线性规划中的参数问题
线性规划中的参数问题
例1.(2006年重庆卷文16)已知变量x ,y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤??
+-≥??-≤?
.若目标函数z ax y =+(其中
0a >)仅在点(3,0)处取得最大值,则a 的取值范围为.
变式1:(2006年湖北卷理9)已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部以及边界 组成.若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值,则m =( )
A .-2
B .-1
C .1
D .4
变式2:(2013年浙江卷理13)设y kx z +=,其中实数y x ,满足??
?
??≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 的最大值为12,
则实数=k ________.
变式3: (2008年安徽卷理15)若A 为不等式组002x y y x ≤??
≥??-≤?
表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1
时,动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为.
变式4:(2009年安徽卷理7)若不等式组0
3434
x x y x y ≥??
+≥??+≤?
所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等
的两部分,则k 的值是( ) A.
37B.73C.34D.4
3 变式5:(2009年山东卷理12)设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤??
-+≥??≥≥?
若目标函数(0,z ax by a b =+>>0)
的最大值为12,则23
a b +的最小值为( )
A.256
B.8
3 C.113 D.4
变式6:(2014年福建卷文11)已知圆()()22:1C x a y b -+-=,设平面区域70
300x y x y y +-≤??
Ω=-+≥??≥?
,
若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切,则2
2
a b +的最大值为( )
A.5
B.29
C.37
D.49
例2。(2008年陕西卷理10)已知实数x y ,满足121y y x x y m ≥??
≤-??+≤?
,如果目标函数z x y =-的最小值为1-,
则实数m 等于( ) A .7B .5C .4D .3
变式1:(2012年福建卷文10)若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件??
?
??≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则实数m
的最大值为( )
A .1-
B .1
C .
2
3
D .2 变式2:(2009年福建卷文9)在平面直角坐标系中,若不等式组101010x y x ax y +-≥??
-≤??-+≥?
(α为常数)所表示的
平面区域内的面积等于2,则a 的值为( )
A. -5
B. 1
C. 2
D. 3
变式3:(2007年浙江卷理17)设m 为实数,若{}
22
250()30()250x y x y x x y x y mx y ??
-+≥????-≥?+≤??????
+≥???
,,,
则m 的取值范围是.
变式4:(2006年广东卷理9)在约束条件????
???≤+≤+≥≥4
200
x y s y x y x 下,当53≤≤s 时,目标函数y x z 23+=的最大
值的变化范围是( )
A. ]15,6[
B. ]15,7[
C. ]8,6[
D. ]8,7[
例3.(2014年全国1卷文11)设x ,y 满足约束条件,
1,x y a x y +≥??-≤-?
且z x ay =+的最小值为7,
则a =( )
A.-5
B.3
C.-5或3
D.5或-3
变式:(2011年湖南卷理7)设1m >,在约束条件1y x y mx x y ≥??
≤??+≤?
下,目标函数z x my =+的最大值小于2,
则m 的取值范围为( )
A .(1,12)+
B .(12,)++∞
C .(1,3)
D .(3,)+∞
巩固练习
1. (2008年山东卷理12)设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ?+-?
-+??+-?,,≥≥≤所表示的平面区域为M ,使函数
(01)x y a a a =>≠,的图象过区域M 的a 的取值范围是( )
A .[13],
B .[210],
C .[29],
D .[109],
2. (2009年陕西卷理11)若,x y 满足约束条件1
122x y x y x y +≥??
-≥-??-≤?
,目标函数2z ax y =+仅在点(1,0)处取
得最小值,则a 的取值范围是( )
A.(1-,2 )
B.(4-,2 )
C.(4,0]-
D.(2,4)-
3. (2014年安徽卷理5)y x ,满足约束条件??
?
??≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ,若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一...
, 则实数a 的值为( ) A.
12
1
-或 B.212或 C.2或1 D.12-或
4. (2014年山东卷文10) 已知,x y 满足约束条件10
230
x y x y --≤??
--≥?,当目标函数z ax by =+
(0,0)a b >>
在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为( )
5.(2007年北京卷理6)若不等式组220x y x y y x y a
-≥0??+≤?
?≥??+≤?,,,表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围
是( )
A .43a ≥
B .01a <≤
C .413a ≤≤
D .01a <≤或4
3
a ≥ 6. (2010年浙江卷理7)若实数x ,y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥??
--≤??-+≥?
且x y +的最大值为9,
则实数m =( )
A.2-
B.1-
C.1
D.2
7. (2013年北京卷理8)设关于,x y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>??
+?->?
表示的平面区域内存在点()00,P x y ,
满足0022x y -=,求得m 的取值范围是()
A.4,3??-∞ ???
B. 1,3??-∞ ???
C. 2,3??-∞- ???
D. 5,3??-∞- ???
线性规划中的参数问题
例1.(2006年重庆卷文16)已知变量x ,y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤??
+-≥??-≤?
.若目标函数z ax y =+(其中
0a >)仅在点(3,0)处取得最大值,则a 的取
值范
围为.
解:画出可行域如图所示,其中B (3,0), C (1,1),D (0,1),若目标函数z ax y =+取 得最大值,必在B ,C ,D 三点处取得,故有
3a >a +1且3a >1,解得a >
12
变式1:(2006年湖北卷理9)已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部以及边界 组成.若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值,则m =( ) A .-2 B .-1 C .1 D .4
解:依题意,令z =0,可得直线x +my =0的斜率为-
1
m
,结合可行域可知当直线x +my =0与直线AC 平行时,线段AC 上的任意一点都可使目标函数z =x +my 取得最小值,而直线AC 的斜率为-1,所以m =1,选C
变式2:(2013年浙江卷理13)设y kx z +=,其中实数y x ,满足??
?
??≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 的最大值为12,
则实数=k ________.
变式3: (2008年安徽卷理15)若A 为不等式组002x y y x ≤??
≥??-≤?
表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1
时,动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为.
解:如图知ACD 是斜边为3 的等腰直角三角形,OEC 是直角边为1等腰直角三角形,区域的面
积131********
ACD OEC
S S
S
=-=??-??=阴影 变式4:(2009年安徽卷理7)若不等式组0
3434
x x y x y ≥??
+≥??+≤?
所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等
线性规划题型三线性规划中的求参数取值或取值范围问题
线性规划题型三 线性规划中的求参数取值或取值范围问题 一.已知含参数约束条件,求约束条件中参数的取值范围。 例1、已知|2x -y +m|<3表示的平面区域包含点(0,0)和(-1,1),则m 的取值范围是 ( ) A 、(-3,6) B 、(0,6) C 、(0,3) D 、(-3,3) 例2.已知:不等式9)2(2<+-m y x 表示的平面区域包含点(0,0)和点(-1,1)则m 的取值范围是() A(-3,6)B.(0,6)C(0,3)D(-3,3) 二.已知含参约束条件及目标函数的最优解,求约束条件中的参数取值问题 已知z=3x+y ,x ,y 满足?? ? ??≥≤+≥m x y x x y 32,,且z 的最大值 是最小值的3倍,则m 的值是 A. 61B.51C.41D.3 1 2.设实数y x ,满足不等式组?? ? ??≤++≤≥020k y x x y x ,若y x z 3+= 的最大值为12,则实数k 的值为. 二.目标函数中设计参数,已知线性约束条件 求目标函数中的参数的取值或取值范围问题例4、已知x 、y 满足以下约束条件5 53x y x y x +≥?? -+≤??≤? 使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个则a 的值( ) A 、-3 B 、3 C 、-1 D 、1 变式、已知x 、y 满足以下约束条件553x y x y x +≥?? -+≥??≤? 使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个则a 的值( ) A 、-3 B 、3 C 、-1 D 、1
若使z=x+ay(a<0)取得最小值的最优解有无数个,则a 的值( ) 若使z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则a 的值( ) 例 2.已知:x 、y 满足约束条件?? ? ??≤-≤+-≥+-0 1033032y y x y x ,目标 处取得最大值,求实数a 的取值范围. 直线ax+by+c=0(a>0) b>0直线的斜率小于零,直线由左至右呈上升趋势 b<0直线的斜率大于零,直线由左至右呈下降趋势 若直线ax+by+c=0(a>0)则在ax+by+c=0(a>0)右侧的点P(x 0,y 0) 使ax 0+by 0+c>0,左侧的点P(x 0,y 0),使ax 0+by 0+c<0 若直线ax+by+c=0(a<0)则在ax+by+c=0(a>0)右侧的点P(x 0,y 0) 使ax 0+by 0+c<0,左侧的点P(x 0,y 0),使ax 0+by 0+c>0
6.2(问题)线性规划中的参数问题(原卷版)
2018届学科网高三数学成功在我 专题六不等式 问题二:线性规划中的参数问题 一、考情分析 线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型:(1)平面区域的确定问题;(2)区域面积问题;(3)最值问题;(4)逆向求参数问题.而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值. 二、经验分享 (1)求平面区域的面积: ①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域; ②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可. (2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解. (3)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题. (4)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据z的几何意义确定最优解,切忌搞错符号. 三、知识拓展 常见代数式的几何意义: ①x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,x-a2+y-b2表示点(x,y)与点(a,b)的距离; ②y x表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率, y-b x-a 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. 四、题型分析 (一) 目标函数中含参数 若目标函数中含有参数,则一般会知道最值,此时要结合可行域,确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点(即最优解),将点的坐标代入目标函数求得参数的值. 1.目标函数中x的系数为参数
高中数学含参数的线性规划题目及答案
线性含参经典小题 1.已知0>a ,y x ,满足约束条件,()?? ? ??-≥≤+≥.3,3,1x a y y x x 若y x z +=2的最小值为1,则=a () A.41 B.2 1 C.1 D.2 2.已知变量y x ,满足约束条件,?? ? ??≤-≤+-≥+-.01,033,032y y x y x 若目标函数ax y z -=仅在点()03, -处取得最大值,则实数a 的取值范围为( ) A. (3,5) B.(∞+, 21) C.(-1,2) D.(13 1,) 3.若y x ,满足?? ? ??≤--≥-≥+.22,1, 1y x y x y x 且y ax z 2+=仅在点(1,0)处取得最小值,则a 的取值范围是( ) A.(-1,2) B.(-2,4) C.(-4,0) D.(-4,2) 4.若直线x y 2=上存在()y x ,满足约束条件?? ? ??≥≤--≤-+.,032,03m x y x y x 则实数m 的最大值为( ) A.-1 B.1 C.2 3 D.2 5.若不等式组? ??? ??? ≤+≥≤+≥-a y x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是( ) A.34≤a B.10≤ 7.设1>m ,在约束条件?? ? ??≤+≤≥1y x mx y x y 下,目标函数my x z +=的最大值小于2,则m 的取值 范围为() A.()211+, B.()+∞+,21 C.(1,3) D.()∞+,3 8.已知,x y 满足约束条件10, 230,x y x y --≤?? --≥? 当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下 取到最小值22a b +的最小值为( ) A 、5 B 、4 C D 、2 9.y x ,满足约束条件?? ? ??≥+-≤--≤-+0220220 2y x y x y x ,若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的 值为 A,12 1 -或 B.2 12或 C.2或1 D.12-或 10、当实数x ,y 满足?? ? ??≥≤--≤-+.1,01,042x y x y x 时,41≤+≤y ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 ________. 11.已知a>0,x,y 满足约束条件()1 33x x y y a x ?≥?+≤??≥-? 若z=2x+y 的最小值为1,则a= A.14 B. 1 2 C.1 D.2 12.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>?? +?->? 表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0)满足x 0- 2y 0=2,求得m 的取值范围是( ) A.4,3??-∞- ??? B. 1,3??-∞ ??? C. 2,3? ?-∞- ??? D. 5,3? ?-∞- ??? 线性规划题型三线性规划中的求参数取值或取 值范围问题 集团文件发布号:(9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 线性规划题型三 线性规划中的求参数取值或取值范围问题 一.已知含参数约束条件,求约束条件中参数的取值范围。 例1、已知|2x -y +m|<3表示的平面区域包含 点(0,0)和(-1,1),则m 的取值范围是 ( ) A 、(-3,6) B 、(0,6) C 、(0,3) D 、(-3,3) 例2.已知:不等式9)2(2<+-m y x 表示的平面区域包含点(0,0)和点(-1,1)则m 的取值范围是() A(-3,6)B.(0,6)C(0,3)D(-3,3) 二.已知含参约束条件及目标函数的最优解,求约束条件中的参数取值问题 2.12,则实数k 的值为. 二.值或范围. 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? 使z=x+ay(a>0)则a 的值( ) A 、-3 B 、3 C 、-1 D 、1 变式、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≥??≤?使z=x+ay(a>0)则a 的值( ) A 、-3 B 、3 C 、-1 D 、1 若使z=x+ay(a<0)若使z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则例2.已知:x 、y 满足约束条件?? ? ??≤-≤+-≥+-0 1033032y y x y x (-3,0)处取得最大值,求实数a 的取值范围.直线ax+by+c=0(a>0) b>0直线的斜率小于零,直线由左至右呈上升趋势 b<0直线的斜率大于零,直线由左至右呈下降趋势 若直线ax+by+c=0(a>0)则在ax+by+c=0(a>0)使ax 0+by 0+c>0,左侧的点P(x 0,y 0),使ax 0+by 0+c<0 若直线ax+by+c=0(a<0)则在ax+by+c=0(a>0)使ax 0+by 0+c<0,左侧的点P(x 0,y 0),使ax 0+by 0+c>0 高考中含参数线性规划问题专题(学生版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考中线性规划专题 纵观近几年高考试题,线性规划问题是每年的必考内容。题型多以选择题、填空题出现,它是直线方程在解决实际问题中的运用,特别是含参数线性规划问题,与数学中的其它知识结合较多,题目灵活多变,要引起高度重视. 近三年全国卷是这样考 1.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T15)若x,y 满足约束条件?? ? ??≤-+≤-≥-0400 1y x y x x 则y x 的最 大值为 . 2.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T15)若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤?? -+≤??-+≥?则 z=3x+y 的最大值为 . 3.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T14)若x,y 满足约束条件则z=x+y 的最大值为 . 4.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T4)若x,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤?? --≥??-+≤?则z=2x+y 的最大值为 . 5. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T9) 设x,y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥?? --≤??-+≥? 则 z=x+2y 的最大值为( ) A.8 B.7 C.2 D.1 6. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T9)设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤?? -+≤??--≥? 则 z=2x-y 的最大值为 ( ) A.10 B.8 C.3 D.2 7.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T9)已知a>0,x,y 满足约束条件 ()133x x y y a x ?≥? +≤??≥-? 若z=2x+y 的最小值为1,则a= ( ) A.14 B. 1 2 C.1 D.2 8.(2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T3)设,x y 满足约束条件 10,10,3,x y x y x -+≥?? +-≥??≤? ,则23z x y =-的最小值是( ) A.7- B.6- C.5- D.3- 9.(2013·新课标Ⅰ高考文科·T14)设x ,y 满足约束条件 ? ? ?≤-≤-≤≤013 1y x x ,则y x z -=2的最大值为______. 10. (2013·大纲版全国卷高考文科·T15)若x y 、满足约束条件 0,34,34,x x y x y ≥?? +≥??+≤? 则z x y =-+的最小值为 . 11.(2013·大纲版全国卷高考理科·T15)记不等式组0,34,34,x x y x y ≥?? +≥??+≤? 所表 示的平面区域为.D 若直线()1y a x D a =+与有公共点,则的取值范围是 . 线性含参经典小题 1.已知0>a ,y x ,满足约束条件,()?? ? ??-≥≤+≥.3,3,1x a y y x x 若y x z +=2的最小值为1,则=a () A.41 B.2 1 C.1 D.2 2.已知变量y x ,满足约束条件,?? ? ??≤-≤+-≥+-.01,033,032y y x y x 若目标函数ax y z -=仅在点()03, -处取得最大值,则实数a 的取值范围为( ) A. (3,5) B .(∞+,2 1) C.(-1,2) D.(13 1, ) 3.若y x ,满足?? ? ??≤--≥-≥+.22,1, 1y x y x y x 且y ax z 2+=仅在点(1,0)处取得最小值,则a 的取值范围是( ) A.(-1,2) B.(-2,4) C.(-4,0) D .(-4,2) 4.若直线x y 2=上存在()y x ,满足约束条件?? ? ??≥≤--≤-+.,032, 03m x y x y x 则实数m 的最大值为( ) A.-1 B .1 C.2 3 D.2 5.若不等式组? ??? ??? ≤+≥≤+≥-a y x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是( ) A.34≤a B.10≤ 6.若实数y x ,满足不等式组,?? ? ??≥-+≤-≤-.02,01,02a y x y x 目标函数y x t 2-=的最大值为2,则实数a的 值是( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 7.设1>m ,在约束条件?? ? ??≤+≤≥1y x mx y x y 下,目标函数my x z +=的最大值小于2,则m 的取值范 围为() A.()211+, B.()+∞+,21 C.(1,3) D.()∞+, 3 8.已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤??--≥? 当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下 取到最小值22a b +的最小值为( ) A、5 B 、4 D、2 9.y x ,满足约束条件?? ? ??≥+-≤--≤-+0220220 2y x y x y x ,若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值 为 A,12 1 -或 B.2 12或 C.2或1 D.12-或 10、当实数x ,y 满足?? ? ??≥≤--≤-+.1,01,042x y x y x 时,41≤+≤y ax 恒成立,则实数a 的取值范围是_____ ___. 11.已知a >0,x,y 满足约束条件()1 33x x y y a x ?≥?+≤??≥-? 若z=2x+y 的最小值为1,则a= 线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件,并作出可行域,进而通过平移直线在可行域内求 线性目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 XE2 例1、 若X 、y 满足约束条件y 乞2 ,则z=x+2y 的取值范围是 () X y -2 解:如图,作出可行域,作直线 l : x+2y = 0,将 l 向右上方平移,过点 A (2,0 )时, 有最小值 2,过点B (2,2 )时,有最大值6,故选A 二、求可行域的面积 Rx + y? ° 例2、不等式组{x + y-3兰°表示的平面区域的面积为 解:如图,作出可行域,△ ABC 的面积即为所求,由梯形OMBC 勺面积减去梯形 A [2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D ( 3,5] X + y =2 y k () \ \ A 4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 X + y - 3 = ° \\B M Av O c\ y =2 —? X -6= 0 OMAC y 2 A O X X =2 B y =2 门2 2X + y =5 的面积即可,选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x| + |y| w 2的点(x , y )中整点(横纵坐标都是整数)有( ) 四、求线性目标函数中参数的取值范围 工x y _5 例4、已知x 、y 满足以下约束条件 x-y 5汕 x^3 z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个,则 值为 () A 、一 3 B 3 C 、一 1 D 、1 解:如图,作出可行域,作直线 l : x+ay = 0,要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最 A 9 个 B 、10 个 C 、13 个 解:|x| + |y| w 2等价于 上十y 乞 2 x-y <2 \ -x y - 2 D 14个 (X — 0,y 一 0) (x —0,yY0) (x 0,y —0) 作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界) ,使 a 的 高中数学含参数的线性规 划题目及答案 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020线性规划题型三线性规划中的求参数取值或取值范围问题
高考中含参数线性规划问题专题(学生版)
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