初中数学专题训练--分式--中考一轮复习教案之分式
专题三 分式
一、考点扫描
1．分式：整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称A B
为分式． 注：（1）若B ≠0，则A B 有意义；（2）若B=0，则A B 无意义；（2）若A=0且B ≠0，则A B
=0 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
3．约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
5．分式的加减法法则：
（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加
（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．
6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后
再与被除式相乘．
7．通分注意事项：
（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；
（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．
8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．
9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．
二、考点训练
1、已知分式25,45
x x x ---当x ≠______时，分式有意 义；当x =______时，分式的值为0．
2、若将分式a+b ab
(a 、b 均为正数）中的字母a 、b 的值 分别扩大为原来的2倍，则分式的值为（ ）
A ．扩大为原来的2倍
B ．缩小为原来的12
C ．不变
D ．缩小为原来的14
3、分式-3x-2
，当x 时分式值为正；当整数 x= 时分式值为整数。
4、计算
11()x x x x -÷-所得正确结果为（ ） 11. .1 . .111
A B C D x x -+- 5、若04322=-+y xy x ，则y x y x -+22= 。 6、若112323,2x xy y x y x xy y
+--=--则分式=___ 三、例题剖析
1、求值：
222214(
)a a +2a-1=02442
a a a a a a a a ----÷++++，其中满足
2、（2005、河南，8分）有一道题“先化简，再求值：22241244x x x x x -+÷+--（
），其中x =”小玲
做题时把“x =x ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
3、已知：P=22
x y x y x y
---，Q=(x+y)2 －2y (x-y)，小敏、小聪每人在x=2，y=2的条件下分别计算了P 和Q 的值，小敏说P 的值比Q 大，小聪说Q 的值比P 大．请你判断谁的结论正确，并说明理由．
3、已知：2
2
42610,1x x x x x -+=++求的值。
4、若无论x 为何实数，分式
m
x x +-212总有意义，则m 的取值范围是 。
四、综合应用 1、已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，222a b c ++=
ab bc ac ++，试判定三角形的形状．
2、(阅读理解题）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知
x y z a b b c c a ==--- ()a b c 、、互相不相等，求x+y+z 的值 解：设x y z a b b c c a
==---=k, ()x k a b =-则，(),()x+y+z=y k b c z k c a =-=-于是， ()00k a b b c c a k
-+-+-=∙=， 仿照上述方法解答下列问题：
已知：(0),y z z x x y x y z x y z
+++==++≠ x y z
x y z +-++求的值。
中考第一轮分式复习教案
课题----- 中考第一轮复习《分式》 一、【教学目标】 （一）知识与技能 1.了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件. 2.掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行分式的通分和约分. 3.掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的化简和求值. (二)过程与方法 提高观察、归纳、猜想、尝试等方法的应用能力，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力 （三）情感态度价值观 通过学习，能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值． 二、【教学重难点】 1、重点：分式的基本性质和分式的化简. 2、难点：分式的化简和通过分式的运算解决简单的实际问题. 三、教学过程： （一）考点知识精讲 考点1：分式的运算 一、考点讲解： 1．分式：整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称A B 为分式． 注：（1）若B ≠0，则A B 有意义；（2）若B=0，则A B 无意义；（2）若A=0且B ≠0，则A B =0 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分． 4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分． 5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算． 6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘． 7．通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分 母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉． 8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． 9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值． 考点2：分式方程及其应用 一、考点讲解： 1．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法：解分式方程的关键是大分母（方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题： ⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许
初三数学专题复习教案：分式.
第3讲分式 一、教学目标 1、使学生理解并掌握分式的概念，了解有理式的概念； 2、使学生能够求出分式有意义的条件； 3、通过类比分数研究分式的教学，培养学生运用类比转化的思想方法解决问题的能力； 4、通过类比方法的教学，培养学生对事物之间是普遍联系又是变化发展的辨证观点的认识. 二、教学重难点: 重点：分式有意义的条件,分式的化简求值 难点：分式的值为0，分式的化简求值 三、学情分析：分式这部分的知识，学生对于分式的值为0的条件，掌握的不是很好，同时也要加强分式的化简求值 四、教学用具：PPT 五、教学方法：讲练结合、适时点拨，注意归纳和总结． 六、教学资源：PPT 七、教学过程： 一、知识要点 知识点一：分式的概念(常考点) 1.分式:如果A,B表示两个整式,并且B 中,那么式子叫做分式. 2.若,则有意义;若分母,则无意义;若,则=0. 知识点二：分式的基本性质 1.分式的基本性质:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个的整式,分式的值不变. 用式子表示为=,=.(M≠0,A,B,M是整式) 2.约分:根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母的约去,这种变形称为分式的约分. 3.通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 的分式,叫做分式的通分. 4.约分的关键是确定分式的分子与分母的;通分的关键是确定几个分式的. 知识点三：分式的运算 1.同分母的分式相加减:±=(c≠0).(相加减,不变) 2.异分母的分式相加减:±=±=(b≠0,d≠0)(先通分,化为同分母分式,再加减) 3.乘法法则:·=. 4.除法法则:÷=·=. 5.乘方法则:()n=(b≠0). 6.混合运算 (1)先乘方,再乘除,最后算加减.有括号时,先算括号内的;(2)同级运算,按运算的先后顺序进行;
广东中考数学一轮复习-分式、分式方程及应用-教案
知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例 1.分式的 概念（1）分式：形如 B A (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0) 的式子. （2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式. 在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1） 判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字 母. 例：下列分式：①;②; ③;④ 2 22 1 x x + - ，其中 是分式是②③④；最简分式③. 2.分式的 意义(1)无意义的条件：当B＝0时，分式 B A 无意义； (2)有意义的条件：当B≠0时，分式 B A 有意义； (3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式 B A ＝0. 失分点警示：在解决分式的值为0，求值 的问题时，一定要注意所求得的值满足分 母不为0. 例：当 21 1 x x - - 的值为0时，则x＝-1. 3.基本性 质 ( 1 ) 基本性质： A A C B B C ⋅ = ⋅ A C B C ÷ = ÷ (C≠0)． （2）由基本性质可推理出变号法则为： ()A A A B B B -- - == - ； A A A B B B - -== - . 由分式的基本性质可将分式进行化简： 例：化简： 2 2 1 21 x x x - ++ = 1 1 x x - + . 知识点三：分式的运算 4.分式的 约分和 通分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去， 即 b a bm am =； (2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分 式化为同分母的分式，即 bc bd bc ac d c b a , ,⇒ 分式通分的关键步骤是找出分式的最 简公分母，然后根据分式的性质通分. 例：分式 2 1 x x + 和 () 1 1 x x- 的最简公分母 为() 21 x x-. 5.分式的 加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即 a c± b c＝ a±b c； (2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即 a b± c d＝ ad±bc bd. 例： 1 11 x x x + -- ＝－1. 2 112 . 111 a a a a += +-- 6.分式的 乘除法(1)乘法： a b· c d＝ ac bd；(2)除法： a c b d ÷＝ ad bc ； (3)乘方：n a b ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ ＝ n n a b (n为正整数). 例： 2 a b b a ⋅＝ 1 2 ； 21 x xy ÷＝2y； 3 3 2x ⎛⎫ - ⎪ ⎝⎭ ＝ 3 27 8x - . 7.分式的混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先 分解后约分. (2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方， 再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的． 失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化 简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入 数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到 整体代入. 知识讲解
中考数学一轮复习分式学案
中考数学一轮复习分式学案 以下是查字典数学网为您举荐的中考数学一轮复习分式学案，期望本篇文章对您学习有所关心。 中考数学一轮复习分式学案 【课前热身】 1.(1)(2009年黔东南州)当x______时，有意义. (2)(2009年安顺)已知分式的值为0，那么的值为______________ 2.填写出未知的分子或分母： (1) . 3.运算：+ =________. 4.分式的最简公分母是_______. 5.代数式中，分式的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.把分式中的分子、分母的、同时扩大2倍，那么分式的值( ) A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 改变原先的 D. 不改变 【考点链接】 1. 分式：整式A除以整式B，能够表示成AB 的形式，假如除式B 中含有，那么称AB 为分式.若，则AB 有意义;若，则AB 无意义;若，则AB =0. 2.分式的差不多性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的.用式子表示为. 3. 约分：把一个分式的分子和分母的约去，这种变形称为分式的约分. 4.通分：依照分式的差不多性质，把异分母的分式化为的分式，这一过程称为分式的通分. 5.分式的运算 ⑴加减法法则：①同分母的分式相加减：. ②异分母的分式相加减：. ⑵乘法法则：.乘方法则：. ⑶除法法则：.
【典例精析】 【例1】(1)要使分式的值为0，应取何值? (2) 为何值时，分式的值为负数? (3)要使代数式有意义，的取值范畴是多少? 【例2】先化简，再求值： (1)(2021南京)运算(2)(2021徐州)运算 【例3】⑴已知，则= . ⑵已知，则代数式的值为. 【例4】(1)(2009烟台市)设，，则的值等于. (2)(2009年内江市)已知，则=__________.。 【当堂反馈】 1.当x=______时，分式的值为0. 2.化简分式：=________. 3.运算：x-1x-2 +12-x = ; (a-2)a2-4a2-4a+4 =___________. 4.(2009年温州)某单位全体职员在植树节义务植树240棵.原打算每小时植树口棵。实际每小时植树的棵数是原打算的1.2倍，那么实际比原打算提早了小时完成任务(用含口的代数式表示). 5.假如=3，则=( ) A. B.xy C.4 D. 6.若，则的值等于( ) A. B. C. D. 或 7. 已知两个分式：A= ，B= ，其中x2.下面有三个结论： ①A=B; ②A、B互为倒数; ③A、B互为相反数. 请问哪个正确?什么缘故? (2021烟台市)学完分式运算后，老师出了一道题化简： 小明的做法是：原式; 小亮的做法是：原式; 小芳的做法是：原式. 其中正确的是( ) A.小明 B.小亮 C.小芳 D.没有正确的
分式一轮复习教案
分式 1 分式及其基本性质 一． 知识点： 1.分式的概念：形如 B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母（未知数），B ≠0)的式子，叫做分式(fraction ).其中A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母 （denominator ）.整式和分式统称有理式（rational expression ）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义。（分式有意义的条件） 2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分. 3.分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。 二．例题及习题： 典型例题 1.23m m 是一个分式么？ 答：是。虽然可以化成3m 的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基 本性质化简的，另外2 3m m 与3m 中的字母的取值也不同． 习题一 （1）．当x 取什么值时，下列分式有意义？(1)12+a a ;(2) 3252 -a a （2）. 要使分式)5)(32(23-+-x x x 有意义，则.（ ） （A ）x ≠23- (B)x ≠5 (C)x ≠23-且x ≠5 (D)x ≠23 - 或x ≠5 （3）. 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是.（ ） （A ）112++a a （B ）12+a a （C ）112++a a （D ）2 1 a a +
（4）. 当x 是什么数时，分式25 2++x x 的值是零？ 解：由分子x+2=0得x=-2 而当x=-2时，分母2x-5≠0 所以，当x=-2时，分式的值是零 习题二 一、填空题 1.约简公式 = . 2.a 取整数 时，分式(1-114++a a )·a 1 的值为正整数. 3.如果x+x 1=3，则1x x x 2 42 ++的值为 . 4.已知x=1+a 2,y=1-a 1 .用x 的代数式表示y ，得y= ；用y 的代数式表 示x ，得x= . 5．要使代数式3a 2a 3 a 2 ---的值为零，只须 . 6.已知s=)y s (q 1yq x ≠--,用x 、y 、s 表示q 的式子是 . 7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液，其中一个瓶子中酒精与水的容 积之比是p ∶1，另一个瓶子中是q ∶1.若把这两瓶溶液混合在一起，混合液中酒精与水的容积之比为 . 二、解答题 8.化简分式2 32m m 21m m m 1+-+-- 9.解关于x 的方程，其中a+2b-3c ≠0,a 、b 、c 互不相等. 10.已知ab=1，证明11b b 1a a =+++
中考第一轮复习《分式》说课稿
中考第一轮复习《分式》说课稿 一、说教材： 本节的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质。 分式的概念，分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是《分式》的理论基础部分。分式的四则运算法则，这是《分式》的一个重点内容，分式的四则混合运算也是教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。 分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念。然而，分式更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。 借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在《分式》学习中经常使用。 二、说教学目标： (一）知识技能： 1.了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件. 2.掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行分式的通分和约分. 3.掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的化简和求值. (二)数学思考： 提高观察、归纳、猜想、尝试等方法的应用能力，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力 （三）问题解决： 能熟练地进行分式性质的运用，灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的化简和求值 （四）情感态度价值观 通过学习，能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值． 三、说教学重难点 重点: 分式的基本性质和分式的运算
难点：分式的化简和分式的运算 四、说教法学法 阅读教材，归纳知识点，自主练习，疑难问题小组合作探究。 五、说教学过程： 1、通过实例让学生再次感知引入分式的必要性。 2、通过课程标准让学生了解中考对分式的考查要求，做到明确复习方向；三年中考环节让学生进一步增强对中考题型及难易程度的了解，做到心中有数。 3、在学生原有的知识印象和预习的基础上，通过边梳理考点边进行相应题型训练的方式，增强学生对知识的理解及巩固。 为了充分利用好我们现有的一轮复习资料《面对面》，所有的内容都是紧扣《面对面》的内容进行的。考点一中的前、后四个练习；考点二的三个练习；例2；三年中考的1、2及课堂检测全都来自《面对面》。 为了降低学生的学习难度，争取较为理想的学习效果，我采用的是复习一个知识点、训练一个知识点，题的难易程度也是由浅入深，又不高于课程标准。通过考点做练习让学生明确每个知识点会出现的题型，由练习说知识点让学生清楚每道题考查的知识点，而知识点是做题的依据。如同了解了游戏规则才玩游戏，游戏玩得精彩了对游戏规则也更熟悉。 希望能对我的这节课提出自己宝贵的意见，使我们的复习更加有效、高效，使我们的学生学得轻松学得扎实；也希望这节课能起到抛砖引玉的作用，期待吕宏玉老师、王岩老师的精彩展示。 六、教学反思:自从实行学、教、测教学模式以来学生的能力得到真正的提高。在本章的教学中我主要是采用类比的教学方法，通过类比分数来学习分式效果非常好。本节复习课让学生归纳知识体系真正培养了学生的归纳整理知识的能力。复习课注重习题方法的探究。学生思维能力的培养。类型题的规律的探究。在本节课中体现的还可以如果时间允许的话效果还能好一些。值得我们思考的是在今后的备课中还应注意时间的分配和重点问题的处理。同时数学课上应该多交给学生解题方法、解题技巧、规律探索、思维能力的训练等。
中考一轮复习 数学专题04 分式与分式方程(老师版) 教案
专题04 分式与分式方程 一．选择题 1．（2022·广西玉林）若x 是非负整数，则表示22 242(2)x x x x --++的值的对应点落在下图数轴上的范围是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．①或② 【答案】B 【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解． 【详解】解：22242(2)x x x x --++ =() ()222 224(2)2x x x x x +--++ =() 222244 2x x x x +-++ =()222(2)x x ++ =1；故选B ． 【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键． 2．（2022·黑龙江绥化）有一个容积为243m 的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟，设细油管的注油速度为每分钟x 3m ，由题意列方程，正确的是（ ） A ．1212304x x += B ．1515244x x += C ．3030242x x += D ．1212302x x += 【答案】A 【分析】由粗油管口径是细油管的2倍，可知粗油管注水速度是细油管的4倍．可设细油管的注油速度为每分钟x 3m ，粗油管的注油速度为每分钟4x 3m ，继而可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵细油管的注油速度为每分钟x 3m ， ∵粗油管的注油速度为每分钟4x 3m ， ∵1212304x x +=．故选：A ． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，准确找出数量关系是解题的关键．
3．（2022·山东威海）试卷上一个正确的式子（ 11a b a b ++-）÷★＝2a b +被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( ) A ．a a b - B ．a b a - C ．a a b + D ．22 4a a b - 【答案】A 【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可． 【详解】解：11a b a b ⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭∵=2a b + ()()a b a b a b a b -++÷+-∵=2a b + ∵=()()22a a b a b a b ÷+-+ =a a b -，故选A ． 【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 4．（2022·黑龙江）已知关于x 的分式方程 23111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m > B ．4m < C ．4m >且5m ≠ D ．4m <且1m ≠ 【答案】C 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到40m ->且410m --≠，即可求解． 【详解】方程两边同时乘以(1)x -，得231x m x -+=-， 解得4x m =-， 关于x 的分式方程23111x m x x --=--的解是正数， 0x ∴>，且10x -≠， 即40m ->且410m --≠， 4m ∴>且5m ≠，故选：C ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键． 5．（2022·广西）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为 1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x 米，根据题意可列方程（ ）
中考数学第一轮复习教案(实数、整式、分式、根式)
中考总习1 实数 1、平方根 定义1：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。a 的算术平方根记作a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。即a x =。 规定：0的算术平方根是0。 定义2：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。即如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根。即a x ±=。 定义3：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 因为一个非零实数的平分肯定是正数，所以，正数有两个平方根，它们互为相反数；例如：4的平分根为±2，是互为相反数的；0的平方根是0；负数没有平方根。 2、立方根 定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。即如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根，记作3a 。即3a x =。 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。 3、无理数 无限不循环小数又叫做无理数。 初中常见的无理数有：带有根号开不出来的式子，例如：、 、等等；带有的式子，例如： ，等等；无限不循环小数，例如：1.325…，-0.2587…等等 4、实数 有理数和无理数统称实数。即实数包括有理数和无理数。 备注：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0。 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。例如：3-的相反数为 3，倒数为3331 -=-，3-的绝对值为。 5、实数的分类 分法一： 负有理数 0 无理数 实数 有理数 正有理数 负无理数 正无理数 有限小数或 无限循环小数 无限不循环小数 知识要点
中考一轮复习教学案 分式及二次根式
初三数学第一轮复习----- 分式、 二次根式 班级 姓名 学号 学习目标： 1.掌握分式的有关概念，理解分式的基本性质，并能运用性质进行约分和通分,及其混合运算 2.理解平方根、算术平方根、立方根的意义； 3．掌握二次根式的有关概念，理解二次根式的性质并熟练进行化简和计算 学习重点：分式、二次根式的有关概念，性质及运算 学习难点：理解分式、二次根式的意义 教学过程： 一、分式： 1.分式的知识梳理： 2.典例精析: 例1.下列有理式: x 1，21（x+y ），y x y x --22，π2,3 -x x ，1394y x +,212-+x x 中,分式是 __________________. 例2. (1)当a 时，( ) 2 a +1 有意义; 当a 时，1 )3(--a 有意义. (2)1 5－＝ , 19 1－＝ , 3 10－＝ ,()1 1312π⎛⎫ ⎪⎝⎭ －－－= . 例3.（1）当x 为何值时，分式 x x -2，3 212-++x x x ①有意义？ ②值为零？ (2)不改变分式的值，把分式b a b a 2 12.031 +-的分子和分母各项系数化为整数，结果是__ ______. (3) 分式 245a b c ，2310c a b 与2 52b ac -的最简公分母为_________ （4）下列等式中成立的是（ ）． A. b a bx ax = B. c b a c b a --=-- C. y x y x =22 D. 11--=b a b a
例4.计算:（1）1 1122---x x x (2)x x x x x x x +-⋅ -+÷+--111112122 例5.先化简，再求值：35 ( 22 x x x -÷--－x －2），取一适当的x 代入求值. 二、二次根式： 1. 二次根式知识梳理： 2. 典例精析: 例6．（1）16的平方根是___，-27的立方根是___，36的算术平方根是___. （2）化简：24= ，2)2(-= ， 3 12= ， 3 21-= . （3合并的二次根式为（ ） A 、24 B 、12 C 、 2 3 D 、18 例7.（1）求下列代数式有意义的x 取值范围. x -1 1 1+x x x 2 + (2) 当 x ＜3 时， (x －3)2 ＝＿＿＿ 例8. 化简或计算： (1) -3018⨯752⨯ （3）已知a
中考数学一轮复习教案分式方程
中考数学一轮复习教案分式方程 教学目标： 1.能够理解和运用分式方程的概念和性质； 2.能够解决包含分式的一元一次方程； 3.能够解决包含分式的一元二次方程。 教学重点： 1.分式方程的概念和性质； 2.分式方程的解决方法； 3.解决一元一次和一元二次方程中的分式方程问题。 教学难点： 1.解决一元二次方程中的分式方程问题； 2.能够利用矩阵法解决一元二次方程中的分式方程问题。教学准备： 1.多媒体教学设备； 2.分式方程的课件及相关练习题目； 3.板书工具。 教学过程： Step 1: 导入
引导学生回忆一元一次方程和一元二次方程的概念和解决方法，并复习线性方程组的解法。 Step 2: 分式方程的概念和性质 1.引导学生思考分式方程的概念，并给出定义。 2.介绍分式方程的性质：分式方程的解是方程左右两边相等时的值，解的存在与否与分式的定义域和分母的取值有关。 Step 3: 解决包含分式的一元一次方程 1.反复强调要化简分式方程，寻找分式方程的解集。 2.通过示例演示化简分式，然后使用消元法、倒置法等解决一元一次方程中的分式方程问题。 3.给学生提供一些练习题目，巩固解决一元一次方程中的分式方程问题的能力。 Step 4: 解决包含分式的一元二次方程 1.通过示例引入一元二次方程中的分式方程问题。 2.介绍使用矩阵法解决一元二次方程中的分式方程问题。 3.给学生提供一些练习题目，巩固解决一元二次方程中的分式方程问题的能力。 Step 5: 拓展应用 引导学生思考分式方程在实际问题中的应用，并提供一些相关的应用题目，让学生应用所学知识解决实际问题。
Step 6: 归纳总结 带领学生回顾分式方程的解题过程和方法，并总结解决分式方程问题 的一般步骤和方法。 Step 7: 检测与评价 收集学生解答的习题，进行检测与评价，对学生的掌握情况进行评估，并及时给予指导和反馈。 Step 8: 课堂小结 对本堂课的重点知识进行总结，强调重点、难点和易错点。 Step 9: 课后作业 布置相关的作业，要求学生进一步巩固所学知识。 教学反思： 通过本节课的学习，学生能够了解和运用分式方程的概念和性质，并 能够解决包含分式的一元一次方程和一元二次方程。在教学过程中，通过 示例演示和练习操作，使学生熟悉解决分式方程问题的方法和步骤，提高 了解题能力和应用能力。同时，通过拓展应用和提供相关的应用题目，培 养学生将所学知识应用于实际问题解决的能力。
中考数学一轮复习教学设计九分式方程及应用
中考数学一轮复习教学设计九分式方程及应用 一、教学目标： 1.知识目标：学习如何解九分式方程并应用于实际问题中。 2.能力目标：培养学生解九分式方程的能力，培养学生应用九分式方 程解决实际问题的能力。 3.情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生关注细节和逻辑思 维的能力。 二、教学内容： 三、教学过程： Step 1: 引入新知识 (10分钟) 1.教师出示九分式方程的定义，引导学生了解九分式方程的基本概念。 2.教师列出一个简单的九分式方程的例子，引导学生观察并思考。 Step 2: 探究九分式方程的解法 (25分钟) 1.教师带领学生观察九分式方程的特点，引导学生发现解九分式方程 的一般步骤。 2.教师解释九分式方程的解法，并通过例题的方式进行讲解。 Step 3: 独立练习 (20分钟) 1.学生进行小组活动，完成练习册上的九分式方程的解法题。 2.学生之间互相讨论和交流，发现解题方法中的规律和技巧。
Step 4: 实际问题应用 (25分钟) 1.教师通过一个实际问题引入九分式方程在实际应用中的作用。 2.学生个别或小组完成相关的应用题，并展示解题思路和步骤。 3.教师进行点评和总结，引导学生归纳九分式方程在实际问题中的应 用方法。 Step 5: 拓展练习 (15分钟) 1.学生进行书面练习，巩固九分式方程的解法和应用能力。 2.教师进行解答和讲解，指导学生正确的解题方法。 3.学生相互交流和讨论，发现解题中的错误和改进方法。 四、教学总结(5分钟) 1.教师对本节课的内容进行总结，并强调九分式方程的重要性和应用。 2.学生提问和教师解答，澄清学生的疑惑。 3.学生对本节课的学习进行反思和总结。 五、教学反思： 本节课通过引入新知识、探究解题方法、实际问题应用和拓展练习的 方式，以学生为中心，培养了学生解九分式方程的能力和应用能力。同时，通过实际问题的引入和应用，激发了学生学习数学的兴趣。然而，本节课 时间较为紧张，可能不够充分，需要教师适当调整课程安排，保证学生足 够的时间进行实际问题的应用和拓展练习。此外，教师应根据学生的实际 情况，灵活使用教学方法，提供个别辅导和指导，确保每个学生都能够掌 握九分式方程的解法和应用。
初中数学_分式方程一轮复习课教学设计学情分析教材分析课后反思
《分式方程一轮复习课》教学设计 教学目标： 1.能通过去分母将分式方程转化为整式方程，并正确求解； 2.准确理解分式方程增根产生的原因，会根据方程的根或增根求 参数的值或范围； 3.能用分式方程解决实际问题，体会模型思想。 教学过程： 一、知识回顾 1.由著名数学家华罗庚先生的名言“宇宙之大，粒子之微，火 箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处 不用数学。”引入课题。突出复习内容在日常生活中的广泛 应用。 2.知识准备： （1）分式方程的概念：分母中含有未知数的方程； （2）分式方程的解法： 通过一个例子让学生在书写解题步骤的过程中回顾解法并思考应该注意的问题 一名同学展示自己的解答步骤，并讲解 3.教师补充： （1）解分式方程的过程体现了转化的数学思想，即通过去分母把分式方程转化为整式方程； （2）解分式方程要注意的问题：
不要漏乘常数项 分数线有括号的作用，括号前是负号，各项要变号 解分式方程必须验根 4. 小练习 （1） （2） 二、题型讨论 （一）根据分式方程的根或增根求参数的值或范围 1.已知x=3是分式方程 的解，则实数k 的值_____. 2.关于x 的方程 有增根，则实数m 的值是_____. 3.关于x 的分式方程 的解为正实数，则实数m 的取值范围是____________. 这部分题目是个难点，先让学生独立思考，再小组讨论 教师选择中等学生讲解思路和做法 （二）分式方程的应用 1.甲乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，设甲每小时做x 个，下列方程正确的是（ ） 2.某工程队要修建一条1200m 的道路，由于采用新的施工方式，实际每天的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务，设原计划每天修建xm ，则可列方程（ ） x x x --=+-2122114221--=--x x x x 2121=---x k x kx 1222=---x x x m 3222=-+-+x m x m x x x D x x C x x B x x A 60690.60690.66090.66090.=+=-+=-=
专题04分式(学案)-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案(全国通用)
中考数学一轮复习学案 04 分式 考点课标要求考查角度 1 分式 的 概念 ①了解分式的概念，明确分式与整式的区别，会确 定使分式有意义的字母的取值范围； ②会求分式值为零时x的值． 考查分式的意义和分式值为 零的情况． 常以选择、填空题为主． 2 分式 的 运算 ①掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通 分；②能熟练地进行分式的加、减、乘、除运算及 混合运算，并能解决相关的化简求值问题． 考查分式的基本性质和分式 的运算． 常以选择、填空题、解答题的 形式命题． 中考命题说明 思维导图
1．分式：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式．分式 A B 中， A叫做分子，B叫做分母． 三个条件缺一不可：①是形如A B 的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母． 特别说明： 1 1 a a - + 也可以表示为(a-1)÷(a+1)，但(a-1)÷(a+1)不是分式，因为它不符合 A B 的 形式． 判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符 合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，4a a 就是分式． 2．有意义的条件： 分母B的值不为零(B≠0). 3. 分式的值为零的条件： 当分子为零，且分母不为零时，分式的值为零．(A=0且B≠0) 【例1】（2022•怀化）代数式2 5 x， 1 π ， 2 2 4 x+ ，2 2 3 x-， 1 x ， 1 2 x x + + 中，属于分式的有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 【考点】分式的定义 【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式 A B 叫做分式判断即可． 【解答】解：分式有： 22 4 x+， 1 x ， 1 2 x x + + ， 整式有：2 5 x， 1 π ，2 2 3 x-， 分式有3个，故选：B．知识点1：分式的相关概念 知识点梳理 典型例题
2020年中考数学一轮复习-方程与不等式专题-分式方程专项训练之分式方程的无解问题 含解析
方程与不等式专题-分式方程专项训练之分式方程的无解问题 一．选择题（共10小题） 1．如果关于x 的方程1033 m x x x --=--无解，则m 的值是( ) A ．2 B ．0 C ．1 D ．2- 2．如果关于x 的方程1 x a x +=无解，则a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．1- D ．2 3．如果分式方程244x a x x =+ --无解，则a 的值为( ) A ．4- B ． 1 2 C ．2 D ．2- 4．若分式方程1244 x a x x +=+ --无解，则a 的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．0 5．若关于x 的分式方程144 x a x x += --无解，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．如果关于x 的分式方程2122m x x x -=--无解，那么m 的值为( ) A ．4 B ．4- C ．2 D ．2- 7．若关于x 的分式方程1 2224 x a a x x ++= --无解，则a 的值为( ) A ．32 - B ．2 C ．3 2-或2 D ．3 2 -或2- 8．若关于x 的分式方程533x m x x -= --无解，则m 的值为( ) A ．2 B ．2- C ．3 D ．3- 9．已知a 是实数，若分式方程312 x a x +=+无解，则a 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．0 D ．3- 10．已知关于x 的分式方程329133x mx x x --+=---无解，则m 的值为( ) A ．1m = B ．4m = C ．3m = D ．1m =或4m = 二．填空题（共5小题） 11．若关于x 的方程 2 361mx m x x x x ++=--无解，则m = ．
专题训练5：分式-2021年中考数学一轮复习知识点课标要求
2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练5：分式（含答案） 一、知识要点： 1、分式的定义 一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 A B 叫做分式。 注：A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。 2、分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 C B C A B A ⋅⋅=；A A C B B C ÷=÷。 3、分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 4、分式的乘除 ①乘法法则： d b c a d c b a ⋅⋅=⋅。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：c b d a c d b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 。分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ④整数负指数幂：1n n a a -=。 5、分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减： a b a b c c c ±±=； ②异分母分式的加法：a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±=。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 二、课标要求： 1、了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分； 2、能进行简单的分式加、减、乘、除运算； 三、常见考点： 1、分式的概念、意义，如求分式中字母的取值范围、分式为0的条件及相应的综合运用。 2、运用分式的基本性质进行约分、通分。 3、运用分式的加、减、乘、除法则进行分式的化简、代入求值。 4、考查学生对负整数指数幂的理解。 四、专题训练： 1．若实数a，b满足ab＝1，设M＝，N＝，则M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定 2．已知：a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝1÷（1﹣a1），a3＝1÷（1﹣a2），…，a n＝1÷（1﹣a n﹣1），则a2020等于（）A．x B．x+1 C．D． 3．同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（） A．x≠﹣4，且x≠﹣2 B．x＝﹣4，或x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝2 4．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（） A．乙＞甲＞丙B．乙＞丙＞甲C．甲＞乙＞丙D．甲＞丙＞乙 5．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x＝（x ＞0），解得x＝1，这时矩形的周长2（x+）＝4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（） A．2 B．1 C．6 D．10
中考数学一轮复习分式精讲精练
第3讲 分式 考点一、分式有意义、无意义、值为零的条件 【例1有意义的x 的取值范围是 ． 方法总结 分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零． 举一反三 要使分式有意义，则x 的取值范围为 ． 考点二、分式的基本性质 【例2】若分式 的x 和y 均扩大为原来各自的10倍，则分式的值（ ） A ．不变 B ．缩小到原分式值的 C ．缩小到原分式值的 D ．缩小到原分式值的 方法总结 运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质：A B ＝A ·m B ·m ，A B ＝A ÷m B ÷m (其中m ≠ 0)和分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变． 举一反三 已知﹣=3，则分式的值为 ． 考点三、分式的约分与通分 【例3】设 =2，则 =（ ） A ． B ．﹣ C ． D ．﹣ 方法总结 1．分式约分的步骤：(1)找出分式的分子与分母的公因式，当分子、分母是多项式时，要先把分式的分子与分母分解因式；(2)约去分子与分母的公因式． 2．通分的关键是确定最简公分母． 求最简公分母的方法是：(1)将各个分母分解因式；(2)找各分母系数的最小公倍数；(3)找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足(2)(3)的因式之积即为各分式的最简公分母． 举一反三 先化简，再求值：（ +2﹣x ）÷ ，其中x 满足x 2 ﹣4x+3=0．
考点四、分式的运算 【例4】计算：． 方法总结在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．分式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，其乘除运算归根到底是乘法运算，实质是约分，分式加减实质是通分，结果要化简．关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入． 举一反三先化简，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值． 考点五、分式方程及其增根 【例5】1．解分式方程：=﹣．
中考数学第一轮复习——第三讲：《分式》专训(含解析)
中考数学第一轮复习——第三讲：《分式》专训 一、选择题 1、下列各式： ，其中分式的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、若ab ＝﹣4，其中a ＞b ，以下分式中一定比a b 大的是（ ） A ． B ． C ．a 2 - D ． 3、中国首列商用磁浮列车平均速度为akm/h ，计划提速20km/h ，已知从A 地到B 地路程为360km ，那么提速后从甲地到乙地节约的时间表示为（ ） A ． B ． C ． D ． 4、若分式 2 2 -+a a 有意义，则a 满足的条件是（ ） A ．a ≠2或﹣2 B ．a ≠2 C ．a ≠﹣2 D ．a ＝2 5、下列各式不正确的是（ ） A ．2222)2(2b a b a a b a -=- B ．x y x x xy x 26332 2+=+ C ．b a a ab 21= D ．y x xy x 23= 6、如果把分式y x xy 322-中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．扩大3倍 B ．不变 C ．缩小到原来的3 1 D ．扩大9倍 7、已知a 2 +b 2 ＝6ab ，且ab ≠0，则ab b a 2 )(+的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 8、若9)1(2=+x x ，则 2 )1(x x -的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 9、一列火车长m 米，以每秒v 米的速度通过一个长为n 米的隧道，用式子表示它刚好从开始进隧道口到全部通过隧道所需的时间为（ ）秒． A ．v n B ．v n m + C ．v n m +2 D ．v m n - 10、已知实数x ，y ，z 满足67 111=+++++x z z y y x ，且 11=+++++x z y z y x y x z ，则 x+y+z 的值为（ ） A ．12 B ．14 C ． 7 72 D ．9 11、若分式1 2--x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A ．±1 B ．0或1 C ．0 D ．﹣1 学校： 考号： 姓名： 班级： ※※※※※※※※※※※密※※※※※※※※※※※※※※※※※封※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 线※※※※※※※※※※※※※