八年级期末试卷培优测试卷

八年级期末试卷培优测试卷

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.

(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；

(2)如图2，若点A 的坐标为()

23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以

B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不

变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；

(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ?，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.

【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-3）EN=1

2

(EM-ON)，证明见详解. 【解析】 【分析】

（1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ?，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；

（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ?，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-3- （3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出

∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ?，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=1

2

(EM-ON). 【详解】

（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,

∴∠AQC=90°,

△为等腰直角三角形，

∵ABC

∴AC=AB,∠CAB=90°,

∴∠QAC+∠OAB=90°,

∵∠QAC+∠ACQ=90°,

∴∠ACQ=∠BAO,

又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,

?(AAS),

∴AQC BOA

∴CQ=AO,AQ=BO,

∵OA=2,OB=4,

∴CQ=2,AQ=4,

∴OQ=6,

∴C(-6,-2).

(2)如图（2）作DP⊥OB于点P,

∴∠BPD=90°,

△是等腰直角三角形，

∵ABD

∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,∵∠OBD+∠BDP=90°,

∴∠ABO=∠BDP,

又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,

?

∴AOB BPD

∴AO=BP,

∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,

∵A ()

23,0-, ∴OA=23, ∴m+n=23,

∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23, ∴整式2253m n +-的值不变为3-. （3）()1

2

EN EM ON =

- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.

∵OBM 为等边三角形，

∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°, ∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°, ∵OE=OB, ∴OE=OM=BM, ∴∠3=∠EMO=15°, ∴∠BEM=30°,∠BME=45°, ∵OF⊥EB, ∴∠EOF=∠BME, ∴ENO BGM ?, ∴BG=EN, ∵ON=MG, ∴∠2=∠3, ∴∠2=15°, ∴∠EBG=90°,

∴BG=12EG, ∴EN=12

EG,

∵EG=EM-GM,

∴EN=

1

2(EM-GM), ∴EN=1

2

(EM-ON).

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.

2．（1）如图1，在Rt△ABC 中，AB AC

=，D、E是斜边BC上两动点，且

∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF .

（1）试说明：△AED≌△AFD；

（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE的长；

（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D 是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长.

【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130

【解析】

试题分析：()1由ABE AFC

≌，得到AE AF

=，BAE CAF

∠=∠，

45,

EAD

∠=45,

BAE CAD

∴∠+∠=45,

CAF CAD

∴∠+∠=即

45.

DAF

∠=EAD DAF

∠=∠，从而得到.

AED AFD

≌

()2由△AED AFD

≌得到ED FD

=，再证明90

DCF

∠=?，利用勾股定理即可得出结论.

()3过点A 作AH BC

⊥于H,根据等腰三角形三线合一得，

1

4.

2

AH BH BC

===

1

DH BH BD

=-=或7,

DH BH BD

=+=求出AD的长，即可求得2

DE.

试题解析：()1ABE AFC

≌，

AE AF

=，BAE CAF

∠=∠，

45,

EAD

∠=90,

BAC

∠=

45,

BAE CAD

∴∠+∠=

45,

CAF CAD

∴∠+∠=

即45.

DAF

∠=

在AED和AFD中，{

AF AE

EAF DAE

AD AD，

=

∠=∠

=

.

AED AFD

∴≌

()

2AED AFD ≌，

ED FD ∴=，

,90.AB AC BAC =∠=?

45B ACB ∴∠=∠=?， 45ACF ，

∠=? 90.BCF ∴∠=?

设.DE x =

,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==

222,FC DC DF +=

()2

2239.x x ∴+-=

解得： 5.x = 故 5.DE =

()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，

1

4.2

AH BH BC ==

= 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65. 22234DE AD ==或130.

点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.

3．如图（1），在ABC 中，90A ∠=?，AB AC =，点D 是斜边BC 的中点，点E ，

F 分别在线段AB ，AC 上， 且90EDF ∠=?． （1）求证：DEF 为等腰直角三角形；

（2）若ABC 的面积为7，求四边形AEDF 的面积；

（3）如图（2），如果点E 运动到AB 的延长线上时，点F 在射线CA 上且保持

90EDF ∠=?，DEF 还是等腰直角三角形吗．请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）由题意连接AD，并利用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形；

（2）由题意分析可得S四边形AEDF=S?ADF+S?ADE=S?BDE+S?CDF，以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；

（3）根据题意连接AD，运用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形.

【详解】

解：（1）证明：如图①，连接AD.

∵∠BAC=90?,AB=AC,点D是斜边BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=BD，

∴∠1=∠B=45°，

∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，

又∵∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4，

在△BDE 和△ADF中，∠1=∠B，AD=BD,∠2=∠4，

∴△BDE≌△ADF(ASA),

∴DE=DF,

又∵∠EDF=90°，

∴ΔDEF为等腰直角三角形.

（2）由（1）可知DE=DF，∠C=∠6=45°，

又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，

∴∠3=∠5，

∴△ADE≌△CDF，

∴S四边形AEDF=S?ADF+S?ADE=S?BDE+S?CDF，

∴ S?ABC=2 S四边形AEDF,

∴S 四边形AEDF =3.5 .

（3）是.如图②，连接AD.

∵∠BAC=90°，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点， ∴AD ⊥BC,AD=BD ， ∴∠1=45°，

∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°， ∴∠DAF=∠DBE ， ∵∠EDF=90°， ∴∠3+∠4=90°， 又∵∠2+∠3=90°， ∴∠2=∠4,

在△BDE 和△ADF 中，∠DAF=∠DBE ，AD=BD,∠2=∠4, ∴△BDE ≌△ADF(ASA), ∴DE=DF, 又∵∠EDF=90°， ∴△DEF 为等腰直角三角形. 【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

4．（1）问题发现：如图（1），已知：在三角形ABC ?中，90BAC ?∠=,AB AC =,直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点,D E ，试写出线段,BD DE 和

CE 之间的数量关系为_________________．

（2）思考探究：如图（2），将图（1）中的条件改为：在ABC ?中, ,,,AB AC D A E =三点都在直线l 上，并且BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展应用：如图（3），,D E 是,,D A E 三点所在直线m 上的两动点，（,,D A E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF ?与ACF ?均为等边三角形，连接,BD CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF ?的形状并说明理由．

【答案】（1）DE=CE+BD；（2）成立，理由见解析；（3）△DEF为等边三角形，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而根据AAS证明△ABD与△CAE全等，然后进一步求解即可；

∠=∠=∠=，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB与△CEA中，根（2）根据BDA AEC BACα

据AAS证明二者全等从而得出AE=BD，AD=CE，然后进一步证明即可；

（3）结合之前的结论可得△ADB与△CEA全等，从而得出BD=AE，∠DBA=∠CAE，再根据等边三角形性质得出∠ABF=∠CAF=60°，然后进一步证明△DBF与△EAF全等，在此基础上进一步证明求解即可.

【详解】

（1）∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ABD与△CAE中，

∵∠ABD=∠CAE，∠BDA=∠AEC，AB=AC，

∴△ABD≌△CAE(AAS)，

∴BD=AE，AD=CE，

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD，

故答案为：DE=CE+BD；

（2）（1）中结论还仍然成立，理由如下：

∠=∠=∠=，

∵BDA AEC BACα

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?α，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB与△CEA中，

∵∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴BD+CE=AE+AD=DE，

即：DE=CE+BD，

?为等边三角形，理由如下：

（3）DEF

由（2）可知：△ADB≌△CEA，

∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，

∵△ABF与△ACF均为等边三角形，

∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+CAF，

∴∠DBF=∠FAE，

在△DBF与△EAF中，

∵FB=FA，∠FDB=∠FAE，BD=AE，

∴△DBF≌△EAF(SAS)，

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，

∴△DEF为等边三角形.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

5．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，

△BPN，并连接BM，AN．

（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；

（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．

【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．

【解析】

【分析】

(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交

∠=?,因此有BM⊥AN；

AN于点C，得出MCN90

(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；

(3)取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.

【详解】

解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．

理由：如图1中，

∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，

∴△MBP≌△ANP（SAS），

∴MB＝AN．

延长MB交AN于点C．

∵△MBP≌△ANP，

∴∠PAN＝∠PMB，

∵∠PAN+∠PNA＝90°，

∴∠PMB+∠PNA＝90°，

∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，

∴BM⊥AN．

（Ⅱ）结论成立

理由：如图2中，

∵△APM，△BPN，都是等边三角形

∴∠APM＝∠BPN＝60°

∴∠MPB＝∠APN＝120°，

又∵PM＝PA，PB＝PN，

∴△MPB≌△APN（SAS）

∴MB＝AN．

（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．

∵△APM ，△PBN 都是等边三角形 ∴∠APM ＝∠BPN ＝60°，PB ＝PN ∵点C 是PB 的中点，且PN ＝2PM ， ∴2PC ＝2PA ＝2PM ＝PB ＝PN ， ∵∠APC ＝60°， ∴△APC 为等边三角形， ∴∠PAC ＝∠PCA ＝60°， 又∵CA ＝CB ， ∴∠CAB ＝∠ABC ＝30°， ∴∠PAB ＝∠PAC +∠CAB ＝90°． 【点睛】

本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.

二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）

6．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=?，45C ∠=?，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=?，

PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．

（1）求边AD 的长；

（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积． 【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769

或32 【解析】 【分析】

（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出AD的长；

（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；

（3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，然后根据梯形面积求解即可．

【详解】

（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点H

∵∠C=45°，DH⊥BC

∴△DHC是等腰直角三角形

∵四边形ABCD是梯形，∠B=90°

∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB=8

∴HC=8

∴BH=BC－HC=6

∴AD=6

（2）如下图，过点P作EF的垂线，交EF于点Q，反向延长交BC于点R，DH与EF交于点G

∵EF∥AD,∴EF∥BC

∴∠EFP=∠C=45°

∵EP⊥PF

∴△EPF是等腰直角三角形

同理,还可得△NPM和△DGF也是等腰直角三角形

∵AE=x

∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x ∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=

()1

62

x + 同理，PR=

12

y ∵AB=8，∴EB=8－x ∵EB=QR

∴8－x=()11622

x y ++ 化简得：y=－3x+10

∵y ＞0，∴x ＜

103

当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值

则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1 ∴1≤x ＜

103

（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83

=AE ∴188176662339

ABCD S ??=

?++?= ???梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：

与（2）相同，可得y=3x －10 则当y=2时，x=4，即AE=4

∴()1

6644322

ABCD S =?++?=梯形 【点睛】

本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．

7．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”. 理解：

（1）如图1，在ABC ?中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；

（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ?的“好好线”； 在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； 应用：

（3）在ABC ?中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ?的“好好线”，点D 在BC 边上，点

E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.

【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42° 【解析】 【分析】

（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数．

（2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；

（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得∠C 的值；

【详解】

解：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵BD=BC=AD，

∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，

设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=

°180-

2

x

可得

°

180-2

2

x x

∴x=36°

则∠A=36°；

（2）如图所示：

（3）如图所示：

①当AD=AE时，

∵2x+x=27°+27°，

∴x=18°；

②当AD=DE时，

∵27°+27°+2x+x=180°，

∴x=42°；

综上所述，∠C为18°或42°的角．

【点睛】

本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

8．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等

腰三角形，为此，请你，解答问题：

（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；

（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．

（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°

【解析】

【分析】

（1）通过角度转换得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判断；

（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；

（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的度数即可.

【详解】

解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，

∴∠ABD=∠BAD，

∴△ABD为等腰三角形，

∴∠BDC=72°=∠C，

∴△BCD为等腰三角形；

（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：

（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：

①当分割的直线过顶点B时，

【1】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点

此时∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值为108°；

【2】：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点

此时：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值为126°；

【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况

△BCD以B为顶点：∠A=36°，∠D=72°，

∴∠ABD=72°，最大角的值为72°；

△BCD以C为顶点：∠A=36°，∠D=54°，

∴∠ABD=90°，最大角的值为90°；

△BCD以D为顶点：∠A=36°，∠D=36°

∴∠ABD=108°，最大角的值为108°；

②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的；

③当分割三角形的直线过点A时，

此时∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°， 最大角的值为132°；

综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°. 【点睛】

本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键，难度较大，分类讨论是解决本题的关键.

9．知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题. 问题：如图1，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=?，D 是BC 的中点，以AD 为腰作等腰ADE ，且满足90DAE ∠=?，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，试探究BC 与

CF 之间的数量关系.

图1

发现：（1）BC 与CF 之间的数量关系为 .

探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点（除B 、C 外）时，其他条件不变，试猜想BC 与CF 之间的数量关系，并证明你的结论.

图2

拓展：（3）当点D 在线段BC 的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出BCF 的形状.

备用图

【答案】（1）BC CF =；（2）BC CF =，证明见解析；（3）画图见解析，等腰直角三角形. 【解析】 【分析】

（1）根据等腰三角形的性质即可得BC CF =；

（2）由等腰直角三角形的性质可得()ABD ACE SAS ∴≌，再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明；

（3）作出图形，根据等腰三角形性质易证()ABD ACE SAS ∴≌，进而根据角度的代换，得出结论． 【详解】

解：（1）BC CF =.

∵△ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=?，

AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=?. 90DAE ∠=?， DAE BAC ∴=∠∠，

DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠， BAD CAE ∴∠=∠.

ADE 是以AD 为腰的等腰三角形， AD AE ∴=.

在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，

()ABD ACE SAS ∴≌，

45ACE B ∴∠=∠=?. 45ACB =?∠，

90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=?， 90B F ∴∠+∠=?， 45F ∴∠=?， B F ∴∠=∠， BC CF ∴=. （2）BC CF =. 证明：ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=?， AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=?. 90DAE ∠=?，