21.2.2积的算术平方根的性质
21.2.2《积的算术平方根的性质》教 学案
年级： 九 学科： 数学 主备人： 关雯清
教学目标：
1.理解并掌握积的算术平方根的性质：b a ?=a ·b （a ≥0，b ≥0）.
2.利用积的算术平方根的性质化简二次根式。
教学重点：
积的算术平方根的性质在二次根式化简中的应用。
教学难点：
将二次根号下的平方因子正确地移出根号。
教学过程
一、温故互查：
二、设问导读：
自主预习教材P6~P7的内容，完成下列各题。
1.用式子表示积的算术平方根的性质：
b a ?=__________(a ≥0，b ≥0). 2.化简 79?=___________, y x 2(x ≥0，y ≥0)=_________.
利用积的算术平方根的性质化简下列二次根式。
⑴
12； ⑵ 27； ⑶ b a 39（a ≥0,b ≥0）； ⑷ 242a a +(a ≥0).
议一议：化简二次根式的一般步骤是什么？
【归纳总结】
⑴ 将被开方数分解，化成______的形式。
⑵ 选出被开方数中的_________________.
⑶ 利用积的算术平方根性质和二次根式的性质直接把根号下的每一个__________去掉
平方号以后移到根号外(注意：移到根号外的数必须是___________). 三、自学检测：
1.化简下列二次根式：
⑴
72 ⑵ 28 ⑶ 7)5(2?- ⑷ 3253?
（5）188? （6） 225253?? （7） 428n m （8） 2)4(9-x
3127)4(32)3()2(123)1(3?-??? a b ab x x
四、巩固练习：
1、选择题
（1）等式1112-=-?+x x x 成立的条件是（ ）
A ．x ≥1
B ．x ≥-1
C ．-1≤x ≤1
D ．x ≥1或x ≤-1
（2）下列各等式成立的是（ ）．
A ．45×25=85
B ．53×42=205
C ．43×32=75
D ．53×42=206
（3）二次根式6)2(2?-的计算结果是（ ）
A ．26
B ．-26
C ．6
D ．12
3、判断下列各式是否成立：
（1）94)9()4(-?-=-?- （2）5121322=-
（3）b a b a +=+22 （4）323)2(2-=?-
4、化简（1（2） （3） 0（4）
5、化简二次根式：
（1）)0(182≥x x （2（3）b a 236；（4）4625? （5） b a 316
（6） 221213-（7）2243+ （8）32a a + （9）)()(223b a b a --
（10）2257? （11） 8116? （12）3a （a ≥0） （13
6、计算下列各式：(1);)π14.3(2- (2)化简2x <）
7、下列各式成立的条件是什么？
（1）22)(a a = （2） 3392-?+=
-x x x ，
（3）x x x x --=--6)4()4)(6(2 （4）()22)()(x y y x y x -=--
（5）3323+-=+x x x x
8、已知=-2)21
(a 2
1--a 成立， 则a 的范围为 五、拓展延伸：
1.设a ≥0，b ≥0,化简下列二次根式：
⑴
328b a ⑵ 3222b ab b a ++ ⑶ 24ab ⑷ 5250b a
2.当b <0时，化简二次根式249b a .
板书设计：
课堂小结：
（10,0)a b ≥≥
（2）积的算术平方根：0,0)a b =≥≥
作业布置：
1. 化简下列二次根式,其中.0,0≥≥b a
⑴ 54 ⑵ 3527b a ⑶ 2232ab b a a ++ ⑷ 25
18 2、已知2≤x ≤4 化简2)4(-x +2)2(x -的值
课后反思：
积的算术平方根的性质
第2课时 积的算术平方根的性质 1．下列运算正确的是 ( ) A.3×27＝3×27＝3×33＝6 B.3×27＝3×3×9＝32×9＝3×3＝9 C.4x 2＝4·x 2＝4x (x ≥0) D.4x 2＝2x 2．下列二次根式，不是最简二次根式的是 ( ) A.39 B.5y ＋9 C. 1 2 D.142y 3．计算1 32的结果是 ( ) A ．3232 B.1 3232 C.1 8 2 D.1412 4．化简二次根式（－5）2×3＝ ( ) A ．－53 B ．5 3 C ．±53 D.75 5．化简：48＝________；135×1 4＝________；22＋42＝________． 6．化简：8a 3＝________； －m 3 12＝________． 7．化简：(1)64x 4y 3＝________(y ＞0)；(2)12a 2b 3＝________(a >0，b >0)． 8．化简下列二次根式：
(1)9 8；(2) 3b2 8a3(a＞0，b＜0)． 9．计算： (1)3 424× 2 36； (2)－3 2 2.25× 1 51 2 9； (3)2 b ab 2 ? ? ? ? ? － 3 2a 3b×1 3 a b(a≥0，b＞0)． 10．计算：
12? ?? ??212＋418－348－(－3)2 ×? ????－32－1× 3. 11．观察下列各式及验证过程： 2 2 3＝ 2＋23， 验证：2 23 ＝233 ＝（23－2）＋2 22－1 ＝2×（22－1）＋2 22－1＝ 2＋23； 3 38＝ 3＋38， 验证：3 38＝ 338＝ （33－3）＋3 32－1 ＝ 3×（32－1）＋3 32－1 ＝ 3＋38. (1)按照上述两等式及验证过程的思路，猜想4 4 15的变形结果并验证； (2)针对上述各式反映的规律，给出用n (n 为自然数，且n ≥2)表示的等式，并进行证明． 答案解析 1．B 2．C
61算术平方根(2)
6.1算术平方根(2) 一、教学目标 1. 感受无理数，初步了解无限不循环小数的特点. 2.会用计算器求算术平方根. 二、重点和难点 1.重点：感受无理数. 2.难点：感受无理数. 三、自主探究 1.填空：如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的_______________，记作_______. 2.填空： (1)因为_____2＝36，所以36的算术平方根是_______ _____； (2)因为(____)2＝964，所以964的算术平方根是_______ _____； (3)因为_____2 ＝0.81，所以0.81的算术平方根是_______ ＝_____； (4)因为_____2＝0.572，所以0.572的算术平方根是_______ ＝_____. （二）（看下图） 这个正方形的面积等于4，它的边长等于多少？ 谁会用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？ 这个正方形的面积等于1，它的边长等于多少？ 用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？ （指准图）这个正方形的边长等于面积1的算术平方根， 等于多少？ （看下图）这个正方形的面积等于2，它的边长等于什么？ .（上面三个图的位置如下所示） 2 ＝1 在1和2之间的数有很多， 第一条线索是那个数在1和2之间，第二条线索是那个数的平方恰好等于2.根据这两条线 面积＝4面积＝1面积＝2边长＝4＝2边长＝2边长＝1＝1面积＝2面积＝1面积＝4
. 我们在1和2之间找一个数，譬如找1.3，（板书：1.32＝）1.3的平方等于多少？（师生共同用计算器计算） 1.69不到2，说明1.3比我们要找的那个数小.1.3小了，那我们找1.5，1.5的平方等于多少？（师生共同用计算器计算） 2.25超过2，说明1.5比我们要找的那个数大.找1.3小了，找1.5又大了，下面怎么找呢？大家用计算器，算一算，找一找，哪个数的平方恰好等于2？ 1.41421356点点点，可见是一个小数，这个小数与我们以前学过的小数相比有点 不同，有什么不同呢？第一，这个小数是无限小数（板书：无限） . . . 四、精讲精练 1、用计算器求下列各式的值： 0.001）； （按键时，教师要领着学生做；解题格式要与课本上的相同） 2、填空： (1)面积为9＝； (2)面积为7≈（利用计算器求值，精确到0.001）. 3、用计算器求值： ＝；＝；≈（精确到0.01）. 4、选做题： (1)用计算器计算，并将计算结果填入下表： (2)观察上表，你发现规律了吗？根据你发现的规律，不用计算器，直接写出下列各式的值： ＝，＝， ＝，＝ . 五、课堂小结 六、我的收获
算术平方根练习题(2)
算术平方根练习 一、选择题： 1. 81的算术平方根是（ ） A ．9± B ．9 C ．-9 D ．3 2. 已知正方形的边长为 a ，面积为 S ，下列说法中：①a S =；②S a =； ③S 是a 的算术平方根；④a 是S 的算术平方根。正确的是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 3. 如果5.1=y ，那么y 的值是（ ） A ．2.25 B ．22.5 C ．2.55 D ．25.5 4. 计算()22-的结果是（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4 5. 下列各式中正确的是（ ） A ．525±= B ． ()662-=- C ．()222-= D ．()332=- 二、填空题： 1. 一个数的算术平方根是25，这个数是________。 2. 算术平方根等于它本身的数有______________。 3. 81的算术平方根是__________。 4. 144=_______；4925=________；=-01.0________；002 5.0=_______。 5. ()=2196_________；()=-28_________；256 169-=___________。 三、解答题： 1. 求下列各数的算术平方根：
(1) 3.24 (2) 12149 (3) 100001 2. 求下列各式的值： (1) 144 169- (2) 0625.0 (3) 1692254-+ 3. 回答下列问题： (1) ()2 5-有没有算数平方根？如果没有，说明理由；如果有，写出它的算术平方根。 (2) 3-是()2 3-的算术平方根吗？如果不是，请写出它的算术平方根。 4. 用长3cm 、宽2.5cm 的邮票30枚，拼成一个正方形，则这个正方形的边长是多少？
积的算术平方根的性质
《积的算术平方根的性质》教 学案 年级： 九 学科： 数学 主备人： 关雯清 教学目标： 1.理解并掌握积的算术平方根的性质：b a ?=a ·b （a ≥0，b ≥0）. 2.利用积的算术平方根的性质化简二次根式。 教学重点： 积的算术平方根的性质在二次根式化简中的应用。 教学难点： 将二次根号下的平方因子正确地移出根号。 教学过程 一、温故互查： 二、设问导读： 自主预习教材P6~P7的内容，完成下列各题。 1.用式子表示积的算术平方根的性质：b a ?=__________(a ≥0，b ≥0). 2.化简 79?=___________, y x 2(x ≥0，y ≥0)=_________. 利用积的算术平方根的性质化简下列二次根式。 ⑴ 12； ⑵ 27； ⑶ b a 3 9（a ≥0,b ≥0）； ⑷ 242a a +(a ≥0). 议一议：化简二次根式的一般步骤是什么 【归纳总结】 ⑴ 将被开方数分解，化成______的形式。 ⑵ 选出被开方数中的_________________. ⑶ 利用积的算术平方根性质和二次根式的性质直接把根号下的每一个__________去掉平方号以后移到根号外(注意：移到根号外的数必须是___________). 三、自学检测： 3 127)4(32)3()2(123)1(3?-??? a b ab x x
1.化简下列二次根式： ⑴ 72 ⑵ 28 ⑶ 7)5(2 ?- ⑷ 3253? （5）188? （6） 225253?? （7） 428n m （8） 2)4(9-x 四、巩固练习： 1、选择题 （1）等式1112-=-?+x x x 成立的条件是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥-1 C ．-1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤-1 （2）下列各等式成立的是（ ）． A ．45×25=85 B ．53×42=205 C ．43×32=75 D ．53×42=206 （3）二次根式6)2(2?-的计算结果是（ ） A ．26 B ．-26 C ．6 D ．12 3、判断下列各式是否成立： （1）94)9()4(-?-=-?- （2）5121322=- （3）b a b a +=+22 （4）323)2(2-=?- 4、化简（1（2）（3）（4） 5、化简二次根式： （1）)0(182≥x x （2（3）b a 236；（4）4625? （5） b a 316 （6） 221213-（7）2243+ （8）32a a + （9）)()(223b a b a --
(完整版)算术平方根练习题(2)
6.1 平方根 第1课时算术平方根 要点感知1一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的__________,记作“__________”,读作“__________”,a叫做__________. 预习练习1-1(2014·枣庄)2的算术平方根是( ) A.±2 B.2 C.±4 D.4 要点感知2 规定：0的算术平方根为__________. 预习练习2-1 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是( ) A.1 B.-1 C.0 D.0或1 要点感知3被开方数越大,对应的算术平方根也__________. 预习练习3-1比较大小：6__________7，4__________15. 知识点1 算术平方根 1.若x是64的算术平方根，则x=( ) A.8 B.-8 C.64 D.-64 2.(2013·南充)0.49的算术平方根的相反数是( ) A.0.7 B.-0.7 C.±0.7 D.0 3.(-2)2的算术平方根是( ) A.2 B.±2 C.-2 D.2 4.下列各数没有算术平方根的是( ) A.0 B.-1 C.10 D.102 5.求下列各数的算术平方根： (1)144；(2)1；(3)16 25 ；(4)0.008 1；(5)0. 6.求下列各数的算术平方根. (1)0.062 5；(2)(-3)2；(3)225 121 ；(4)108. 知识点2 估算算术平方根 7.(2014·安徽)设n为正整数，且n65n+1，则n的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8 8.(2013·枣庄)估计6+1的值在( ) A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 9.某公司要设计一块面积为10平方米的正方形广告牌，公司在设计广告时，必须知道这个正方形的边长.这个正方形的边长是多少？估计边长的值(结果精确到十分位). 知识点3 用科学计算器求一个正数的算术平方根 10.用计算器比较23+1与3.4的大小正确的是( ) A.23+1=3.4 B.23+1>3.4 C.23+1<3.4 D.不能确定 11.我们可以利用计算器求一个正数a的平方根，其操作方法的顺序进行按键输入：.小明按键输入 显示的结果为4，则他按键输入后显示的结果为__________. 12.用计算器求下列各式的值（精确到0.001）： (1)800；(2)0.58；(3)2401. 13.(2014·百色)100( ) A.100 B.10 C.10 D.±10 14.(2014·台州)30( ) A.4 B.5 C.6 D.7 15.(2013·东营16( ) A.±4 B.4 C.±2 D.2 16.下列说法中：①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10,100；③(-6)2的算术平方根是6；④a2的算术平方根是a.正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17.已知a、b为两个连续的整数，且28 二次根式 教学内容 2.积的算术平方根 教学目标 1．知识与技能． 会进行简单的二次根式的乘法运算，能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的简写运算． 2．过程与方法． 经历探究二次根式乘法法则以及积的算术平方根的过程，掌握应用的方法． 3．情感、态度与价值观 培养学生数感和逆向思维，感受二次根式乘法的实际应用价值，形成良好的思维品质．重难点、关键 1．重点：会进行简单的二次根式的乘法运算，?会利用积的算术平方根的性质化简二次根式． 2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用． 3．关键：采用从特殊到一般总结归纳的方法、类比的方法逐步有序地展开，?由于性质、法则关系式较集中，在计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，教学中应采取讲练结合法，让学生在认识过程中脉络清楚，条理分明． 教学准备 1．教师准备：投影仪、制作投影片． 2．学生准备：复习二次根式定义、性质，预习本节课内容． 教学内容 回顾交流，导入新知 课堂复习．（投影显示） 请同学们完成下列各题． 1．填空． （1=_______． （2． （3． 参考上述结果，用“>”、“<”或“＝”填空． 2．利用计算器计算填空．（填入“>”、“<”或“＝”） （1（2 （3（4 学生活动：先独立完成上述复习题，再与同伴一起讨论，寻找其规律．实际上，从计算 教师活动：在学生讨论的基础上，教师进行归纳． 教师归纳如下：从上述练习中可以得出两个二次根式相乘，实际上就是将这两个二次根式的被开方数相乘，根指数不变． a≥0，b≥0）． 引导关注：同学们应该注意a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，?上述法则不能成 立．因为当a<0，b<0?乘法 法则显然不能成立．例如：a=-2，b=-3却无意义． 范例学习，提高认知 1．例1：计算． （1（2） 教师板书：（1= （2）× 学生活动：参与教师讲例，理解乘法法则的运用方法以及注意问题． 随堂练习，理解新知 《平方根(第1课时)》教学设计 通州区先锋初级中学黄孝培 一、内容和内容解析 本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，是在已学的数的平方运算基础上，通过逆向思维得出算术平方根的定义、意义和求法。 算术平方根是后面学习平方根、二次根式、一元一次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何的大部分知识做好准备。学生在七年级上册中已经学习了有理数，而算术平方根的学习，第一次在学生面前展示了无理数的形式，将数的范围由有理数扩充到了实数。因此，本节课内容在整个数学学科的学习中起到承上启下的重要作用，使得学生对于数的认识进行了一次质的飞跃！ 二、目标和目标解析 （一）教学目标 1、经历从实际问题情境中抽象出代数模型，让学生体会其中模型化思想，进一步了解建模思想。 2、通过实际问题抽象为数学问题中让学生体会互逆运算，培养学生的逆向思维。 3、了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根并理解根号的意义。 4、会利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根。 （二）目标解析 1.学生目前的学习对象已经由具体的数发展为抽象的数学符号，而学生对于思想方法的理解和掌握又是循序渐进的，通过本节的教学，利用“问题情境——建立模型——求解与解释——应用与拓展——回顾与反思”的方式，让学生在分析问题中获得相应概念和解决问题的方法，为本章平方根、立方根的学习奠定基础。 2.逆向思维的运用在数学中处处可见，通过该目标消除学生对算术平方根的模糊认识，真正理解该定义，使学生能透过现象看本质，激活思维，学会思考。 3.数学思想的教学一般要经过渗透、领悟、应用、巩固四个阶段，而不是复制和一味的灌输，教学中，让学生理解算术平方根的定义，并运用定义分析算术平方根的意义、根号的意义，从而熟练的归纳、概括出求某些数算术平方根的方法。 三、教学问题诊断分析 本课内容由实际问题引入，利用逆向思维，得出算术平方根的定义，学生对于这种抽象思想的理解和体会并不深刻，如果仅停留在模仿和生搬硬套的水平上，方法本身并不难，绝大部分学生能掌握，但是直接以根号的形式出现时，学生会感到茫然、不知所措，这样对于学生思维的发展和能力的提高毫无益处。 因此教学的难点在于理解算术平方根的概念，特别是符号语言与文字叙述之间的转换和联系，能形成抽象的概念。突破这一难点的关键是：给学生充足的思考、探索、交流的时间，让他们在探索和交流中体会概念，体验根号的意义，悟出求算术平方根的方法。 教学难点：算术平方根概念的理解，并能熟练运用。 四、教学支持条件分析 根据本节课教学特点，为更好实现教学目标，可借助计算机辅助教学，借助多媒体高效、便捷的优势，借助幻灯片把一些文字性的内容快速、清晰地呈现，易于在学生脑海中留下深刻印象。 五、教学过程设计 （一）创设情境，引入新知 问题1：同学们，好消息！ 学校要给我们教室装一个正方形屏幕的液晶电视，不过呢校长要考考我们，什么时候过关什么时候就来安装啦！大家有信心吗？ 【设计意图】通过从实际生活的切入，引起学生的共鸣，调动课堂活跃气氛，同时又为后面的问题提出做好铺垫。 （二）观察探究、形成新知 《用计算器求一个正数的算术平方根》教学设计 一、内容和内容解析 1.内容: 用估算法或计算器求一个数的算术平方根的近似值 2.内容解析： 在2出现以前，学生已经知道乘方运算，通过观察的方法求出一些完全平方数的算术平方根，但对于像2这样的非完全平方数，如何求它的算术平方根，对学生来讲是个新问题. 本节课通过折纸认识第一个无理数2，探究“2 有多大”的问题的过程，体现了“数学中的无限逼近的思想”并使学生体验“无限不循环小数”的含义，为后面学习实数做好铺垫.能用有理数估计一个无理数大致范围，并能用估算法解决一些简单的实际问题，是课程标准对本节课的要求. 使用计算器可以求任何一个正数的算术平方根（或近似值），这个内容学生独立完成. 基于以上分析，可以确定本节课的教学重点：掌握用有理数估计一个（无理）数的大小. 二、目标和目标解析 1.目标（1）能用估算法求一个数的算术平方根的近似值，体验“无限不循环小数”的含义, 感受不同于有理数的一类新数的存在. 目标（2）会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数的扩大（或缩小）与其算术平方根的扩大（或缩小）之间的规律． 2.目标解析 目标（１）：用估算法求一个数的算术平方根的近似值的过程体现了“数学中的无限逼近的思想”，使学生体验“无限不循环”小数的特点，并且会利用估算比较大小. 目标（２）：用计算器计算算术平方根，使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根（或其近似值），再通过一些特殊的例子找出一些正数的算术平方根的规律: 被开方数小数点向右(或向左)移动2位，它的算术平方根就相应地向右(或向左)移动1位. 三、学生问题诊断分析 用有理数估计一个无理数的大致范围，并让学生在这个过程中体验“无限不循环小数”的含义，需要多次采用逼近法进行估计，而逼近法在以前的学习中从未出现过，学生一下子很难体会它的妙处，思维也很难展开，这些对学生综合运用知识的能力有较高的要求. 基于以上分析, 本节的难点：逼近法估计一个（无理）数的大小的思想，认识无限不循环小数的特点. 四、教学策略分析 本节课采用"复习回顾--问题情境--自主探究—小组合作—综合应用"的模式展开教学，以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性，充分调动学生的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验. 五、教学过程设计 1.梳理旧知，铺垫新知 （1）算术平方根的概念 （2）利用概念填表，并归纳所得结论 师生活动：学生代表回答，如出现错误或不完整，请其他学生修正或补充，得出结论：对于所有正数：被开方数越大，对应的算术平方根也越大,反之,亦然. 设计意图：有意识的让学回顾上节课内容，为后面学习逼近法估算做好铺垫. 21.2.2《积的算术平方根的性质》教 学案 年级： 九 学科： 数学 主备人： 关雯清 教学目标： 1.理解并掌握积的算术平方根的性质：b a ?=a ·b （a ≥0，b ≥0）. 2.利用积的算术平方根的性质化简二次根式。 教学重点： 积的算术平方根的性质在二次根式化简中的应用。 教学难点： 将二次根号下的平方因子正确地移出根号。 教学过程 一、温故互查： 二、设问导读： 自主预习教材P6~P7的内容，完成下列各题。 1.用式子表示积的算术平方根的性质： b a ?=__________(a ≥0，b ≥0). 2.化简 79?=___________, y x 2(x ≥0，y ≥0)=_________. 利用积的算术平方根的性质化简下列二次根式。 ⑴ 12； ⑵ 27； ⑶ b a 39（a ≥0,b ≥0）； ⑷ 242a a +(a ≥0). 议一议：化简二次根式的一般步骤是什么？ 【归纳总结】 ⑴ 将被开方数分解，化成______的形式。 ⑵ 选出被开方数中的_________________. ⑶ 利用积的算术平方根性质和二次根式的性质直接把根号下的每一个__________去掉平方号以后移到根号外(注意：移到根号外的数必须是___________). 三、自学检测： 1.化简下列二次根式： ⑴ 72 ⑵ 28 ⑶ 7)5(2?- ⑷ 3253? （5）188? （6） 225253?? （7） 428n m （8） 2)4(9-x 3127)4(32)3()2(123)1(3?-??? a b ab x x 四、巩固练习： 1、选择题 （1）等式1112-=-?+x x x 成立的条件是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥-1 C ．-1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤-1 （2）下列各等式成立的是（ ）． A ．45×25=85 B ．53×42=205 C ．43×32=75 D ．53×42=206 （3）二次根式6)2(2?-的计算结果是（ ） A ．26 B ．-26 C ．6 D ．12 3、判断下列各式是否成立： （1）94)9()4(-?-=-?- （2）5121322=- （3）b a b a +=+22 （4）323)2(2-=?- 4、化简（1（2） （3） （4） 5、化简二次根式： （1）)0(182≥x x （2（3）b a 236；（4）4625? （5） b a 316 （6） 221213-（7）2243+ （8）32a a + （9）)()(223b a b a -- （10）2257? （11） 8116? （12）3a （a ≥0） （13 6、计算下列各式：(1);)π14.3(2- (2)化简2x <） 二次根式的性质(1)教学设计 教学目标： 1、知识与技能目标： （1）探索二次根式的性质，发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。 （2）会用二次根式的性质化简二次根式。 2、过程与方法目标： （1）培养学生探索、观察、分析、归纳获得数学结论的过程。 （2）培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的过程。 3、情感、态度与价值观目标： 培养积极地探索数学规律的兴趣，提高利用数学知识解决问题的能力。从操作、观察、分析、归纳过程中，体会获得数学知识的快乐。 教学重、难点： 1.教学重点： 理解并掌握二次根式的性质，利用性质进行计算和化简。 2.教学难点： 正确运用性质进行计算化简。 教学方法：问题意识教学法、启发、讨论、合作交流。 教学准备: 课件、多媒体； 教学过程： 一、明确目标 介绍本节课的学习内容及目标 学生领读学习目标，教师口述学习内容，让学生明确本节课的任务。 二、复习回顾 1. 二次根式的定义 2. 二次根式的性质 三、自主探究： （1）计算： = = = =222205.132 观察上述各式你会发现什么？ （2）猜一猜：0a ≥时，二次根式2a 的值是什么？ 一般地，二次根式的性质为： 思考： =-2)4( =-2)6( 计算并观察上面两组式子你能得到怎样的启示？ （学生思考讨论，教师点拨，师生一起得出结论） =2a 为任意实数时，当a 合作探究： ?)(22有区别吗与a a （学生小组合作讨论，根据表格提示，自主完成，之后师生共同完成修改） 跟踪练习 ( ( ()( () (( )( 22 3 1_____,2______,3_____,4_____,5____,6____. ====== 三、深入探究 =?94 =?94 =?64121 =?64121 观察上面的运算结果，你发现了什么规律? （学生独立思考，尝试用自己的语言总结，教师给予修改补充） 第2课时用计算器求算术平方根及其大小比较 【学习目标】 1. 感受无理数，初步了解无限不循环小数的特点. 2.会用计算器求算术平方根. 【学习重点和难点】 1.学习重点：感受无理数。 2.学习难点：感受无理数。 【学习过程】 一、自主探究 1.填空：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的_______________，记作_______. 2.填空： (1)因为_____2＝36，所以36的算术平方根是_______ _____； (2)因为(____)2＝ 9 64 ，所以 9 64 的算术平方根是_______ _____； (3)因为_____2＝0.81，所以0.81的算术平方根是_______ _____； (4)因为_____2＝0.572，所以0.572的算术平方根是_______ _____. 3.这个正方形的面积等于4，它的边长等于多少？ 谁会用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？这个正方形的面积等于1，它的边长等于多少？ 用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？ （指准图）这个正方形的边长等于面积1的算术平方根， 等于多少？（看下图）这个正方形的面积等于2，它的边长等于什么？ .（上面三个图的位置如下所示） 2＝1 在1和2之间的数有很多， 面积＝4 面积＝1 面积＝2 边长＝4＝2 边长＝2 边长＝1＝1 面积＝2 面积＝1 面积＝4 第一条线索是那个数在1和2之间，第二条线索是那个数的平方恰好等于2.根据这两条线 . 我们在1和2之间找一个数，譬如找1.3，（板书：1.32＝）1.3的平方等于多少？（师生共同用计算器计算） 1.69不到2，说明1.3比我们要找的那个数小.1.3小了，那我们找1.5，1.5的平方等于多少？（师生共同用计算器计算） 2.25超过2，说明1.5比我们要找的那个数大.找1.3小了，找1.5又大了，下面怎么找呢？大家用计算器，算一算，找一找，哪个数的平方恰好等于2？ 1.41421356点点点，可见是一个小数，这个小数与我们以前学过的小数相比有点 不同，有什么不同呢？第一，这个小数是无限小数（板书：无限） . . . 二、边学边练 1、用计算器求下列各式的值： 0.001）； （按键时，教师要领着学生做；解题格式要与课本上的相同） 2、填空： (1)面积为9＝； (2)面积为7≈（利用计算器求值，精确到0.001）. 3、用计算器求值： ＝；＝；≈（精确到0.01）. 4、选做题： (1)用计算器计算，并将计算结果填入下表： (2)观察上表，你发现规律了吗？根据你发现的规律，不用计算器，直接写出下列各式的值： ＝，＝， ＝，＝ . 三、我的感悟 13.1.1算术平方根练习 一、课堂练习： 1.填空：(1)因为2=64，所以64的算术平方根是 ，即＝； (2)因为2=0.25，所以0.25的算术平方根是 ，即＝； (3)因为2=16 49 ，所以 16 49 的算术平方根是 ，即＝ . 2. 16的算术平方根是；16的算术平方根是； 4的算术平方根是；4的算术平方根是，3、不用计算器你能比较上面数的大小吗？若能把你的方法写在下面（1）7和3 （2）7-2和1 4．不用计算器，比较下列数的大小 （1）140和12 （2） 21 5- 和 2 1 5．小丽想用一块面积为400m2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300m2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2。不知能否裁出来，正在发愁，小明见了说“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意他的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 6、计算下列各式：（1） 49 4 9 - （2） 81 144 16 9 1+ - （3） 36 1 6 5 1 252 2? - - - ?） （ ） （ 二、课后作业： 1.求下列各式的值： ＝； ＝； ＝；(4) 25 9 ＝； ＝； ＝ . 2.填空并记住下列各式： ＝， ＝ ，＝， ＝， ＝， ＝， ＝， ＝ ， ＝ . 3.填空： (1)因为（）2＝36，所以36的算术平方根是 ，即＝； (2)因为( )2＝ 64 9 ，所以 64 9 的算术平方根是，即 64 9 ＝； (3)因为( )2＝0.81，所以0.81的算术平方根是 ，即＝；(4)因为( )2＝0.572，所以0.572的算术平方根是 ＝ . 4. 算术平方根等于自身的是 课题：二次根式的性质（积的算术平方根） 课型：新授课 学习目标：1、学习2a （a ≥0）的性质并能利用这一性质解决一些简单的问题 2、学习二次根式的性质：积的算术平方根等于积中每一个因式的算术平方根的积。并能利用这一性质进行二次根式的化简。 一、自主探究：（阅读课本126—127页回答下列问题） 1、当a ≥0时二次根式2a 的值是什么？ 计算2)4(-= 2)2 1 (-= 2)44(-= 你能发现什么？ 2、思考2a 与（a ）2 有怎样的相同点和不同点？ 3、积的算术平方根的性质：公式： 语言叙述为： 二、合作交流成果展示 1、交流上面的问题，教师点拨 2、例题：（当a ≥0时2a =a 的运用）： （1）已知=-2)4(a a —4成立， 则a 的范围为 （2）已知1≤x ≤3 化简2)1(-x +4-x 3、例题：（积的算术平方根的运用）： （1）已知式子)2)(1(--x x =21-?-x x 成立，则x 的范围为 （2）化简：①259? ②216a ③300 ④y x 2 三、利用规律巩固新知： 1、已知=-2)21 (a 2 1--a 成立， 则a 的范围为 2、已知2≤x ≤4 化简2)4(-x +2)2(x -的值 3、判断下列各式是否成立： （1）94)9()4(-?-=-?- （2）5121322=- （3）b a b a +=+22 （4）323)2(2-=?- 4、化简下列式子： （1）188? （2）225253?? （3）2)4(9-x （4）428n m （5）2243+ （6）32a a + （7）)()(223b a b a -- 选做题：1、化简：325025m m += 2、将根号外的因式移入根号内 a a 1= 四、课堂小结，检测反馈 1、通过这节课的学习你的学习目标完成了吗？ 2、检测： （1）已知式子)2)(1(x x -+=x x -?+21成立，则x 的范围为 （2）化简下列各式： 4625? b a 316 3)2(8-x 221213- 选做题： 1、将根号外的因式移入根号内 a a 1-= 2、若x ≤0 化简y x 28= 五、课外自评：课本随堂练习2以及试一试 六、教后反思： 算术平方根练习 一、选择题： 1. 81的算术平方根是（ ） A ．9± B ．9 C ．-9 D ．3 2. 已知正方形的边长为 a ，面积为 S ，下列说法中：①a S =；②S a =；③S 是a 的算术平方根；④a 是S 的算术平方根。正确的是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 3. 如果5.1=y ，那么y 的值是（ ） A ．2.25 B ．22.5 C ．2.55 D ．25.5 4. 计算()22-的结果是（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4 5. 下列各式中正确的是（ ） A ．525±= B ．()662-=- C ．()222-= D ．()332=- 二、填空题： 1. 一个数的算术平方根是25，这个数是________。 2. 算术平方根等于它本身的数有______________。 3. 81的算术平方根是__________。 4. 144=_______； 4925=________；=-01.0________；0025.0=_______。 5. ()=2196_________；()=-28_________；256 169-=___________。 6. 当______m 时，m -3有意义；当______m 时，3 3-m 有意义； 7．已知0)3(122=++-b a ，则=33 2ab ； 8．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 9．12+x 的算术平方根是2，则x ＝________． 10.算术平方根等于它本身的数有________ 11．设x 、y 为实数，且554-+-+ =x x y ，则y x -的值是（ ） 三、解答题： 1. 求下列各数的算术平方根 (1) 3.24 (2) 121 49 (3) 100001 2. 求下列各式的值 (1)144169- (2)0625.0 (3) 1692254-+ (4)108 （5）75 （6）31 （7）1615 （8）2512 “商”的算术平方根的性质(一) 教学目的： 使学生通过学习“商”的算术平方根的性质，进一步加深对二次根式意义的理解，初步掌握“被开方数中含有分母的二次根式”的化简，提高运算能力，观察分析问题的能力，通过向学生渗透“转化”、“类比”等数学思想，培养学生发现知识、归纳推理的能力。 教学重点： 学习“被开方数中含分母（分母中不含字母）”的二次根式的化简 教学难点：化去根式内的分母 教改实验设想： 根据教学过程的“普遍性和特殊原理”，通过学生在课堂上有效学习实践活动设计，贯彻“主体参与，分层指导，及时反馈，激励评价”原则，创设学习情境，优化学习过程，提高学习效率，探索代数课教学中“公式、性质”课的素质教育型课堂教学模式。 教学过程： 板书安排： 课前准备： ⑴书写投影片； ⑵准备验收用纸。 注：本人将这个班的学生在数学学习方面分为A 组 (优秀生)，B 组 (一般学生) 和C 组 (学 习困难生，10人左右) 三组，以便分层指导。 *1 实际课堂上学生樊小光又提出了下列作法： 证明：根据：b a ab ?=， ∵ a b b a b b a =?=?， a b b a =?， ∴ b a b a = 。 *2 实际教学中，学生出的题： ①83， ②52， ③211， ④25a b ， ⑤2 22 222b ab a b ab a +-++。 三、对教学设计的评价 对本教学模式的教学设计拟从以下几个方面给予评价（满分100分）。 1、教学目标的确定（10%） 其中，知识0.4，能力0.4，德育0.2。 2、教学过程的设计（60%） （1）教学内容及重点、难点的确定（10%）； 6.1 平方根 第 1 课时 算术平方根 要点感知 1 一般地 ,如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x 2 =a,那么这个正数 x 叫做 a 的__________,记作“__________ ”, 读作“ __________” ,a 叫做 __________. 预习练习 1-1 (2014 ·枣庄 )2 的算术平方根是 () A.± 2 B. 2 C.± 4 D.4 要点感知 2 规定： 0 的算术平方根为 __________. 预习练习 2-1 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是 () A.1 B.-1 C.0 D.0 或 1 要点感知 3 被开方数越大 ,对应的算术平方根也 __________. 预习练习 3-1 比较大小： 6 __________ 7 ， 4__________ 15 . 知识点 1 算术平方根 1.若 x 是 64 的算术平方根，则 x=( ) A.8 B.-8 C.64 D.-64 2.(2013·南充 )0.49 的算术平方根的相反数是 ( ) A.0.7 B.-0.7 C.± 0.7 D.0 3.(-2)2 的算术平方根是 () A.2 B.± 2 C.-2 D. 2 4.下列各数没有算术平方根的是 ( ) A.0 B.-1 C.10 D.102 5.求下列各数的算术平方根： (1)144 ； (2)1； (3) 16 ； (4)0.008 1 ； (5)0. 25 6.求下列各数的算术平方根 . (1)0.062 5； (2)(-3)2 ； (3) 225 ； (4)108. 121 知识点 2 估算算术平方根 7.(2014·安徽 )设 n 为正整数，且 n ＜ 65 ＜ n+1，则 n 的值为 ( ) 算术平方根练习 一、选择题： 1. 81的算术平方根是（ ） A ．9± B ．9 C ．-9 D ．3 2. 已知正方形的边长为 a ，面积为 S ，下列说法中：①a S =；②S a =；③S 是a 的算术平方根；④a 是S 的算术平方根。正确的是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 3. 如果5.1=y ，那么y 的值是（ ） A ．2.25 B ．22.5 C ．2.55 D ．25.5 4. 计算()22-的结果是（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4 5. 下列各式中正确的是（ ） A ．525±= B ． ()662-=- C ．()222-= D ．()332=- 二、填空题： 1. 一个数的算术平方根是25，这个数是________。 2. 算术平方根等于它本身的数有______________。 3. 81的算术平方根是__________。 4. 144=_______；4925=________；=-01.0________；002 5.0=_______。 5. ()=2196_________；()=-28_________；256 169-=___________。 三、解答题： 1. 求下列各数的算术平方根： (1) 3.24 (2) 12149 (3) 100001 2. 求下列各式的值： (1) 144 169- (2) 0625.0 (3) 1692254-+ 3. 回答下列问题： (1) ()2 5-有没有算数平方根？如果没有，说明理由；如果有，写出它的算术平方根。 (2) 3-是()2 3-的算术平方根吗？如果不是，请写出它的算术平方根。 4. 用长3cm 、宽2.5cm 的邮票30枚，拼成一个正方形，则这个正方形的边长是多少？ 13.1.1算术平方根练习 一、课堂练习： 1.填空：(1)因为 2=64，所以64的算术平方根是 ，即＝ ； (2)因为 2=0.25，所以0.25的算术平方根是 ，即 ＝ ； (3)因为 2=1649，所以1649的算术平方根是 ，即＝ . 2. 16的算术平方根是 ；16的算术平方根是 ； 4的算术平方根是 ；4的算术平方根是 ， 3、不用计算器你能比较上面数的大小吗？ （1）7和3 （2）7-2和1 1．计算： 2．（ 8 分） .计算：（ 1） （2） 3．计算： 4．计算（ 12 分） （1）－ 26－（－ 5） 2÷（－ 1）； （2）； （3）－ 2（－）＋│－7│ 5．（每小题 4 分，共 12 分） （1）； （2）； （3）． 6．（ 9 分）如图所示，在长和宽分别是、的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的小 正方形． （1）用、、表示纸片剩余部分的面积； （2）当，，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长的值． 7．计算： 8．（本题共有2 小题，每小题 4 分，共 8 分） （ 1）计算： +－；（2）已知：(x－1)2＝9，求x的值． 9．（ 8 分）（1）计算：．（2）已知，求的值． 10．计算： 11．用计算器计算，，，． (1)根据计算结果猜想 (填“＞”“＜”或“＝”)； (2) 由此你可发现什么规律？把你所发现的规律用含n 的式子 (n 为大于 1 的整数 )表示出来． 12 ．如果 a 为正整数，为整数，求 a 可能的所有取值． 13 ．若△ ABC的三边长分别是 a、 b 、c，且 a 与 b 满足，求 c 的取值范围． 14 ．若（ a－ 1） 2＋|b － 9| ＝ 0，求的平方根． 15 ．求下列各式中 x 的值． （1）（ x＋1） 2＝ 49； （2） 25x2－ 64＝ 0（ x＜0）． 16．一个正数 a 的平方根是3x－ 4 与 2－ x，则 a 是多少？ 17．如果一个正数的一个平方根是4，那么它的另一个平方根是多少？ 18．求下列各数的平方根． （ 1） 6.25；（2）；（ 3）；（4）（－ 2） 4． 19 ．求下列各式中 x 的值： (1)169x2 ＝ 100； (2)x2 － 3＝ 0； (3)(x＋ 1)2＝ 81． 20 ．已知，则的整数部分是多少？如果设的小数部分为b，那么 b 是多少？ 21 ．已知 2a－ 1 的算术平方根是 3， 3a＋ b－ 1 的算术平方根是 4，求 ab 的值． 22 ．如果，求 x＋ y 的值． 23 ．如果 9 的算术平方根是a， b 的绝对值是 4，求 a－ b 的值． 24 ．已知 3x－ 4 是 25 的算术平方根，求x 的值． 25 ．物体从高处自由下落，下落的高度h 与下落时间 t 之间的关系可用公式表示，其中 一、选择题： 1. 81的算术平方根是（ ） A ．9± B ．9 C ．-9 D ．3 2. 已知正方形的边长为 a ，面积为 S ，下列说法中：①a S =；②S a =；③S 是a 的算术平方根；④a 是S 的算术平方根。正确的是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 3. 如果5.1=y ，那么y 的值是（ ） A ．2.25 B ．22.5 C ．2.55 D ．25.5 4. 计算()22-的结果是（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4 5. 下列各式中正确的是（ ） A ．525±= B ． ()662-=- C ．()222-= D ．()332=- 二、填空题： 1. 一个数的算术平方根是25，这个数是______。 2. 算术平方根等于它本身的数有______。 3. 81的算术平方根是__________。 4. 144=_______；4925=________；=-01.0________；002 5.0=_______。 5. ()=2196_________；()=-28_________；256 169-=___________。 2. 求下列各式的值： (1) 144169- (2) 0625.0 (3) 1692254-+ 一、课堂练习： 1.填空：(1)因为 2 =64，所以64的算术平方根是 ，即＝ ； (2)因为 2=0.25，所以0.25的算术平方根是 ，即 ＝ ； (3)因为 2=1649，所以1649的算术平方根是 ，即＝ . 2. 16的算术平方根是 ；16的算术平方根是 ； 4的算术平方根是 ；4的算术平方根是 ， 二、课后作业： 1.求下列各式的值：＝ ；＝ ；＝ ；(4)25 9＝ ； ＝ ；＝ . 2.填空并记住下列各式： ＝ ，＝ ，＝ ，＝ ， ＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ . 3.填空：(1)因为（ ）2＝36，所以36的算术平方根是 ，即＝ ； (2)因为( )2＝649，所以649的算术平方根是 ，即64 9＝ ； (3)因为( )2＝0.81，所以0.81的算术平方根是 ，即＝ ； (4)因为( )2＝0.572，所以0.572的算术平方根是 ＝ . 4. 算术平方根等于自身的是 5. 81的算术平方根是 的算术平方根是 ， 9的算术平方根是 ；9的算术平方根是 ， 6、求下列各数的算术平方根： ⑴ 0.0025 ⑵ 121 ⑶ 23 ⑷ 2 (3) ⑸ 7积的算术平方根
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