二次函数顶点式基础练习
二次函数的图像和性质(顶点式练习)
4． 关于23x y =和23x y -=的图象的说法：①它们都是抛物线；②它们都是轴对称图形；③它们的顶点相同，对称轴也相同；④两个函数的图象关于x 轴对称；这些说法
中，正确的有（ ）Ａ．４种Ｂ．３种Ｃ．２种 Ｄ．１种
6． （１）请将图中图象的编号填入对应的函数后的空格内，
22
1x y =
；2x y = ；22x y = ；22
1x y -= ．
（２）二次函数2
ax y =的开口的大小与a 有怎样的关系？请写出你的结论．
8．对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－6）的抛物线的解析
式为 ．
10．已知关于x 的二次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ2
＋７，当0x >时，ｙ随ｘ的增大而增大，则ｍ的取值范围是 12．若二次函数2
1
2
+
=x y 与k x y +-=2的图像的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ） A ．这两个函数图像有相同的对称轴 B ．这两个函数图像的开口方向相反 C ．方程02
=+-k x 没有实数根式 D ．二次函数k x y +-=2的最大值为
2
1 13．如图，在同一坐标系中，二次函数2
y ax c =+与一次函数y ax c =+的图象大致是（ ）
14.求分别符合下列条件的抛物线52
+=ax y 的函数解析式．并画出图象。 （１）通过点（－２，１）（２）与2
32
y x =的开口大小相同，方向相反．
15.如果把抛物线2y mx n =+向上平移2个单位后得到抛物线2
112
y x =+，试确定m 、n 的值。
16.完成下列填空：
18．若点A （３，－４)在函数2)(m x y --=的图象上，则=m _ _.这个抛物线的对称轴是 ；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是 ．
19．如果把抛物线2
)(b x a y +=向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线
3)2(2
1
2-+=
x y ，则 a =____________,b =_________. 24．二次函数2
y ax =的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。 25.关于2
13
y x =
，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 26．两条抛物线2
y x =与2
y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）
A ．顶点相同
B ．对称轴相同
C ．开口方向相反
D ．都有最小值
27．在抛物线2y x =-上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（ ）A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ≠0 D ．x ≥0
28．对于抛物线2
y x =与2
y x =-下列命题中错误的是（ ）A ．两条抛物线关于x 轴对称 B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线各自关于y 轴对称 D ．两条抛物线没有公共点 29．抛物线y=－62
x ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
33．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ） A ．y=32(1)x -－2 B ．y=32(1)x +＋2 C ．y=32(1)x +－2 D ．y=－32
(1)x +－2
34．二次函数2
y ax =的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）
A ．y=a 2(2)x -＋3
B ．y=a 2(2)x -－3
C ．y=a 2(2)x +＋3
D ．y=a 2
(2)x +－3
36．函数y=a 2
x ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）
二次函数顶点式练习题
二次函数专题训练 1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值 y= 。. 3、函数 y ＝12 (x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大. 4、 函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=2 1x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单 位得到. 5.已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是 。 6.如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ） A 、 x>3 B 、x<3 C 、x>1 D 、x<1 7.已知函数()3232 +--=x y . 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； 当x= 时，抛物线有最 值，是 . 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； 求出该抛物线与y 轴的交点坐标； 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； 该函数图象可由2 3x y -=的图象经过怎样的平移得到的 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.
※8..如图是二次函数y=a （x+1）2+2图象的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 _________ ． 9.根据图像求二次函数的解析式. ※10.抛物线y =(x －1)2+n 与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴负半轴交于C （0，-3）。 (1) 求抛物线的解析式; （2）点P 为对称轴右侧抛物线上一点，以BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M 落在对称轴上，求P 点、M 点的坐标。 M y x P O C B A
二次函数顶点式练习
二次函数k h x a y +-=)(2 （顶点式）习题课 一、知识体系 1、解析式：()()02≠+-=a k h x a y 2、图像与性质： 对称轴：x=h 顶点：（h ，k ） 3、抛物线的平移： 自变量加减左右移（左加右减），函数值加减上下移（上加下减） 4、抛物线与直线的交点： 设立方程组c bx ax b kx c bx ax y b kx y ++=+????++=+=22，化简为一元二次方程，看△ （1）有两组不同解（△＞0）：有两个交点 （2）只有一组解（△=0）：只有一个交点 （3）无解（△＜0）：没有交点 5、抛物线的开口大小由a 决定： （1）a 越大，抛物线的开口越小 （2）a 越小，抛物线的开口越大 （3）a 相等时，两函数图像的形状和大小相同 二、知识巩固 一、复习 1、二次函数4)1(-22++=x y 的图象的开口方向________，顶点坐标是________， 对称轴是_________. 当x ______时,y 随着x 的增大而增大, 当x ______时, y 随着x 的增大而减少.当x =_____时，函数有最_______值是_________. 2、二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到.
二、求函数表达式 例1、已知一个二次函数的图像的顶点在原点，且经过点（1，3），求这个二次函数的表达式. 例2、已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2)，且经过点（0，1），求这个二次函数的表达式. 例3、已知二次函数当x=3时有最大值4，并且图象经过点（4，－3），求这个二次函数的表达式. 例4、已知抛物线的对称轴为直线1 x ,且经过（1，2）和（-2，5），求这个二次函数的表达式. 三、实际应用 例5、一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线． ⑴求实心球行进的高度y (米)与行进的水平距离x (米)之间的函数关系式； ⑵如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生 在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 3.624y x O
《二次函数顶点式》教学设计
二次函数y ＝(x －h)2 +k 的图象 学习目标： 1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象； 2．掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质； 3．会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题． 重点：会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象. 难点：掌握二次函数a (x －h)2＋k 的性质。 一、课前小测 1．函数24(2)y x =-的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______， 当x ＝_________时，有最_________值是_________． 2．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口向下抛物线解析式__________________． 写出一个顶点坐标为（－3，0），开口向下抛物线解析式__________________． 二、探索新知 1、问题一：提出问题，创设情境 画出函数y ＝－1 2 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值 观察图象得： （1）函数y ＝－1 2 (x ＋1)2－1的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______，当x ＝_________时，有最_________值是_________． （2）把抛物线y ＝－1 2 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______ 个单位，就得到抛物线y ＝－1 2 (x ＋1)2－1． 3、问题二：应用法则 探索解题.
例1．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝1 2x 2相同的解析式为 （） A．y＝1 2(x－2) 2＋3 B．y＝ 1 2(x＋2) 2－3 C．y＝1 2(x＋2) 2＋3 D．y＝－ 1 2(x＋2) 2＋3 三、作业：A组： 1．填表 2 3．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________． B组： 1．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，的图象开口向______，顶点是_________，对称轴是_______，当x＝_______时，y有最________值是________． 2．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________。 3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（） A B C D 4．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为___________________________．（任写一个）
二次函数的图像(顶点式)
2、5次函数y=a(x-h)2+k 的图像 执笔人：刘红梅 时间：2009年12月3日 学习目标: 会用描点法画出函数y=a(x-h)2+k 的图像 学习重点: 1．会用描点法画出二次函数 的图像； 2．知道抛物线 的对称轴与顶点坐标； 学习难点:确定形如 的二次函数的顶点坐标和对称轴。 学习方法:三五三教学模式法。 一、自主探究： 1、在同一坐标系中画出函y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2, 的图像 解：列表： 描点连线： 2、观察图像完成下表： 1、观察函数y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2的图像，回答问题 （1）它们的形状_________，位置____________. (2)函数y= x 2与函数y=(x-1)2+2有什么联系？ 2、归纳总结： 1、二次函数y=a(x ±h)2+k 图像的性质 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 y 随x 的增大而减小 y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2, 抛物线 开口方向 对称性 顶点坐标 最值 y 随x 的减小而减小 y=a(x+h)2+k （a>0） y=a(x-h)2+k (a<0)
2、函数y=a(x ±h)2+k （a ≠0）的图像可以看作是y=ax 2向左或向右平移_________ 个单位，再向上或向下平移___________个单位得到的. 三、巩固练习： 1、指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值及y 随x 增大而减小的x 取值范围。 （1）y=－6(x-2)2 (2)y=3x 2－6 (3)y=3－x 412 (4) y=x 5 1 2 (5) y=2(x+3)2+7 (6) y=4－2(x+4)2 2、抛物线的y=－4（x －6）2－3向左或向右平移_________ 再__________ 平移___个单位得到y=－4x 2. 四、延伸迁移： 如图，某公路的隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，，底部宽OM 的 为12米，建立如图所示的直角坐标系。 （1） 直接写出M 及抛物线顶点P 的坐标； （2） 求这条抛物线的解析式。 五、达标检测：1、课本53页知识技能1 2、抛物线y=3（x+h ）2 +k 的顶点坐标是（1，5），则h=_____ k=_____ 六、学习收获
最新二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测评 (试时间：60分钟，满分：100分) 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限 () A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图 象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的 图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1 二次函数顶点式练习 2 1、二次函数y=2x -4的顶点坐标为__________ ，对称轴为 __________ 。 2、_______________________________________________________ 二次函数y - -2(x ? 3)2 -1由y - -2(x-1)2? 1 向__________________________ 平移_______ 个 单位，再向_____ 平移 _______ 个单位得到。 2 2 3、抛物线y=3(x，2) -3可由抛物线y= 3(x^2) 2向 ______ 平移个单位得到. 5 4、将抛物线y (x-3)2?2向右平移3个单位，再向上平移2个单位， 6 得到的抛物线是_________________ 。 5、把抛物线y = -(X -1)2 -1向_________ 平移 _____ 个单位，再向______ 平移 2 _______ 个单位得到抛物线y = —(X十2) -3 . 1 2 6、抛物线y (x 4) -7的顶点坐标是_________________________ ，对称轴是直 2 线________ ，它的开口向________ ，在对称轴的左侧，即当x< _________ 时, y随x的增大而 ______ ;在对称轴的右侧，即当x> __________ 时，y随x的增大而_________ ;当x= _________ 时，y的值最_____________ ，最_________ 值 ,它有最值，即当x=达式为 一时，y= 12、边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片, 剩下的四方框铁片的面积y (cm2)与x (cm)之间的函数表达式为 13、等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为 14、二次函数y= x 是 () A. y = x2 +3 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式 15、二次函数y= — A. (—1, 3) 16 、 17 、 B. y= x2— 3 C. y =( x+3) 2 2 (x—1) +3图像的顶点坐标是( B. (1, 3) 二次函数y = x2+x—6的图象与 A. 2 和一3 B. —2 和3 二次函数y= ax2的图像开口向 ，图像有最 - 是 —时，y随x的增大而减小。 1 x 3 18、关于y = A.顶点相同 点，x D. y =( x —3) 2 ) C. (—1,—3) D. (1, —3) x轴交点的横坐标是( C. 2 和3 ，对称轴 是. D. ) —2 和一3 ，顶点坐标 时，y随x的增大而增大，x 2 2 2 ,y = x , y = 3x的图像，下列说法中不正确的是() B .对称轴相同 C .图像形状相同 D .最低点相同 7、将抛物线y=3x2向左平移6个单位，再向下平移7个单位所得新抛物线的解析式为。 8 若一抛物线形状与y=—5x2+ 2相同，顶点坐标是(4, - 2)，则其解析式是. 9、两个数的和为8,则这两个数的积最大可以为_____________ ，若设其中一个 数为x，积为y,则y与x的函数表达式为 _________________ . 10、一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分另寸为_________ . 11、若两个数的差为3，若其中较大的数为x,则它们的积y与x的函数表19、抛物线y = x A.顶点相同 20、在抛物线 A. x > 0 2 与y- -x在同一坐标系内，下列说法不正确的是 ( ) .对称轴相同 C .开口方向相反D 2 y = -x上，当y V 0时，x的取值范围应为( B . x V 0 C . x 丰 0 D .都有最小值 二次函数一般式2y ax bx c =++化成()2y a x h k =-+的形式 一．基础知识： 1.（1）完全平方公式：22 2a ab b ±+=()2a ±—— （2）()2 26_____x x x ++=+ （3）()223______x x x -+=- （4）()222____x x x ++=+ （5）()2 24____x x x -+=- 二、基础知识练习 1.类型一：1,a b ==偶数 例1.用配方法将抛物线261y x x =-+-化成顶点式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。 举一反三：用配方法将抛物线281y x x =-+化成()2 y a x h k =-+的形式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。 类型二：1,a b ==奇数 例2.求抛物线21y x x =++的顶点坐标。 举一反三：求抛物线232y x x =-+的顶点坐标。 类型三：1a ≠ 例3.求二次函数221210y x x =-+-的最大值 举一反三：求二次函数23123y x x =--的最小值。 例4.求抛物线21232 y x x =- -+的顶点坐标。 举一反三：求抛物线23+12y x x =-+的顶点坐标。 三、过关练习： 1.求抛物线2 43y x x =--的顶点坐标 2.将抛物线22y x x =-化成()2y a x h k =-+的形式为（ ） A.()211y x =-+ B. ()211y x =-- C. ()214y x =++ D.()2 14y x =-- 3.已知抛物线228y x x =+。 （1）化成顶点式为_________ (2)顶点坐标为_________ 二次函数图像和性质练习 1、二次函数y=2x1 2-4的顶点坐标为,对称轴为。 2、二次函数y = -2(x + 3尸—1 由y = -2(x-1)2+1 向平移 个单位，再向平移个单位得到。 3、抛物线y = 3(x + 2)2—3可由抛物线y = 3(x + 2)2 +2向平移 个单位得到. 4、将抛物线y = -(x-3)2+2向右平移3个单位，再向上平移2个单位， 6 得到的抛物线是 5、把抛物线y = —3 — 1)2 —1向平移个单位，再向平移 个单位得到抛物线y = -(x + 2)2-3. 6、抛物线y = l(x + 4)2-7的顶点坐标是_________________ ,对称轴是直 2 线,它的开口向,在对称轴的左侧，即当XV 时, y随x的增大而；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而; 当x=时，y 的值最, 最值 是。 7、将抛物线y=3x2向左平移6个单位，再向下平移7个单位所得新抛物线的解析式为。 8、若一抛物线形状与y=-5x2+2相同，顶点坐标是(4, 一2),则其解析式是. 9、两个数的和为8,则这两个数的积最大可以为，若设其中一个数为x,积 为y,则y与x的函数表达式为. 10、一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积 最大, 边长分别为 . 11、若两个数的差为3,若其中较大的数为x,则它们的积y与x的函数表 达式为,它有最值，即当x= 时，y=_ 12、边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片, 剩下的四方框铁片的面积y (cm2)与x (cm)之间的函数表达式为 13、等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为 二次函数 k h x a y +-=)(2（顶点式）习题课 一、 欧阳光明（2021.03.07） 二、知识体系 1、解析式：()()02≠+-=a k h x a y 2、图像与性质： 对称轴：x=h 顶点：（h ，k ） 3、抛物线的平移： 自变量加减左右移（左加右减），函数值加减上下移（上加下减） 4、抛物线与直线的交点： 设立方程组c bx ax b kx c bx ax y b kx y ++=+??? ?++=+=22，化简为一元二次方 程，看△ （1）有两组不同解（△＞0）：有两个交点 （2）只有一组解（△=0）：只有一个交点 （3）无解（△＜0）：没有交点 5、抛物线的开口大小由a 决定： （1）a 越大，抛物线的开口越小 （2）a 越小，抛物线的开口越大 二、知识巩固 一、复习 1、二次函数4)1(-22++=x y 的图象的开口方向________，顶点坐标是________， 对称轴是_________. 当x ______时,y 随着x 的增大而增大, 当x ______时, y 随着x 的增大而减少.当x =_____时，函数有最_______值是_________. 2、二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到. 二、求函数表达式 例1、已知一个二次函数的图像的顶点在原点，且经过点（1， 3），求这个二次函数的表达式. 例2、已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2)，且经过点（0，1），求这个二次函数的表达式. 例3、已知二次函数当x=3时有最大值4，并且图象经过点（4，－3），求这个二次函数的表达式. 例4、已知抛物线的对称轴为直线1=x ,且经过（1，2）和（-2， 5），求这个二次函数的表达式. 三、实际应用 例5、一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离 一、 用顶点式求二次函数解析式。 例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0） 解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2 )( 把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y 把点（3,0）代入得：03)13(2 =+-a 解得：43 - =a ∴抛物线解析式为：3)1(4 32 +--=x y 练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5） 2．已知抛物线y ＝ax 2 经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式； 3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 4．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛 物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 7．把抛物线y ＝(x －1)2 沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式． 8．已知二次函数m x x y +-=62 的最小值为1，求m 的值． 9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝5 3 ， 求这条抛物线的解析式； 10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。 二、 用三个点求二次函数解析式 例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7） 解：设二次函数的解析式为：c bx ax y ++=2 把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得： ???? ?=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：??? ??=-==5 32c b a ∴抛物线解析式为：5322 +-=x x y 练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9） 12.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式 二次函数图像与性质(顶点式) 1．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为 ． 1．二次函数y=2x 2-4的顶点坐标为__ ___，对称轴为____ ______． 2．二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到。 3．将抛物线2)3(6 52+-=x y 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 ． 4．把抛物线1)1(2---=x y 向 平移 个单位，再向_____平移_______个单位得到抛物线3)2(2-+-=x y ． 5．已知函数y=(x +5)2-2，当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x = 时，函数值y 取得最 值，最 值y= ． 6．若一抛物线形状与y ＝－5x 2＋2相同，顶点坐标是(4，－2)，则其解析式是___________ _____． 7．①求抛物线y=3(x -3)2-1关于x 轴对称的抛物线的函数关系式 ； ②求抛物线y=3(x -3)2-1关于y 轴对称的抛物线的函数关系式 ； ③求抛物线y=3(x -3)2-1关于原点对称的抛物线的函数关系式 ； ④求抛物线y=3(x -3)2-1关于直线y= -1对称的抛物线的函数关系式 ． 8．若二次函数y=（x ﹣m ）2﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m=1 B ．m ＞1 C ．m≥1 D ．m≤1 9．对于有相同对称轴的两条抛物线组成的图案（如图所示），有下列判断：①h ＞0；②m ＞0；③a ＞b ；④m ＞n ，其中正确的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．如图，点A ，B ，M 的坐标分别为（1，4）、（4，4）和（﹣1，0），抛物线n m x a y +-=2 )(的顶点在线段AB （包括线段端点）上，与x 轴交于C 、D 两点，点C 在线段OM 上（包括线段端点），则点D 的横坐标m 的取值范围是 ． 第9题图 第10题图 11．如图，y ＝－94 (x －2)2＋m 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为M , MH ⊥x 轴于H , sin ∠MOH ＝55 2, 求解析式． 二次函数顶点式的教案 一．知识要点 1. 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式（a≠0）求解析式。 2. 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式，其中（h，k）为顶点坐标。 3. 若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式，其中为抛物线与x轴交点的横坐标 二. 重点、难点： 重点：求二次函数的函数关系式 难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。 三. 教学建议： 求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。 典型例题 例1. 已知某二次函数的图象经过点A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三点，求其函数关系式。 分析：设，其图象经过点C（0，－5），可得，再由另外两点建立关于的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。 解：设所求二次函数的解析式为 因为图象过点C（0，－5），∴ 又因为图象经过点A（－1，－6），B（2，3），故可得到： ∴所求二次函数的解析式为 说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为，然后确定a、b、c的值即得，本题由C（0，－5）可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。 例2. 已知二次函数的图象的顶点为（1，），且经过点 （－2，0），求该二次函数的函数关系式。 分析：由已知顶点为（1，），故可设，再由点（－2，0）确定a的值即可 解：，则 ∵图象过点（－2，0）， 说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h，k），一般设，再根据其他条件确定a 的值。本题虽然已知条件中已设，但我们可以不用这种形式而另设这种形式。因为在这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。 例3. 已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。 分析：依题意，可知顶点坐标为（－3，2），因此，可设解析式为顶点式 解：设这个二次函数的解析式为 ∵图象经过（－1，0）， ∴所求这个二次函数的解析式为 即： 说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。 例4. 已知二次函数的图象如图1所示，则这个二次函数的关系式是__________________。图1 22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质（3） 凤台四中牛井梅 教学目标： 1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。 重点难点： 重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。 难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x －h)2＋k的性质是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? (函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的) 2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系? 3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 二、试一试 你能填写下表吗? y=2x2向右平移 的图象1个单位y=2(x－1)2向上平移 1个单位y=2(x－1)2＋1的图 象 开口方向向上 对称轴y轴 顶点(0，0) 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗? 问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识； 第三节：y=a(x-h)2+k 的图像与性质 一、知识形成： 在坐标系中画出下列函数草图。并判断开口、对称轴、顶点、增减性与最值 （1） y=﹣（x ﹣5）2+3， (2) y ＝－21(x ＋ 1)2－1 （3）y=(x+2)2-3 (4)y=3(x-1)2+2 【观察图像思考归纳】：对于y=a(x-h)2+k （1）开口方向 （2）对称轴 （3）顶点 （4）增减性 （5）最值 二、例题与练习 例题1、如图是二次函数y=a （x+1）2+2图象的一部分，该图在 y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 _________ ． 例题2求二次函数的解析式. 例题3：y ＝a (x －1)2＋4与x 轴交于A 、B , 与y 轴正半轴交于C 点, D 为顶点, 对称轴交x 轴于E 点, DE ＝AB , 求解析式. 【练习】一、解析式的求法（顶点式） 1、y ＝－94 (x －2)2＋m , 顶点为M , MH ⊥x 轴于H , sin ∠MOH ＝55 2, 求解析式. 2、 已知: 如图1, 二次函数y ＝a (x －1)2－4的图象交x 轴负半轴于 点A , 交x 轴正半轴于点B , 交y 轴负半轴于点C , 且OB ＝3OA . (1) 求二次函数的解析式; 3、如图（1），在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线 y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)， 与y 轴交于点C （0，-3），其顶点为M,且cos ∠BCO＝ 31010. (1)求此抛物线的函数表达式； 4、已知: 二次函数y ＝a (x +6)2－3的图象交x 轴负半轴于点A ,B 两点，直线DE ⊥x 轴于点E , 交Y 轴于点C ,D 为顶点。 且AE 2= 3DE. (1) 求二次函数的解析式; 5、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2429y (x ) c =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴的正半轴于点C ，其 顶点为M ，MH ⊥x 轴于点H ，MA 交y 轴于点N ，sin∠MOH ＝ 552． （1）求此抛物线的函数表达式； 图（1） y x A O B M C 2.2二次函数的图象与性质（3） 教学目标 (一)教学知识点 1．能够作出函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它与 y＝ax2的图象的关系．理解a，h，k对二次函数图象的影响． 2．能够正确说出y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (二)能力训练要求 1．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解． 2．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力． (三)情感与价值观要求 1．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 2．让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的作法和性质的过程． 2．能够作出y＝a(x—h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响． 3．能够正确说出y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．教学难点 能够作出y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能够理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响． 教学方法 探索——比较——总结法． 教具准备 投影片四张 第一张：(记作§2．4．1A) 第二张；(记作§2．4．1B) 第三张：(记作§2．4．1C) 第四张：(记作§2．4．1D) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境、引入新课 [师]我们已学习过两种类型的二次函数，即y＝ax2与y＝ax2＋c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值．顶点都是原点．还知道y＝ax2＋c的图象是函数y＝ax2的图象经过上下移动得到的，那么y＝ax2的图象能否左右移动呢？它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢？本节课我们就来研究有关问题． Ⅱ．新课讲解 一、比较函数y＝3x2与y＝3(x－1)2的图象的性质． 投影片：(§2．4A) (1)完成下表，并比较3x2和3(x－1)2的值，它们之间有什么关系？ (2)在下图中作出二次函数y＝3(x－1)2的图象．你是怎样作的？ (3)函数y＝3(x－1)2的图象与y＝3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？ (4)x取哪些值时，函数y＝3(x－1)2的值随x值的增大而增大？x取哪些值时，函数y＝3(x－1)2的值随x值的增大而减小？ [师]请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结．[生](1)第二行从左到右依次填：27，12，3，0，3，12，27，48；第三行从左到右依次填48，27，12，3，0，3，12，27． (2)用描点法作出y＝3(x－1)2的图象，如上图． §6.2二次函数的图像与性质⑸ 【课前自习】 1. 根据y 2 2.抛物线y ＝2(x ＋2)2＋1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线y ＝－2(x －2)2－1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3与抛物线 关于x 轴成轴对称； 抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3 与抛物线 关于y 轴成轴对称； 抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3与抛物线 关于原点对称. 5. y ＝a (x ＋m )2＋n 被我们称为二次函数的 式. 一、探索归纳： 1.问题：你能直接说出函数y ＝x 2＋2x ＋2 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ . 2.你有办法解决问题①吗？ y ＝x 2＋2x ＋2的对称轴是 ，顶点坐标是 . 3.像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，从而直接得到它的图像性质. 练习1.用配方法把下列二次函数化成顶点式： ①y ＝x 2－2x －2 ②y ＝x 2＋3x ＋2 ③y ＝2x 2＋2x ＋2 ④y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 4.归纳：二次函数的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以被整理成顶点式： ， 说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 . 练习2.用公式法把下列二次函数化成顶点式： ①y ＝2x 2－3x ＋4 ②y ＝－3x 2＋x ＋2 ③y ＝－x 2－2x 二、典型例题： 例1、用描点法画出y ＝1 2x 2＋2x －1的图像. ⑴用 法求顶点坐标： ⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： ⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点 ，与x 轴有 个交点. 例2、已知抛物线y ＝x 2－4x ＋c 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上 ，求抛物线的顶点坐标. 二次函数顶点式练习题和答案 一、学习目标：1、能够熟练利用配方法、公式法求出二次函数的顶点坐标和对 称轴。2、会画二次函数的大致图像 3、进一步体会数形结合思想在解题中的应用 二、例题分析 例1、已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图， 则下列结论中正确的是 A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大 C．c＜0 D．3是方程ax＋bx＋c＝0的一个根例2、某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请回答下列问题： 当销售单价为每千克55元时，计算销售量和月利润．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y 与x的函数关系式． 销售单价定为多少元时，获得的利润最多？ 三、巩固训练 1、抛物线y=2x2-6x-1的顶点坐标为_______，对称轴为________． 2、如果y=xm2?m22是关于x的二次函数，则m= A．-1 B． C．-1或 D．m不存在 13．y=x2-7x-5与y 轴的交点坐标为 A．- B． C． D． x图1 、下列关于抛物线y=x2+2x+1的说法中，正确的是 5、二次函数y=ax2-bx+c的图象如图1所示，则a，b，c?与 零的大小关系为a___0，b___0，c___0． 6、若抛物线y=x2+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零， 则m=_____． 7．已知二次函数y=ax2-4x-13a有最小值-17，则a=______． 8、二次函数y=x2+2的图象开口_______，对称轴是______，顶点坐标是___．A．开口向下 B．对称轴是直线x=1 C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标是 9、如图2,用长60?米的篱笆，靠墙围成一个长方形场地，在表示场地面积时，图可以设_______为x米，也可以选择______为x米，相应地面积S的解析式为_____或______． 10、使函数y=x2-3x+2的值为零的x的值为_______． 11．函数y=2-3x2的图象，开口方向是____，?对称轴 学习必备 欢迎下载 二次函数的图像和性质(顶点式练习) 1．写出下列函数图象的对称轴、开口方向、顶点坐标： （1）抛物线 y = - 2 3 x 2的对称轴是 ;开口方向是 ;顶点坐标是 . （2）抛物线 y = 6 x 2 的对称轴是 ;开口方向是 ;顶点坐标是 ； 2．若抛物线 y = (m -1)x m 2-m 开口向下，则 m = ______ 3．抛物线 y = 4 x 2 ，当 x < 0 时， y 随 x 的增大而 ；当 x > 0 时， y 随 x 的增大而 。 4． 关于 y = 3x 2 和 y = -3x 2 的图象的说法：①它们都是抛物线；②它们都是轴对称图形；③它们的 顶点相同，对称轴也相同；④两个函数的图象关于x 轴对称；这些说法 中，正确的有（ ）Ａ．４种Ｂ．３种Ｃ．２种 Ｄ．１种 6 ． （１）请将图中图象的编号填入对应的函数后的空格内， y = 1 2 x 2 ； y = x 2 ； y = 2 x 2 ； y = - 1 x 2 ． 2 （２）二次函数 y = ax 2 的开口的大小与 a 有怎样的关系？请写出你的结论． 7.完成下列填空： （1）抛物线 y = -3x 2 + 5 的对称轴是 ;开口方向是 ;顶点 坐标是 .这条抛物线可以看作是由抛物线 y = -3x 2 向 平移 个单位长度得到的。 （2）抛物线 y = x 2 - 4 的对称轴是 ;开口方向是 ;顶点坐标是 ；这条抛物线 可以看作是由抛物线 y = x 2 向 平移 个单位长度得到的。 8．对称轴是 y 轴且过点 A （1，3）、点 B （－2，－6）的抛物线的解析式为 ． 9．若点 A(2，m )在函数 y = x 2 - 1 的图象上，则点 A 关于 x 轴的对称点的坐标是____ _. 10．已知关于 x 的二次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ2＋７，当 x > 0 时，ｙ随ｘ的增大而增大，则ｍ的取值 范围是 11．二次函数 y =x 2 的图象向下平移 2 个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ） A 、 y = x 2 - 2 B 、 y = ( x - 2) 2 C 、 y = x 2 + 2 D 、 y = ( x + 2) 2 12．若二次函数 y = x 2 + 1 2 与 y = - x 2 + k 的图像的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ） A ．这两个函数图像有相同的对称轴 B ．这两个函数图像的开口方向相反 二次函数详解(附习题、答案) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这 里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．二次函数练习顶点式练习题
广东省广州市 人教版 九年级上 数学 二次函数一般式化顶点式题目方法及练习题-精选学习文档
二次函数练习顶点式练习题.doc
2021年二次函数顶点式练习
用顶点式求二次函数解析式
二次函数的图像与性质(顶点式)练习
二次函数顶点式的教案
人教版初三数学上册二次函数顶点式
二次函数的图像与性质(顶点式)培优训练
二次函数顶点式图像与性质
二次函数之配方法求顶点式以及与一元二次方程的关系
二次函数顶点式练习题和答案
二次函数顶点式练习
二次函数详解(附习题、答案)