一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

一次函数的图象和性质

一、知识要点：

1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。

注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；

（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

2、图象：一次函数的图象是一条直线，

（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0）

（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、性质：

(1)图象的位置:

(2)增减性

k>0时，y随x增大而增大

k<0时，y随x增大而减小

4．求一次函数解析式的方法

求函数解析式的方法主要有三种

(1)由已知函数推导或推证

(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

(3)用待定系数法求函数解析式。

“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：

①利用一次函数的定义

构造方程组。

②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。

③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

④利用题目已知条件直接构造方程。

二、例题举例：

例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。

证明：∵与成正比例，

设=a(a≠0的常数),

∵y=, =(k≠0的常数),

∴y=·a=akx，

其中ak≠0的常数，

∴y与x也成正比例。

例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断

=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。

解：依题意，得

解得 n=-1，

∴=-3x-1,

=(3-)x, 是正比例函数；

=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，随x的增大而减小；

=(3-)x的图象经过第一、三象限，随x的增大而增大。

说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。

例3．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。

分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。

解：∵y=kx+b与y=5-4x平行，

∴k=-4,

∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，

∴b=18，

∴y=-4x+18。

说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y 轴交点定b。

例4．直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。

解：∵点B到x轴的距离为2，

∴点B的坐标为（0，±2），

设直线的解析式为y=kx±2,

∵直线过点A（-4，0），

∴0=-4k±2,

解得：k=±,

∴直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2.

说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。

（1）图象是直线的函数是一次函数；

（2）直线与y轴交于B点，则点B（0，）；

（3）点B到x轴距离为2，则||=2；

（4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=；

（5）已知直线与y轴交点的纵坐标，可设y=kx+，

下面只需待定k即可。

例5．已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。

分析：自画草图如下：

解：设正比例函数y=kx，

一次函数y=ax+b，

∵点B在第三象限，横坐标为-2，

设B（-2，），其中<0，

∵=6，

∴AO·||=6，

∴=-2，

把点B（-2，-2）代入正比例函数y=kx，得k=1

把点A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b，

得

解得：

∴y=x, y=-x-3即所求。

说明：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示；

（2）此例需要把条件（面积）转化为点B的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式AO·BD=6（过点B作BD⊥AO于D）计算出线段长BD=2，再利用||=BD及点B 在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化？（答：有两种可能，点B可能在第二象限（-2，2），结果增加一组y=-x, y= (x+3).

例6．已知正比例函数y=kx (k<0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。

分析：画草图如下：

则OA=13，=30，

则列方程求出点A的坐标即可。

解法1：设图象上一点A（x, y）满足

解得：；；；

代入y=kx (k<0)得k=-, k=-.

∴y=-x或y=-x。

解法2：设图象上一点A（a, ka）满足

由（2）得=-,

代入（1），得(1+)·(-)=.

整理，得60+169k+60=0.

解得 k=-或k=-.

∴ y=-x或y=-x.

说明：由于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx，其中k为待定系数，故解此例的关键是构造关于k的方程。此例给出的两个解法代表两种不同的思路：解法1是把已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标，构造方程解出，再求k；解法2是引进辅助未知数a，利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于a、k的方程组，解题时消去a，求出k值。

例7．在直角坐标系x0y中，一次函数y=x+的图象与x轴，y轴，分别交于A、B两点，点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B、D两点的一次函数的解析式。

分析：由已知可得A点坐标（-3，0），B点坐标（0，），点C是确定的点（1，0），解题的关键是确定点D的坐标，由点D在x轴上，以∠BCD=∠ABD的条件，结合画草图可知∠BCD的边BC确定，顶点C确定，但边CD可以有两个方向，即点D可以在C点右侧，也可以在C点左侧，因此解此题要分类讨论。

解：∵点A、B分别是直线y=x+与x轴和y轴交点，

∴A（-3，0），B（0，），

∵点C坐标（1，0）由勾股定理得BC=，AB=，

设点D的坐标为（x, 0），

（1）当点D在C点右侧，即x>1时，

∵∠BCD=∠ABD，

∠BDC=∠ADB，

∴△BCD∽△ABD，

∴=

∴=- - - - ①

∴=

∴8-22x+5=0

∴x1=, x2=,

经检验：x1=, x2=,都是方程①的根。

∵x=,不合题意，∴舍去。∴x=，

∴D点坐标为（, 0）。

设图象过B、D两点的一次函数解析式为y=kx+b，

∴

∴所求一次函数为y=-x+

（2）若点D在点C左侧则x<1，

可证△ABC∽△ADB，

∴

∴- - - - ②

∴8-18x-5=0

∴x1=-, x2=,

经检验x1=-, x2=,都是方程②的根。

∵x2=不合题意舍去，∴x1=-,

∴D点坐标为（-, 0），

∴图象过B、D（-, 0）两点的一次函数解析式为y=4x+

综上所述，满足题意的一次函数为y=-x+或y=4x+.

例8．已知：如图一次函数y=x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C （4，0）作AB的垂线交AB于点E，交y轴于点D，求点D、E的坐标。

解：直线y=x-3与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，-3），

∴OA=6，OB=3，

∵OA⊥OB，CD⊥AB，

∴∠ODC=∠OAB，

∴cot∠ODC=cot∠OAB,即

∴OD===8.

∴点D的坐标为（0，8），

设过CD的直线解析式为y=kx+8,将C( 4,0)代入

0=4k+8, 解得 k=-2

∴直线CD：y=-2x+8,

由解得

∴点E的坐标为（，-）

说明：由于点E既在直线AB上，又在直线CD上，所以可以把两直线的解析式联立，构成二元一次方程组，通过解方程组求得。