线性规划常见题型及解法
线性规划常见题型及解法
线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值X围
例1、若x、y满足约束条件
2
2
2
x
y
x y
≤
⎧
⎪
≤
⎨
⎪+≥
⎩
，则z=x+2y的取值X围是（）
A、[2,6]
B、[2,5]
C、[3,6]
D、（3,5]
解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A
二、求可行域的面积
例2、不等式组
260
30
2
x y
x y
y
+-≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≤
⎩
表示的平面区域的面积为（）
A、4
B、1
C、5
D、无穷大
解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B
三、求可行域中整点个数
例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）
A、9个
B、10个
C、13个
D、14个
解：|x|＋|y|≤2等价于
2(0,0)
2(0,0)
2(0,0)
2(0,0) x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
+≤≥≥
⎧
⎪-≤≥
⎪
⎨
-+≤≥⎪
⎪--≤
⎩
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D
四、求线性目标函数中参数的取值X围
例4、已知x、y满足以下约束条件
5
50
3
x y
x y
x
+≥
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪≤
⎩
，使z=x+ay(a>0)
取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）
A、－3
B、3
C、－1
D、1
解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D
五、求非线性目标函数的最值
例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是
（ ）
A 、13，1
B 、13，2
C 、13，
4
5
D
、
解：如图，作出可行域,x 2+y 2
是点（x ，y ）到原
点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平
方，即为
4
5
，选 C 六、求约束条件中参数的取值X 围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值X 围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3） 解：|2x －y ＋m|＜3等价于230
230
x y m x y m -++>⎧⎨
-+-<⎩
由右图可知33
30
m m +>⎧⎨
-<⎩ ,故0＜m ＜3，选C
线性规划的实际应用
在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。
例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.
解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥
≥≤+≤+0
05628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .
如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.
作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时
z =6x +10y 取最大值解方程组⎩
⎨⎧=+=+5628.008.072
09.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使
利润总额达到最大.
指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一
例2、某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的
5
1
.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg ,问饲料怎样混合,才使成本最低.
解:设每周需用谷物饲料x kg ,动物饲料ykg ,每周总的饲料费用为z 元,那么 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥≥+0
5000005
135000y x x
y y x ,而z =0.28x +0.9y
如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.
作一组平行直线0.28x +0.9y =t ,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x +y =35000和直线x y 5
1=的交点)317500,387500(
A ,即387500=
x ,3
17500
=y 时,饲料费用最低. 所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低.
指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.
(例3图) (例4图)
例3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 的含量及成本:
甲 乙 丙 维生素A(单位/千克) 维生素B(单位/千克) 成本(元/千克)
400 800 7
600 200 6
400 400 5
营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A 不少于4400单位,维生素B 不少于4800单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少?
解:设所购甲、乙两种食物分别为x 千克、y 千克,则丙种食物为(10-x -y )千克.x 、y 应满足线性条件为
⎩⎨⎧≥--++≥--++4800)10(4002008004400)10(400600400y x y x y x y x ,化简得⎩
⎨
⎧≥-≥422
y x y 作出可行域如上图中阴影部分
目标函数为z =7x +6y +5(10-x -y )=2x +y +50,令m =2x +y ,作直线l :2x +y =0,则直线2x +y =m 经过可行域中A(3,2)时,m 最小,即m min =2⨯3+2=8，∴z min =m min +50=58答: 甲、乙、丙三种食物各购3千克、2千克、5千克时成本最低,最低成本为58元.
指出:本题可以不用图解法来解,比如,由⎩
⎨⎧≥-≥422
y x y 得
z =2x +y +50=(2x -y )+2y +50≥4+2⨯2+50=58,当且仅当y =2,x =3时取等号
总结：(1)设出决策变量,找出线性规划的约束条件和线性目标函数;
(2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).
2.线性规划问题的一般数学模型是:已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++n
m nm n n m m m m b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212*********(这n 个式子中的“≤”也可以是“≥”或
“=”号)
其中a ij (i =1,2,…,n , j =1,2,…,m ),b i (i =1,2,…,n )都是常量,x j (j =1,2,…,m ) 是非负变量,求z =c 1x 1+c 2x 2+…+c m x m 的最大值或最小值,这里c j (j =1,2,…,m )是常量.
(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
线性规划中整点最优解的求解策略
在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。然而在实际问题中，最优解 (x,y) 通常要满足x,y ∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .
1．平移找解法 作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线l ，直线l 最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解.
例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多? 产 品 木料(单位m 3) 第 一 种
第 二 种 圆 桌 0.18 0.08 衣 柜
0.09
0.28
解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≥≥≤+≤+0
05628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,
此时z =6x +10y 取最大值。解方程组⎩
⎨
⎧=+=+5628.008.072
09.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答：应生产圆桌350只,生产衣柜100
个,能使利润总额达到最大.点评：本题的最优点恰为直线0.18x +0.09y =72和0.08x +0.28y =56的交点M 。
例 2 有一批钢管，长度都是4000mm ，要截成500mm 和600mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于3
1
配套，怎样截最合理？
解：设截500mm 的钢管x 根，600mm 的y 根，
总数为z 根。根据题意，得 ，
目标函数为
，
作出如图所示的可行域内的整点，
作一组平行直线x+y=t ，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B （8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y 为正整数，知（8，0）不是最优解。显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．答：略．
点评：本题与上题的不同之处在于，直线x+y=t 经过可行域内且和原点距离最远的点B （8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使x+y=7，从而求得最优解。
从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但作图要求较高。 二、整点调整法
先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．
例3．已知,x y 满足不等式组230236035150
x y x y x y -->⎧
⎪
+-<⎨⎪--<⎩
，求使x y +取最大值的整数
,x y ．
解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：
35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交
点分别为,,A B C ，则,,A B C 坐标分别为153(
,)84A ，(0,3)B -，7512
(,)1919
C -， 作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大， ∴当l 过C 点时x y +最大为
6319，但不是整数解，又由75
019
x <<知x 可取1,2,3， 当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-；当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1；
当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩
或3
1x y =⎧⎨=-⎩．
3.逐一检验法
由于作图有时有误差，有时仅有图象不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一校验即可见分晓．
A
B
C
x
y
O
1l 3l
2l
例4 一批长4000mm 的条形钢材，需要将其截成长分别为518mm与698mm的甲、乙两种毛坯，求钢材的最大利用率．
解：设甲种毛坯截x 根，乙种毛坯截y 根，钢材的利用率为
P ，则①，目标函数为
②，线性约束条件①表示的可行域是
图中阴影部分的整点．②表示与直线518x+698y=4000平行的
直线系。所以使P取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线
518x+698y=4000的整点坐标．如图看到(0，5)，(1，4)，(2，
4)，(3，3)，(4，2)，(5，2)，(6，1)，(7，0)都有可能是最优
解，将它们的坐标逐一代入②进行校验，可知当x=5,y=2时，
．
答：当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根，钢材的利用率最大，为99.65%．
解线性规划问题的关键步骤是在图（可行域）上完成的，所以作图时应尽可能精确，图上操作尽可能规X，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优点并不十分明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解.
线性规划的实际应用习题精选
1．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：
问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？
2．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每X钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下：
每X钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12，15，17块，问各截这两种钢板多少X，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小．
3．某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每X3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每X2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少X，才能使总的用料面积最小．
4．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，问两种车各租多少辆时，可全部运完黄瓜，且动费最低．并求出最低运费．
5．某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要两种木料．生产一只圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润60元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利润100元，木器厂在现有木料情况下，圆桌和衣柜应各生产多少，才能使所获利润最多．
解答提示：
1．设x，y分别为甲、乙两种柜的日产量，
目标函数z=200x＋240y，线性约束条件：
作出可行域．
z最大=200×4＋240×8=2720
答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．
2．设需截第一种钢板xX，第二种钢板yX，所用钢板面积zm2．
目标函数z=x＋2y，线性约束条件：
作出可行域．作一组平行直线x＋2y=t．
的整点中，点(4，8)使z取得最小值．
答：应截第一种钢板4X，第二种钢板8X，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板的面积最小．
3．设用甲种规格原料xX，乙种规格原料yX，所用原料的总面积是zm2，目标函数z=3x＋2y，
线性约束条件，
作出可行域．作一组平等直线3x＋2y=t．
A不是整点，A不是最优解．在可行域内的整点中，点B(1，1)使z取得最小值． z最小=3×1＋2×1=5，答：用甲种规格的原料1X，乙种原料的原料1X，可使所用原料的总面积最小为5m2．
4．设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元．z=960x＋360y．
线性约束条件是：
作出可行域．
作直线960x＋360y=0．即8x＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x＋360y取到最小值．
z最小=960×10＋360×8=12480
答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．
5．设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则z=6x＋10y．
作出可行域．
即M(350，100)．当直线6x＋10y=0即3x＋5y=0平移到经过点M(350，100)时，z=6x＋10y最大
高考线性规划必考题型非常全
线性规划专题 一、命题规律讲解 1、 求线性非线性目标函数最值题 2、 求可行域的面积题 3、 求目标函数中参数取值范围题 4、 求约束条件中参数取值范围题 5、 利用线性规划解答应用题 一、线性约束条件下线性函数的最值问题 线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题,它的线性约束条件是一个二元一次不等式组,目标函数是一个二元一次函数,可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域,区域内的各点的点坐标(),x y 即简单线性规划的可行解,在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即简单线性规划的最优解; 例1 已知4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ ,2z x y =+,求z 的最大值和最小值 例2已知,x y 满足124126x y x y x y +=⎧⎪+≥⎨⎪-≥-⎩ ,求z=5x y -的最大值和最小值 二、非线性约束条件下线性函数的最值问题 高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题;它们的约束条件是一个二元不等式组,目标函数是一个二元一次函数,可行域是直线或曲线所围成的图形或一条曲线段,区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解,在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解; 例3 已知,x y 满足,224x y +=,求32x y +的最大值和最小值 例4 求函数4y x x =+ []()1,5x ∈的最大值和最小值; 三、线性约束条件下非线性函数的最值问题
这类问题也是高中数学中常见的问题,它也可以用线性规划的思想来进行解决;它的约束条件是一个二元一次不等式组,目标函数是一个二元函数,可行域是直线所围成的图形或一条线段,区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解,在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解; 例5 已知实数,x y 满足不等式组10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩,求22448x y x y +--+的最小值; 例6 实数,x y 满足不等式组00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩ ,求11y x -+的最小值 四、非线性约束条件下非线性函数的最值问题 在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决,它的约束条件是一个二元不等式组,目标函数也是一个二元函数,可行域是由曲线或直线所围成的图形或一条曲线段,区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解,在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解; 例7 已知,x y 满足y 求2 y x +的最大值和最小值 1. “截距”型考题方法：求交点求最值 在线性约束条件下,求形如(,)z ax by a b R =+∈的线性目标函数的最值问题,通常转化为求直线在y 轴
高中数学线性规划经典题型
高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线22 4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形 区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围 成一个三角形区域（如图4所示）时有00 03x y x y x -≥??+≥??≤≤? 。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 例2：在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是（） (A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域是一个三角形。容 易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：11||||42 4.22 S BC AO =?=??=从而选Ｂ。 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非 线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最 值问题（重点） 例3、设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则 ①y x 32+的最大值为 。（截距） 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可 行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分 题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ②则22x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 . 图1
(完整版)高考线性规划题型归纳
线性规划常见题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件??? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标 函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1,10,220x x y x y ≥?? -+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 . x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A
解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。 点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值 和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、13，255 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即 |AO|2 =13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0即为 4 5 ，选C 练习2、已知x ，y 满足?? ???≥-+≥≥≤-+0320,10 52y x y x y x ，则 x y 的最大值为___________，最小值为 ____________． 2，0 三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 例3、在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥?表示的 平面区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥?表示的平面区域是一个三角 形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：11||||42 4.2 2 S BC AO =?=??=从而选Ｂ。
线性规划常见题型及解法
线性规划常见题型及解法 线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值X围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ⎧ ⎪ ≤ ⎨ ⎪+≥ ⎩ ，则z=x+2y的取值X围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ⎧ ⎪ +-≤ ⎨ ⎪≤ ⎩ 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ⎧ ⎪-≤≥ ⎪ ⎨ -+≤≥⎪ ⎪--≤ ⎩ 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值X围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ⎧ ⎪ -+≤ ⎨ ⎪≤ ⎩ ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D
线性规划题及答案
线性规划题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩ 则22 x y +的最小值是 . “()()2221++-y x ”值域？ 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件0 24 x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨ +≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线2 2 4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪ +≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0 003x y x y x -≤⎧⎪ +≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪ +≥⎨⎪≤≤⎩ 五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。 例5已知变量x ，y 满足约束条件14 22 x y x y ≤+≤⎧⎨ -≤-≤⎩ 若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值， 则a 的取值范围为 。 六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 例６在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩ 表示的平面区域的面积是（） (A) (B)4 (C) (D)2 七、研究线性规划中的整点最优解问题 例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如b x a y z --= 时,可把z 看作是动点()y x P ,与定点()a b Q ,连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。 例8、已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0， 则 y x 的取值范围是（ ）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，9 5 ]∪[6，＋∞）（C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6] 九、求可行域中整点个数 例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）个。A 、9 B 、10 C 、13 D 、14
简单的线性规划常见题型总结
简单的线性规划常见题型 第Ⅰ类 求线性目标函数的最值(z ax by =+截距型) 例1.设x,y 满足约束条件⎪⎩ ⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，求52z x y =+的最值 解：可行域是如图所示中ABC ∆的区域，得A(5,2),B(1,1),C(1,5 22) 作出直线L 0：5x+10y=0，再将直线L 0平移, 当L 经过点B 时，y 轴截距最小，即z 达到最小值，得min 7z =. 当L 经过点A 时，y 轴截距最大，即z 达到最大值，得max 29z =,所以最大值是29，最小值是7 小试牛刀:1、若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩ ，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 2、设变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值 3、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩ ⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为 4、设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩ 则z x y =+的最值为 第Ⅱ类 求可行域的面积 关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面 积，或切割为三角形 例2.不等式组⎪⎩ ⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是 ( ) 2 (B)4 2 (D)2 解：可行域是A,B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4
小试牛刀:1、不等式组236, -0, 0x y x y y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ .表示的平面区域的面积为 。 2、若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩ 所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 3、在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩ （α为常数）所表示的平面区域内 的面积等于2， 则a 的值为 第Ⅲ类 距离型目标函数 目标函数形式为“22z x y =+，22z x y =+，22()()z x a y b =-+-”。 例3.已知点 P （x ，y ）的坐标满足条件4,1,x y y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ 点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________, 最大值等于________. 小试牛刀:1、设x 、y 满足条件3 10x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩ ≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ． 2.设D 是不等式组21023041 x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩表示的平面区域,则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=距离的最大值_. 3、若,M N 是11106 x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩表示的区域内的不同．．两点，则||MN 的最大值是 。 4、如果点P 在平面区域⎪⎩ ⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 上，点Q 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x =++最小值为 5、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的最小值是 . 第Ⅳ类 斜率型目标函数:
高中数学线性规划题型总结
高中数学线性规划题型 总结 LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】
高考线性规划归类解析 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问 题 例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩ ⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直 线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值 为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件 画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较 为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的最小值是 . 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而 22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易 知A （1，2）是满足条件的最优解。22x y +的最小值是 为5。 点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖 掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优 解。 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件0 024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数 32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即 max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数 32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即 max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后 转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个 三角形区域,表示该区域的不等式组是（） 图2 图 C
线性规划经典例题
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ⎧ ⎪ ≤ ⎨ ⎪+≥ ⎩ ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ⎧ ⎪ +-≤ ⎨ ⎪≤ ⎩ 表示的平面区域的面积为 （） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯 形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ⎧ ⎪-≤≥ ⎪ ⎨ -+≤≥⎪ ⎪--≤ ⎩ 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D
四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪ -+≤⎨⎪≤⎩ ，使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取 得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220 240330x y x y x y +-≥⎧⎪ -+≥⎨⎪--≤⎩ ，则z=x 2+y 2的最大值和最小 值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13， 4 5 D 、 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的 距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为 4 5 ，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域 包含点 （0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、 （-3,3）
高中数学解题方法系列：线性规划中的11种基本类型及策略
高中数学解题方法系列：线性规划中的11种基本类型及策略 一.线性目标函数问题 当目标函数是线性关系式如（）时，可把目标函数变形为 ，则可看作在上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下： 1.做出可行域; 2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解. 二.非线性目标函数问题的解法 当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种： 1． 比值问题 当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。 例2已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0， 则y x 的取值范围是（）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95 ]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D ）[3，6] 解析 y x 是可行域内的点M （x ，y ）与原点O （0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y x 取得 最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y x 取得最大值6.答案A 2．.距离问题 当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点距离的平方，这样目标函数的最值就转化为 PQ 距离平方的最值。 例3已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0， 求x 2＋y 2的最大值与最小值. 解析作出不等式组表示的平面区域（如图）. 设x 2＋y 2＝z ，则z 是以原点为圆心的圆的半径的平方. 当圆x 2＋y 2＝z 过点B （2，3）时，z 取得最大值，从而z 取得最大值z max ＝22＋32＝13； 当圆x 2＋y 2＝z 与直线AC ：2x ＋y －2＝0相切时，z 取得最小值，从而z 取得最小值. 设切点坐标为（x 0，y 0），则 ⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋y 0－2＝0，y 0x 0 ·（－2）＝－1. z ax by c =++0b ≠a z c y x b b -=-+z c b -y 在轴y a z x b -=-(,)P x y (,)Q b a 22()()z x a y b =-+-(,)P x y (,)Q a b
线性规划经典例题
线性规划常见题型及解法 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪ ≤⎨⎪+≥⎩ ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪ +-≤⎨⎪≤⎩ 表示的平面区域的面积为 （ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于2 (0,0)2(0,0) 2(0,0)2 (0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪ ⎨ -+≤≥⎪⎪--≤⎩ 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪ -+≤⎨⎪≤⎩ ，使z=x+a y(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值 的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D
高考数学线性规划常见题型及解法精品
高考数学线性规划常见题型与解法 线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简洁题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。现就常见题型与解决方法总结如下： 一、求线性目标函数的最值； 例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满意条件 1110x y x y x +≤⎧⎪ -≤⎨⎪+≥⎩ ，则2z x y =+的最小值为 A.3 .1 C5 6 解析:利用线性规划学问求解。可行域如图阴影所示，先画出直线01:2 l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得 110,x x y =-⎧⎨--=⎩1 2, x y =-⎧⎨ =-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图实力，数形结合思想与运算求解实力，难度适中。 二、求目标函数的取值范围； 例题：(2012山东文6)设变量,x y 满意约束条件 2224,41 x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩ 则目标函数3z x y =-的取值范围是 3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A.3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. []1,6- C. 36,2⎡ ⎤-⎢⎥⎣ ⎦ D. 解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210 ,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨ +-=⎩ 得;由
4101 ,(,3)240 2x y x y -+=⎧⎨ +-=⎩得B max min 133206,3322z z ∴=⨯-==⨯-=-，33-62z x y ⎡⎤ ∴=-⎢⎥⎣⎦ 的取值范围是， 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围 三、求约束条件中参数的取值； 例题：(2012福建文10)若直线2x y =上存在点(,)x y 满意条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪ ≤⎨⎪≥⎩则实数 m 的最大值为 （ ） -A.1 B.1 3 2 C. D.2 解析：在同始终角坐标系中函数2x y =的图像与 30 230x y x y +-≤⎧⎨ --≤⎩ ，所表示的平面区域图阴影部分所示。 由图可知，当1m ≤时，函数2x y =的图像上存在点 ,x y ()满意约束条件，故m 的最大值为1. 探究提高：本题是线性规划的综合应用，解决这类问题的关键是利用树形结合的思想方法，给目标函数给予肯定的几何意义。 四、求线性规划问题的整点问题； 例题：设等轴双曲线221x -=y 的两条渐近线与直线2x =围城的三角形区域(包含边界)为M ，,p x y ()为M 内的一个动点，则目标函数2z x y =-的最小值. 它们 解析：等轴双曲线的渐近线为0x y -=和0x y +=.和 y=-x y=x x=2C Y
线性规划经典例题及详细解析
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩ ⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的最小值是 。 3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩ ，则 y x 的取值范围是（ ）. A. [95，6] B.（－∞，95 ]∪[6，＋∞） C.（－∞，3]∪[6，＋∞） D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩ ⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大 值是 。 四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩ ，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的 值为（ ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 五、求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩ 表示的平面区域的面积为 （ ） A. 4 B. 1 C. 5 D. 无穷大
线性规划的常见题型及其解法
线性规划的常见题型及其解法(教师版,题型全,归纳好)(总21页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小--
课题 线性规划的常见题型及其解法答案 线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致． 归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用． 本节主要讲解线性规划的常见基础类题型． 【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( ) A ．[7，23] B ．[8，23] C ．[7，8] D ．[7，25] 求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求 直线的截距z b 的最值，间接求出z 的最值． 【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3， 表示的平面区域如图中阴影部分所示， 由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－2 3x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程 组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1， 所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组