高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学必修3 7.3.1 圆的标准方程》
湘教2021课标版必修三第七章《圆的标准方程》教学设计
一、教材内容分析
圆是学生在初中已初步了解了圆的知识及前面学习了直线方程的基础上来进一步学习《圆的标准方程》，它既是前面圆的知识的复习延伸，又是后继学习圆与直线的位置关系奠定了基础。因此，本节课在本章中起着承上启下的重要作用。
二、教学目标
（1）探索并掌握圆的标准方程，能根据方程写出圆的坐标和圆的半径。
（2）通过圆的标准方程的学习，掌握求曲线方程的方法，领会数形结合的思想。
（3） 激发学生学习数学的兴趣，感受学习成功的喜悦。
三、教学重点难点以及措施
教学重点:圆的标准方程理解及运用
教学难点:根据不同条件，利用待定系数求圆的标准方程。
根据教学内容的特点及高一年级学生的年龄、认知特征，紧紧抓住课堂知识的结构关系，遵循认知过程，设计出包括:观察、思考、交流等内容的教学流程。并且充分利用现代化信息技术的教学手段提高教学效率。以此使学生获取知识，给学生合作交流的机会。学法上注重让学生参与方程的推导过程，努力拓展学生思维的空间，促其在尝试中发现，讨论中明理，合作中成功，让学生真正体验知识的形成过程。
四、教学设计
1回顾复习：
2检查学生导学案完成情况后，复习圆的定义，教师提出问题。引导学生思考：直线可以用一个方程表示,那么圆可以用一个方程表示吗，引出本节主旨。学生思考如何表示圆的方程。 3学生展示交流、合作探究，教师点拨讲解
教师引导学生分组探讨，从旁巡视指导学生在自学和探讨中遇到的问题，并鼓励学生以小组为单位展示探究成果。
探究一：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？圆心（点）A 的位置用坐标 a,b 表示，半径r 的大小等于圆上任意点M, 符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？
探究二：圆上任意点M, 与圆心A a,b 之间的距离能用什么公式表示？
方程222)()(m b y a x =-+-一定表示圆吗？
探究三：圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
探究四：怎样判断点 ()000,y x M 在圆 222)()(r b y a x =-+- 内呢？还是在圆外呢？
设计意图：通过合作探究和自我的展示，鼓励学生合作学习的品质
4学以致用，总结提升
例1 写出圆心为A2,－3，半径长等于5的圆的方程，并判断点
()7,51-M ，()
1,52--M 是否在这个圆上． 例2 ⊿ABC 的三个顶点的坐标分别是A5,1, B7,-3,C2,-8,求它的外接圆的方程
例3 己知圆心为C 的圆经过点A1,1和B2,-2,且圆心在直线:-1=0上,求圆心为C 的圆的标准方程
5课堂小结、总结拓展
1你学到了哪些知识
2你掌握了哪些技能
3你体会到了哪些数学思想
设计意图：采用提问的形式帮助学生回顾和分析本节所学。学生思考并从知识、技能和思想方法上回顾总结，培养学生归纳总结能力
6清理过关、课堂测评
1．圆－12＋＋错误!2＝1的圆心坐标是
A ．1，错误!
B ．－1，错误!
C ．1，－错误!
D ．－1，－错误!
2．圆心是O －3,4，半径长为5的圆的方程为
A ．－32＋＋42＝5
B ．－32＋＋42＝25
C ．＋32＋－42＝5
D ．＋32＋－42＝25
3．经过点2,2，圆心为C 1,1的圆的方程是
A ．＋12＋＋12＝2
B ．－12＋－12＝2
C ．＋12＋＋12＝错误!
D ．－12＋－12＝错误!
4．点P 5a ＋1,12a 在圆－12＋2＝1的外部，则a 的取值范围为
A ．|a |＜1
B ．a ＜错误!
C ．|a |＜错误!
D ．|a |＞错误!
5．若圆C 的半径为1，其圆心与点1,0关于直线＝对称，则圆C 的标准方程为________________．
3，1，B －1，3，且它的圆心在直线3－－2＝0上，求此圆的标准方程
设计意图：学生自主开展训练，并纠正学习中所遇到的问题
7作业布置
五、教学反思
本节教学主要遵循“回-导-学-展-讲-练-结”的高效课堂教学模式，遵循学生学习的主体地位，鼓励学生自主思考和探讨。
教学中要积极鼓励学生多思考总结，在判断点与圆的位置关系中，要遵从学生个性化的发展思路，鼓励学生创造性的解决问题。
湘教版高中数学必修三解析几何初步学案(3)
“解析几何初步”（第二课时） -----圆与圆的方程 一、高考《考试大纲》的要求： ① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. ② 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系. ③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 二、基础知识填空： 1.确定圆的条件是：一个圆的________位置和________一旦给定，这圆就被确定下来了。 2.圆的标准方程：圆心为C （a,b ）,半径为r 的圆的标准方程是 _____________________________. 3.圆的一般方程：____________________________,其圆心坐标为_______,半径为 ______________. 4.直线与圆的位置关系:设圆2 22r )b y ()a x (=-+-的圆心C （a,b ）到直线ｌ:Ax+By+C=0的距离为d.则当______时，直线与圆相离；当______时，直线与圆相切；当______时，直线与圆相交。 5.圆与圆的位置关系：设圆C 1：212121r )y y ()x x (=-+-和圆C 2：222222r )y y ()x x (=-+-的圆心距为d=|C 1C 2|.则当___________时，两圆相离；则当 ___________时，两圆外切；则当___________时，两圆相交；则当___________时，两圆内切；则当___________时，两圆内含。 三、例题选讲： 例1． (2006重庆文)以点(2，－1)为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为( ) （A ）22(2)(1)3x y -++= （B ）22(2)(1)3x y ++-= （C ）22(2)(1)9x y -++= （D ）9)1()2(22=-++y x 例2．（2004全国卷Ⅲ文、理）圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x 例3．（2004湖北文）两个圆0 124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 例4．（2006天津理）设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点， 且弦AB 的 长为a =____________． 四、基础训练： 1．（2006江苏）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是( ) （A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0 2．（2006全国Ⅰ卷文）从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线
湘教版高中数学必修三圆与方程教案
圆与方程 唐毅 课题：圆与方程 课时安排： 2 课时 一、复习目标： 圆与方程 了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等）. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 用代数方法处理几何问题的思想 体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用. 二、复习重难点：圆的标准方程和一般方程 1、圆的方程： ⑴标准方程：()()22 2 r b y a x =-+- ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x . 2、两圆位置关系：21O O d = ⑴外离：r R d +>； ⑵外切：r R d +=； ⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=； ⑸内含：r R d -<. 五、课堂教学： 问题导学一：我们在解决直线和圆相切时应注意哪些要点？ 例1、基础训练：求以)3,1(N 为圆心，并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.
探究1：过坐标原点且与圆02 5 2422=+ +-+y x y x 相切的直线的方程为 解：设直线方程为kx y =，即0=-y kx .∵圆方程可化为2 5 )1()2(22=++-y x ，∴ 圆心为（2，-1），半径为210.依题意有2101 122=++k k ，解得3-=k 或31 =k ，∴直 线方程为x y 3-=或x y 3 1 = . 探究2：已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 . 解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为（1，0），半径为1，∴ 112 552 2 =++a ，解得8=a 或 18-=a . 练习巩固：求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程. 解：设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，则? ?? ??=+=-=-+r b a b a r b a 5252)5(222， 解得?????===531r b a 或? ????===5 5155 r b a ，∴圆的方程为5)3()1(2 2=-+-y x 或 125)15()5(22=-+-y x . 问题导学二：直线被圆所截弦长的处理策略是什么?关键是借助圆的什么性质？ 例2、基础训练：求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长. 探究1：直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长222 2=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三 角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3 π = ∠AOB .
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学必修3 7.3.1 圆的标准方程》
湘教2021课标版必修三第七章《圆的标准方程》教学设计 一、教材内容分析 圆是学生在初中已初步了解了圆的知识及前面学习了直线方程的基础上来进一步学习《圆的标准方程》，它既是前面圆的知识的复习延伸，又是后继学习圆与直线的位置关系奠定了基础。因此，本节课在本章中起着承上启下的重要作用。 二、教学目标 （1）探索并掌握圆的标准方程，能根据方程写出圆的坐标和圆的半径。 （2）通过圆的标准方程的学习，掌握求曲线方程的方法，领会数形结合的思想。 （3） 激发学生学习数学的兴趣，感受学习成功的喜悦。 三、教学重点难点以及措施 教学重点:圆的标准方程理解及运用 教学难点:根据不同条件，利用待定系数求圆的标准方程。 根据教学内容的特点及高一年级学生的年龄、认知特征，紧紧抓住课堂知识的结构关系，遵循认知过程，设计出包括:观察、思考、交流等内容的教学流程。并且充分利用现代化信息技术的教学手段提高教学效率。以此使学生获取知识，给学生合作交流的机会。学法上注重让学生参与方程的推导过程，努力拓展学生思维的空间，促其在尝试中发现，讨论中明理，合作中成功，让学生真正体验知识的形成过程。 四、教学设计 1回顾复习： 2检查学生导学案完成情况后，复习圆的定义，教师提出问题。引导学生思考：直线可以用一个方程表示,那么圆可以用一个方程表示吗，引出本节主旨。学生思考如何表示圆的方程。 3学生展示交流、合作探究，教师点拨讲解 教师引导学生分组探讨，从旁巡视指导学生在自学和探讨中遇到的问题，并鼓励学生以小组为单位展示探究成果。 探究一：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？圆心（点）A 的位置用坐标 a,b 表示，半径r 的大小等于圆上任意点M, 符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？ 探究二：圆上任意点M, 与圆心A a,b 之间的距离能用什么公式表示？ 方程222)()(m b y a x =-+-一定表示圆吗？ 探究三：圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 探究四：怎样判断点 ()000,y x M 在圆 222)()(r b y a x =-+- 内呢？还是在圆外呢？ 设计意图：通过合作探究和自我的展示，鼓励学生合作学习的品质 4学以致用，总结提升
湘教版最新九年级数学圆全章教案
第三章 圆
单元要点分析 教学内容 1．本单元数学的主要内容． （1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角． （2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，?圆和圆的位置关系． （3）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积． 2．本单元在教材中的地位与作用． 学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累 了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特 殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数 学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的 基础性工程． 教学目标 1．知识与技能 （1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、?弦之间的相等关系的定理， 探索并理解圆周角和圆心角的关系定理． （2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，?探索切线与过切点的 直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线． （3）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；?理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面 积和全面积的计算． 2．过程与方法 （1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．?了解概念，理解等量关系，掌 握定理及公式． （2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流． （3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，?让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思 想． （4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，?使学生明确图形在运动变化中的 特点和规律，进一步发展学生的推理能力． （5）探索弧长、扇形的面积、?圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意 义． 3．情感、态度与价值观 经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累 活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探 索的欲望． 教学重点 1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧及其运用． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对的弦也相等及其运用． 3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用． 4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径及其运用． 5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．
6．直线 L 和⊙O 相交 d
7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．
湘教版高中高二数学必修三《圆与方程》评课稿
湘教版高中高二数学必修三《圆与方程》评课稿 一、教材介绍 《圆与方程》是湘教版高中高二数学必修三教材的一部分，主要内容涵盖了圆的基本概念、圆心角与弧度、圆心角与弧长的关系、相交弦的性质、相切与切线、圆与直线的位置关系、圆的方程等内容。本教材以清晰的概念定义和详细的步骤说明为特点，旨在帮助学生全面了解和掌握圆与方程的知识。 二、教学目标 1.掌握圆的基本概念，如圆心、半径、弧等，能正确 运用相关概念解决问题； 2.理解圆心角与弧度的概念，能根据需要相互转化； 3.熟悉圆心角与弧长的关系，能灵活运用求解弧长问 题； 4.理解相交弦的性质，能正确运用求解相关问题； 5.理解相切与切线的概念，熟悉切线的性质，并能根 据需求求解切线问题； 6.掌握圆与直线的位置关系，能准确判断圆与直线的 关系； 7.理解圆的方程，掌握圆的标准方程及相关推导。 三、教学重点 1.圆心角与弧度的关系及其在求解弧长问题中的应用； 2.相交弦的性质及其相关求解方法； 3.切线的概念及与相切的判定条件； 4.圆与直线的位置关系判定方法； 5.圆的方程的推导过程和标准方程的应用。
四、教学难点 1.弧度的概念与应用，需要学生能够熟练运用弧度制 进行计算； 2.切线的概念和判定条件，需要学生理解并掌握切线 的几何特征； 3.圆与直线的位置关系判定，需要学生能够运用相关 定理和几何方法解决问题； 4.圆的方程的推导过程，需要学生能够严格推导，并 能正确应用标准方程。 五、教学方法 1.通过示例引入，让学生感受到圆与方程的实际应用 场景，增加学习的兴趣； 2.理论与实践相结合，既讲解相关概念理论，又通过 实例演示和练习问题加深学生对知识的理解； 3.引导学生主动思考和发现规律，培养学生的逻辑思 维能力； 4.鼓励合作学习，通过小组讨论、分角色合作等形式，培养学生的团队合作意识。 六、教学过程 1. 圆心角与弧度 •引入：通过展示一个车轮转动的实例，引导学生思 考车轮转动过程中的一圈对应几度，从而引入圆心角的概念； •概念解释：解释圆心角、角度和弧度的概念，并介 绍弧度制的基本原理； •实例练习：通过几个实际问题的例子，让学生理解 并应用弧度制进行计算。
圆的方程(单元教学设计)-高中数学新教材选择性必修第一册
2.4 圆的方程的单元教学设计 一、内容和内容解析 （一）内容 本章确定圆的几何要素，由两点间距离公式推导得到圆的标准方程，进而得到圆的一般方程. （二）内容解析 内容本质：圆是基本平面曲线，是最简单的封闭“曲线形”.学生在初中已经学习过圆的一些性质.现在在平面直角坐标系中研究圆，根据确定圆的几何要素建立圆的标准方程.在圆的标准方程基础上，进一步研究圆的一般方程.通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的几何问题. 蕴含的思想与方法：根据确定圆的几何要素：圆心与半径，利用两点间距离公式将几何条件代数化的过程，体现了坐标法的本质。这是学生在直线的方程的基础上再次系统地用坐标法刻画一个几何对象.坐标法是本单元教学核心，本单元同时还蕴含着数形结合、特殊与一般、分类与整合、转化与化归等数学思想方法. 知识点上下位关系：圆的方程是在研究直线与方程的基础上对解析几何的进一步研究，学生体会运用坐标法、几何法、数形结合的思想研究几何图形.本单元内容属于解析几何的基础知识，在学习圆方程的基础上，进一步研究直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.并且开始了对二次曲线的研究，为后续圆锥曲线的学习做了铺垫.所以本单元内容在整个解析几何中起着承前启后的作用. 育人价值：通过探讨圆的方程及其推导,培养学生数学抽象和逻辑推理的学科素养；通过求圆的标准方程并应用,培养学生数学建模和数学运算的学科素养；通过对圆图形的认识，培养学生直观想象的核心素养，培养学生对美的认识.通过本单元的学习，使学生发展“四基”，提高“四能”. 教学重点：圆的标准方程和一般方程. 二、目标和目标分析 （一）单元目标 确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. （二）目标解析
2021年高中数学 第四章 圆与方程习题课 新人教A版必修2
2021年高中数学 第四章 圆与方程习题课 新人教A 版必修2 1．圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2. 2．圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)． 3．点与圆的位置关系：点在圆内，点在圆外，点在圆上． 4．直线与圆的位置：相交、相切、相离． 5．圆与圆的位置：内含、内切、相交、外切、相离． 一、选择题 1．若点P(2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是(A ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0 2．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是(B ) A ．(0，－1) B ．(－1，0) C ．(1，－1) D ．(－1，1) 解析：圆的标准方程得：(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋k 22＝1－3k 24，当半径平方1－3k 24的取最大值为1时，圆的面积最大．∴k＝0，即圆心为(－1，0)． 3．已知直线x ＝a(a>0)和圆(x ＋1)2＋y 2＝9相切，那么a 的值是(A ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半 径r 的取值范围(A ) A ．(4，6) B ．[4，6) C ．(4，6] D ．[4，6] 解析：∵－1＜|12＋15－2|5 －r ＜1， ∴－1＜5－r ＜1，∴4＜r ＜6. 5．若圆x 2＋y 2 －4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是(B ) A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4 B .⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤π12，5π12
高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修2
某某省某某市第三中学高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人 教版必修二2 知识与技能：1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2、会用两种方法求圆的标准方程：(1)待定系数法；(2)利用几何性质 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程： 情境设置： 问题：①圆的定义？ 学生回忆所学知识：①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是圆心和半径。 问题：②如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程，那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？如何写出这个圆的所在的方程？ 二、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出） P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M r =① 化简可得：222()()x a y b r -+-=② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （１）2200()()x a y b -+-=2r ⇔点在圆上 （２）2200()()x a y b -+-<2r ⇔点在圆内 （３）2200()()x a y b -+->2r ⇔点在圆外 三、知识应用与解题研究 （一）练习 １、指出下列方程表示的圆心坐标和半径： （１） 222=+y x ； （２） 5)1()3(22=-+-y x ； （３）222)1()2(a y x =+++（0≠a ）。
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修2-1 2.1.1 椭圆的定义与标准方程》
椭圆的定义与标准方程教学设计 福建省周宁县第十中学周文文 一、教材及学情分析 本节课是《全日制普通高级中学教科书（选修2-1）·数学》（湘教版教材）第二章第一节第一课时《椭圆的定义与标准方程》。 在人教A版必修2第二章中，学生在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，对于如何利用代数方法研究几何问题有了初步的印象。而在湘教版选修2-1中，椭圆作为第二章的第一节内容，研究方法上与圆以及后续要学习的双曲线、抛物线是一样的，而教材对椭圆的研究上也是浓墨重彩，可以说“椭圆的定义与标准方程”起到了承上启下的重要作用。教学内容中蕴含了数形结合、化归与转化等思想方法，因此，如何在教学时体现这些数学思想方法及价值也是一个难点。 由于这是一节解析几何的课，光靠干巴巴的讲是不行的，因此，在教学中充分发挥信息技术的作用至关重要，这可以将抽象的内容直观化，有利于学生对新知识的理解与掌握。 二、教学目标 1．知识与技能： 掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形。在化简椭圆方程的过程中提高运算能力。 2．过程与方法： ①让学生在经历椭圆概念产生过程，同时潜移默化的学会提炼数学概念的方法。 ②通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想方法。 3．情感态度价值观： 通过让学生探究椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的观察能力和学习兴趣。三、重、难点 重点：椭圆的定义及其两种形式的标准方程，坐标化的思想。 难点：椭圆标准方程的建立与推导，关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法。 四、教学方法 1、启发引导 教师通过问题进行启发与引导，以探究椭圆的定义与标准方程为主线，以圆的定义与标准方程为基础，层层递进，使学习过程自然，并从知识的碰撞中得到能力的培养。 2、类比推理 从熟悉的圆的相关概念入手，类比出椭圆的定义及标准方程的推导，让学生在类比之中推理得到新知，让学
高中数学《圆的方程》教案
高中数学《圆的方程》教案 高中数学《圆的方程》教案 1、教学目标 (1)知识目标： 1、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程; 2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程; 3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。 (2)能力目标： 1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力; 2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解; 3、增强学生用数学的意识。 (3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。 2、教学重点、难点 (1)教学重点：圆的标准方程的’求法及其应用。 (2)教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程 ②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。 3、教学过程 (一)创设情境(启迪思维) 问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2。7m，高为3m的货车
能不能驶入这个隧道? [引导]：画图建系 [学生活动]：尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习) 解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16(y≥0) 将x=2。7代入，得 即在离隧道中心线2。7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。 (二)深入探究(获得新知) 问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程? 答：x2+y2=r2 2、如果圆心在，半径为时又如何呢? [学生活动]：探究圆的方程。 [教师预设]：方法一：坐标法 如图，设M(x，y)是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为① 把①式两边平方，得(x―a)2+(y―b)2=r2 方法二：图形变换法 方法三：向量平移法 (三)应用举例(巩固提高)
高中数学7.3圆的一般方程教案湘教版必修3
圆的一般方程 三维目标： 知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征， 由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆 的条件． (2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数 法求圆的方程。 (3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 过程与方法：通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题 的实际能力。 情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇 于探索。 教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方 程中的系数，D 、E 、F ． 教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 课题引入： 问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。 探索研究： 请同学们写出圆的标准方程： (x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ． 把圆的标准方程展开，并整理： x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0． 取2 22,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得 022=++++F Ey Dx y x ①
这个方程是圆的方程． 反过来给出一个形如x 2＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得 4 4)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？ (1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（- 2D ，-2E ）为圆心,F E D 42 122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2 E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）; （3）当0422<-+ F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆 只有当042 2>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的 方程称为圆的一般方程()2214x y ++= 我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程 就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标 准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 知识应用与解题研究： 例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。 ()() 222214441290244412110x y x y x y x y +-++=+-++= 学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判
2021年高中数学 .3.1圆的标准方程教案 新人教B版必修
2019年高中数学 2.3.1圆的标准方程教案新人教B版必修2 教学目标 （1）认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法； （2）掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径； （3）能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程． 教学重点 圆的标准方程及其运用． 教学难点 圆的标准方程的推导和运用． 教学过程 一、问题情境 1．情境： 河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢？ 2．问题： 在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式？ 二、学生活动 回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来？ 三、建构数学 1．由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆的标准方程： 一般地，设点是以为圆心，为半径的圆上的任意一点，则，由两点间距离公式，得到：即（１）； 反过来，若点的坐标是方程的解，则， 即，这说明点到点的距离为即点在以为圆心，为半径的圆上； 2．方程叫做以为圆心，为半径的圆的标准方程； 3．当圆心在原点时，圆的方程则为；
特别地，圆心在原点且半径为１的圆通常称为单位圆；其方程为 四、数学运用 1．例题： 例1．分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径： ⑴； ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 解：（如下表） （２）求圆心是，且经过原点的圆的方程。 解：（１）∵圆心为，半径长为 ∴该圆的标准方程为 把点代入方程的左边2222 (52)(73)3425-+-+=+=＝右边即点的坐标适合方程，∴点是这个圆上的点； 把点的坐标代入方程的左边22 (2)(13)1325+-+=+≠即点坐标不适合圆的方 程，∴点不在这个圆上； （２）法一：∵圆的经过坐标原点， ∴圆的半径为r == = 因此所求的圆的方程为2 2 (2)((3))13x y -+--=即； 法二：∵圆心为 ∴设圆的方程为
2022_2023学年高中数学第2章平面解析几何初步-圆的标准方程同步练习湘教版选择性必修第一册
2.5 圆的方程 2.5.1 圆的标准方程 A级必备知识基础练 1.(2022陕西西安新城高一期末)与圆(x-1)2+y2=4同圆心且经过点P(-2,4)的圆的标准方程为() A.(x-1)2+y2=17 B.(x+1)2+y2=25 C.(x+1)2+y2=17 D.(x-1)2+y2=25 2.(2022四川阆中中学高二月考)圆心在y轴上,半径长为1,且过点(1,2)的圆的标准方程为() A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 3.圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的标准方程是() A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y+1)2=1 C.(x-2)2+(y-1)2=5 D.(x+2)2+(y+1)2=5 4.(2022广西钦州高一期末)圆C:(x+2)2+(y-4)2=2的圆心关于原点的对称点为() A.(4,-2) B.(-2,4) C.(2,-4) D.(4,2) 5.(多选题)下列说法正确的是() A.圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1,2),半径为 B.圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2,0),半径为b C.圆(x-)2+(y+)2=2的圆心为(,-),半径为 D.圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(2,2),半径为
6.(多选题)已知点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的值不可能是() A.-2 B.- C. D.2 7.(2022浙江名校联盟高二联考)已知圆C的圆心在直线2x-y+3=0上,半径为r,且与直线l:x- y+4=0相切于点P(-2,2),则圆C的圆心为;半径r= . 8.已知圆C过O(0,0),A(1,1),B(4,2). (1)求圆C的标准方程; (2)判断P(3,2)和圆C的位置关系. B级关键能力提升练 9.(2022福建三明一中高二月考)已知圆心为(-2,1)的圆与y轴相切,则该圆的标准方程是() A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-1)2=4 C.(x-2)2+(y+1)2=1 D.(x-2)2+(y+1)2=4 10.已知直线l平分圆x2+(y-3)2=4,且与直线x+y=0垂直,则直线l的方程是()
新课标高中数学人教A版必修二教案-4.1.1圆的标准方程(学案)
新课标高中数学人教A版必修二教案 4. 1.1圆的标准方程 【教学目标】 １．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力． ３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育． 【教学重难点】 教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题． 【教学过程】 （一）情景导入、展示目标 前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)． 2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小． （二）检查预习、交流展示 求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9 (2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少． （三）合作探究、精讲精练 探究一：如何建立圆的标准方程呢？ 1．建系设点 由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)． 2．写点集 根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}． 3．列方程 由两点间的距离公式得： 4．化简方程 将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程． 探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2． 教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决． 例1 写出下列各圆的方程：(请三位同学演板) (1)圆心在原点，半径是3； (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 解析：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程． 解：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；
第2章 2.3.1 圆的标准方程-人教B版(2021)高中数学选择性必修第一册讲义
2.3 圆及其方程 2.3.1圆的标准方程 学 习目标核心素养 1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点) 2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点) 3．掌握点与圆的位置关系．(重点) 4．圆的标准方程的求解．(难点) 1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养． 1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．确定一个圆的条件：(1)圆心；(2)半径．2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程． 3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内 d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r [提示]若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．() (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．() (3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9．() [答案](1)√(2)×(3)× [提示](1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径． (2)错误．当m＝0时，不表示圆． (3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3． 2．(教材P101练习A①改编)圆心为O(－1,1)，半径为2的圆的方程为() A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 C[将O(－1,1)，r＝2代入圆的标准方程可得．] 3．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是() A．在圆外B．在圆内 C．在圆上D．不确定 A[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．] 4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是． x2＋(y－2)2＝1[设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1,2)在圆上，所以(2－b)2＋1＝1，∴b＝2，故方程为x2＋(y－2)2＝1．] 直接法求圆的标准方程 【例1 (1)圆心在点C(－2,1)，且过点A(2，－2)； (2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上． [思路探究]只要确定圆心坐标和半径即可求得圆的标准方程．
高中数学新北师大版精品学案《圆的标准方程》
圆的标准方程 【课标解读】 栏目功能：按课程标准和考试要求，分课标要求和学习目标两方面去写，通过本栏目，使教师的教学更具有针对性，学生的学习更具有目的性。 编写要求：课标要求和学习目标左右栏排版单独成块，课标要求主要围绕三维目标进行展开，学习目标是从学生应该掌握的角度进行写作。 【学习策略】 栏目功能：说明学习本节内容时应注意的问题和应采用的策略，以便学生更好的理解和掌握本章内容。 编写要求：注意要用条目式呈现，层次性条理性要强。 1．在本节的学习中，要注意圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，通过两点间的距离公式理解和记忆，且通过圆的标准方程可以直接得到圆心和半径、通过圆心和半径可以直接得到圆的标准方程。 2．在掌握了标准方程之后，要能从“是”、“否”两个方面来判断点与方程的关系， 3．要注意数形结合思想及方程思想的运用。 4．求标准方程常用待定系数法，根据题目的条件列出关于A 、B ．r 的方程或方程组。 【学习过程】 一、情景创设 栏目功能：激起学生的学习本节知识、探究问题、发现问题的兴趣和斗志，同时也能更好地体现新课标理念。 编写说明：1．在报刊、网络或相关信息上精选或精编一段新颖的、可读性强的、趣味性强的与本节相关的生产、生活、社会、科技等美文、小故事、图片等，作为本节知识的导入，引导学生去探索、发现问题，激发学生的学习兴趣。 2．如果与本节相关的材料确实不好找，也可以从知识回顾的角度或自己精编一个与本节有关的问题去写。
3．注意篇幅不易过长。 同学们，你们做过摩天轮吗？登高而望远，不亦乐乎。 世界上最巨大的摩天轮是座落于泰晤士河畔的英航伦敦眼，距地总高达135公尺。然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在排行上应该与重力式摩天轮分开来计算。因此目前世界最大的重力式摩天轮应位于日本福冈的天空之梦福冈，是直径112公尺，离地总高12021的摩天轮。 对于这些摩天轮，我们如何通过建立平面直角坐标系，利用方程的知识来研究呢？ 二、合作探究 栏目功能：通过对本节重要知识点和典型解题方法的探究，进一步强化学生对知识和方法的探索感悟和认知过程，使学生对问题的认识是一个层层递进、不断攀升、不断升华的过程，从而遵循由特殊到一般的认识问题和解决问题的基本思路、基本方法 编写要求：1．对于基本概念、公式、定理、方法的讲解。一般是先通过具体一例子引出问题或者由创设的情景提出问题，然后进行探究（议一议，思考等），一定要体现思维过程，最后得出一般性的结论（提升总结）。 2．在第1条的写作时，自选取课本或其它资料上的一些典型例题进行讲解示例。 3．对于本节的“应用”可设为最后一个探究，选取典型例题进行讲解（不要和前面的探究中例题设置角度重复） 探究一 探究圆的标准方程 想一想：初中学习圆的定义如何？ 我们在初中已经学习了圆的有关知识，圆的几何特征是在平面内圆上任一点到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点就是圆心，定长就是半径。 议一议：确定圆需要哪些条件？ 一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就被确定下来了。 探究：如图 4-1-1-1，设圆心是 C （a ，b ），半径为 r ，设 r b x a x =-+-2 2 )()(2 22)()(r b y a x =-+-2 22)()(r b y a x =-+-2 22r y x =+222)()(r b y a x =-+-⇔53-522=+y x 2222008)8()8(=-+-y x 5 )31()85(22=++-==CP r 3 -25 )3()8(22=++-y x 3 -222)3()8(r y x =++-2 22)31()85(r =++-25 2=r 25)3()8(22=++-y x 2 22=+y x 2 22)3(a y x =+-0 ≠a 2 22)1()2(b y x =+++0 ≠b 222)()(r b y a x =-+-0>r b a ,r 2||a 1,2--||b 22,b a 0,0>>b a ||||b a r 或=2221x y +=00(,) x y 222001x y +=111111(0,0)(,)(,)(,)222232--、、、22222211001()()122+<+<、22211()()122-+-<22211 ()()132 +<00(,) x y O C P r 图4-1-1-1