数形结合例题选集.docx

数形结合

一、在一些命题证明中的应用举例：

1、证明勾股定理：

4（ 0.5ab ）十（a —b ）2 = a 2 十 b 2 =C 2

解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于 大正方形的面积，化简后得到勾股定理 a 2 b 2 =C 2。

2、证明乘法公式（平方差与完全平方）：

α + 6

α

b

√Λ

?缆偉?;曲FI

（a b ）2 二 a 2 b 2 2ab 解析：在上图中，利用正

方

形和小正方形面积的转化, 式与完全平方公式的运算过程以及公式

的本质问题。

3、证明基本不等式:

a 2 -

b 2 =（ a b ）（ a - b ）

能更进一步理解平方差公

解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为.ab ,显然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。

4、证明正（余）

解析:

1 i

（1）如上图所

示，ABC 的面积S=-a?h a bsinC= bsinC=CSinB ；

2 2

即丄—,同理可得」- —；

SinB SinC Si nA Si nB SinC

根据圆的性质（等弧对等角）?A - D，Sin^ Sin^ 2R ,即S^ = 2R ；

综上，得正弦定理: 」b2R

SinA Si nB SinC

（2）根据勾股定理AB2 - BE2=AC2 -CE2,即卩c2 -（C CoSB）2=b2 -（a-c cosB）2；

整理可得余弦定理:

a

2 . c2 _ b2

cosB ;同理得出cosA、cosC的余弦定理。

taτιτ2ac

π

解析：如上图所示，根据y=tanx、y=x、y=sinx在X (0,—)上的图像可看出

2

?JT,

tanx>x>sinx

，X (0,—)。当然，实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右

2

图的单位圆中，当X (0，2)时，角的终边始终在第一象限内，根据三角函数线可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式I=VR=X ?1 =χ ,即

图中黑色弧线的长度表示X ,显而易见。红线长度>弧线长度>蓝线长度，即

TC

tanx>x>sinx，X (0，-)0

6证明两角差的余弦公式：

解析：如上图所示，根据三角比的定义及单位圆的定义可知单位圆上的点的坐标表示。左图中，AB2= (cos：；-cos：)2(sin'-Sin-)),将B 点旋转至(1，0)处(右

图所示)。此时，AB2=[cos G - 1]2 [sin (—J2,因为线段AB的长度没有

发生变化，即(CoSL-CoS：)2(Sin，-sin:)2 =[cos 1]2 [sin -)]2,化简: cos( ：-) = cos cos Si n>si n：。当然也可以用向量的方法证明，利用向量数量

(COS , Si n：) (cos：, Sin )

11

=cos： cos ： Sin : sin ：。

二、在考试中的具体应用：

1、与函数的综合运用，主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范围等方面：例1 (14奉贤)已知定义在R上的函数y=f (X)对任意X都满足f (x+2) =-f

(x),当-1 v1 时，f (X) = X3,若函数g (X) = f (X) -Iog a X 只有四个零点，

则a的取值范围是_________________

答案：(1,1 )(3,,

5 3

解析：根据已知条件，f (X)的周期为4,先画f (X) 一个周期图像，当1≤x<3

时，f (X -2) =(X -2)2 =-f (X), f (X)-(x -2)2,由此画出[-1 , 3)的图像，

积定义，证明更加简洁。如左图，COSC

：)_ OA OB

OA QE

此为一个周期，图像如下，

g (X ) = f (X )— IOg a X 只有四个零点即 f (X )与

y= log a X 只有四个交点，需分类讨论：

(1)当0

评注：数形结合体型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于 把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。

Iog 2X,0 ￡X ￡4 (X ) 52 2 70 ,若 a 、b 、c 、

X -8x ，X 4 3 3

例2 ( 14闵行)

d 互不相同，且f 此时3个交点，代入点(3,-1),解得a=-

3

(a ) =f (b ) =f (C ) =f (d ),则 abed 的取值范围是 答案：(32, 35)

解析：根据题意，如下图所示，ab=1, abed=ed=e (12-e ) = 12-e 2, 4

评注：这类题出现很多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图像及相 关性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图时，虽说是草图，但有必要做 出一些特殊点进行定位；写区间时，务必考虑区间的开闭情况。

变式已知函数f (X ) =IIx-II-I ，若关于X 的方程f (X ) =t (t R )恰有四个互不

相等的实数根x 1? x 2、x 3' x 4(x 1 ”： X 2 ”： X 3 ”： x 4)，则X 1 X 2 X 3 X 4的取值范围 是 答 — 解析：根据题意，如下图所示，X i X^ 0, X i X 2 X 3 X^ X 3 X^ X 3(4 -X 3)

2

= 4X 3 -X 3, X 3 (1,2)。

b , a 启 b -—

a 迤

b = * 。已知函数f (X ) = (1 +

、a , acb

4

-)log 2X ,若函数g (X ) =f (x ) -k 恰有两个零点，则k 的取值范围是( )

X

A. (1, 2］；

B. (1, 2)；

C. (0, 2)；

D. (0, 1) 答案：B

(14杨浦)定义一种新运算:

4

4 r .

4

, log 2X≥ι[+-

[+4 x 、4 解析：f (X )=(1+-) ? log 2x=* X

X=t x' ,如下图

X

4 I

log 2x , log 2x

① 当x>0时，y=f (X )单调递减且无最值； ② 方程f (X )=kx+b ( k = 0) —定有解；

③ 如果方程f (X ) =k 有解，则解的个数一定是偶数； ④ y=f (X )是偶函数且有最小值。 贝U 其中真命题是 ______________ 答案：②、④

解析：含绝对值、分类讨论。先画x>1和0vχ<1的部分，然后根据偶函数的性 质(关于y 轴对称)画出左半部分，函数图像如下图所示：

① 明显错误；③k=0时，解的个数为1;②、④正确。

评注：含绝对值的数形结合题型，根据绝对值内的情况，进行分类讨论，画出函 数图像，再结合函数性质，一般是对称性或奇偶性，然后根据函数图像对各项进 行分析筛选。 例5 (14奉贤)定义在(0, ?：：)上的函数f (X )满足：

(14宝山)关于函数f (X )=

X -1

，给出下列四个命题:

(1, 2)O

评注：本题考查分段函数表达式求法，函数零点问题转化成两函数交点问题， 数 形结合很容易求解，可以作适当的延伸，比如，有一个零点，求k 的取值范围等。

① 当 X “1,3)时，f (X )=严-1,1 兰 X 兰2

；

3 - X ,2 c X ￡ 3

② f (3x ) =3f (X )。

设关于X 的函数F (X ) =f (X ) -1的零点从小到大依次记为X 1 x 2、x 3、x 4、X 5、 ... ,贝U X l X 2 X 3 X 4 X = ______________________________________ 答案：50

解析：结合已知条件，分析函数性质，画出函数图像，如下图所示，X i X 2 X 3 X 4

评注：数学结合最直观，或根据函数的对称性，找到对称关系，图像就画出来了， 答案也就呼之欲出，这就是数形结合在直观呈现方面的快捷。 2、与三角函数的综合运用：

例1 (14十三校联考)已知f (x ) =asin2x+bcos2x (a 、b 为常数)，若对于任意

5兀

X R 都有f (x ) _ f ()，则方程f (X ) = 0在区间［0，二］内的解为

12 ----------------------------------------------------------------------------

答案：X= ?或X=—

6 3

解析：根据“若对于任意χ? R 都有f (X ) 一 f (—) ”可知，当X=—时，函数图 12 12

像取最低点，再结合函数解析式可知函数周期为二，因为函数的最值横坐标与相 A

IT

邻零点之间相差丄个周期，即一，所以在区间［0 ,二］内的解(即在区间［0 ,二］ 4 4

5兀 兀 π 2兀

内的零点)为X=- ,即X 或X=—。

12 4

6 3

评注：本题看似复杂，因为有字母 a 、b ,但只要理解了“三角函数的最值横坐

标与相邻零点急间相差 丄个周期”这样的图像性质，结合图像原理，就迎刃而解 4

TO

例 2 (14 闸北)设 a>0 且 a=1,已知函数 f (X ) =a x 2sin2「：x-2(X ? 0)至少

X 5

有5个零点，则a的取值范围为

答案：（0, 1）一（1, 2）

解析：就是求函数y=2sin2πx与函数y = 2-a x在X E（0,+□O）上的交点个数，分两

种情况：

（1）当0

（2）当a>1时，如下图所示，在X （0, ?二）要至少5个交点，函数y = 2-a x在

x=1处要大于0

即2-a>0, a<2,满足至少有5个交点。

评注：这是一道典型的数形结合的题型，将零点问题转化成函数交点个数问题, 注意理解题意、审清题意及数与形之间的转化。

例3 （14虹口）函数f （x）=2sin二X与函数g（X）= 3 x -1的图像所有交点的横

坐标之和为______________

答案：17

这俩图像都是关于点（1, 0）对称，所以它们的交点也是关于点（1, 0）对称, 即一对对称交点的横坐标之和为2,总共有8对关于点（1, 0）对称的点，再加上（1, 0）点本身，即所有交点的横坐标之和为17。

评注：本题首先要熟悉函数的图像变换，精确画出函数图像，然后再研究交点的

数形结合

特性，在这道题中，交点关于点(1,0)对称的，在这个前提下，求横坐标之和就转化成简单的中点问题。

例4已知函数y=f(x),任取t? R,定义集合：A t ={y |y =f( X),点P( t，f( t))，

Q f x，f f X ),PQ≤J2},设M t和m t分别表示集合A冲元素的最大和最小值记h f t) M t - m t,贝卩：

f 1)若函数f f x) =x,贝U h f 1) = ____________

f 2)若函数f f x) =Sin' X ,则h f t)的最大值为

2

答案：f 1) 2; f2) 2

解析：定义的意思是函数y=f f X)在以定点P (点P在函数图像上)为圆心半径

为.2的圆内的部分，这部分函数图像的值域即A t

f 1)定点P f 1,1),如下图所示，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分，这部分图像最大值为2,最小值为0,所以h f 1) =2

(2)对于f f X) =Sin' X ,函数最大值与最小值之差2,如下图所示，通过理解

2

观察，可得出A t能够同时包含最大值和最小值，所以h f t)的最大值为2,此

时t=2k, k Z

评注：这是一道理解性的定义体型，理解题目的定义很重要，然后结合函数图像分析就不难了。

Sin "x, X [0,2]

例5 f 14闵行)对于函数f f X) = I,有以下四个命题:

!-f fX -2), X E (2, +°0)

①任取x「X2^[0,十忧)，都有f (X i) -f (X2)∣ ≤2恒成立;

② f (X) =2kf (x+2k) (),对于一切x“0,，=?)恒成立；

③函数y=f (x) -In (x-1)有3个零点；

k 9

④对任意x>0,不等式f (X)空-恒成立，则实数k的取值范围是[-，-：)

X 8

则其中所有命题的序号是

答案：①、③

解析：根据下图所示可知：②选项是2k,④选项反比例函数图像至少要满足点

评注：数形结合的思想，国家题意画图帮助理解，然后利用一些特殊点定位，图像尽量做到精确，才能避免差错

3、与解析几何的综合运用：

例1 (14闸北)设曲线C：X2+y2+2=2j3(x +y),贝U曲线C所围封闭图形

的面积为______________

答案：32二8 3

3

解析：因为图像关于X轴、y轴对称，所以可以先画第一象限的图像，第一象限x>0, y>0,绝对值直接去掉，可得一段圆弧，然后关于X轴、y轴对称翻折，如下图所示，根据题目数据，可得?ABC =150 , AB=2 ,可以先算第一象限的面积，由一个扇形与一个四边形构成，然后再乘以4,全面积为32二?8.3 0

3

评注：方程图像问题，含绝对值，所以根据象限分类讨论，根据相关性质画出方程图像，割补法求面积。

变式由曲线x'+y2=χ+y所围成的封闭图形的面积为________________________

答案：2+二

例2 （14金山）已知直线I : 4x-3y+6=0 ,抛物线C：y2=4x图像上的一个动点

P到直线I与y轴的距离之和的最小值是__________________

答案：1

解析：结合题意，画出直线与抛物线的草图，找到点P到直线I与y轴的距离之

和，如下图所示，即PH+PA=PH+PB-1=PH+PF-1 _ PH'-1,PH'用点到直线距离公

式求出来等于2,所以答案为1。

评注：注意圆锥曲线的相关定义，进行巧妙的转化，如本题中用到了“抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离” 这个性质，然后结合图像进行转化。

2 2

例3（14金山）已知有相同焦点FP F2的椭圆—?y2=d（m ■ 1）和双曲线—-y2

m n

=0（n >0）,点P是它们的一个交点，则S z FI PE=（）

A.1 ;

B.- ;

C.2;

D.1

2

答案： 2

D 解析： 法一：如下图所示，由题意得：C^m-^ n ? 1, PF 1 PF 2 = 2 m , PF 2 -

PF =2√n ,两式平方相减得：

PF l ?PF 2 = m — n = 2,所以 PF 1 2 + PFf =( PF 1 +PF ?)2

2 2

-PF i PH =4m -4=4c =陆，即卩 PF i _ PF ?,得 S =I

法二：

角形面积S=b 3 4cot 二，而这是同一个三角形，所以tan COt 二，即卩 ，所

2 2 2 2

以 5 .'F 1PF 2 = 1。

评注：熟悉圆锥曲线的定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定的关系， 做数 学题时，很多时候要辩证思考，透过变化的表象，发现不变的内在联系，动静结 合，有机分析，以静制动，以不变应万变。

例4 (14金山)设双曲线nx 2 -( n T) y 2 =1, 的距离三最小值是d n ,贝U Iim d n=(

)

n —?÷C

1 ■, 2

A. — ;

B. — ;

C. 0 ;

D.1 2 2

答案：B

解析：双曲线方程两边同时除以n ,得到x? - (1 —) y 2

= 1 ,当n r r — 0 ,

n n n

即方程x 2 -y 2 =0,这就是方程的极限位 置，即求点Q (1,0)到直线y = X 的距 离，选B 评注：这是一类要考虑极限位置的极限体型，

(n? N )上动点P 到定点Q (1,0)

在高考中出现过类似的题目，一般

数形结合

3

找到了极限的位置，题目就很容易解的，很多同学不会因为没有想到极限的位置,

而像=想把d n

用n 表示出来就复杂了 例5 （14闵行）若曲线f （X , y ）二0上存在两个不同点处的切线

重合，则称这条

切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（

）

2

； 2 2 2 2

A. X +y —1=0 ；

B. x —J4—y +1=0 ;

C. X +y —x — x —1 = 0 ;

D. 3x -xy + 1-0

答案：C

解析：A 、B 、C 、D 选项图像依次如下图所示，根据题意，选C

评注：利用数形结合的方法，考查了含绝对值曲线方程的画法， 一般根据图像的 对称性，或者分区间、分象限进行分类讨论函数方程在各个象限的图像， 再结合 题意解题。

4、与向量的运用：

例1 （14徐汇）如下图所示，已知点G 是AABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两 边分别交于 M 、N 两点去，且 AM- =X AB,A N =yAC ,贝U

X + y

答案：1

3

解析：法一：M 、G 、N 三点共线，设 AG-AlM JAN ,有 J T , AM =XAB ,

AN =yAC 二 AG = AM 」AN = XAB 」yAC ,因为 G 是重心，所以 AG = 1

AB 1 AC ,即即 X=Jy=I,— —二 1 化简—y —二—

3 3 3x 3y

x + y 3

法二：取特殊值，取x=y =2

O

3

评注：作为填空题，本题的第一做法是法二，同时也要知道具体过程，注意向量 一些常用知识

点及一些转化技巧。

例2（14闵行）设i、j依次表示平面直角坐标系X轴、y轴上的单位向量，且a-j +亍-2 jI =

√5,贝U亍+ 2i的取值范围是_________________________

答案：[ ,3]

5

解析：根据题意，a_j+ 2j]=√5的几何意义为一个点到（1,0）的距离加上这

个点到（0,2）的距离等于.5，如下图所示，即到A点的距离加上到E点的距离等于,5，而AB —5 ,所以这个点的轨迹为线段AB，而我们要求的取值范围的几

何意义即转化成线段AB上的点到点（-2,0）的距离的取值范围，最短距离是下图中CD的长

度，用点到直线的距离公式或等面积法可求得CD=X ,因为BC =

5

2??.2, AC =3,距离的最大值为3。

B

评注：用代数的方法计算，因为有根号，过程很复杂，结合向量的模的几何意义，转化成图形问题就简明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用。

例3 （14徐汇）如下图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半

径为1,圆心在线段CD （含端点）三上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量

A^^mAB ? nAF（ m、n ?R）,则m ? n的最大值为________________

答案：5

解析：如上图所示，AP = 5（AB AF）。

2

评注：本题结合动态图像考查了向量的分解，要求能够理解题意，本题也可建系分析

5、与其他知识点的综合运用：

例1 （14浦东）用S集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A，B，C）有序三元组。如果集合A、B、C满足ACB=BCC=AcC =1,且ACBCC =,则称有序三元组（A、B、C）为一最小相交，由集合｛1 ,2,3,4｝的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为__________________________________________________

答案：96

解析：设A、B、C为｛1,2,3,4｝的三个子集,如下图所示，因为A- B- C ,所以S = ?不含任何元素，因为ACB = BCC=IACC =1,所以M1, M2, M 3中个各有

一个元素，将｛1,2,3,4｝中的元素排入，有C3P S = P：种方法，由题意得，还剩下的一个元素，可排在P、Q、R,也可不排入，共有1+P3=4种方法，由分步原理得

3

4P4 =96。

评注：本题要注意分步原理与分类原理的综合运用，抽象出解题模型，从而使问题得到解决，当然也可以用列举法，｛1,2,3,4｝有15个非空子集，显然A、B、C中

A为含有1个或者4个元素的子集不符合题意，A为含有2个或者3个元素的子集，列举即可求解。对于新定义题型，要善于将陌生问题化为熟悉模型，注重基本原理的运用。

例2 （14 十三校联考）集合S=｛（x, y，Z）I x、y、ZENM 且xcycz、y

Z ：： X ：：：y恰有一个成立｝，若（X，y，Z）S且（z，W，X）S ,则下列选项正确

的是（）

A.（y, z, W）S,（x, y, W P S；

B.（y, z, W）S,（x, y, W）S ；

C.（y, z, W) S,( x, y, W) S ;

D. (y, z, W P S,( X, y, W P S

答案：B

解析：根据题意，可将题目中的定义画成直方图，如下图所示，各个元素只要在顺时针方向，即满足题目要求，就可得到答案。

评注：这是一个非典型的数形结合题型，题目的定义很抽象，但可以用图形将其

具象化，从而能够更好的理解，帮助解题。

1 1

例3 A k =｛x |x =kt ,飞-t「｝,其中k =2,3,…?，2014,则所有A k的交集为kt k

答案：

[2,5]

解析：

1 1

因为k =2,3, ?…，2014,所以4：：：丄门,结合耐克函数的图像，如下图所

k k

示,当A 一t 一1, A k = [2, k —],因为k = 2,3,…?，2014寸，k '-递增，所以所k k k 5

有A k的交集为[2,5]。

评注：本题考查了耐克函数的图像与性质，结合图像及函数的定义域，求值域问题，难度不大，但学生可能会因为含参数k而产生畏惧心理，可让学生先求A 2、

A3、A4,发现一般规律，再总结归纳。