浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值

浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值

99数学本四班莫少勇指导教师孙丽英

摘要本文从菲波那契数列出发，通过探究其数学内涵和它在实际生活中的应用，提高学生对数学的欣赏能力，初步建立数学建模的思想，从而提高用数学知识分析实际问题的能力。

关键词 Fibonacci数列黄金数优选法

数学美不仅有形式的和谐美，而且有内容的严谨美；不仅有语言的简明、精巧美，而且有公式、定理的结构整体美；不仅有逻辑、抽象美，而且有创造应用美。古希腊的毕达哥拉斯学派，首先从数的比例中求出美的形式，发现了黄金数。神奇的菲波纳契数列正是黄金数之后的一大发现，它又被誉为“黄金数列”。

一．Fibonacci数列的由来

Fibonacci数列的提出，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。这个问题是：有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，

而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？

对于n=1，2，……，令F n 表示第n 个月开始时兔子的总对数，B n 、A n 分别是未成年和成年的兔子（简称小兔和大兔）的对数,则F n = A n +B n

根据题设，有

显然，F 1=1，F 2=1，而且从第三个月开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和，于是按此规律我们得到一个带有初值的递推关系式：

??

?==∈≥+=1

F 1,F

Z)n 3,(n F F F 212-n 1-n n

若我们规定F 0=1，则上式可变为

??

?==∈≥+=1

F 1,F

Z)n 2,(n F F F 102-n 1-n n

这就是Fibonacci 数列的通常定义，也就是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，这串数列的特点是：其中任一个数都是前两数之和。

这个兔子问题是意大利数学家梁拿多（Leomardo ）在他所著的《算盘全集》中提出的，而梁拿多又名菲波纳契（Fibonacci ），所以这个数列称作菲波纳契数列，其中每一项称作Fibonacci 数。

它的通项是F n =

5

1[(

25

1+)n+1

-(

2

5

1-)n+1

]，由法国数学家比

内（Binet ）求出的。

二．Fibonacci 数列的内涵

（1）Fibonacci 数列的通项的证明我们可以通过求解常系数线性齐次递推关系或者利用生成函数法来实现。

证法一：

∵菲波纳契数列是一个2阶的线性齐次递推关系，它的递推方程是x 2

-x-1=0，

特征根是

2

5

1± ∴通解是F n =C 1(2

51+)n

+C 2(

2

51-)

n

代入初值来确定C 1、C 2，得方程组

?

??

??=-++=+125

12

5112121C C C C 解这个方程组得 C 1=

5

1251+, C 2=

5

1-25

1- ∴原递推关系的解是 F n =

5

1

[(

251+)n+1

-(

2

5

1-)n+1

]

证法二：

设F n 的生成函数为 F(x) ，则有

F(x)=F 0+F 1x+F 2x 2

+……+F n x n

+…… x(F(x)-F 0)= F 1x 2

+F 2x 3

+…F n-1x n

+…… x 2

F(x)= F 0x 2

+F 1x 3+…… 把以上式子的两边由上而下作差得

F(x)(1-x-x 2

)+x=F 0+F 1x+(F 2-F 1-F 0)x 2

+(F 3-F 2-F 1)x 3

+…… =1+x+0+0+…… ∴F(x)=

2

11x x --=

)

2

511)(2511(1

x x --+-=

x A

2511+-+

x

B

2

5

11--

由??

???=++-=+0)25

1()251(1

B A B A 解得A=5

251+，B=5

215-

∴F(x)=

525

1+k k k x )251(0∑∞

=+-5215-k

k k x )251(0

∑∞=-

∴取x=1,k=n ，则F n =

5

1[(

251+)n+1

-(

2

5

1-)n+1

]

（2）在Fibonacci 数列中，前后两项的比值1

+n n F F 是以黄金

数0.618为极限的。

记b n=

1

+n n F F ，则有b 0=1

0F F =1 b 1=2

1F F =2

1

b 2=3

2F F =3

2 b 3=4

3F F =5

3

b 4=5

4F F =8

5 b 5=6

5F F =

13

8 ………… b n =

1

111-+

n b

在求数列{}n b 的极限之前我们首先来证明以下两个命题： （i ）引理：Fibonacci 数列的任意相邻四项满足 F n-2F n+1-F n F n-1=(-1)n

， n ≥3

证明：根据行列式与线性方程组的关系，

方程组???

????-=+++=-+++11)251(251)251(251n n y x y x 的解是 x=

25

11

2511

251)2

51(251)2

51(

11+-++--++n n =

5

1[(

251+)n

-(

2

5

1-)n

]=F n-1

y=

2

511

2511

)

251(1)2

51(

111

+-+-++n n =

5

1[(

251+)n+1

-(

2

5

1-)n+1

]=F n

∴F n-1、F n 满足原方程组，于是有???

????-=+++=-++-+1

111-n )251(251)251(251n n n n n F F F F 把以上方程组的两边对应相乘，得 [n n F F 2511-+

-][n n F F 2511++-]=1)251(+-n 1

)2

51(++n 整理得， F n-12

+F n F n-1-F n 2

=(-1)

n+1

(F n -F n-1)(F n +F n+1)-F n F n-1=(-1)n

F n-2F n+1-F n F n-1=(-1)n

证毕。 （ii ）数列{}n b 存在极限。

证明：由引理可知，当n=2k+1，F k-2F k+1-F k F k-1=-1＜0：当n=2k ，F k-2F k+1-F k F k-1=1＞0

因此分别有k

k F F 21

2-＜

2

212++k k F F ，

k

k F F 212-＞

2

21

2++k k F F 即数列?????

?-n n F F 212递增，数列?

??

???+122n n F F 递减。 显然，10,0≤<≠?n b n ， ∴数列{}n b 有界。

根据“单调有界数列必有极限”可知{}n b 2、{}12-n b 存在极限。

设n n b 2lim ∞

→=A, 12lim -∞→n n b =B ，

分别对b 2n =

1

2111-+n b 及b 2n+1=

n

b 21

11+两边取极限有A=B

111

+,

与

B=A

111

+

即有B A 111+=与A

B 111+= ∴

BA

B

A A

B AB A B -=

-=-11，则必有 A=B ≠0 ∴数列{}n b 极限的存在性可证。 于是由（ii ）我们可求n n b ∞→lim 。

根据Fibonacci 数列的通项以及

2

5

1-＜1得, n n b ∞

→lim =1

lim

+∞→n n

n F F =22n 1

1n )2

51()251()251()251(

lim

++++∞

→--+--+n n n =2

511lim +∞

→n =

2

51-≈0.618

三．Fibonacci 数列的应用价值

科学家发现无论在数学领域还是在自然界中都有很多有趣的现象与Fibonacci 数列有关，现在举例如下：

例1．

杨辉三角对角线上各数之和构成Fibonacci 数

列，即

F n =???

??+?++++?+++-+----为奇数时当为偶数时当）（n C C C C n C C C C n n n

n n n n

n n n 2

12)1(222211022110

例2．多米诺牌（可以看作一个2×1大小的方格）完全覆盖一个n×2的棋盘，覆盖的方

案数等于Fibonacci数。

例3．从蜜蜂的繁殖来看，雄峰只有母亲，没有父亲，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌

蜂，未受精的孵化为雄峰。人们在追溯雄峰的祖先时，发现一只雄峰的第n代祖先的数目刚好就是Fibonacci数列的第n项Fn。

例4．钢琴的13个半音阶的排列完全与雄峰第六代的排列情况类似，说明音调也与Fibonacci

数列有关。

例5．自然界中一些花朵的花瓣数目符合于Fibonacci 数列，也就是说在大多数情况下，一

朵花花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，……。

例6．如果一根树枝每年长出一根新枝，而长出的新枝两年以后，每年也长出一根新枝，

那么历年的树枝数，也构成一个Fibonacci数列。

Fibonacci数列的重要价值还在于它能作为一些实际问题

的数学模型，从而使复杂的实际问题转化到我们熟悉的数学问题的解决上。

问题一：有一条n 级楼梯，如果每步只能跨上一级或两级，问欲登上去，共有几种走法？

分析：由于登上n 级台阶可以从第n-2直接上来，也可以通过第n-1级分步上来，这样登上n 级台阶的走法不仅与登上n-1级走法有关，且也与登上n-2级台阶的走法有关，故这里可以考虑通过二阶递推式来进行求解。

解：登上第一级只有一种走法，记a 1=1， 登上第二级，有两种走法，记a 2=2，

如果要登上第n 级，那么可能是第n-1级走上来，也可能是第n-2级跨上两级上来的，故有 a n =a n-1+a n-2

显然这是缺了F 0项的Fibonacci 数列，它的通项为 F n =

5

1

[(

251+)n+1

-(

2

5

1-)n+1

]

所以要登上第n 级楼梯，共有F n 种不同的走法。

问题二：某一种产品的质量取决于它的温度，这个温度估计在10000C —15000C 之间，怎样试验才能找到最好的温度？

有人从10010C 开始做试验，一直做到14990C ，共做499

次试验，找到了最好温度，这叫均分法。显然这是一种很笨的方法。若我们利用Fibonacci 数列的知识只须做13次实验就可达到同样的效果。

这里我们利用Fibonacci 数列中

1

+n n F F 的极限

2

51-，因为

它是无理数不好计算，所以取它的三位不足近似值0.618来代替它。

我们用一张有刻度的纸条上写上10000C —15000C ，在15000C 的点记为F n ，第一次试验在纸条总长的0.618处即13090

C 处取第一个试验点记为F n-1，使得

n

n F F

1

-=0.618

第二次试验,将纸条对折，找到与13090C （即F n-1）相重合的点，即11910C 点记为F n-2，显然F n-2=F n -F n-1，取F n-2作第二个试验点，比较F n-1和F n-2，如果F n-2处比F n-1处好，就将F n-1的右边的纸条剪去（反之，剪去F n-2左边的一段）。

第三次试验，将剩下的纸条再对折，在与11910C （F n-2）

1000

n n-1

1000

n

n-1

中点

n-2

1000

n-1

n-2中点

n-3

重合的点，即在11180C （F n-3）点处做，做完后进行比较，如仍是11910C 处好，则剪去11180C 左边的一段（反之，剪去11910C 右边的一段）

第四次试验，将11180C —13090C 这段纸条再对折，又可找到与11910C 重合的点12360C(F n-4)，在12360C 处做第四次试验。

然后再比较、剪裁，依次做下去，直至达到所要求的精度为止。试验中依次所取的试验点就构成了一个Fibonacci 数列。

为什么这里只要做13次试验就可抵用均分法做499次试验呢？我们下面来探讨这种试验方法的原理。

一方面，在试验中我们是通过用折纸法也就是来回调试法来缩短试验的范围，减少试验次数的。它比均分法优化得多。例如，取Fibonacci 数列的F 5点为第一个试验点，则用对称来回调试法做5次试验。相当于均分法做13次试验。一般地，取F m-1为第一个试验点，用对称来回调试法做m-1次试验。相当于均分法做

F m-1次试验。m 越大，效果越佳，由于

14

13F F ＜0.618＜15

14

F F

而

14

13F F =

610

377

，因此，从0.618出发做13次试验相当于均分法做600多次试验，这就是它的优越性所在。如果我们将区间[0，1]均分为n+1份，做n 次试验，可以知道最优点在1

2

+n 长的区间内，叫做精度，记为δ=

1

2

+n 。对折纸法而言，做n 次试验最优点在长度为(0.618)

n-1

的区间内。题中做499次试验，设试验区间长度为1，则

δ=

14992+=250

1

由(0.618)n-1

=

250

1

解得n ≈13

另一方面，我们在试验中每次剪去一段后，最优点是不会丢掉的，这是试验有效的前提保证。设每个试验点对应的试验结果是试验点的函数，我们假定它满足以下定义：设f(x)是区间[a,b]上的一个函数，如有一点m 属于[a,b]使

f(x 1)＜f(x 2)＜f(m)，当a ＜x 1＜x 2＜m 时； f(m)＞f(x 1)＞f(x 2)，当m ＜x 1＜x 2＜b 时，

则f(x)叫做区间[a,b]上的一个单峰函数，点m 叫做好点，也就是我们要找的最优点。

因此我们在试验中某段区间[a,b]上比较两个点F m 和F m-1时，如果f(F m )＜f(F m-1)，则可丢区间[a,F m ]；如果f(F m )＞f(F m-1)，