小学奥数完全平方数及应用(一)精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)
教学目标
1. 学习完全平方数的性质；
2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程
3. 掌握完全平方数的综合运用。
知识点拨
一、完全平方数常用性质
1. 主要性质
1. 完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。
2. 在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3. 完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
2
4. 若质数p 整除完全平方数a2，则p 能被 a 整除。
2. 性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．
性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．
性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且p2n 1 | N ，则2n
p2n | N ．
性质4：完全平方数的个位是 6 它的十位是奇数．
性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．
性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
3. 一些重要的推论
1. 任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被4（或8）除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定不是完
全平方数。
2. 一个完全平方数被 3 除的余数是0或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。
3. 自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，
89，16，36，56，76，96。
4. 完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5. 完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6. 完全平方数的个位数字为 6 时，其十位数字必为奇数。
7. 凡个位数字是 5 但末两位数字不是25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“ 0的”自然数不是完
全平方数；个位数字为1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾：平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)
例题精讲
模块一、完全平方数计算及判断
【例1】已知：1234567654321× 49 是一个完全平方数，求它是谁的平方?
【考点】完全平方数计算及判断【难度】 2 星【题型】解答【解析】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝112； 2 2 2
12321 ＝1112；1234321 ＝11112??，于是，我们归纳为1234 ?n?4321= (111 1)2，所以，n个1
1234567654321 ：11111112；则，1234567654321 ×49=11111112 7×2=77777772．所以，题中原式乘积为7777777 的平方．
【答案】7777777
【例2】1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 是的平方．
【考点】完全平方数计算及判断【难度】 2 星【题型】填空
【关键词】祖冲之杯
【解析】1234567654321 11111112， 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 72，原式(1111111 7)2 77777772．
【答案】7777777
【例3】已知自然数n满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是。【考点】完全平方数计算及判断【难度】 3 星【题型】填空
【关键词】学而思杯， 6 年级，第9 题
【解析】 (法1)先将12！分解质因数：12! 210 35 52 7 11 ，由于12!除以n得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是12! 的约数，那么最大可以为210 34 52，所以n 最小为10 4 2
12! 210 34 52 3 7 11 231 。
(法2)12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7 、11的幂次是奇数，所以n的最小值是 3 7 11 231。
【答案】231
【例4】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．
【考点】完全平方数计算及判断【难度】 3 星【题型】解答
【解析】平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999 都不是完全平方数，所以所求的数最小是 4 位数．考察1111，1444 ??可以知道1444 38 38，所以满足条件的最小正整数是
1444 ．
【答案】1444
【例5】 A 是由2002个“4”组成的多位数，即444 4，A 是不是某个自然数 B 的平方？如果是，写出B；2002 个
4
如果不是，请说明理由．
【考点】完全平方数计算及判断【难度】 3 星【题型】解答
【解析】略
【答案】 A 444 4 22 111 1．如果 A 是某个自然数的平方，则111 1 也应是某个自然数的平方，
2002个 4 2002个1 2002 个1
并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知，奇数的平方减 1 应是 4 的倍数，
而111 1 1 111 10 不是 4 的倍数，矛盾，所以 A 不是某个自然数的平方．
2002个 1 2001个 1
巩固】A是由2008个“4”组成的多位数，即44 4，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如2008 个
4
果不是，请说明理由．考点】完全平方数计算及判断【难度】 3 星【题型】解答解析】略答案】不是． A 44 4 22 11 1 假设A是某个自然数的平方，则11 1 也应是某个自然数的平方，并且2008个 4 2008个1 2008个1
是某个奇数的平方．由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知，奇数的平方减 1 应是 4 的倍数，而11 1 1 11 10 不是4的倍数，与假设矛盾．所以A不是某个自然数的平方．
2008个1 2007个 1
例6】计算111 1－222 2=A×A，求A．
2004个1 1002个 2
考点】完全平方数计算及判断【难度】 4 星【题型】解答解析】此题的显著特征是式子都含有111 1，从而找出突破口.
n个1
111 1－222 2=111 1 000 0－111 1
2004个1 1002个 2 1002个1 1002个0 1002个1
=111 1×( 1000 0-1)
1002 个1 1002 个0
=111 1 ×( 999 9 )
1002个1 1002 个9
2
=111 1×( 111 1×3×3)= A2
1002 个1 1002个 1
所以，A＝333 3.
1002 个 3
答案】333 3
1002个3
例7】① 444 4888 89 A2，求 A 为多少?
2004 个 4 2003 个8
②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？
考点】完全平方数计算及判断【难度】 4 星【题型】解答解析】① 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：注意到有444 4888 89 可以看成444 4888 89 ，其中n＝2004；
2004 个 4 2003个8 n个 4 n-1 个8
寻找规律：当n=1 时，有49 72；
2
当n=2 时，有4489 672；
2
当n=3 时，有444889 6672??
于是，类推有444 4888 89 =666 672
2004 个 4 2003 个8 2003个6
方法二：下面给出严格计算：
444 4888 89 =444 4000 0+888 8+1；
2004 个4 2003个8 2004 个4 2004个0 2004个8
则444 4000 0+888 8 +1＝111 1×(4×1000 0+8)+1
2004 个4 2004个0 2004个8 2004个1 2004个0
＝111 1×[4×( 999 9+1)+8]+1
2004 个 1 2004 个9
＝111 1×[4×( 999 9 )+12]+1
2004 个 1 2004 个9
2
＝(111 1)2×36+12 ×111 1+1
2004个 1 2004 个1
2
＝(111 1)2×36+2 ×( 6×111 1 )+1
2004个 1 2004个 1
＝(666 66 1)2 (666 67) 2
2004 个6 2003个 6
②由①知444 4888 89 ＝666 672，于是数字和为(4n+8n-8+9)=12n+1；令12n+1=2005 n 个 4 n-1 个8 n-1 个 6
解得n=167，所以444 4888 89 = 666 672。所以存在这样的数，是444 4888 89
167 个 4 166个8 166个6 167 个4 166个8
【答案】(1) 666 672 ,(2) 444 4888 89 =666 672
2003个6 167 个
4
166个8
166个6
模块二、平方数特征
(1) 平方数的尾数特征
【例8】下面是一个算式： 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 ，这个算式的得数能否是某个数的平方？
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】 3 星【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8 不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和
的个位数为0，后面二项中每项都有因子 2 和5，个位数一定是0，因此，这个0 算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．
【答案】不是
【例9】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49 的四位数共有___________ 个．
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】 4 星【题型】填空
【关键词】学而思杯， 5 年级，第10 题
【解析】49 1 4 9 25，1,2,3,5 全排列共有24个。
【答案】24
【例10】用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是．
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】 5 星【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，复试，11 题
【解析】四位完全平方数≥123>4 352＝1225，所以至少是362＝1296．当四位完全平方数是1296 时，另两个
平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位只能是2，但数字2在1296 中已经使用．当
四位完全平方数是372＝1369 时，另两个平方数的个位只能分别为4,5，个位为 5 的平方数的十位一样只能是2，还剩下7,8，而784 恰好为282．所以，其中的四位完全平方数最小是1369．
【答案】1369
【例11】称能表示成1+2+3+?+K 的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数，N= 。
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】 5 星【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14 题
解析】N=k ×(1+k)/2=m^2 ，4 位数的话2000<=k ×(k+1)<20000, 45<=k<=140 ，k=2n n*(2n+1)=N 。
n 与2n+1 互质，所以要均为平方数。平方数末尾149650 。满足要求的是4950 。23<=n<=70 发现没
有：k=2n-1 ，n ×(2n-1)=N 同上，满足要求是1650 找到25 所以k=49 ，N=1225 ，m=35 。
答案】1225
2) 奇数个约数——指数是偶数
例12】在 2 2 4，3 3 9，4 4 16，5 5 25，6 6 36，??等这些算是中，4，9，16，25，36，??叫做完全平方数。那么，不超过2007 的最大的完全平方数是 _____________________ 。
考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 2 星【题型】填空关键词】希望杯，四年级，复赛，第4题，5分解析】45 ×45=2025 ；44 ×44=1936，所以最大的是1936.
答案】1936
例13】写出从360 到630 的自然数中有奇数个约数的数．考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 2 星【题
型】解答解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积.
如:1400 严格分解质因数后为23 ×52 ×7,所以它的约数有(3+1) (2×+1) (1×+1)=4 3×2=24 个.(包括1和它自身)
如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加 1 后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0 外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．
由以上分析知,我们所求的为360～630 之间有多少个完全平方数?
18 ×18=324,19 ×19=361,25 2×5=625,26 ×26=676, 所以在360 ～630 之间的完全平方数为
192,202,212,222,232,242,252 ．
即360 到630 的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625 ．答案】
361,400,441,484,529,576,625
例14】1016与正整数 a 的乘积是一个完全平方数，则 a 的最小值是________ ．
考点】平方数特征之奇数个约数【难
度】2星【题型】填空
解析】先将1016 分解质因数：1016 23 127 ，由于
42
1016 a是一个完全平方数，所以至少为24 1272，故
a 最小为2 127 254 ．
答案】254
巩固】已知3528a恰是自然数 b 的平方数， a 的最小值是。
考点】平方数特征之奇数个约数【难
度】2星【题型】填空
解析】3528 23 32 72，要使3528a是某个自然数的平方，必须使3528a各个不同质因数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以a为2可以使3528a是完全平方数，故a至少为2．答案】2
例15】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 3 星【题型】解答解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．
32
而72 23 32 2 6 6 ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的 2 倍，
由于 2 31 31 1922 2008 2 32 32 2048，所以 2 12、 2 22、??、 2 312都满足题意，即所求的满足条件的数共有31 个．
答案】31
例16】已知自然数n满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是。考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 3 星【题型】填空关键词】学而思杯， 6 年级
解析】(法1)先将12！分解质因数：12! 210 35 52 7 11，由于12!除以n 得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是 1 2 !的约数，那么最大可以为21 0 3 4 5，所以n 最小为 1 0 4 2
1 2 ! 1 02 43 25 3 7231。1
(法2)12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7 、11的幂次是奇数，所以n的最小值是 3 7 11 231。
答案】231
例17 】有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．
考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 4 星【题型】填空解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．