二次函数应用(几何篇)专题

二次函数应用（几何篇）专题

1、如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．

（1）、将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0)，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s

关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4． ①、求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②、当42<

（2）、在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．

上是否存在点P ，使PDE ?为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．

2、在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以

MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．

（1）、用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）、当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

（3）、在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何

值时，y 的值最大，最大值是多少？

A

B

C

M

N

D 图 2

O A

B

C

M N

P

图 1 O A

B

C

M

N

图 3

O

3、如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．

（1）、求证：?ADE∽?BEF；

（2）、设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值?并求出这个最大值．

4、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其

中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）、当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

（2）、设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）、作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

5、如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于

AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．

（1）、求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；

（2）、求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．

（3）、若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使?PDB为等腰三角形的点P有

几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）

6、如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动

点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．

(1)、设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值； (2)、如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；

(3)、在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；

若存在，求出点Q 的坐标．

7、如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿

A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停

止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2

cm y ． （1）、当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）、当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；

（3）、当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；

（4）、当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．

图1

F

E P

D y x

B

A C O

图2

O

C A B

x

y

D

P

E F B C

P

O

D Q A B

P

C

O D

Q A

8、如图（1），已知在ABC 中，AB=AC=10，AD 为底边BC 上的高，且AD=6。将ACD 沿箭头所示的方向平移，得

到/

/

A CD 。如图（2），//A D 交A

B 于E ，/

A C 分别交A

B 、AD 于G 、F 。以/

D D 为直径作

O ，设/BD 的长

为x ，

O 的面积为y 。

（1）、求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）、连结EF ，求EF 与

O 相切时x 的值；

（3）、设四边形/

ED DF 的面积为S ，试求S 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，S 的值最大，最大值是多少？

9、如图，等腰梯形ABCD 中，AB =4，CD =9，∠C =60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）、求AD 的长；

（2）、设CP =x ，问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大，并求出最大值；

（3）、探究：在BC 边上是否存在点M 使得四边形PD Q M 是菱形？若存在，请找出点M ，并求出BM 的长；不存在，请

说明理由.

10、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已

知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）、直接写出点E 、F 的坐标；

（2）、设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．

于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形， 求该抛物线的解析式；

（3）、在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；

如果不存在，请说明理由．

11、如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC ，O 为原点，点A C ，分别在x 轴，y 轴上，点B 坐标为(

2)

m ，（其中0m >），在BC 边上选取适当的点E 和点F ，将OCE △沿OE 翻折，得到OGE △；再将ABF △沿AF 翻

折，恰好使点B 与点G 重合，得到AGF △，且90OGA ∠=． （1）、求m 的值；

（2）、求过点O G A ，，的抛物线的解析式和对称轴；

（3）、在抛物线的对称轴．．．

上是否存在点P ，使得OPG △是等腰三角形？若不存在，请说明理由； 若存在，直接答出．．．．

所有满足条件的点P 的坐标（不要求写出求解过程）．

（第22题）

轴的正半轴上，5OA =，4OC =．

（1）、在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E ，两点的坐标； （2）、如图2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1

个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？

（3）、在（2）的条件下，当t 为何值时，以A

M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形， 并求出相应的时刻点M 的坐标．

13、将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，

BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ．

(1)、填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是 梯形. (2)、请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)、如图2，若以AB 所在直线为轴，过点A 垂直于AB 的直线为轴建立如图2的平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.

x y x y x

B

C O

A

D E

图1

y x B

C O

A

D

E 图2

P

M

N

D

C

B

A

E

图1

E D

C H

F

G B

A

P

y

x 图2

在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2． （1）、求A 、B 、C 三点的坐标； （2）、求此抛物线的表达式；

（3）、连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接

CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

（4）、在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此

时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．

15、如图①，中，，．它的顶点的坐标为

，顶点的坐标为，

，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒． （1）求的度数． （2）当点在上运动时，

的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，

（如图②），求点的运动速度．

（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标． （4）如果点

保持（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；

沿着边运动时，

的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时，使的点有

几个？请说明理由．

Rt ABC △90B ∠=30CAB ∠=A (100)，B (553)，10AB =P A A B C →→Q (02)D ，

y P C t BAO ∠P AB OPQ △S t P S t S P P Q ，P AB OPQ ∠t BC OPQ ∠t P 90OPQ ∠=P 图①） A

C

B

Q D O

P

x y

30

10 O 5 t

S （图②）