九年级数学中考专题复习教学案——分式方程及其应用全国通用
分式方程及其应用
◆ 课前热身
1．方程121x x
=-的解是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．请你给x 选择一个合适的值，使方程
2112x x =--成立，你选择的x =____________． 3.解方程2223321x x x x
--=-时，若设21x y x =-，则方程可化为 ． 4.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为 （ ）
A ．18%)201(400160=++x x
B ．18%)201(160400160=+-+x
x Ｃ．
18%20160400160=-+x x Ｄ．18%)201(160400400=+-+x x 【参考答案】
1. C
2.3
3.2 y －
y
3=2 4.Ｂ ◆考点聚焦
知识点:
分式方程及其应用
大纲要求:
1．了解分式方程的概念。
2. 会解分式方程，掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程。
3. 能根据具体问题的实际意义，列分式方程解决实际问题。
考查重点与常见题型:
考查换元法解分式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中，另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在解答题中。
◆备考兵法
（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.
（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.
（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.
◆考点链接
1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.
4．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . ◆典例精析
例1（2009年湖北孝感）关于x 的方程
211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1
B ．a ＞－1且a ≠0
C ．a ＜－1
D ．a ＜－1且a ≠－2
【分析】把分式方程化为整式方程，得21x a x +=-，解得1x a =--，因关于x 的方程211x a
x +=-的解是正数，所以0x >，即10a -->，∴1a <-，但2a =-时， 22211
x x -=≠-，所以2a ≠-. 【答案】D
例2(2009年陕西省)解方程：4
31222-=-+-x x x ． 【分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──
去分母法，并且在解此方程时必须验根．
解：去分母得：(x －2)2－(x 2－4)=3．
－4x ＝－5． x ＝4
5． 经检验，x ＝
45是原方程的解． 【点评】去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法．
例3（2009年广西桂林）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
解：（1）设乙队单独完成需x 天
根据题意，得11120()2416060
x ⨯++⨯= 解这个方程，得x =90
经检验，x =90是原方程的解
∴乙队单独完成需90天
（2）设甲、乙合作完成需y 天，则有11(
)16090
y += 解得36y =（天）
甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）
乙单独完成超过计划天数不符题意．
甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元）
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
【点评】分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求x•的值是否是方程的解，再检验是否符合题意．
◆迎考精炼
一、选择题
1.（2009年湖北襄樊）分式方程131
x x x x +=--的解为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．－3 2.(2009年上海)用换元法解分式方程
13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）
A ．230y y +-=
B ．2310y y -+=
C ．2310y y -+=
D ．2310y y --= 3.(2009年浙江嘉兴）解方程
x x -=-22482的结果是（ ） A ．2-=x B ．2=x C ．4=x D ．无解
4.（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）
A ．8 B.7 C ．6 D ．5
5.（2009年广西柳州）分式方程3
221+=x x 的解是（ ） A ．0=x B ．1=x C ．2=x D ．3=x
二、填空题
1.（2009年四川宜宾）方程
x
x 527=+的解是 . 2.（2009年浙江杭州）已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为______． 3.（2009年浙江台州）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x 下，则可列关于x 的方程为 ．
4.（2009年山西太原）方程
2512x x
=-的解是 ． 5．（2009年黑龙江牡丹江）若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a = ． 三、解答题
1.（2009年广东清远）解分式方程：132x x
=-
2.（2009年北京）解分式方程：
6122x x x +=-+
3．（2009年广东省）解方程
22111
x x =---．
4.（2009年湖北十堰）某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？
5．（2009年山东青岛市）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？
（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=
⨯利润成本
）
【参考答案】
一、选择题
1. D 分析：方程两边同乘()()31x x --，得()()()113x x x x -=+-，解得3x =-，经检验3x =-是原分式方程的解，故选D 。
2. A
3.D
4.B
5.B
二、填空题
1.5
2.46-≠->m m 或
3.x
x 9020120=+ 4.5x = 解析：本题考查分式方程的解法，方程两边同乘()21x x -，得455x x =-，解得5x =
5.1或－2
三、解答题
1.解：去分母，得36x x =-
解得：3x =
检验：把3x =代入原方程得：左边=右边
所以3x =是原方程的解
2.解：去分母，得(2)6(2)(2)(2)x x x x x ++-=-+ 解得1x =
经检验1x =是原方程的解
所以原方程的解是1x =.
3.方程两边同时乘以()()11x x +-，
2=()1x -+，
3x =-，
经检验：3x =-是方程的解．
4.解：设该厂原来每天加工x 个零件， 由题意得：72500100=+x
x 解得 x =50
经检验：x =50是原分式方程的解
答：该厂原来每天加工50个零件。
5.解：（1）设商场第一次购进x 套运动服，由题意得： 6800032000102x x
-=， 解这个方程，得200x =．
经检验，200x =是所列方程的根．
22200200600x x +=⨯+=．
所以商场两次共购进这种运动服600套．
（2）设每套运动服的售价为y 元，由题意得： 600320006800020%3200068000
y --+≥， 解这个不等式，得200y ≥，
所以每套运动服的售价至少是200元．
初三数学专题复习教案第7讲：分式方程及应用.
第7讲 分式方程及其应用 一、教学目标： 1.掌握解分式方程的方法步骤，并能熟练运用各种技巧解方程,会检验分式方程的根 2.能解决一些与分式方程有关的实际问题 3.培养学生的计算能力和分析问题、解决问题的能力 二、教学重难点： 重点：分式方程的解法、列分式方程解应用题。 难点：分式方程的实际应用问题 三、教学用具：多媒体 四、学情分析：学生的基础概念记忆模糊或理解不深，将实际问题转化为数学问题依然存在问题，教师在授课时要分析学生的认知特点和知识障碍，使复习教学成为学生再认识、再巩固、再提高的过程 五、教学方法：启发引导法、归纳分析 六、教学资源：课本、PPT 七、教学过程： 考点1 解分式方程 1.分式方程的有关概念 （1）分式方程:分母里含有未知数的方程叫做分式方程. （2）增根:在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,使方程中的分母为零,因此解分式方程要验根,其方法是把根代入最简公分母中看其是不是为零. 2.解分式方程的一般步骤 （1）基本思想:把分式方程转化为整式方程, 即分式方程 整式方程. （2）直接去分母法: 方程两边同乘最简公分母,约去分母,化为整式方程,再求根验根. （3）将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则这个解不是原分式方程的解. 考点2 分式方程的实际应用 用分式方程解决实际问题的一般步骤：审 设 列 解 检验 答 注意：列分式方程解应用题的步骤与列其他方程解应用题的不同之处:要检验两次,既要检验求出来的解是否为原分式方程的解,又要检验是否符合题意. 常见类型及等量关系： 类型一、行程问题 类型二、工程问题 类型三、销售问题 例1.若关于x 的分式方程131 7-=+-x mx x 无解,则实数m= 例2.若分式方程2＋1－kx x －2＝12－x 有增根，则k ＝ 例3.解方程：（1）3221+=x x （2）423532=-+-x x x （3）13321++=+x x x x 例3.若关于x 的分式方程 2122=--x a x 的解为非负数,则a 的取值范围是 ( ) A.a ≥1 B.a>1 C.a ≥1且a ≠4 D.a>1且a ≠4
广东中考数学一轮复习-分式、分式方程及应用-教案
知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例 1.分式的 概念（1）分式：形如 B A (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0) 的式子. （2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式. 在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1） 判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字 母. 例：下列分式：①;②; ③;④ 2 22 1 x x + - ，其中 是分式是②③④；最简分式③. 2.分式的 意义(1)无意义的条件：当B＝0时，分式 B A 无意义； (2)有意义的条件：当B≠0时，分式 B A 有意义； (3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式 B A ＝0. 失分点警示：在解决分式的值为0，求值 的问题时，一定要注意所求得的值满足分 母不为0. 例：当 21 1 x x - - 的值为0时，则x＝-1. 3.基本性 质 ( 1 ) 基本性质： A A C B B C ⋅ = ⋅ A C B C ÷ = ÷ (C≠0)． （2）由基本性质可推理出变号法则为： ()A A A B B B -- - == - ； A A A B B B - -== - . 由分式的基本性质可将分式进行化简： 例：化简： 2 2 1 21 x x x - ++ = 1 1 x x - + . 知识点三：分式的运算 4.分式的 约分和 通分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去， 即 b a bm am =； (2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分 式化为同分母的分式，即 bc bd bc ac d c b a , ,⇒ 分式通分的关键步骤是找出分式的最 简公分母，然后根据分式的性质通分. 例：分式 2 1 x x + 和 () 1 1 x x- 的最简公分母 为() 21 x x-. 5.分式的 加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即 a c± b c＝ a±b c； (2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即 a b± c d＝ ad±bc bd. 例： 1 11 x x x + -- ＝－1. 2 112 . 111 a a a a += +-- 6.分式的 乘除法(1)乘法： a b· c d＝ ac bd；(2)除法： a c b d ÷＝ ad bc ； (3)乘方：n a b ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ ＝ n n a b (n为正整数). 例： 2 a b b a ⋅＝ 1 2 ； 21 x xy ÷＝2y； 3 3 2x ⎛⎫ - ⎪ ⎝⎭ ＝ 3 27 8x - . 7.分式的混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先 分解后约分. (2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方， 再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的． 失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化 简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入 数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到 整体代入. 知识讲解
陕西省中考数学总复习 分式方程及应用学案(无答案)
分式方程及应用 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程； 3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化 后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根 的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。验 根的方法是将所求的根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。 4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未 知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另 外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性． 5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。 6. 分式方程的解法有 和 。 （二）：【课前练习】 1. 把分式方程11122x x x --=--的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ） A ．1-(1-x)=1 B ．1+(1-x)=1 C ．1-(1-x)=x-2 D ．1+(1-x)=x-2 2. 方程 2321 x x -=+的根是（ ） A.－2 B.12 C.－2，12 D.－2，1 3. 当m =_____时，方程212mx m x +=-的根为12 4. 如果25452310 A B x x x x x -+=-+--，则 A=____ B ＝________. 5. 若方程 1322a x x x -=---有增根，则增根为_____，a=________. 二：【经典考题剖析】 1. 解下列分式方程：25211111 332552323 x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）； 2222213(1)1142312211x x x x x x x x x x x x -++????+=+=+-+= ? ?--++? ???（4）；（5）；（6） 分析：（1）用去分母法；（2）（3）（4）题用化整法；（5）（6）题用换元法；分别 设211x y x +=+，1y x x =+，解后勿忘检验。
中考数学复习《分式方程及其应用》经典题型(含答案)
注意： 1）增根：使分式方程中的分母为0的根即为增根. 2）在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验是否符合题意。 3）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母 中考数学复习《分式方程及其应用》经典题型（含答案） 知识点一：分式方程及其解法 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 变式练习：在下列方程中，①3210x +=；②24x y +=-；③4 11x x =-，其中是分式方程的是③. 2.解分式方程 基本思路：分式方程 整式方程 变式练习：将方程12211x x +=--转化为整式方程可得：1－2＝2(x －1). 解法步骤： (1)去分母，将分式方程化为整式方程； 分两步，第一步将各个分母因式分解，第二步方程两边都乘以最简公分母（最简公分母是指各个分母系数的最小公倍数与所有字母最高次幂的积），得整式方程。 (2)解所得的整式方程； 移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，系数化为1）求出未知数的值; (3) 检验： 求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。如果分式本身约分了，也要带进去检验。 方程两边同乘以 最简公分母 约去分母 注意：若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号
变式练习1：分式方程3x ＋1＝2x 的解是________． 【解析】方程两边同乘x (x ＋1)，得3x ＝2(x ＋1)， 去括号得，3x ＝2x ＋2， 移项得，3x －2x ＝2， 合并同类项得，x ＝2， 经检验， x ＝2是原分式方程的解． 变式练习2：若分式方程101 x =-有增根，则增根为1. 变式练习3：2＋x 2－x ＋16x 2－4 ＝－1. 【解析】去分母得：－(x ＋2)2＋16＝4－x 2， 去括号得：－x 2－4x －4＋16＝4－x 2， 解得：x ＝2， 经检验x ＝2是增根， 分式方程无解 变式练习3：小明解方程1x －x －2x ＝1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程． 解：方程两边同乘x 得1－(x －2)＝1 ……① 去括号得1－x －2＝1 ……② 合并同类项得－x －1＝1 ……③ 移项得－x ＝2 ……④ 解得x ＝－2 ……⑤ ∴原方程的解为：x ＝－2 ……⑥ 【解析】：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；正确解法为：方程两边同乘以x ，得：1－(x －2)＝x ，去括号得：1－x ＋2＝x ，移项得：－x －x ＝－1－2，合并同类项得：－2x ＝－3，解得：x ＝32，经检验x ＝32是分式方程的解，则方程的解为x ＝32 知识点二 ：分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验： (6)作答． 在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.
九年级数学中考专题复习教学案——分式方程及其应用全国通用
分式方程及其应用 ◆ 课前热身 1．方程121x x =-的解是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．请你给x 选择一个合适的值，使方程 2112x x =--成立，你选择的x =____________． 3.解方程2223321x x x x --=-时，若设21x y x =-，则方程可化为 ． 4.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为 （ ） A ．18%)201(400160=++x x B ．18%)201(160400160=+-+x x Ｃ． 18%20160400160=-+x x Ｄ．18%)201(160400400=+-+x x 【参考答案】 1. C 2.3 3.2 y － y 3=2 4.Ｂ ◆考点聚焦 知识点: 分式方程及其应用 大纲要求: 1．了解分式方程的概念。 2. 会解分式方程，掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程。 3. 能根据具体问题的实际意义，列分式方程解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查换元法解分式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中，另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在解答题中。 ◆备考兵法 （1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.
（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根. （3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值. ◆考点链接 1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. 3. 用换元法解分式方程的一般步骤： ① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答. 4．分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . ◆典例精析 例1（2009年湖北孝感）关于x 的方程 211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a ≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a ≠－2 【分析】把分式方程化为整式方程，得21x a x +=-，解得1x a =--，因关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，所以0x >，即10a -->，∴1a <-，但2a =-时， 22211 x x -=≠-，所以2a ≠-. 【答案】D 例2(2009年陕西省)解方程：4 31222-=-+-x x x ． 【分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──
中考数学复习教案-分式方程及其应用
第7课时 分式方程及其应用 【复习目标】 1．会解可化为一元一次方程的分式方程，并能注意验根． 2．能根据具体问题中的数量关系列出分式方程，能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理， 【知识梳理】 1．分式方程的概念：分母中含有________的方程叫做分式方程． 2．解分式方程的步骤： (1)两边都乘以各分式的最简公分母，把分式方程转化为_______方程． (2)解这个整式方程． (3)把整式方程的解代入最简公分母或原分式方程各分母中进行检验． 3．－般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验：将整式方程的解代入_______，如果_______，那么整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根． 4．列分式方程解实际问题与列一次方程（组）解实际问题一样，步骤如下：审题，设未知数．列方程，解方程，验根，作答． 【考点例析】 考点一 分式方程根的意义 例1（2011．襄阳）已知关于x 的分式方程3111m x x +=--的解是正数，则m 的取值范围是_______． 提示 首先将分式方程化为整式方程，用含m 的代数式表示出x ，再根据解是正数．求得m 的范围，但要注意，分式方程可能有增根x ＝1，而此时方程无解．因此，要排除x ＝1时m 的值． 例2（2012．巴中）若关于x 的方程 2222x m x x ++=--有增根，则m 的值是_______． 提示 根据分式方程增根的定义可知，当x ＝2时，x －2＝0，因此x ＝2是原分式方程的增根． 考点二 解分式方程 例3 解分式方程： (1) (2012．盐城)321 x x =+； (2) (2012．苏州)231422x x x x +=++． 提示 (1)中分式方程的最简公分母为x(x ＋1)；(2)中分式方程的最简公分母为x(x ＋ 2)．将这两个方程分别去分母化为整式方程，最后要检验整式方程的解是不是原分式方程
中考九年级数学复习《1.3分式方程及应用》教案
章节第二章课题 课型复习课教法讲练结合 教学目标（知识、水平、教育）1.使学生进一步掌握解分式方程的基本思想、方法、步骤，并能熟练使用各种技巧解方程,会检验分式方程的根。 2.能解决一些与分式方程相关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的水平和应用意识． 教学重点解分式方程的基本思想和方法。 教学难点解决分式方程相关的实际问题。 教学媒体学案 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法：解分式方程的关键是（即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程； 3．分式方程的增根问题：⑴增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化 后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根 的增根；⑵验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。验 根的方法是将所求的根代人或，若 的值为零或的值为零，则该根就是增根。 4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未 知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而准确列出方程，并实行求解．另 外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。 6. 分式方程的解法有和。（二）：【课前练习】
中考数学一轮复习教学设计九分式方程及应用
中考数学一轮复习教学设计九分式方程及应用 一、教学目标： 1.知识目标：学习如何解九分式方程并应用于实际问题中。 2.能力目标：培养学生解九分式方程的能力，培养学生应用九分式方 程解决实际问题的能力。 3.情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生关注细节和逻辑思 维的能力。 二、教学内容： 三、教学过程： Step 1: 引入新知识 (10分钟) 1.教师出示九分式方程的定义，引导学生了解九分式方程的基本概念。 2.教师列出一个简单的九分式方程的例子，引导学生观察并思考。 Step 2: 探究九分式方程的解法 (25分钟) 1.教师带领学生观察九分式方程的特点，引导学生发现解九分式方程 的一般步骤。 2.教师解释九分式方程的解法，并通过例题的方式进行讲解。 Step 3: 独立练习 (20分钟) 1.学生进行小组活动，完成练习册上的九分式方程的解法题。 2.学生之间互相讨论和交流，发现解题方法中的规律和技巧。
Step 4: 实际问题应用 (25分钟) 1.教师通过一个实际问题引入九分式方程在实际应用中的作用。 2.学生个别或小组完成相关的应用题，并展示解题思路和步骤。 3.教师进行点评和总结，引导学生归纳九分式方程在实际问题中的应 用方法。 Step 5: 拓展练习 (15分钟) 1.学生进行书面练习，巩固九分式方程的解法和应用能力。 2.教师进行解答和讲解，指导学生正确的解题方法。 3.学生相互交流和讨论，发现解题中的错误和改进方法。 四、教学总结(5分钟) 1.教师对本节课的内容进行总结，并强调九分式方程的重要性和应用。 2.学生提问和教师解答，澄清学生的疑惑。 3.学生对本节课的学习进行反思和总结。 五、教学反思： 本节课通过引入新知识、探究解题方法、实际问题应用和拓展练习的 方式，以学生为中心，培养了学生解九分式方程的能力和应用能力。同时，通过实际问题的引入和应用，激发了学生学习数学的兴趣。然而，本节课 时间较为紧张，可能不够充分，需要教师适当调整课程安排，保证学生足 够的时间进行实际问题的应用和拓展练习。此外，教师应根据学生的实际 情况，灵活使用教学方法，提供个别辅导和指导，确保每个学生都能够掌 握九分式方程的解法和应用。
中考数学总复习教案课时11分式方程及其应用
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析： （1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项. （2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0 的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根. （3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方 程，求出参数的值. 【典例精析】 例1 （08沈阳）解分式方程：．22123=-+--x x x 例2 (08东莞)在20__年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地 供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度. 例3 某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承 揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元．22123=-+--x x x （1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套． （2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10 元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择： ① 由甲单独修理；② 由乙单独修理；③ 由甲、乙共同合作修理． 你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明． 【中考演练】 1．（07江西）方程的解是 ． 22123=-+--x x x 2．(08福建)若关于方程无解，则的值 是 ．22123=-+--x x x 22123=-+--x x x 22123=-+--x x x
九年级中考数学专题复习分式方程及应用含答案
2021中考数学专题复习分式方程及其应用〔含答 案〕 一、选择题〔本大题共5道小题〕 小明用15元买售价同样的软面笔录本，小丽用24元买售价同样的硬面笔录本 (两人的钱恰巧用完)，每本硬面笔录本比软面笔录本贵3元，且小明和小丽 买到同样数目的笔录本.设软面笔录本每本售价为x元，依据题意可列出的方程 为( ) A. = B. = C. = D. = 2.分式方程=1的解是( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 3.解分式方程+ =3时，去分母化为一元一次方程，正确的选项是( ) A.x+2=3 B.x-2=3 C.x-2=3(2x-1) D.x+2=3(2x-1) 甲、乙二人做某种机械部件，每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个部件，以下方程正确的选项是 () A. = B. = C. = D. = 5.对于x的分式方程=1的解是负数，那么m的取值范围是( ) ≤3≤3且m≠2 C.m<3 D.m<3且m≠2 二、填空题〔本大题共5道小题〕 方程1＝2的解是________．2xx－3 7.方程+ =1的解是. 8.一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺水航行120km
所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间同样，那么江水的流速为 km/h. 9.假定对于x的分式方程+ =2m有增根，那么m的值为. 10.假定对于x的分式方程+ =2a无解，那么a的值为. 三、解答题〔本大题共5道小题〕 解方程:=1. 解分式方程:(1)=; (2)-1=. (1)解方程:x2-2x-1=0. (2)解方程组: (3)解分式方程:-1=. (4)解不等式组:并把解集在数轴上表示出来. 14.如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程. 依据以上信息，解答以下问题. (1)冰冰同学所列方程中的x表示，庆庆同学所列方程中的y表 示; (2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系;
九年级数学 分式方程复习教案
初三复习教案 课 题：分式方程 教学目标：使学生掌握解分式方程的基本思想、方法、步骤，并能熟练运用各种技巧解方程。 教学重点：分式方程的解法。 教案设计:沈兵 教学过程： 一.知识要点 分式方程的概念，解分式方程的基本思想、方法、步骤是什么？解分式方程为什么要验根？ 二.例题分析： 例1.已知x 是实数，且2)3(3322=+-+x x x x ，那么x 2+3x 的值为（ ） A.1 B. –3或1 C. 3 D.-1或3 注：此题由解分式方程衍生而来，大大增加了错误的机会，解题时，若忽视“实数”这个条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃。 例2.解分式方程： 12221442=-+++-x x x x 例3.解分式方程：x x x x x x 21 24 42 222-=+-+- 例4.解分式方程：05)1(29)1(2=++-+x x x x 练习：解下列方程： （1）1)1(3)1(222=+-+ x x x x （2）112) 1(31)2(82222=+-+-+x x x x x x 例5.若关于x 的分式方程4 62222--=-++x x x m x 有增根，求m 的值。 练习：a 为何值时，关于x 的分式方程2 2212+=+-x x x a x 有增根？ 例6.当k 的值是 （填出一个值即可）时，方程 x x x k x x --=-221 只有一个实数根。 三.小 结： 解分式方程的基本思想：分式方程−− −−→−去分母或换元 整式方程 解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验。 作业: 一．填空 1.一件工作甲单独做要m 小时完成，乙单独做要n 小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；
2021年中考数学复习 .5分式方程教案
2021年中考数学复习 2.5分式方程教案 教学目标 1) 熟练掌握分式方程的解法,理解体会”转化”和”换元”的思想. 2).理解分式方程增根产生的原因,掌握验根的方法. 3)会利用分式方程有增根的条件,确定方程中特定字母的值 教学重点与难点 重点：熟练掌握分式方程的解法,理解体会”转化”和”换元”的思想. 难点：会利用分式方程有增根的条件,确定方程中特定字母的值 教学过程 一．考点知识整合： 考点1 分式方程 分母中含有_________的方程，叫做分式方程。 考点2 解分式方程的基本思路 通过________或________把分式方程转化成整式方程求解 考点3 解分式方程的一般方法和步骤: (1)去分母：即在方程两边都乘以最简公分母,把原方程化成整式方程; (2)解这个整式方程 (3)验根: 把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根。 使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去. 考点4 分式方程的增根 去分母是分式方程的一般解法，方程左右两边同时__________________ ，约去分母，转化成整式方程，但这种变形可能是在方程左右两边同乘以0，不满足方程的同解原理，故分式方程可能产生_________ ，心须_________ 。 增根的特点：（1）使分式方程最简公分母为0； （2）是去分母后得到的______________的根，但不是______________的根 例题精讲： 例1： 解：去分母得： 跟进训练1： 解方程： 双基自测: x x x x 1211).2010(+=++：解方程眉山)1)(12()1(2++=++x x x x x 21-=x 解这个整式方程得是原方程的解。经检验：2 1-=x ) (的解为方程潼南1123).2010.(1+=+x x
九年级中考数学专题复习：分式方程的实际应用训练(含答案)
中考数学专题复习：分式方程的实际应用训练 一、单选题 1．在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，他们除了颜色不同外，其余均 相同，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为2 3 ，则黄球的个数为（） A．3个B．4个C．5个D．6个 2．甲乙两地之间的高速公路全长200千米，比原来国道的长度减少20千米，高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了45千米/小时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半，设该长途汽车在国道上行驶的速度是x千米/小时，依题意得方程是（） A．2001801 · 452 x x = - B． 2002201 · 452 x x = - C． 2001801 · 452 x x = + D． 2002201 · 452 x x = + 3．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑自行车速度的2倍，现在小军乘班车上学可以从家晚出发10分钟，结果与原来到校的时间相同，那么校车的速度是（） A．12千米/小时B．30千米/小时C．18千米/小时D．36千米/小时4．在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳x下，下列方程正确的是（） A．10010020 30 - = - x x B． 10010020 30 + = + x x C． 10010020 30 + = - x x D． 10010020 30 - = + x x 5．某工程队在中山路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响， 施工时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程30003000 10 20 x x =+ - ，根据已有 信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（） A．每天比原计划少铺设20米，结果延迟10天完成 B．每天比原计划多铺设20米，结果延迟10天完成 C．每天比原计划多铺设20米，结果提前10天完成 D．每天比原计划少铺设20米，结果提前10天完成 6．福建三明市套宁县发生山体滑坡后，周边市县为了应对，决定对4800米长的河提进行加固，在加固工程中，该地驻军出色地完成了任务，它们在加固600米后，采用了新的加固模式，每天加固的长度是原来的2倍，结果只用9天就完成了加固任务．求该地驻军原来每天加固大坝的米数？设原来每天加固x米，则下列所列方程正确的是（） A．60024800 9 x x ⨯ +=B．60048006009 2 x x - +=
专题09分式方程及其应用(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学专题09 分式方程及其应用 （知识点总结+例题讲解） 一、分式方程及其解法： 1.分式方程： （1）定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程； （2）分式方程的重要特征： ①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程。 2.解分式方程的一般方法： （1）解分式方程的基本思想：将“分式方程”转化为“整式方程”； （2）解分式方程的一般方法和步骤：一化，二解，三检验 ①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；（或交叉相乘） ②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等； ③检验：将整式方程的解代入最简公分母； A.如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； B.若等于0，就是增根，这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。 3.增根：使分式方程的最简公分母为0的根； （1）产生增根的原因： 分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了；（2）分式方程的增根与无解的区别： ①分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解； ②分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根。 3.分式方程的特殊解法——换元法： （1）概念：就是引进新的变量，把一个较为复杂的数量关系转化成简单的数量关系；（2）适用条件：有相同的部分；
例如：解方程0615)1( 2=++++x x x x ；可设1 += x x t 【例题1】下列各式中为分式方程的是( ) A.1x x + B. C. D. 【答案】B 【解析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． A.1x x +不是方程，故本选项错误； B.方程 11 123x x = +-的分母中含未知数x ，所以它是分式方程．故本选项正确； C.方程2 53x +=分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误； D.方程1 0x π +=的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；故选B 。 【变式练习1】(2020•呼和浩特)分式22x x -与28 2x x -的最简公分母是 ， 方程 228 122x x x x -=--的解是 ． 【答案】最简公分母是x(x-2)；方程的解为：x=-4。 【解析】解：∵x 2 -2x=x(x-2)，∴分式22x x -与28 2x x -的最简公分母是x(x-2)； 分式方程 228 122x x x x -=--， 去分母得：2x 2-8= x(x-2)， 去括号得：2x 2-8= x 2-2x ， 移项合并得：x 2+2x-8=0，变形得：(x-2) (x+4)=0， 解得：x=2或x=-4， ∵当x=2时，x(x-2)=0，当x=-4时，x(x-2)≠0， ∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4。 【例题2】(2020•哈尔滨)方程2 x+5=1 x−2的解为( ) A ．x ＝﹣1 B ．x ＝5 C ．x ＝7 D ．x ＝9 【答案】D 【解析】方程的两边同乘(x+5)(x ﹣2)得：2(x ﹣2)＝x ﹣5， 11123x x =+-253x +=10x π +=
2021年九年级数学中考复习——方程专题：分式方程实际应用(一)
2021年九年级数学中考复习——方程专题：分式方程实际应用 （一） 1．列方程解应用题 今年1月下旬以来，新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌．企业复工复产急需口罩，某大型国有企业向生产口罩的A、B两厂订购口罩，向A厂支付了1.32万元，向B厂支付了2.4万元，且在B厂订购的口罩数量是A厂的2倍，B厂的口罩每只比A厂低0.2元．求A、B两厂生产的口罩单价分别是多少元？ 2．甲、乙两地之间的公路长170千米，一辆汽车从甲地来往乙地，头两个小时行驶了68千米，照这样计算，几小时可以到达乙地？（用比例解）
3．某医疗器械生产厂家接到A型口罩40万只和B型口罩45万只的订单，该工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A型口罩，乙车间生产B型口罩．已知乙车间每天生产的口罩数量比甲车间每天生产的口罩数量多80%，结果乙车间比甲车间提前3天完成订单任务．求甲车间每天生产A型口罩多少万只？ 4．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍． （1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：分式方程的应用(含答案)
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：分式方程的应用（附答案）1．一个化学实验小组人员分别做测量锌跟盐酸反应生成氢气的实验：5人分别称取锌块6.51克，6.52克，6.49克，6.50克，6.48克，生成的氢气用排水法收集，测得分别为：2.25升，2.26升，2.23升，2.24升，2.22升，则由此实验得出的氢气的密度为（）A．8.9×10﹣5克/厘米3B．8.9×10﹣4克/厘米3 C．8.9×10﹣3克/厘米3D．8.9×10﹣2克/厘米3 2．一轮船顺流航行100千米与逆流航行64千米所用的时间的和等于逆流航行80千米，再顺流航行返回所用的时间的和，则该船在静水中的速度与水流速度之比为（）A．9：1B．5：4C．4：1D．5：1 3．一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（） A．2：1B．3：1C．4：1D．5：1 4．小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度骑车慢50%．如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需2小时，问小王跑步从A城到B城需要（）分钟． A．45B．48C．56D．60 5．两块含铜百分比不同的合金重量之比为2：3，分别从两块合金上切下重量为3千克的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则原来两块合金的重量分别是（） A．4千克，6千克B．5千克，7.5千克C．6千克，9千克D．8千克，12千克 6．有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组2天的工作量与甲、丙共同工作1天的工作量相同．A 工程如由甲、乙组共同工作3天，再由乙、丙组共同工作7天，正好完成如果三组共同完成，需要整7天．B工程如由丙组单独完成正好需要10天，问：如由甲、乙组共同完成，需要多少天？（）
2019苏州市中考专题《分式方程及其应用》复习学案(含答案)
2019年中考数学专题练习8《分式方程及其应用》 【知识归纳】 1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. 3. 用换元法解分式方程的一般步骤： ①设，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解方程，求出辅助未知数的值；③把代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答. 4．分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 . 【基础检测】 1．（2019•邵阳）分式方程=的解是（） A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3 2．（2019•海南）解分式方程，正确的结果是（） A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解 3．（2019•山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物，设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为（） A．B． C．D． 4．（2019•青岛）A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 5．（2019•河北）在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5．依上述情形，所列关系式成立的是（）