一次函数图像应用题(带解析版)

一次函数中考专题

・选择题

1 .如图，是某复印店复印收费 y （元）与复印面数（8开纸）x （面）的函数图

象，那么从图象中可看出，复印超过 100面的部分，每面收费（

）

A. 0.4 元

B. 0.45 元

C. 4勺 0.47 元

D. 0.5 元

)A. x>3 B, x< 3 C, x>2 D. x<2 3.如图，已知：函数y=3x+b

y=ax- 3的图象交于点P （ - 2, -5）,则根据图

象可得不等式3x+b>ax- 3的解集是（

）

A. x> - 5

B. x>-2

C. x> - 3 D, x< - 2

4.甲、乙两汽车沿同一路线从 A 地前往B 地，甲车以a 千米/时的速度匀速行驶， 途

中出现故障后停车维修，修好后以2a 千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车 出发2小时后匀速前往B 地，比甲车早30分钟到达.到达B 地后，乙车按原 速度返回A 地，甲车以2a 千米/时的速度返回A 地.设甲、乙两车与A 地相距 s （千米），甲车离开A 地的时间为t （小时），$与1之间的函数图象如图所示.下 列说法：

①a=40;②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时 t 的值为5.25;④当t=3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（

）

个 £

） 个 3/5））

A. 0个

B. 1个

C. 2个D, 3

个

等式kx> ax+4的解集为（

2.如图，函数y=kx （kw0）和y=ax+4 （a*0）的图象相交于点A （2, 3）,则不

【解答】①由函数图象，得a=120+ 3=40故①正确，

②由题意，得 5.5-3- 120- (40X2), =2.5- 1.5, =1.

甲车维修的时间为1小时；故②正确， ③如图：:甲车维修的时间是1小时，B (4, 120).

•••乙在甲出发2小时后匀速前往B 地，比甲早30分钟到达. 「.E (5, 240). •••乙行驶的速度为：240 + 3=80, ，乙返回的时间为：240+ 80=3, A F (8, 0).

设BC 的解析式为y I =k 1t+b 1, EF 的解析式为y 2=k 2t+b 2,由图象，得

fl20=4k 1 + b 1

「2骐=5%+2

fk.=80

fk 2=-80

]।

-

2

2 解得，1

,

2

[0=Sk 2 + b 2

[bj=-200 1b 厂 84Q

• .y 1=80t-200, y 2=-80t+640,

当 y 1二y 2 时，80t - 200= - 80t+640, t=5.25.

;两车在途中第二次相遇时t 的值为5.25小时，故弄③正确，

④当t=3时，甲车行的路程为120km,乙车行的路程为 80X (3- 2) =80km, 「•两车相距的路程为：120- 80=40千米，故④正确，故选：A.

5.甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h,

并且甲车途中休息了 0.5h,如图是甲乙两车行驶的距离 y (km)与时间x (h) 的函数图象.则下列结论：(1) a=40, m=1; (2)乙的速度是 80km/h ; (3) 甲比乙迟5h 到达B 地；(4)乙车行驶f 小时或号小时，两车恰好相距50km.

4

B .

4

2

0=2k y

120-3. 5k /十解得：,

k - /.y=80x- 160.

=-160

当40x- 20-50=80x- 160 时,解得: 当40x— 20+50=80x- 160 时,解得: 喘

x=ii

XV .

2字号2牛所以乙车行驶版件小时，两车恰好相距 .填

空题(共3小题)

50km, 故(4)错误.故选(C)

6.如图，已知A I, A2, A3,…，A n是x轴上的点, 且OA1=A1A2=A2A3=…=AA n+1=1 ,

分别过点A1, A2, A3, •,,, A n+1作x轴的垂线交一次函数靠的图象于点B I , B2, B3,…，B n+1,连接A1B2, B1A2, A2B3, B2A3,…，A n B n+1 , B n A n+1 依次产生交

【解答】(1)由题意，得m=1.5-0.5=1.

120+ (3.5— 0.5) =40 (km/h),贝U a=40,故(1)正确；

(2) 120+ (3.5-2) =80km/h (千米/小时)，故(2)正确；

(3)设甲车休息之后行驶路程y(km)与时间x(h)的函数关系式为y=kx+b,

由题意，得(4iTL5k+b 解得：［kEO ,-.y=40x- 20,

1120=3. 5k+b |.b=-20

根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车，

把y=260 代入y=40x- 20 得，x=7, .「乙车的行驶速度80km/h,，

乙车行驶260km需要260+ 80=3.25h, .•-7- (2+3.25) 乎，・•・

甲比乙迟『到达B地，故(3)正确;

(4)当1.5

设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k'x+b',由题意得

点P1,巳，P3,…，P n,则P n的坐标是

【解答】由已知得Ai, A2, A3, •।的坐标为:(1, 0), (2, 0), (3, 0),…,

y=^_x 的图象于点Bi, B2, B3, ••的坐

标 分别为(16)，⑵1),(3,

由此可推出A n, B n, A n +1, B n +1四点的坐标为(n, 0), (n,

7 .下图是护士统计一病人的体温变化图， 这位病人中午12时的体温约为 C.

8 .某高速铁路即将在2019年底通车，通车后，重庆到贵阳、广州等地的时间将 大

大缩短.5月初，铁路局组织甲、乙两种列车在该铁路上进行试验运行，现 两种列车同时从重庆出发，以各自速度匀速向 A 地行驶，乙列车到达 A 地后 停止，甲列车到达A 地停留20分钟后，再按原路以另一速度匀速返回重庆， 已知两种列车分别距 A 地的路程y (km)与时间x (h)之间的函数图象如图

所示.当乙列车到达A 地时，则甲列车距离重庆 km.

又得作x 轴的垂线交一次函数 (n+1, 0), (n+1, n+1

). 所以得直线A n B n +1和A n +1B n 的直线方程分别为

解得

X-nr+

2n-Fl

_ n?tn

乎 4n +2

故答案为:

2 , (n^J^, 2n+l 5 4n42

A 体温(Q

C ) 40 —

—

【解答】设乙列车的速度为xkm/h,甲列车以ykm/h的速度向A地行驶，到达A 地停留20分钟后，以zkm/h的速度返回重庆，

则根据3小时后，乙列车距离A地的路程为240,而甲列车到达A地，

可得3x+240=3y,①

根据甲列车到达A地停留20分钟后，再返回重庆并与乙列车相遇的时

刻为4小时，可得x+ (1 -L) z=240,②

3

根据甲列车往返两地的路程相等，可得( 普-3々)z=3y,③

由①②③，可得x=120, y=200, z=180,

重庆至|J A地的路程为3X200=600 (km),

，乙列车到达A地的时间为600+ 120=5 (h),

;当乙列车到达A地时，甲列车距离重庆的路程为600 - (5-3 W )X 180=300(km) 故答案为：300.

三.解答题(共10小题)

9.为倡导绿色出行，某共享单车近期登陆徐州，根据连续骑行时长分段计费：

骑行时长在2h以内(含2h)的部分，每0.5h计费1元(不足0.5h按0.5h计算)；骑行时长超出2h的部分，每小时计费4元(不足1h按1h计算).

根据此收费标准，解决下列问题：

(1)连续骑行5h,应付费多少元？

(2)若连续骑行xh(x>2且x为整数)需付费y元，则y与x的函数表达式为；

(3)若某人连续骑行后付费24元，求其连续骑行时长的范围.

【解答】(1)当x=5 时，y=2X 2+4 X (5-2) =16,「•应付16 元；

(2) y=4 (x- 2) +2X2=4x- 4;故答案为：y=4x- 4;

(3)当y=24, 24=4x- 4, x=7,「•连续骑行时长的范围是：6

解得x ＜、;

当 yi

10.如图, ”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能

源汽车自驾出游.

甲公司二接曰收取同定用金芯近.

另外再按出租车时间计费； 乙公司二元固定租金『直接以租车 时间讨妻,每小时的租药是知元.

方吴一：选择甲公司； 方案二:因5菖公司. 选挂哪个方靠合理呢?

%

165 L50

135 120

W5 90 75

5U 45 30 15

¥1

4 5%工

小明 根据以上信息，解答下列问题: (1)设租车时间为x 小时，租用甲公司的车所需费用为 y i 元，租用乙公司的 车所需费用为y 2元，分别求出y i, y 2关于x 的函数表达式; (2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； (3)根据(2)的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算.

【解答】(1)设y i =k i x+80,把点(1, 95)代入，可得：95=k i +80,解得k i =15, • ・y i =15x+80 (x>0)； 设 y 2=k 2x,把(1, 30)代入，可得 30=k 2,即 k 2=30, ・二 y 2=30x

(x>0)；

(2)当 y i =y 2 时，15x+80=30x,解得 x

答：当租车时间为

16 3

小时时，两种方案所需费用相同; (3)由(2)知：当 y i =y 2 时,

X =TT -;当 y i >y 2时,

15x+80> 30x,

「•当租车时间为

16 3 小时，任意选择其中的一个方案;

当租车时间小于 当租车时间大于 16

16 小时，选择方案二合算;

小时，选择方案一合算.

16

11.如表给出A 、B 、C 三种上网的收费方式:

(1)假设月上网时间为x 小时，分别直接写出方式 A 、B 、C 三种上网方式的收 费金

额分别为y 1、y 2、y 3与x 的函数关系式，并写出自变量的范围(注意结果要 化简);

(2)给出的坐标系中画出这三个函数的图象简图； (3)结合函数图象，直接写出选择哪种上网方式更合算.

取值范围，由取值来确定函数值，从而作出函数图象.

【解答】(1)收费方式 A: y=30 (025); 收费方式 B ： y=50 (050);

收费方式 C ： y=120 (00x)；

(2)函数图象如图：

(3)由图象可知，上网方式C 更合算。

12.某化工厂生产一种产品，每件产品的售价 50元，成本价为25元.在生产过 程

中，平均每生产一件产品有0.5m 3

的污水排出，为净化环境，工厂设计了如下 两种方案对污水进行处理，并准确实施：

为案A:工厂将污水先进行处理后再排出，每处理 1m 3

污水所用原料费为2元, 每月排污设备的损耗费为3000元.

方案B:工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理 1m 3污水需付14元排污费.

(1)设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 元，分别求出A B 两中方案处理 污水

时，y 与x 的函数关系式.

收费方式

A B C

月使用费/元 包时上网时间/小时

30 50 120

25 50

不限时

超时费/ (元/分钟)

0.05

0.05

(2)当工厂每月生产量为6000件时，作为厂长在不污染环境又节约资金的前提下，应选用哪种污水的处理方案？请通过计算说明理由.

(3)求：一般的，每月产量在什么范围内，适合选用方案A.

【分析】(1)每件产品的售价50元，共x件，则总收入为50x,成本费为25x, 产生的污水总量为0.5x,根据利润=总收入-总支出即可得到y与x的关系；

(2)根据(1)中得到的x与y的关系，将x=6000代入，比较y的大小即可得采用哪种方案工厂利润高；

(3)当两种方案所得利润相等时，所得的x值即为临界点，如此可根据产量选择适合的方案.

【解答】(1)采用方案A时的总利润为：y i=50x-25x- (0.5xX2+3000) =24x- 3000; 采用方案B是的总利润为：y2=50x- 25x- 0.5xX 14=18x;

(2) x=6000,当采用第一种方案是工厂利润为：

y〔二24X 6000 - 3000=114000- 3000=111000;

当采用方案B时工厂利润为：y2=18x 6000=108000; y1 >y2所以工厂采用方案 A. (3)假设y1=y2,即方案A和方案B所产生的利润一样多。

贝U 有：24x- 3000=18x,解得x=500

所以当x>500时，y1>y2 ;即每月产量在500件以上时，适合选用方案A.

13.甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，甲比乙先出发1小时.设甲出发x小时后，甲、乙两人离A地的距离分别为y甲、y乙, 并且y 甲、y乙与x之间的函数图象如图所示.

(1) A、B两地之间的距离是km,甲的速度是km/h；

(2)当1&x05时，求y乙关于x的函数解析式；

【分析】(1)可由函数图象直接解得；

(2)可设一次函数的一般关系式，代入两个点(1, 0)和(5, 360)从而解得; (3)有图象可知，甲乙不超过 20km 的情况有三种，起点、终点、相遇点，然 后分

别列出不等式求解.

【解答】(1)依函数图象可知，y 甲、y 乙的最大值均为：360km ，所以AB 两地的 距离为360km.

甲行驶了 6小时，所以甲的行驶速度是：360+6=60 (km/h );故而答案为：360

60.

(2)设 y ^=kx+b 则[k+kO 解得用0

[5k+b = 360 1b= TO

.•・当1&x&5时，y 乙关于x 的函数解析式：y 乙=90k- 90

(3)当 00x0 1 时，60x< 20,解得 X ：<—

当 1

^3

14 . 一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，

设普通列车行驶的时间为x (小时)，两车之间的距离为y (千米)，如图中的折 线表示y 与x 之间的函数关系. 根据图象进行以下探究：

(1)西宁到西安两地相距 千米，两车出发后 小时相遇；普通列车到

达终点共需一小时，普通列车的速度是 千米/小时.

(2)求动车的速度；

(3)普通列车行驶t 小时后，动车的达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多 少千

米到达西安？

当 5W x< 6 时 360 - 60x<

20

.•・甲、乙两人之间的距离不

超过

解得

17 T

【分析】(1)由x=0时y=1000及x=3时y=0的实际意义可得答案；根据x=12时 的实际意义可得，由速度=路程+时间，可得答案；

(2)设动车的速度为x 千米/小时，根据 动车3小时行驶的路程+普通列出3小 时行驶的路程=1000”列方程求解可得；

(3)先求出t 小时普通列车行驶的路程，继而可得答案.

【解答】(1)由x=0时，y=1000知，西宁到西安两地相距1000千米, 由x=3时，

y=0知，两车出发后3小时相遇， 由图象知x=t 时，动车到达西宁，.二x=12时，

普通列车到达西安，

即普通列车到达终点共需12小时，「•普通列车的速度是

I 。。。

千

米/小时,

121 m

故答案为：1000, 3; 12,婴；

15 .如图所示，直线11的解析式为y=- 3x+3,且11与x 轴交于点D,直线12经过

点 A (4, 0)、B (3, - 1.5),直线 11、12 交于点 C

(1)求点D 的坐标和直线12的解析式； (2)求4ADC 的面积；

(3)在直线12上存在异于点C 的另一点P,使得&ADP =2&ADC,请直接写出点P

的坐标.

(2)设动车的速度为x 千米/小时，

根据题意，得：3x+3x4”=1000,解得：x=250, 答：动车的速度为250千米/小时；

(3) •「t=l

。。0=4 (小时)，：4X

我」口

・•.1000- 1000 .2000 (千米)，

N 千米,

【分析】(1)把y=0代入y=-3x+3解答即可得到点D的坐标；利用待定系数法

解答即可得到直线12的解析式；

(2)根据方程组解得点C的坐标，再根据三角形的面积公式，即可得到^ ADC 的面积；

(3)根据直线11的解析式y=- 3x+3求得D (1,0),解方程组得到C (2, -3), 设P

(m, —m - 6),根据S AADP=2S\ACD列方程即可得到结论.

2

【解答】(1)把y=0代入y=- 3x+3,可得：0= - 3x+3,解得：x=1,

所以D点坐标为(1, 0),

f4k+b=0

设直线12的解析式为y=kx+b,把A (4, 0)、B (3, -1-)代入得'热+b二旦

解得』吃.所以直线12的解析式为禹x-6;

2

L b=-6

产一3升3 ；

(2)解方程组3产得，所以C点坐标为(2, -3),

［产］工-6 ［y=-3

所以ZXADC的面积。X (4-1) X 3=4.5;

一…_ 只_ _ __ 1 一 .三_

(3)设P (m,十m — 6), .&ADP=2S\ACD,..— X 3X |—m - 6| =2X 4.5,

解得m=8或0, •••点P的坐标(8, 6)或(0, -6).

16.如图，图中的曲线表示小华星期天骑自行车外出离家的距离与时间的关系，

小华八点离开家，十四点回到家，根据这个曲线图，请回答下列问题：

(1)到达离家最远的地方是几点？离家多远？

(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？

(3)小华在往返全程中，在什么时间范围内平均速度最快？最快速度是多少？

(4)小华何时离家21千米？(写出计算过程)

【分析】(1)图中的点的横坐标表示时间，所以点 E 点距离家最远，横坐标表示 距家最远的时间，纵坐标表示离家的距离；

(2)休息是路程不在随时间的增加而增加；

(3)往返全程中回来时候平均速度最快；

(4)求得线段DE 所在直线的解析式，令y=21解得x 的值就是离家21千米的相 应的时间.

【解答】(1)到达离家最远的地方是11点，此时距离家30千米；

(2)到距家17千米的地方开始休息,休息了 ( 10—9.5) =0.5小时;

(3)小华在返回的途中最快，平均速度为 30+ (14-12) =15千米/小时;

(4)由图象可知点D 、E 的坐标分别为(10, 17), (11, 30), F 、G 的坐标分别 为(12, 30), (14, 0),

「•设直线DE 所在直线的解析式为y=kx+b,直线FG 的解析式为y=ax+c, .・解析式为 y=13x- 113, y=- 15x+210,

令y=21,解得：x 窄或喏，「•第噜或塔时离家21千米. 13 15 13 15

17 .如图①，A, D 分别在x 轴，y 轴上，AB// y 轴，DC// x 轴.点P 从点D 出发, 以1个单位长度/秒的速度，沿五边形OABCD 的边匀速运动一周，若顺次连接P, O, D 三点所围成的三角形的面积为 S,点P 运动的时间为t 秒，已知S 与t 之间 的函数关系如图②中折线OEFGHM 听示.

3。 --------- O 7 5 O (10k+b=17 lllk+b=30 r lSa+c=SO ll4a+c=0 b=-113 bl 5

c=210 2

30

气 9 9.510 11 12 13

14 时

间 上

(1)图①中点B的坐标为;点C的坐标为;

(2)求图②中GH所在直线的解析式；

(3)是否存在点P,使4OCP的面积为五边形OABCD的面积的上？若存在，请

3

【分析】(1)由于点P从点D出发，根据图②中S与t的图象可知，点P按顺时针方向沿五边形OABCD的边作匀速运动，又运动速度为1个单位长度/秒，所以DC=5 BC=5 AB=2, AO=8, OD=6,由止匕彳4到点C的坐标，由图②20— 12=8,得出B的坐标；

(2)先求出点G坐标，再用待定系数法即可求出；

(3)先求出五边形OABCD的面积和4OCP的面积，再分类讨论三种情况：

①当P在CD上时，CP=5- t,由4OCP的面积得出t的值，即可得出P的坐标；②当P在OA上时，设P (x, 0),由^OCP的面积得出x的值，即可得出P的坐标；③当P 在BC上时，过点(号，0)作OC平行线l交BC于P,求出直线OC和过点(与k 0)与OC平行的直线l以及直线BC的解析式，l与BC的交点即为P, 解方程组即可.

【解答】(1)由题意，可知点P的运动路线是：A8 AZOHD ,

DC=5 BC=10- 5=5, AB=12- 10=2, AO=20- 12=8, OD=26- 20=6,

•••点C的坐标为(5, 6);

由图②：20-12=8,「•点B的坐标为(8, 2);

(2)设GH的解析式为y=kx+b,

二.当点P运动到B 时,S箱X6X8=24, G (12, 24),

把点G (12, 24), H (20, 0)代入得：，1驰+卜母4 ,解得：卜=_ 3, b=60,

(20k+b=0

「•图②中GH 所在直线的解析式为：y=- 3x+60;

(3)存在点P,使4OCP 的面积为五边形OABCD 的面积的方;分三种情况:

作CMLOA 于M,如图①所示： 五边形OABCD 的面积=矩形ODCM 的面积+梯形ABCM 的面积

=5X6+(2+6) (8—5) =42, z\0CP 的面积42=14, 分三种情况:

①由图象得：当P 在CD 上时，CP=5- t, z\OCP 的面积 4 (5-t) X 6=14,

•••直线OC 为y 电x,设直线l 的解析式为y=^x+b, 5 5

设直线BC 的解析式为y=ax+c,把B (8, 2), C (5, 6)代入得:

把点( ia 3 ,0)代入得：b=- ,，1的解析式为: y=-x- y 5 28 5 解得：k=- ，b=— ■J

，，直线BC 的解析式为：y= 解方程组 28 T 尸V 174

57 自： 137 『 --- 19 174 v=- - 57 ;当 P 在 OD 上时，50P=14X2, OP=5.6, • . P (0, 5.6) 综上所述：点P 的坐标为(2, 6),或( 137 19 174 ),或(0.5.6).

解得：t=二，；P( ，6);

②由①得，当P 在OA 上时，设P (x, 0),则4OCP 的面积总

xX 6=14, 解得：x 二 14 ，:P (兽，0)；

③当P 在BC 上时，过点( 14 ,0)作OC 平行线l 交BC 于P;如图①所示:

8k+b=2

5k+b-6