专题：一次函数的图像及性质重难点(答案)有答案

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到我的发现。——高斯

专题：一次函数的图像及性质重难点

考点一一次函数的图像及性质

1．一次函数y＝kx＋b与y＝kx的图像关系

(1)平移变换：y＝kx－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－→y＝kx＋b；

(2)作图：通常采用“两点定线”法作图，一般取直线：

与y轴的交点(0，b) ，与x轴的交点(－b

k，0) ；

注意：平移前后两直线，平行直线的系数k ；2．一次函数y＝kx＋b的图像与性质

k b示意图象限增减性

k>0 b>0

y随x增大

而．b<0

k<0 b>0

y随x增大

而．b<0

注意：①系数k叫直线的斜率，反映直线的倾斜程度，与直线的增减性有关，即：k>0时直线递增，k<0时直线递减；

②常数b叫直线的截距，反映直线与y轴的交点位置，即：b>0时直线交于y正半轴，b＜0时直线交于y负半轴．

【例1】1．对于y＝－2x＋4的图象，下列说法正确的是(D) A．经过第一、二、三象限B．y随x的增大而增大C．图象必过点(－2，0) D．与y＝－2x＋1的图象平行2．若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax＋b的图象可能是(A) 3．将函数y＝－0.5x 的图象向上平移3个单位，得到的函数与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB 的面积是9 ．4．已知一次函数y＝kx＋2k＋3(k≠0)的图象与y轴的交点在y

轴的正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，则k所有可能取得的整数值为－1 ．

5．已知一次函数y=(2m－1)x－m+3，分别求下列m的范围：(1)过一、二、三象限；(2)不过第二象限；

(3) y随x增大减小．(4)与y正半轴相交．

解：(1) 1

2＜m＜3；(2) m≥3；(3) m＜

1

2；(4) m＜3且m≠

1

2．

变式训练1：

1．点A(x1，y1)，B(x2，y2)是一次函数y=kx+2(k<0)图象上不同的两点，若t=(x2－x1)(y2－y1)，则( A )

A．t<0 B．t=0 C．t>0 D．t≤0 2．如图，在同一坐标系中，一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx (m，n为常数，且mn≠0)的图象可能是( A )

3．将直线y=3个单位得到直线y＝－3x－n，则实数m= － 3 ，n= －2 ．

4．已知函数y＝abx＋a－b的图像经过一、二、四象限，则函数y＝ax＋b的图像经过一三四象限．

5．已知直线l：y＝kx＋b与直线y＝－3x＋4平行，且与直线y＝－2x－2交y轴于上同一点.

(1)直线l：y＝kx＋b的关系式为y＝－3x－2 ；

(2)当－3≤x＜1时，求直线l的函数值y的取值范围．

解：(2)－5＜y≤7

考点二一次函数关系式的确定

1．求一次函数表达式的方法称为：待定系数法．

【例2】1．已知y是x的一次函数，下表列出了y与x的部分

x …－101…

y …1m －5…

A．－

2．一次函数的图象经过点A(－2，－1)，且与直线y＝2x＋1平行，则此函数的表达式为(B)

A．y＝x＋1 B．y＝2x＋3 C．y＝2x－1 D．y＝－2x－5 3．若y－2与x成正比例，且当x＝1时，y＝6，则y关于x的函数表达式是y＝4x＋2 ．

4．已知一次函数图像经过两点A（2，7）、B（m，－5），且与直线y=－2x+1相交于y轴一点C，则m的值是－2 ．5．已知某产品的成本是5元/件，每月的销售量y(件)与销售价格x(元/件)成一次函数关系，调查发现，当售价定位30元/件时，每月可售出360件产品，若降价10元，每月可多售出80件．

(1)求销售量y与销售价格x的函数关系式；

(2)若某月可售出480件产品，求该月的利润．

解：(1) y＝－8x＋600；

(2)当y=480，x=15，利润=4800元.

变式训练2：

1．如图1，两摞相同规格的碗整齐地叠放，根据图信息，则饭碗的高度y(cm)与饭碗数x (个)之间关系式是y＝1.5x＋4.5 ；

图1 图2

2．如图2，已知直线l1与直线l2相较于点A，点A的横坐标为－1，直线l2与x轴交于点B（－3，0），若△ABO的面积为3，则l1的函数关系式是y＝－2x ；l2的函数关系式是y＝x＋3 ．3．已知函数y＝kx＋b，当自变量x满足－3≤x≤2时，函数值y的取值范围是0≤y≤5，求该函数关系式．

解：当k＞0时y＝x＋3；

当k＜0时y＝－x＋2；

考点三一次函数与方程、不等式

【例3】1．如图3，函数y1＝2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式2x＞ax＋3

的解集是(A)

A．x＞1 B．x＜1

C．x＞2 D．x＜2

2．如图是直线y=kx+b的图象，图3

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根据图上信息填空：

(1)方程kx +b =0

的解是 x =1 ； 方程kx +b =2的解是 x =0 ；

(2)不等式kx +b ＞0的解集为 x ＜1 ， 不等式kx +b ＜0的解集为 x ＞1 ； (3)当自变量x ＞0 时，函数值y ＜2， 当自变量x ＜0 时，函数值y ＞2；

(4)不等式0

1．一元一次方程ax －b ＝0的解为x ＝－3，则函数y ＝ax －b 的图象与x 轴的交点坐标是( B ) A ．(3，0) B ．(－3，0) C ．(0，3) D ．(0，－3) 2．如图，函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的交于点P ，根据图象解答：

(1)方程ax ＋b －kx =0的解是 x ＝－4 ； (2)方程组⎩⎨⎧

y ＝ax ＋b ，

y ＝kx

的解是 ；

(3)不等式ax ＋b

(4)不等式组 的解集为 －4＜x ＜0 ．

考点四 两个一次函数相交综合应用

【例4】如图，直线l 1的解析表达式为y ＝－3x ＋3，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A B ，，直线l 1，l 2交于点C ． (1)求点D 的坐标和直线l 2的解析表达式； (2)求△ADC 的面积；

(3)在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标． 解：(1) D (1，0)和直线l 2：y ＝3

2

x －6；

(2) C (2，－3)和△ADC 的面积4.5； (3)点P 的坐标(6，3)．

※课后练习

1．平面直角坐标系中，将y ＝3x 的图象向上平移6个单位，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为( B ) A ．(2，0) B ．(－2，0) C ．(6，0) D ．(－6，0) 2．直线y =kx +b 经过第一、三、四象限，则直线y =bx －k 的图象可能是( C )

3．直线y =3(x －1)在y 轴上的截距是－3 ，其图像不过第 二 象限且由直线y ＝ 3x －1 向下平移2单位得到．

4．已知直线y ＝kx ＋m 与直线y ＝－2x 平行且经过点P (－2，3)，

则直线y ＝kx ＋m 与坐标轴围成的三角形的面积是 1

4 ．

5．若y ＝ax ＋2与y ＝bx ＋3的交于x 轴上一点，则a b = 2

3 ．

6．已知函数y ＝2x －3，当自变量x 的取值范围是－1＜x ≤0， 则函数值y 的取值范围是 －5＜y ≤－3 ．

7．如图1，正比例函数y 1的图象与一次函数y 2的图象交于点A (1，2)，两直线与y 轴围成的△AOC 的面积为2，则这正比例函数的解析式为y 1＝ 2x ，一次函数y 2＝ －2x ＋4 ． 8．如图2，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P ，则根据图象可得不等式组的解集 x <－3 ．

图1 图2

9．某商店购进一批单价为16元/件的电子宠物，销售一段时间后，为了获取更多利润，商店决定提高售价．经试销发现：当按20元/件的价格销售时，每月能卖出360件；当按25元/件的价格销售时，每月能卖出210件．若每月的销售数量y (件)是售价x (元/件)的一次函数，则按28元/件的价格销售时，这个月可卖出____120____件，这个月的利润是___1440___元．

10．如图，直线l 1:y=x+1与直线l 2:y=mx+n 相交于点P (1，b )． (1)根据图中信息填空： ①b =2 ； ②方程组

的解为

；

③不等式x+1≤mx+n 的解集为 x ≤1 ；

(2)判断直线l 3：y=nx+m 是否也经过点P ？ 请说明理由．

解：(2)直线l 3:y=nx+m 经过点P ． 理由:因为y=mx+n 经过点P (1，2)，

所以m+n=2，所以直线y=nx+m 也经过点P ．

11．如图，直线l 1：y 1＝2x ＋1与坐标轴交于A ，C 两点，直线l 2：y 2＝－x －2与坐标轴交于B ，D 两点，两直线的交点为点P ． (1)求△APB 的面积；

(2)利用图象直接写出下列不等式的解集： ①y 1＜y 2； ②y 1

x ＝－1，y ＝－1， ∴点P 的坐标为(－1，－1)．

又∵A (0，1)，B (0，－2)，∴S △APB ＝3×12＝3

2

．

(2)由图可知，①当x ＜－1时，y 1＜y 2． ②－2≤x ＜－1时，0

12．“十一”期间，小明一家计划租用新能源汽车自驾游．当前，有甲乙两家租车公司，设租车时间为x h ，租用甲公司的车所需要的费用为y 1元，租用乙公司的车所需要的费用为y 2元，他们的租车的情况如图所示．根据图中信息： (1)直接写出y 1与y 2的函数关系式；

{

02<-<+kx b ax

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(2)通过计算说明选择哪家公司更划算． 解：(1)y 1＝15x ＋80(x ≥0)， y 2＝30x (x ≥0)．

(2)当y 1＝y 2时，x ＝16

3，选甲乙一样合算；

当y 1＜y 2时，x ＞16

3，选甲公司合算；

当y 1＞y 2时，x ＜16

3

，选乙公司合算．