探索勾股定理优秀教案

探索勾股定理

【教学难点】

勾股定理的证明。

【教学过程】

一、创设问题情景，引入新课。

［师］我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式()()22b a b a b a -=-+；完全平方公式

()2222b ab a b a +±=±是非常重要的内容。谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？

［生］利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就可以推出右边。例如

()()2222b a b ab ab a b a b a -=-+-=-+，所以平方差公式是成立的。

［生］还可以用拼图的方法来推出。例如：()222

2b ab a b a ++=+。我们可以用一个边长为a

的正方形，一个边长为b 的正方形，两个长和宽分别为a 和b 的长方形可拼成如下图所示的边长为()b a +的正方形，那么这个大的正方形的面积可以表示为()2

b a +；又可以表示为

222b ab a ++。所以()222

2b ab a b a ++=+。

［师］由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的结论非常直观。上一节课我们已经通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾股定理。同时又利用一些特例验证了勾股定理，但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜想出来的结论不一定正确。因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系。 二、合作学习，探索新知。

（一）拼一拼。

1．在一张硬纸板上画4个如下图所示全等的直角三角形。并把它们剪下来。

观察上图，用数格子的方法判断图中两个三

角形的三边关系是否满足a2+b2=c2．

［师］上图中的△ABC和△A′B′C′是什么三角形？

［生］△ABC，△A′B′C′在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA＞90°；△A′B′C′中，∠A′B′C′，∠B′C′A′，∠B′A′C′都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形。

［师］△ABC的三边上“长”出三个正方形。谁来帮我数一下每个正方形含有几个小格子。

［生］以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b2=9个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a2=8个单位面积；以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c2=29个单位面积。

a2+b2=9+7=16个单位面积，c2=29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a2+b2≠c2．

［师］锐角三角形A′B′C′中，如何呢？

［生］以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2=5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2=8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2=9个单位面积。由此我们可以算出a2+b2=5+8=13个单位面积。在锐角三角形A′B′C′中，a2+b2≠c2［师］通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，c三边才有，a2+b2=c2（其中A、B是直角边，c为斜边）这样的关系。

［生］老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a2+b2≠c2，但它们之间也有一种关系a2+b2＜c2；在锐角三角形A′B′C′中，a2+b2＞c2．它们恒成立吗？

［师］这位同学很善于思考，的确如此。同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小。

三、回顾反思，提炼升华。

这节课，我们用拼图的方法验证了勾股定理，并运用勾股定理解决了生活中的实际问题。