图形运动变化问题的解题思路
图形运动变化问题的解题思路
姓名
图形运动变化问题的解题关键是，迅速寻找最佳突破口，着重探讨通过恢复原始（初始）或特殊状态，找到解决问题的思路。 一. 旋转问题
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度得到另一个图形，这个定点称为旋转中心。易知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等；对应线段的交角等于旋转角度。
旋转问题多出现在圆、等腰三角形、等边三角形、正方形等特殊图形问题上。
例1.（2005年湖州改编）把正方形AGFE 绕点A 旋转一定角度后的图形如图所示，已知正方形ABCD 的边长为5，正方形AGFE 的边长为3，试求DG 与FC 的数量关系。
图1 图2
解：将图形恢复如图2位置，易证四边形FNCM 是正方形，则根据正方形的性质可得MF
与FC 的数量关系为MF:FC=1:从而得DG 与FC 的数量关系为DG:FC=1:练习： 1.（2007年台州）把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
2.（2007年佳木斯）如图，将ABC △绕点C 旋转60
得到A B C ''△，已知6AC =，
4BC =，则线段AB 扫过的图形面积为（ ）
A ．32π
B ．83π
C ．6π
D ．以上答案都不对
3.（2008年义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究
下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
（2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
二.平移问题
在平面中，将一个图形沿着某个方向移动一定距离，这样的图形变化叫做图形的平移，平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在统一直线上）且相等。平移问题常出现在正方形、梯形、抛物线等特殊图形问题上。
例 2.如图1，在平面直角坐标系内，已知等腰梯形ABCD，A D∥BC∥x轴，AB=CD,AD=2,BC=8,AB=5,B点的坐标是（-1，5）。抛物线y=x2经过上下左右移动后，能否使得A、B、C、D四点都在抛物线上？若能，请说明理由；若不能，则将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=mx2”，试探索m的值,使得抛物线y=mx2经过上下左右移动后能同时经过A、B、C、D四点。
图1 图2
解：考虑只要重合，将梯形移到如图2所示位置，易得A(1,0),B(4,4),
设抛物线的解析式为y=ax 2
+c,则代人可得 0=a+c,4=16a+c,
解之，得 415
a =
。 练习：
4.（2007年湘潭）将一副三角板摆放成如图所示，图中1∠= 度．
5.一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的∠ECB 的度数为（ ）
A.750
B.600
C.650
D.55
三.翻折对称问题
把一个图形沿着某一条直线折叠，得到另一个图形，这条直线叫做对称轴，这就是翻折对称问题，翻折前后两个图形全等。对称轴是对称点连线的垂直平分线。翻折对称问题多出现在等腰三角形、等边三角形以及动手操作实验等问题上。 例3.如图，一张三角形纸片沿直线DE 折叠成如图形状，试探索 ∠A 与∠CEA 和∠BDA 的数量关系。
练习：
6.（2007年苏州）如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A 的大小等于____________度．
四.动点问题
动点问题是图形运动中最常见、最基本的问题，一般出现于规律探索问题中。
例4.（2005年湖州）如图，在等边△ABC 中，M 、N 分别是边AB ，AC 的中点，D 为MN 上任意一点，BD ，CD 的延长线分别交于AB ，AC 于点E ，F 。若611=+BF
CE ，则△ABC 的边长为（ ） A 、
18 B 、14
C 、
1
2
D 、1
练习：
7.（2008年广州）如图，扇形OAB 的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C 是»AB 上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连结DE ，点G 、H 在线段DE 上，且DG=GH=HE
（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形
（2）当点C 在»AB 上运动时，在CD 、CG 、DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度
（3）求证：2
2
3CD CH +是定值 解：
（1）连结OC 交DE 于M ，由矩形得OM ＝CG ，EM ＝DM 因为DG=HE 所以EM －EH ＝DM －DG 得HM ＝DG
（2）DG 不变，在矩形ODCE 中，DE ＝OC ＝3，所以DG ＝1
（3）设CD ＝x ,则CE ＝2
9x -，由EC CD CG DE ⋅=⋅得CG ＝3
92
x x -
所以3)39(222x x x x DG =--=2
所以HG ＝3－1－3
632
2x x -= 所以3CH 2
＝2222212))3
9()36((3x x x x -=-+- 所以121232
222=-+=+x x CH CD
摘录于《初中数学教与学》2008.9
图形运动变化问题的解题思路
姓名
图形运动变化问题的解题关键是，迅速寻找最佳突破口，着重探讨通过恢复原始（初始）或特殊状态，找到解决问题的思路。 一. 旋转问题
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度得到另一个图形，这个定点称为旋转中心。易知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等；对应线段的交角等于旋转角度。
旋转问题多出现在圆、等腰三角形、等边三角形、正方形等特殊图形问题上。
例1.（2005年湖州改编）把正方形AGFE 绕点A 旋转一定角度后的图形如图所示，已知正方形ABCD 的边长为5，正方形AGFE 的边长为3，试求DG 与FC 的数量关系。
图1 练习： 1.（2007年台州）把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
2.（2007年佳木斯）如图，将ABC △绕点C 旋转60
得到A B C ''△，已知6AC =，
4BC =，则线段AB 扫过的图形面积为（ ）
A ．32π
B ．83π
C ．6π
D ．以上答案都不对
3.（2008年义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究
下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
（2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
二.平移问题
在平面中，将一个图形沿着某个方向移动一定距离，这样的图形变化叫做图形的平移，平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在统一直线上）且相等。平移问题常出现在正方形、梯形、抛物线等特殊图形问题上。
例 2.如图1，在平面直角坐标系内，已知等腰梯形ABCD，A D∥BC∥x轴，AB=CD,AD=2,BC=8,AB=5,B点的坐标是（-1，5）。抛物线y=x2经过上下左右移动后，能否使得A、B、C、D四点都在抛物线上？若能，请说明理由；若不能，则将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=mx2”，试探索m的值,使得抛物线y=mx2经过上下左右移动后能同时经过A、B、C、D四点。
图1 图2
4.（2007年湘潭）将一副三角板摆放成如图所示，图中1∠= 度．
5.一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的∠ECB 的度数为（ ）
A.750
B.600
C.650
D.55
三.翻折对称问题
把一个图形沿着某一条直线折叠，得到另一个图形，这条直线叫做对称轴，这就是翻折对称问题，翻折前后两个图形全等。对称轴是对称点连线的垂直平分线。翻折对称问题多出现在等腰三角形、等边三角形以及动手操作实验等问题上。 例3.如图，一张三角形纸片沿直线DE 折叠成如图形状，试探索 ∠A 与∠CEA 和∠BDA 的数量关系。
练习：
6.（2007年苏州）如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，
则∠A 的大小等于____________度．
四.动点问题
动点问题是图形运动中最常见、最基本的问题，一般出现于规律探索问题中。
例4.（2005年湖州）如图，在等边△ABC 中，M 、N 分别是边AB ，AC 的中点，D 为MN 上任意一点，BD ，CD 的延长线分别交于AB ，AC 于点E ，F 。若611=+BF
CE ，则△ABC 的边长为（ ） A 、18 B 、14
C 、
1
2
D 、1
7.（2008年广州）如图，扇形OAB 的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C 是»AB 上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连结DE ，点G 、H 在线段DE 上，且DG=GH=HE
（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形
（2）当点C 在»AB 上运动时，在CD 、CG 、DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度
（3）求证：2
2
3CD CH 是定值
摘录于《初中数学教与学》2008.9
图形运动变化问题的解题思路
图形运动变化问题的解题思路 姓名 图形运动变化问题的解题关键是，迅速寻找最佳突破口，着重探讨通过恢复原始（初始）或特殊状态，找到解决问题的思路。 一. 旋转问题 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度得到另一个图形，这个定点称为旋转中心。易知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等；对应线段的交角等于旋转角度。 旋转问题多出现在圆、等腰三角形、等边三角形、正方形等特殊图形问题上。 例1.（2005年湖州改编）把正方形AGFE 绕点A 旋转一定角度后的图形如图所示，已知正方形ABCD 的边长为5，正方形AGFE 的边长为3，试求DG 与FC 的数量关系。 图1 图2 解：将图形恢复如图2位置，易证四边形FNCM 是正方形，则根据正方形的性质可得MF 与FC 的数量关系为MF:FC=1:从而得DG 与FC 的数量关系为DG:FC=1:练习： 1.（2007年台州）把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？ 请先观察猜想，然后再证明你的猜想． 2.（2007年佳木斯）如图，将ABC △绕点C 旋转60 得到A B C ''△，已知6AC =， 4BC =，则线段AB 扫过的图形面积为（ ） A ．32π B ．83π C ．6π D ．以上答案都不对
3.（2008年义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究 下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系； （2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断． 二.平移问题 在平面中，将一个图形沿着某个方向移动一定距离，这样的图形变化叫做图形的平移，平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在统一直线上）且相等。平移问题常出现在正方形、梯形、抛物线等特殊图形问题上。 例 2.如图1，在平面直角坐标系内，已知等腰梯形ABCD，A D∥BC∥x轴，AB=CD,AD=2,BC=8,AB=5,B点的坐标是（-1，5）。抛物线y=x2经过上下左右移动后，能否使得A、B、C、D四点都在抛物线上？若能，请说明理由；若不能，则将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=mx2”，试探索m的值,使得抛物线y=mx2经过上下左右移动后能同时经过A、B、C、D四点。 图1 图2
图形运动问题的分析
图形运动问题的分析 随着新课程标准的实施，其基本理念对近几年数学命题的改革产生了重大的影响。新课程标准下的初中数学教材删去了原三角形全等部分的知识，增加了图形运动的内容，使数字更贴近生活，解题方法更灵活多变。 在这一理念的引导下，这一部分的分值比前两年大幅度提高。常见的图形运动有三种：旋转、平移和翻折。运动变化问题正是利用它们变化图形的位置，引起条件或结论的改变，或者把分散的条件集中，以利于解题。这类问题注重培养学生用动态的观点去看待问题，有利于学生空间想象能力和动手操作能力的锻炼，这类问题的解题关键在于如何“静中取动”或“动中求静”。 平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。这类实体的特点是：结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它只是相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力；其中所含的数学思想和方法丰富，有数型结核方程的思想及数字建模，函数的思想，分类讨论的思想方法等。 为帮助广大考生把握好平移，旋转和翻折的特征，巧妙利用平移，旋转和翻折的知识来解决相关的问题，下面已近三年上海市毕业考，中考，中考预测卷为例说明其解法，供大家参考。 一、平移 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。“一定的方向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离。 例1在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x 轴于点A(x1,0)点B(x2,0)，且(x1+1)(x2+1)=8。 (1)求二次函数的解析式(2)将上述二次函数图像沿x轴向右平移两个单位，设平移后的图象与y轴交点为C，顶点为P，求△POC的面积。
解决圆周运动问题的解题步骤
0/ a 图4-21 物理 解决圆周运动问题的解题步骤 1． 明确研究对象，分析运动状态： ①若有某个固定点或固定轴，开始运动瞬间速度与外力垂直，且某个外力为变力，物体将做圆周运动。 （关键是看是否有初速度与外力是否垂直，速度与外力是否变化。） ②若切线方向有加速度，则物体做非匀速圆周运动。 若切线方向无加速度，则物体做匀速圆周运动。 例题:如下图所示，将完全相同的两个小球A 、B ，用长L =0.8 m 的细绳悬于以v =4 m ／s 向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比F B ∶F A 为(g =10 m ／s 2)（ C ） A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 答案：C （A 球以v =4 m ／s 的速度做匀速圆周运动，B 球静止） 2．确定圆心与轨道半径： 例题:如图所示，竖直放置的光滑圆环，半径R=20cm ，在环上套有一个质量为m 的小球，若圆环 以w =10 rad/s 的角速度转动（取g=10m/s 2 ），则角θ的大小为 （ C ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案：C （质点与转轴的垂点为圆心，垂线为半径） 3．受力分析，确定向心力的来源： 例题:创新P21 跟踪2 如图1所示，半径为r 的圆形转筒，绕其竖直中心轴oo’转动，小物块a 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，现要使小物块不下落，圆筒转动的角速度ω至少为：（ C ） 答案：C 如图4-21所示,半径为r 的圆形转筒,绕其竖直中心轴OO’转动,小物块a 靠在圆筒的内壁上,它与圆筒
解决数学图形问题的步骤
解决数学图形问题的步骤 数学图形问题是数学学习中的重要组成部分，对于学生来说，解决 数学图形问题需要一步一步的方法和技巧。本文将介绍解决数学图形 问题的步骤和相关的解题技巧。 第一步：理解问题 解决数学图形问题的第一步是完全理解问题的要求。阅读问题陈述 并思考问题的关键要素，在理解问题的基础上，我们可以判断问题是 关于哪种图形的，例如平面图形、立体图形等。同时，也需要注意问 题中是否给出了一些必要的条件和假设。 第二步：分析图形特征 在理解问题后，我们需要仔细分析图形的特征。对于平面图形，需 要注意其形状、边长、角度等特征。对于立体图形，需要注意其棱长、面积、体积等特征。通过分析图形的特征，我们可以建立起解题的基 本框架。 第三步：确定解题方法 根据问题的要求和图形的特征，我们需要确定合适的解题方法。解 题方法可以基于几何性质、运算定律等进行选择。例如，当问题涉及 到平行线、垂直线时，我们可以使用平行线的性质和垂直线的性质进 行求解。当问题涉及到角度时，我们可以使用角度的定义和运算定律 进行求解。
第四步：建立方程或不等式 在确定解题方法后，我们需要根据问题的要求建立方程或不等式。 通过建立方程或不等式，可以将问题中给定的条件和要求转化为数学 表达式。建立方程或不等式的过程中，需要将问题的关键信息与数学 符号和变量进行对应。 第五步：求解方程或不等式 在建立方程或不等式后，我们需要求解方程或不等式，得到问题的解。根据方程或不等式的类型和性质，可以使用解方程、解不等式的 方法进行求解。 第六步：回答问题并检查 在得到问题的解后，我们需要根据问题的要求进行回答，并进行检查。回答问题时要注明所求的数值或条件，并结合数学语言和符号进 行准确的表达。在检查时，要仔细对照问题的审题要求和解题过程， 确保没有遗漏和错误。 除了以上的基本步骤，解决数学图形问题还需要掌握一些常用的解 题技巧： 1. 利用几何性质：在解决平面图形问题时，需要熟悉各种几何性质，如平行线的性质、等腰三角形的性质等。利用这些性质可以简化问题 的求解过程。 2. 使用相似三角形：在解决涉及三角形的问题时，可以利用相似三 角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等，来求解未知量。
动态几何变化问题
--------动态几何变化问题(★★★★) 以运动的观点探究几何图形局部变化规律的问题，称之为动态几何问题. 动态几何问题充分表达了数学中的“变〞与“不变〞的和谐统一，其特点是图形中的某些元素〔点、线段、角等〕或某局部几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠局部的面积或某局部图形的形状等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻. 1.了解动态几何问题涉及的常见情况； 2.掌握讲义中涉及的动态几何变换的思考策略与解题方法； 3.数形结合、空间想象能力和综合分析能力的训练。 知识结构 本局部建议时长5分钟 “知识构造〞这一局部的教学，教师在教学时刻根据每种情况进展简单例举，也可让学生进展回忆例举 考点一、建立动点问题的函数解析式 动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 考点二、动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。〕动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 〔一〕点动问题。〔二〕线动问题。〔三〕面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。 三、专题二总结，本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合〔数形结合〕；着力于数学本质及核心容的考察;四大数学思想：
小学数学解题思路技巧：移动火柴棒改变图形
小学数学解题思路技巧：移动火柴棒改变图形 ［知识要点］ １．移动火柴棒，改变图形； ２．用火柴棒组图。 ［范例解析］ 例1图4-4是由9根火柴摆成的三个正三角形，请移动其中一个 三角形，使图形中有5个正三角形。 分析三根火柴可组成一个正三角形，将每边加一根火柴，就可组 成每边由二根火柴组成的正三角形，这时只要移动一个三角形就可组成 一个大的正三角形内含有四个小正三角形，共有五个正三角形。 解移动一个正三角形内含有四个小正三角形，共有五个正三角形。 例2图4-6是由12根火柴组成的“品”状的三个正方 形，现在请你移动其中一个正方形的位置，使图形中出现七个正方形。 分析由三变七，必有一个由一变四，这是可能的。 解移动一个成图4-7即可。 说明移动部分图形重组图形，一般是给定一个已排好的图形，要求移动其中某一部分，达到一个新的要求。这里面渗透了图形平移的观点。在图形平移时，有时会出现重合的边，就要从重合的地方取出一根或几根火柴，又到别处添补。 例3图4-8中是由24根火柴摆成的图，图内有7个正方形（三个大的、四个小的），请你移动四根火柴，使图中只含有长方形，而不含任何其他图形（图形要封闭）。 解如图4-9所示。 例4图4-10中是由十二根火柴摆成的正方形，它共含有五个正方形。请
你只移动两根火柴，使图形中分别含有六个正方形和七个正方形。 解如图4-11所示。 例5用20根火柴摆成一个长方形或正方形，摆出的这些图形，周长相等吗？ 解摆成的长方形或正方形如图4-12。 这些图形的周长都是相等的。 例6用12根火柴摆成一个直角三角形。怎样摆法？如果用24根火柴怎样摆法？ 解12根的摆法如图4-13所示。 24根的摆法如图4-14所示。 例7下图是用4根火柴摆成的“抓住一只苍蝇的苍蝇拍”。请你只移动两根火柴，将“苍蝇拍”移到“苍蝇”旁边（“苍蝇”不准动）。 解 ［思路技巧］
数学动点问题解题思路
数学动点问题解题思路 【数学动点问题解题思路】所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题。 “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 解决动点问题的关键是“动中求静”。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 考点一：建立动点问题的函数解析式(或函数图像) 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容。动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系。 考点二：动态几何型题目
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。 动态几何特点--问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 考点三：双动点问题 动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.
旋转数学题解题方法技巧
旋转数学题解题方法技巧 旋转数学题解题方法技巧 一、旋转数学题的概念 旋转数学是一类涉及空间几何图形的解题方法，旋转数学指的是利用图形来进行运算，在几何中，空间几何图形可以提供重要的知识，从而有助于解决数学问题，其中包括一些比较复杂的问题，比如多面体的旋转等。 二、旋转数学题的解题方法技巧 1、明确旋转数学题的形式 要根据旋转数学题的具体形式来确定解题思路，一般分为三类：（1）旋转图形的形状（比如圆形、正方形等）， （2）旋转图形的大小， （3）旋转图形的角度。 2、确定解题步骤 旋转数学题的问题可以分为几个部分： （1）确定图形定义的方向； （2）计算旋转的角度； （3）构造旋转图形的方法； （4）通过旋转图形计算相关的变量。 3、构造图形 因为解答题目需要利用空间几何图形，而空间几何图形的构造也非常重要。首先，需要仔细观察题目，根据题目中提供的图形信息，
明确图形的各个点和线段的关系；其次，根据题目中给出的角度，用测量角度的工具来确定图形的具体方位。 4、确定旋转角度 求解旋转数学题的时候，需要确定旋转角度，这一步非常重要，而且需要花费一定的时间。如果知道图形的始末点，那么可以用直角三角形的关系式求出旋转角度，如果不知道图形的始末点，可以运用角平分线求出旋转角度。 5、计算变量 解答旋转数学题的时候，除了确定旋转方向和角度外，还需要计算出与旋转相关的变量，例如图形的面积、夹角等等。如果题目中出现复杂的几何图形，可以使用它们的公式来计算出任何一个变量。 6、解答问题 有了图形的关系、旋转角度及其他变量的信息，就可以解答旋转数学题了，根据所要求的条件，将计算得到的变量结合起来，就可以解出题目要求的结果了。
谈图形运动问题的教学策略
谈图形运动问题的教学策略 纵观近几年来各省市的中考数学试题,有关图形运动的问题屡屡出现,且此类问题大多数都是压轴题,是中考数学命题的热点,倍受关注。有关图形运动的问题大体源来有三种,即点的运动、线的运动和图形的运动。集几何、代数知识于一体,是数与形的巧妙结合,此类问题常常情景新颖,解法灵活,难度大,思考性和挑战性强,能较好地考查学生综合能力。 学生在刚接触此类问题时,基本上都束手无策,即使个别同学能动笔计算,也是错误多,方法不灵活,漏解情况严重。学习较长时间后,也有不少同学仍然想到此类问题棘手,无信心,畏惧情绪等。下面结合近三年初三教学的感悟和体会,谈谈我在此类问题的教学心得。 一、关注运动情况的分析 在阅读分析试题时,要关注点(或图形)运动的起点、终点和运动的路线,重点关注两点是否同时运动,同时停止,还是一点运动到终点后另一点也随之停止运动。虽然这一分析过程在解题中没有体现的必要,但与解决问题关系非常大。分析好运动的情况,可以在头脑中逐步产生空间感和运动感,以利于问题的解决。 二、以直观的方法培养学生的运动问题的理解 在刚学习图形运动类型问题时,我示范和引导学生用纸笔和橡皮筋以及透明的塑料亲身感觉图形运动的情况,教学效果非常好。例如2006年吉林省中考压轴题: 如图,正方形ABCD的边长为2cm,在对称中心O处有一钉子,动点P、Q同时从点A出发,点P沿A→B→C方向每秒2cm的速度运动,到点C停止,点Q沿A→D 方向以每秒1cm的速度运动到点D停止。P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结,设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2。
(1)当0≤x≤1时,求y与x之间的函数关系式; (2)当橡皮筋刚好触及钉子时,求x值; (3)当1≤x≤2时,求y与x之间的函数关系式,并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围; (4)当0≤x≤2时,请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象。 在教学时通过对比发现直观演示的方法比就题讲题效果明显,而且在今后的学习中学生发展成借助三角板、量角器的透明度进行图形运动演示帮助分析题意,突出创造性,达到较好的学习效果。 例如下题,形如量角器的半圆O的直径DE=12cm,形如三角板的△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=12cm,半圆O以2cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,点D、E始终在直线BC上,设运动时间为t(s),当t=0s时,半圆O在三角形ABC的左侧,OC=8cm。 (1)当t为何值时,△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切? (2)当三角形ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时,如果半圆O与直线DE围成的区域与三角形ABC三边围成的区域有重叠部分,求重叠部分的面积。 采用直观演示的方法,学生分析理解的全面、准确。 三、注重分段 准确的将各种情况分段,是解决运动型问题关于所围成图形面积与运动时间的函数关系式的关键。分段的方法:
数学动点问题实用解题技巧总结
数学动点问题实用解题技巧总结 动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。下面是小编为大家整理的关于数学动点问题解题技巧，希望对您有所帮助! 动点问题解题技巧归纳 解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解。 1、仔细读题,分析给定条件中哪些量是运动的,哪些量是不动的.针对运动的量,要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑,分类讨论.针对不动的量,要分析它们和动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系。 2、画出图形,进行分析,尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系.如果没有静止状态,通过比例、相等等关系建立变量间的函数关系来研究。 3、做题过程中时刻注意分类讨论,不同的情况。 动点问题解题技巧 1.数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数。 2.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a-b;向右运动b个单位后所表示的数为a+b。 3.数轴是数形结合的.产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 例1.已知数轴上有A、B、C三点，分别代表-24，-10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。 ⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位?
图形的运动轴对称测试题及解题思路分析
图形的运动 一、轴对称 1、把一个图形沿着某一条直线对折，对折后直线两侧的部分完全重合，这样的图形就是轴对称图形。折痕所在的直线是图形的对称轴。（对称轴是一条直线，所以在画对称轴时，要画到图形外面，且要用虚线。） 2、轴对称图形的特征：对折后，对称轴两侧能够完全重合。 3、轴对称和轴对称图形都是关于某条直线对称，轴对称是指2个图形，轴对称图形是指1个图形的两部分。 4、在轴对称图形的中，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等。 5、画简单轴对称图形的方法 ①找出已知图形的几个关键点 ②然后根据各个对称点到对称轴的距离相等的特点，在对称轴的另一侧找出关键点的对称点 ③最后按照已知图形的形状顺序连接各对称点，就画出了所有图形的另一半 6、判断一个图形是否是轴对称图形的方法 把这个图形沿某条直线对折，看折痕两侧的图形能否完全重合，能够重合的图形就是轴对称图形，不能完全重合的图形就不是轴对称图形。 7、会画已知图形的对称轴，例如长方形、正方形、圆形、三角形等。 8、轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条。 长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有3条对称轴，线段有1条对称轴，菱形有2条对称轴，圆有无数条对称轴，半圆有一条，圆环有无数条，半圆环有一条。 二、平移： 1.概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。（平移现象，例如：缆车、观光梯、推拉门等） 2.性质 （1）平移前后图形全等； （2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。 3.平移的作图步骤和方法： （1）确定平移的方向和平移的距离 （2）找出构成图形的对应点 （3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个对应点 （4）连接所作的各个对应点，并标上相应的字母
图形规律问题解题策略
图形规律问题解题策略作者：*** 来源：《初中生世界·九年级》2020年第08期
“找規律”是一个探究事物之间内在联系或变化趋势的过程。中考中常出现的图形规律问题，可以从数字规律或数形结合等角度寻找解决问题的策略。本文结合考题，和同学们一起探索这类问题的解题策略。 类型1：从算式中寻找规律 例1（2018·江苏徐州）如图1，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个。（用含n的代数式表示）
【解析】方法一：观察图形，分别寻找每个图形中的正方形总个数和黑、白两色正方形个数的规律，从而解决问题。 第1个图形黑、白两色正方形共3×3个，其中黑色1个，白色3×3-1个; 第2个图形黑、白两色正方形共3×5个，其中黑色2个，白色3×5-2个; 第3个图形黑、白两色正方形共3×7个，其中黑色3个，白色3×7-3个; ...... 依此类推，第n个图形黑、白两色正方形共3×（2n+1）个，其中黑色n个，白色3× （2n+1）-n个，即白色正方形5n+3个，故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多4n+3个。 方法二：寻找后一个图形与前一个图形之间的联系和变化，发现增加的个数，从而寻找规律。 第1个图形白色正方形共8个，黑色1个，白色比黑色多7个; 第2个图形相比第1个图形，白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多7+4个; 第3个图形相比第2个图形，白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多7+4x2个; ...... 依此类推，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多7+4（n一1）个，即4n+3个。 【点评】我们在求解这道题时，要先从特殊情况出发，用前三个具体数据逐步发现规律。既可以从代数规律角度研究，也可以结合图形去寻找规律。我们在寻找规律时，不一定要把具体数据算出来，而应该寻找每一种方法的规律。 类型2：从图形分割中寻找规律 例2下列图形都是由同样大小的▲按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个▲;第2个图形中一共有9个▲;第3个图形中一共有12个▲......按此规律排列，则第2019个图形中▲的个数为（）。 【解析】如下图，将图形分割，可以发现，后一个图形比前一个图形多3个▲，所以第2019个图形比第一个图形多2018个3，从而第2019个图形中▲的个数为6+3×2018=6060。故选D。
解决旋转问题的思路方法
解决旋转问题的思路方法 1.把一个平面图形F绕平面内一点O按一定方向（顺时针或逆时针）旋转一定角度α得到图形F'的变换称为旋转变换，点O叫做旋转中心，角度α叫做旋转角.特别地，旋转角为180°的旋转变换就是中心对称变换. 2.旋转变换的性质：对应图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应线段所在直线的夹角中有一个等于 旋转角，对应点到旋转中心的距离相等. 中心对称的性质：连结对应点的线段都经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行且相等，对应角相等. 3.旋转变换应用时常见的有下面三种情况： （1）旋转90°角.当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°. （2）旋转60°角.当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°. （3）旋转度数等于等腰三角形顶角度数.当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数. 例1.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N. （1）当扇形绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1所示，求证：MN2=AM2+BN2. （2）当扇形CEF绕点C旋转至如图2所示的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 规律技巧：本题利用旋转变换，将结论中的分散线段通过等量代换集中到了一个三角形中，再证明该三角形为直角三角形，运用勾股定理证明.本题还体现了动态几何问题的一个共同特征：运动的图 形与静止的图形的相对位置虽然发生了变化，但有些结论仍然保持不变，且证明方法也是一 样的.这也正是动态几何问题的魅力所在.本题也可通过运用轴对称变换作辅助线，将△ACM沿 直线CE对折，得△DCM，连结DN.再证△DCN≌△BCN.
关于面积变化的运动型几何题的讲解
关于面积变化的运动型几何题的讲解 纵观近几年各省市的中考题，关于面积变化的运动型几何综合题越来越新颖，它通常是将给定的图形按某种方式沿直线运动变化，期间面积也发生变化，要求学生去探索得到相应的结论，同时说明理由．这些题目大都有一段较长的叙述性文字，要求在解题过程中思路要十分清晰，并能灵活运用所学的各种知识进行解题，然而就算这些题目中有些难度不算太大，学生拿到这种数学题，也是感到无从下手．教师投入的时间和精力不少，而实际教学效果却不令人满意．怎样向学生讲解这些题目，教会学生用什么方式来思考这些题目呢？本文以2008年广东省初中毕业考试中的一道关于面积变化的运动型几何题为例进行探讨． 题目：将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD． (1)填空：如图1，AC=， BD=；四边形ABCD是梯形. (2)请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）. (3)如图2，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴y建立如图2的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴x的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相
交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围. 一、让学生学会认真读题 审题对于数学尤其重要，有时题目中一个字的改变就会导致整道题目思路的改变．这就需要学生养成认真审题的习惯．具体要求是把题目读三遍：第一遍粗读，大概了解题目讲些什么？第二遍精读，对照图形读题，找出题目的关键词或注意点，把已知条件在图上作出适当的标记，第三遍按题分析，一边读题，一边联系学过的知识，将有关知识从大脑中提取出来，并加以综合，要求根据题意作出简单的分析或画出相应的图、作出辅助线等，从而找到解题思路和方法．如上题中第（2）问中是不能写全等三角形的，第（3）问中要求保持ΔABD不动，将ΔABC平移，当F与B重合时，ΔFBP 已不存在，所以存在t的取值范围，这些是必须向学生强调．因为要求ΔFBP的面积，就要作辅助线：过点P作PK ⊥FB于点K． 二、让学生学会向自己提问 如：见过这个问题吗？见过与其类似的问题吗？要求的这个结论有代替它的条件吗？用这样向自己提问的方法引出潜伏在自己脑袋里的相关知识．如上题第（2）中，题目没有说明写多少对相似三角形，学生很容易会遗漏，但如果学生在解题过程中多问自己几次，如还有没有相似的呢？平
图形规律的解题技巧
图形规律的解题技巧 （一）固定累加的图形规律解题技巧 表现形式：大图案中由一种同类小元素构成，且大图案规律性变化时增加的小元素个数相同。 方法：构造一次函数模型 步骤： 第一步:设大图案的次数为x,大图案中小元素的个数为y,建立一次函数模型:y=kx+b； 第二步:用待定系数法求得解析式； 第三步:代入解析式,求值。 例题讲解 例1：如图,将图1中的菱形剪开得到图2,图中共有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3,图中共有7个菱形；如此剪下去,第5个图中共有个_______菱形……,第n个图中共有______________个菱形。 解析:设大图案的次数为x,大图案中菱形的个数为y,则y=kx+b 将(1,1),(2,4)代入得y=3x-2 ∴当x=5时,菱形个数为43个,当x=n时,菱形个数为(3n-2)个 例2：观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2021个图形共有个★． 例3：如图是一组有规律的图案,第①个图案中有4个三角形,第②个图案中有7个三角形,第③个图案中有10个三角形…依此规律,第⑦个图案中有( )个三角形
A.19 B.21 C.22 D.2 例4：用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二 个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三 角形，则第n 个图案中正三角形的个数为 （用含n 的 代数式表示）. 例5：按如下规律摆放三角形： 则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________. 《固定累加的图形规律解题技巧》演练题 1.下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的,其中,第个图形中面积为1的正方形有9个,第2 个图形中面积为1的正方形有14个,……,按此规律,则第几个图形中面积为1的正方形的个数为2019个 A.400 B.401 C.402 D.403 2.如图是由相同大小的圆圈按照一定规律摆放而成,按此规律,则第n 个图形中圆圈的个数为（ ） A.n+1 B. n n 2 C.4n+1 D. 2n-1 3.小明家的窗户上有一些精致花纹,小明对此非常感兴趣,他观察发现窗格的花纹排列呈现一定规律,如图,其中“○”代表的就是精致的花纹,请问有47个精致花纹的是第( )个图。 A.11 B.13 C.15 D.17