第1讲 三垂直模型(教师版)

C 1A B

C E

D D E

(C )

B A

C 1

C 1

A

B C

E

D C 1A

B E

D

E

D

C

B

A

2

1

第3讲三垂直模型 常见三垂直模型

1已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ，

⑴求证：AC ⊥CE ；

⑵若将△CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形，1AB C D =，

其余条件不变，试判断AC ⊥C 1E 这一结论是否成立？若成立，给予证 明；若不成立，请说明理由.

① ② ③ ④

1⑴∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD

∴90∠=∠=?

B D 在AB

C △与CDE

△中 =??

∠=∠??=?

AB CD

B D B

C DE ∴ABC CDE △≌△（SAS ）

∴1∠

=∠E ∵290∠+∠=?E

∴90∠=?ACE ,即AC ⊥CE

⑵ 图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明

1ABC C DE △≌△

∴1∠=∠ACB C ED

∵1190∠+∠=?C ED DC E ∴190∠+∠=?DC E ACB

∴AC ⊥C 1E

E

C

D B A

F

2已知：如图，在△ABC 中，90ACB CD AB ∠=?⊥，于点D ，点E 在AC 上，CE =BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB =FC . 2∵FE AC ⊥于点E ，90ACB ∠=°，

∴90FEC ACB ∠=∠=°． ∴90F ECF ∠+∠=°． 又∵CD AB ⊥于点D ， ∴90A ECF ∠+∠=°． ∴A F ∠=∠．

在ABC △和FCE △中， ,,,A F ACB FEC BC CE ∠=∠??

∠=∠??=?

∴ABC FCE △≌△． ∴AB FC =．

3如图，ABC △中，AC BC =，90BCA ∠=°，D 是AB 上任意一点，

AE CD ⊥交CD 延长线于E ，BF CD ⊥于F ．求证：EF BF AE =-．

3 根据条件，ACE ∠、CBF ∠都与BCF ∠互余，

∴ACE CBF ∠=∠． 在ACE △和CBF △中， AC CB =，90AEC CFB ∠=∠=°，

∴ACE CBF △≌△． 则CE BF =，AE CF =， ∴EF CE CF BF AE =-=-．

F

E

D C B A

P

Q

M

C

B

A

4．如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的

垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程

.

4解：全等三角形为：△ACD ≌△CBE.

证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠CAD=∠BCE 在△ACD 与△CBE 中，

90ADC CEB CAD BCE

AC BC ∠=∠=???

∠=∠??=?

∴△ACD ≌△CBE （AAS ）.

5如图， Rt △ABC 中，∠C =90°,10cm AC =，5cm BC =，一条线段PQ =AB ，P ，Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AM 上运动. 当△ABC 和△APQ 全等时,点Q 到点A 的距离为___________ . 5 5cm 或10cm.

6在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A ，B 两点

分别作l 的垂线AE ，BF ，垂足分别为E ，F.

（1）如图1当直线l 不与底边AB 相交时，求证：EF ＝AE ＋BF.

（2）将直线l 绕点C 顺时针旋转，使l 与底边AB 相交于点D ，请你探究直线l 在如下位

置时，EF 、AE 、BF 之间的关系，①AD ＞BD ；②AD ＝BD ；③AD ＜BD.

图2

图1G

G

A B C D

E F F E D C B A 6证明：（1）∵AE ⊥l ，BF ⊥l ，∴∠AEC ＝∠CFB ＝90°，∠1＋∠2＝90°

∵∠ACB ＝90°，∴∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3。

∵在△ACE 和△CBF 中，

13

AEC CFB AC BC ∠=∠??

∠=∠??=?

∴△ACE ≌△CBF （AAS ） ∴AE ＝CF ，CE ＝BF

∵EF ＝CE ＋CF ，∴EF ＝AE ＋BF 。 （2）①EF ＝AE －BF ，理由如下：

∵AE ⊥l ，BF ⊥l ，

∴∠AEC ＝∠CFB ＝90°，∠1＋∠2＝90°

∵∠ACB ＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。 ∵在△ACE 和△CBF 中

13

AEC CFB AC BC ∠=∠??

∠=∠??=?

∴△ACE ≌△CBF （AAS ） ∴AE ＝CF ，CE ＝BF

∵EF ＝CF －CE ，∴EF ＝AE ―BF 。 ②EF ＝AE ―BF ③EF ＝BF ―AE 证明同①.

7 四边形ABCD 是正方形．

⑴如图1，点G 是BC 边上任意一点(不与B 、C 两点重合)，连接AG ，作BF ⊥AG 于点F ，DE ⊥AG 于点E ．求证：△ABF ≌△DAE ； ⑵在⑴中，线段EF 与AF 、BF 的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)；

⑶如图2，点G 是CD 边上任意一点(不与C 、D 两点重合)，连接AG ，作BF ⊥AG 于点F ，DE ⊥AG 于点E ．那么图中全等三角形是 ，线段EF 与AF 、BF 的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)．

7 ⑴在正方形ABCD 中，AB=AD ，90∠=BAD °

∴90BAF DAE ∠+∠=°

90∠+∠=?BAF ABF ∴ABF DAE ∠=∠ 在△ABF 和△DAE 中 ,,,∠=∠??

∠=∠??=?

ABF DAE AFB DEA AB DA ∴ABF DAE △≌△（AAS ） ⑵EF AF BF =- ⑶△ABF ≌△DAE EF BF AF =-