束优化作比较简单的处理. 若f ，i g 均为线性函数，优化模型式(1)、式(2)称为线性规划，否则称为非线性规划. 本章主要对线性规划问题及其解的实现作简要介绍. §6.1 线性规划模型形式及其性质 线性规划是运筹学的一个重要分支，应用很广.线性规划问题可以描述为求一组非负变量，这些非负变量在一定线性约束的条件下，使一个线性目标函数取得极小(或极大)值的问题. 1、线性规划的标准形式 目标函数 n n x c x c x c z +++= 2211m in 约束条件 ????? ????≥=+++=+++=+++0 ,,,2122112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 这里n x x x ,,,21 是变量，i ij i b a c ,,都是已知常数，且0≥i b ，约束条件常用..t s 表示.线性规划用矩阵表示就是 T n x x x X cX z ),,,(, min 21 == T n n m ij b b b b n m a A x b AX t s ),,,(),()(,0,..21 =≤=≥=?.
两参数线性规划问题的解法
两参数线性规划问题是一类常见的数学规划问题，通常表示为: 有两个变量x和y，求解以下线性规划问题: max z = ax + by s.t. c1x + d1y ≤b1 c2x + d2y ≤b2 ... cnx + dny ≤bn x, y ≥0 其中，a、b、c1、d1、...、cn、dn和b1、b2、...、bn均为常数。 两参数线性规划问题的解法通常采用解析法和数值法两种方法。 解析法: 解析法是指用数学方法直接求解最优解的方法。常用的解析法有单纯形法、图解法等。 单纯形法是一种常用的解析法，它通过构造单纯形来求解线性规划问题。 图解法是一种简单易懂的解析法，它通过绘制线性规划模型的图象来求解问题。 数值法: 数值法是指通过计算机程序或其他数学工具来近似求解线性规划问题的方法。常用的数值法有随机化算法、贪心算法、遗传算法等。 随机化算法是指利用随机数来求解线性规划问题的方法。常用的随机化算法有随机化单纯形法、随机化贪心算法等。 贪心算法是一种解决线性规划问题的有效算法，它的基本思想是每一步都选择最优的解决方案。 遗传算法是一种基于自然进化规律的算法，它通过模拟自然界中物种进化的过程来求解线性规划问题。
总的来说，两参数线性规划问题可以采用解析法和数值法两种方法来求解。在选择求解方法时，应根据实际情况和需求的精度来决定使用哪种方法。如果需要精确求解最优解，可以使用解析法，如果只需要大致估算最优解，则可以使用数值法。 此外，在求解两参数线性规划问题时，还需要注意以下几点: 确定目标函数: 目标函数是线性规划问题的核心，通常表示为max z = ax + by或min z = ax + by，其中z是目标函数值，a和b是系数。 确定约束条件: 约束条件是线性规划问题的基本要求，表示为c1x + d1y ≤b1、c2x + d2y ≤b2、...、cnx + dny ≤bn，其中c1、d1、...、cn、dn和b1、b2、...、bn均为常数。 确定变量的取值范围: 变量的取值范围是线性规划问题的基本要求，通常表示为x, y ≥0。在这里，x和y是两个变量，0表示非负数，即变量的取值范围为非负数。 求解最优解: 最优解是指能够使目标函数达到最大值或最小值的解。在求解两参数线性规划问题时，需要通过解析法或数值法来求解最优解。 判定最优解的可行性: 最优解的可行性是指最优解是否满足约束条件和变量的取值范围。在求解两参数线性规划问题时，应该先判定最优解的可行性，再决定是否采用该解。 判定最优解的唯一性: 最优解的唯一性是指最优解是否唯一。在求解两参数线性规划问题时，可能会出现多个最优解，因此需要判定最优解的唯一性。如果最优解不唯一，则需要根据具体情况选择最优解。 确定决策方案: 决策方案是指根据最优解来决定如何实施的具体方案。在求解两参数线性规划问题时，需要根据最优解确定决策方案，并确保决策方案能够得到有效实施。
线性规划题及答案
线性规划题及答案 一、问题描述 某公司生产两种产品A和B，每一个产品都需要通过两个工序进行加工。每一 个工序的加工时间和利润都不相同。现在需要确定每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以最大化总利润。请根据以下要求进行线性规划求解。 二、问题分析 1. 产品A在工序1上的加工时间为x1小时，产品A在工序2上的加工时间为 x2小时。 2. 产品B在工序1上的加工时间为y1小时，产品B在工序2上的加工时间为 y2小时。 3. 产品A在工序1上的产量为a1个，产品A在工序2上的产量为a2个。 4. 产品B在工序1上的产量为b1个，产品B在工序2上的产量为b2个。 5. 产品A在工序1上的利润为p1元/个，产品A在工序2上的利润为p2元/个。 6. 产品B在工序1上的利润为q1元/个，产品B在工序2上的利润为q2元/个。 三、目标函数和约束条件 1. 目标函数：最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2。 2. 约束条件： a) 工序1的总加工时间：x1 + y1 ≤ 100小时。 b) 工序2的总加工时间：x2 + y2 ≤ 80小时。 c) 产品A的总产量：a1 + a2 ≤ 200个。
d) 产品B的总产量：b1 + b2 ≤ 150个。 e) 非负约束：x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。 四、线性规划模型 最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2， 满足约束条件： x1 + y1 ≤ 100， x2 + y2 ≤ 80， a1 + a2 ≤ 200， b1 + b2 ≤ 150， x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。 五、求解过程 1. 根据线性规划模型，我们可以使用线性规划求解方法求解该问题。 2. 根据目标函数和约束条件，可以建立线性规划模型，并使用线性规划求解器进行求解。 3. 求解得到最优解，即每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以及最大化的总利润。 六、求解结果 假设给定以下参数： p1 = 10元/个，p2 = 8元/个，q1 = 12元/个，q2 = 9元/个。 经过线性规划求解，得到最优解如下：
线性规划问题的解法
线性规划问题的解法 线性规划（Linear Programming，LP）是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最大化或最小化目标函数的问题。线性规划问题在经济学、管理学、工程学等领域都具有广泛的应用，其求解方法也十分成熟。本文将介绍线性规划问题的常用解法，包括单纯形法和内点法。 一、单纯形法 单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一。它通过在可行解空间中不断移动，直到找到目标函数的最优解。单纯形法的基本步骤如下： 1. 标准化问题：将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数转化为最小化形式，所有约束条件均为等式形式，且变量的取值范围为非负数。 2. 初始可行解：选择一个初始可行解，可以通过人工选取或者其他启发式算法得到。 3. 进行迭代：通过不断移动至更优解来逼近最优解。首先选择一个非基变量进行入基操作，然后选取一个基变量进行出基操作，使目标函数值更小。通过迭代进行入基和出基操作，直到无法找到更优解为止。 4. 结束条件：判断迭代是否结束，即目标函数是否达到最小值或最大值，以及约束条件是否满足。
单纯形法的优点是易于理解和实现，而且在实际应用中通常具有较 好的性能。但是，对于某些问题，单纯形法可能会陷入循环或者运算 效率较低。 二、内点法 内点法是一种相对较新的线性规划求解方法，它通过在可行解空间 的内部搜索来逼近最优解。与单纯形法相比，内点法具有更好的数值 稳定性和运算效率。 内点法的基本思想是通过将问题转化为求解一系列等价的非线性方 程组来求解最优解。首先，将线性规划问题转化为等价的非线性优化 问题，然后通过迭代求解非线性方程组。每次迭代时，内点法通过在 可行解空间的内部搜索来逼近最优解，直到找到满足停止条件的解。 内点法的优点是在计算过程中不需要基变量和非基变量的切换，因 此可以避免单纯形法中可能出现的循环问题。此外，内点法还可以求 解非线性约束条件下的最优解，具有更广泛的适用性。 三、其他方法 除了单纯形法和内点法，还有一些其他的线性规划求解方法，如对 偶方法、割平面法等。这些方法在某些问题上可能具有更好的性能， 但在实际应用中相对较少使用。 对偶方法是一种通过求解原始问题的对偶问题来获得最优解的方法。原始问题和对偶问题是相互关联的，通过求解对偶问题可以得到原始 问题的最优解。
线性规划问题的基本概念及求解方法
线性规划问题的基本概念及求解方法线性规划是一种优化方法，用于找到一个线性方程的最大或最小值，同时满足一组线性约束条件。线性规划问题广泛应用于经济、工业、运输、物流等各个领域。本文将讲述线性规划问题的基本概念和求解方法。 一、线性规划的基本概念 线性规划问题可表示为： $\max_{x} z = c^Tx$ $\text{s.t.} \qquad Ax \leq b$ 其中，x表示决策变量，z表示目标函数，c和b为常数系数，A为系数矩阵。目标函数表示要最大化或最小化的数量，约束条件表示限制决策变量取值的条件。 二、线性规划的求解方法
线性规划问题的求解方法有两种，即图形法和单纯形法。 1. 图形法 图形法是一种用图形的方式来求解线性规划问题的方法。它可 以用于二元线性规划问题求解，但对于多元线性规划问题，它的 应用受到了限制。 对于二元线性规划问题，我们可以将目标函数表示为直线，约 束条件表示为线段，然后在可行域内寻找能让目标函数最大或最 小的点。 2. 单纯形法 单纯形法是一种通过交换决策变量的取值来寻找最优解的方法。它通过构建初始单纯形表格，逐步利用高斯消元法将问题转化为 标准型，然后不断交换基变量和非基变量，直到找到最优解。 单纯形法在求解多元线性规划问题时具有广泛的应用，因为它 能够较快地寻找最优解。但是，它也存在一些问题，例如当问题
的维度较高时，算法的计算复杂度会相应增加，计算机的处理能力也会受到限制。 三、线性规划的应用 线性规划在各个领域中都有着广泛的应用。以下是一些典型的应用案例： 1. 运输问题 运输问题是一种线性规划问题，旨在确定一组产品从生产场所运往销售场所的最优方案。这种问题通常涉及到对物流成本、物流时间等多种因素的优化。 2. 设备维护问题 设备维护问题是一种线性规划问题，旨在通过优化设备的维护策略来最大化设备的使用寿命和效益。这种问题通常涉及到对机器的使用寿命、维修成本、机器停机时间等多种因素的优化。
线性规划的常见题型及其解法学生版题型全面归纳好
课题 线性规划旳常见题型及其解法题目 线性规划问题是高考旳重点，而线性规划问题具有代数和几何旳双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题旳解答变得愈加新奇别致． 归纳起来常见旳命题探究角度有： 1．求线性目旳函数旳最值． 2．求非线性目旳函数旳最值． 3．求线性规划中旳参数． 4．线性规划旳实际应用． 本节重要讲解线性规划旳常见基础类题型． 【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＋y ≥3，x －y ≥－1， 2x －y ≤3，则目旳函数z ＝2x ＋3y 旳取值范围为( ) A ．[7，23] B ．[8，23] C ．[7，8] D ．[7，25] 【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪ ⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0， x ≥1， (1)设z ＝y 2x －1，求z 旳最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 旳取值范围；
(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 旳取值范围． 角度一：求线性目旳函数旳最值 1．(·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0， 3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 旳最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．3 D ．2 2．(·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目旳函数z ＝x ＋6y 旳最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．18 D ．40 3．(·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成旳封闭区域，则2x －y 旳最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 角度二：求非线性目旳旳最值 4．(·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪ ⎧ 2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0， 3x ＋y －8≤0所示旳区域上一动点， 则直线OM 斜率旳最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－13 D ．－1 2
线性规划问题的建模与求解
线性规划问题的建模与求解 线性规划是一种常见的数学优化方法，用于解决一系列约束条件下的最优化问题。它在工业、经济、管理等领域具有广泛的应用。本文将介绍线性规划问题的建模过程以及求解方法，并通过实例来说明其应用。 一、线性规划问题的定义 线性规划问题可以定义为在一定的约束条件下，寻找一组决策变量的最优解， 使得目标函数达到最大或最小值。其中，目标函数和约束条件均为线性的。 在建模过程中，首先需要明确决策变量、目标函数和约束条件。决策变量是我 们需要确定的决策因素，可以是某个产品的生产数量、某个投资项目的投入金额等。目标函数是我们希望最大化或最小化的量，可以是利润、收益、成本等。约束条件是对决策变量的限制条件，可以是资源约束、技术约束等。 二、线性规划问题的建模过程 线性规划问题的建模过程一般包括以下几个步骤： 1. 确定决策变量：根据实际问题确定需要确定的决策因素，例如某个产品的生 产数量、某个投资项目的投入金额等。 2. 建立目标函数：根据问题的要求，确定目标函数的形式和系数。如果是最大 化问题，目标函数一般为各决策变量的系数之和；如果是最小化问题，目标函数一般为各决策变量的系数之差。 3. 确定约束条件：根据问题中的限制条件，建立约束条件的数学表达式。约束 条件一般包括资源约束、技术约束等。每个约束条件都可以表示为决策变量的线性组合与某个常数之间的关系。
4. 确定决策变量的取值范围：根据实际问题的限制条件，确定决策变量的取值 范围。例如，某个产品的生产数量不能为负数，某个投资项目的投入金额有上限等。 5. 建立数学模型：将上述步骤中确定的决策变量、目标函数和约束条件组合起来，建立线性规划问题的数学模型。 三、线性规划问题的求解方法 线性规划问题的求解方法主要有两种：图形法和单纯形法。 1. 图形法：对于二维或三维空间中的线性规划问题，可以使用图形法进行求解。首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中画出目标函数的等高线和约束条件的边界线，最后确定最优解所在的交点。 2. 单纯形法：对于高维空间中的线性规划问题，图形法不适用，可以使用单纯 形法进行求解。单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整决策变量的取值，逐步接近最优解。该方法的核心是通过计算目标函数的增量来确定下一步的决策变量取值，直到找到最优解为止。 四、线性规划问题的应用实例 下面通过一个实例来说明线性规划问题的应用。 假设某公司生产两种产品A和B，产品A每单位利润为10元，产品B每单位 利润为15元。公司的生产能力为每天生产A产品1000个，B产品800个。同时，公司的销售部门对产品A和B的销售量有以下要求：每天至少销售A产品500个，B产品400个。问如何安排生产计划，使得利润最大化？ 首先，我们可以将该问题建模为线性规划问题。设产品A的生产数量为x，产 品B的生产数量为y，则目标函数为10x+15y，约束条件为x≤1000、y≤800、 x≥500、y≥400。
线性规划问题的两种求解方式
线性规划问题的两种求解方式 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。 解决线性规划问题常用的方法是图解法和单纯性法，而图解法简单方便，但只适用于二维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适用于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及大量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量大，复杂繁琐。在这个计算机高速发展的阶段，利用Excel建立电子表格模型，并利用它提供的“规划求解”工具，能轻松快捷地求解线性模型的解。 无论利用哪种方法进行求解线性规划问题，首先都需要对线性规划问题建立数学模型，确定目标函数和相应的约束条件，进而进行求解。从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤； 1、根据所求目标的影响因素找到决策变量； 2、由决策变量和所求目标的函数关系确定目标函数； 3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。 以下是分别利用单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种方法对例题进行求解的过程。 例题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，工厂中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。每生产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的生产数量的哪种组合能使总利润最大？ 问题的决策变量有两个：产品I的生产数量和产品II的生产数量；目标是总利润最大；需满足的条件是：(1)两种产品使用设备的台时<= 台时限量值(2) 生产两种产品使用原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的生产数量均>=0。 设x1、x2分别表示产品I、II的产量，由于资源限量的限制，可用不等式表示资源总量的约束条件：x1+2 x28 ≤；4 x212 ≤；4 x116 ≤； 该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x1、x2以得到最大的利润。若用z表示利润，这时z=2x1+3x2 综合上述，该问题可用数学模型表示为： 目标函数max z=2x1+3x2 满足约束条件：x1+2 x28 ≤ 4 x116 ≤ 4 x212 ≤ x1 , x20 ≥
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题 一、基本知识 1.规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础。因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0) （若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。 2.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小）。要会在可行域中确定最优解。 3.新概念:①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解⑤可行域⑥最优解 4.重要的思想方法：数形结合化归思想 5.解线性规划问题总体步骤： 设变量→ 找约束条件，找目标函数 找出可行域求出最优解 二、典型例题： 例1．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t, 生产乙种产品 1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元。每1t乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲，乙这两种产品应各生产多少。（精确到1t)。能使利润总额达到最大？ 解：设生产甲，乙两种产品分别为x(t), y(t)，利润总额为Z元， 则，Z=600x+1000y。
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。 作直线600x+1000y=0即3x+5y=0。 将直线向上平移到如图位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，即Z 取最大值。 得x=360/29≈12。 y=1000/29≈34。 例2．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表： 问每周生产空调器，彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？ 解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题 ［学习目标]1。了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 名称意义 约束条件关于变量x，y的一次不等式（组） 线性约束条件关于x，y的一次不等式(组) 目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解（x，y） 可行域由所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数z＝ax＋by (b≠0）对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!，在y轴上的截距是错误!,当z变化时,方程表示一组互相平行的直线． 当b〉0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值; 当b〈0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时,z取得最大值．
2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为:“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． （2）移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界）便是最优解． (3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答:写出答案． 知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 （1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如,已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小? ②产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量,此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤
matlab求解线性规划
matlab求解线性规划 MATLAB是一个强大的工具，可以用于求解线性规划问题。 线性规划是一种最优化问题，目标是在满足一系列线性约束条件下，找到一个使目标函数取得最大或最小值的解。 在MATLAB中，可以使用线性规划工具箱来求解线性规划问题。线性规划工具箱提供了一些函数，如linprog，intlinprog 和quadprog，这些函数可以用于求解线性规划问题。 解线性规划问题的一般步骤如下： 1. 定义目标函数。目标函数是要优化的函数，可以是线性函数。例如，如果我们要最小化一个函数f(x)=c1x1+c2x2+...+cnxn， 则可以将目标函数表示为向量c=[c1,c2,...,cn]的内积与向量 x=[x1,x2,...,xn]。 2. 定义约束条件。约束条件是对决策变量的限制条件。一般情况下，约束条件可以表示为Ax<=b，其中A是一个矩阵，x是决策变量向量，b是一个向量。例如，如果我们有两个约束条 件2x1+x2<=10和x1+3x2<=12，则可以将约束条件表示为矩 阵A=[2,1;1,3]和向量b=[10;12]。 3. 调用线性规划函数。在MATLAB中，可以使用linprog函 数来求解线性规划问题。linprog函数有几个输入参数，包括 目标函数系数向量c，约束条件矩阵A和向量b，以及可选参 数lb和ub。参数lb和ub是可选参数，用于指定决策变量的 下界和上界。例如，要求解上述线性规划问题，可以调用
linprog函数如下： x = linprog(c, A, b) 函数linprog返回一个向量x，其中包含目标函数取得最小值 时的决策变量的取值。 4. 分析结果。一旦线性规划问题被求解，我们可以通过检查目标函数的值和决策变量的取值来分析结果。例如，目标函数的值就是目标函数取得最小值时的值，其中决策变量的取值可以用x变量表示。 总结而言，MATLAB是一个功能强大的工具，可以用于求解 线性规划问题。使用MATLAB的线性规划工具箱，我们可以 定义目标函数和约束条件，并调用适当的函数来求解问题，并通过分析结果来得到最优解。线性规划是一个重要的数学模型，在运筹学和管理科学中有广泛的应用。使用MATLAB求解线 性规划问题可以提高工作效率，并得到更好的问题解决方案。