材料力学笔记(第七章)

材料力学（土）笔记

第七章应力状态和强度理论

1．概述

在轴向拉压、圆杆扭转和对称弯曲各章中，构件的强度条件为

max []σσ≤或max []ττ≤

工作应力由相关的应力计算公式计算

材料的许用应力是通过直接试验，测得材料相应的极限应力

在受力构件的同一截面上，各点处的应力一般是不同的

通过受力受力构件同一点处，不同方位截面上的应力一般也是不同的

在一般情况下，受力构件截面内的一点处既有正应力、又有切应力

若需对这类点的应力进行强度计算

则不能分别按正应力和切应力来建立强度条件，而需综合考虑正应力和切应力的影响一方面要研究通过该点各不同方位截面上应力的变化规律

从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位

受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合

即通过一点所有不同方位截面上应力的全部状况，称为一点处的应力状态

关于材料破坏规律的假设，称为强度理论

2．平面应力状态的应力分析·主应力

为研究受力构件内任一点处的应力状态，可围绕该点截取一单元体由于单元体各边长均为无穷小量

故单元体各表面上的应力可视为均匀分布，且任意的一对平行的平面上的应力相等

平面应力状态：若单元体有一对平面上的应力等于零，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内

当其他两对平面上的正应力和切应力均不等于零时，为平面应力状态的普遍形式

研究在普遍形式的平面应力状态下的应力分析

即由单元体各面上的已知应力分量来确定其任一斜截面上的未知应力分量

并从而确定该点处的最大正应力及其所在截面的方位

2.1 斜截面上的应力

设一平面应力状态单元体上的应力为x σ、x τ和y σ、y τ

前、后两平面上的应力为零，可将该单元体用平面图形表示

为求该单元体与前、后两平面垂直的任一斜截面上的应力，应用截面法

设斜截面ef 的外法线n 与x 轴间的夹角（方位角）为α

α截面上的应力分量用ασ和ατ表示

正应力以拉应力为正，压应力为负

切应力以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负

假想地沿斜截面ef 将单元体截分为二，取左边部分edf 为研究对象设斜截面ef 的面积为dA ，斜截面上的应力ασ和ατ均为正值

考虑体元平衡，以斜截面的法线n 和切线t 作为参考轴

由平衡方程，得

0n F =∑，

(cos )sin (cos )cos (sin )cos (sin )sin 0x x y y dA dA dA dA dA ασταασααταασαα+-+-= 0t

F =∑， (cos )cos (cos )sin (sin )sin (sin )cos 0x x y y dA dA dA dA dA ατταασααταασαα--++=

由切应力互等定理可知，x τ和y τ的数值相等

据此，可得平面应力状态下任斜截面（α截面）上的应力分量为

cos 2sin 222x y

x y x ασσσσσατα+-=+

- sin 2cos 22x y x ασστατα-=+

上面两个式子就是平面应力状态下，任一α截面上应力ασ和ατ的计算公式

反映了在平面应力状态下，一点不同方位斜截面上的应力（ασ和ατ）随α角而变化的规律即一点处的应力状态

2.2 应力圆

由上述两式可见，当已知一平面应力状态单元体上的应力x σ、x τ和y σ、()y x ττ=时任一α截面上的应力ασ和ατ均以2α为参变量，从上两式小区参变量2α后，即得

2222()()22x y

x y

x αασσσσσττ+--+=+ 由上式可见，当斜截面随方位角α变化时

其上的应力ασ和ατ在στ-直角坐标系内的轨迹是一个圆

其圆心位于横坐标轴（σ轴）上，其横坐标为2x y

σσ+该圆习惯上称为应力圆，或称为莫尔应力圆

下面根据所研究单元体上的已知应力x σ、x τ和y σ、()y x ττ=

作出相应的应力圆，并确定α截面上应力ασ和ατ

连接1和2两点的直线与轴交于点以C 点为圆心，1CD 或2CD 为半径作圆

该圆圆心的横坐标为2x y

σσ+，半径1CD 或2CD 因而该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆

由于D 的点坐标为(,)στ，因而，D 代表单元体x 平面上的应力

就代表α截面上应力ασ和ατ

证明如下（略）——教材P215

应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系：

单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标

单元体上任意A ，B 两个面的外法向之间的夹角若为β，则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间的圆弧段所对的圆心角必为2β，且两者转向一致

应力圆直观地反映了一点处平面应力状态下任意斜截面上应力随截面方位角而变化的规律以及一点处应力状态的特征

实际应用中，可利用应力圆来理解有关一点处应力状态的一些特征，或分析一点处应力状态

2.3 主应力与主平面

由应力圆所示，1A 和2A 两点的横坐标分别为该单元体垂直于xy 平面的各截面上正应力中的最大值和最小值，在该两截面上的切应力均等于零一点处切应力等于零的截面称为主平面

主平面上的正应力称为主应力

主应力是过一点处不同方位截面上正应力的极值

可以证明，必存在这样一个单元体，其三个相互垂直的面均为主平面

三个相互垂直的主应力分别记为1σ、2σ和3σ

且规定按代数值大小的顺序排列，即123σσσ≥≥

研究如何确定该单元体的主平面位置和主应力数值

1A 和2A 两点的纵坐标均等于零，而横坐标分别为主应力1σ和2σ 由图可见，1A 和2A 两点的横坐标分别为 11OA OC CA =+，21OA OC CA =-

式中，OC 为应力圆圆心横坐标，1CA 为应力圆半径

则可得两主应力值为

11()2x y σσσ=+

11()2x y σσσ=+圆上的1D 点对应x 平面，圆上的1A 点对应1σ主平面 1102D CA α∠=为上述两平面夹角0α的两倍所示单元体上从x 平面转到1σ主平面的转角为顺时针方向

按规定应为负值，由应力圆可得

1101tan(2)1()2

x x y B D CB τασσ-==- 从而解得表示主应力1σ所在主平面位置的方位角 022arctan x x

y τασσ⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭ 由于12A A 为应力圆直径，因而，2σ主平面与1σ主平面相互垂直

3．空间应力状态的概念

对于受力物体内一点处的应力状态

最普遍的情况是所取单元体三对平面上都有正应力和切应力

切应力可分解为沿坐标轴方向的两个分量如x 平面上，有正应力x σ、切应力xy τ和xz τ

切应力的两个下标中，第一个下标表示切应力所在平面，第二个下标表示切应力方向在y 平面上有正应力y σ、切应力yx τ和yz τ；在z 平面上有正应力z σ、切应力zx τ和zy τ 这种应力状态称为一般的空间应力状态

在一般的空间应力状态的9个应力分量中，根据切应力互等定理

在数值上有xy yx ττ=、yz zy ττ=和zx xz ττ=

因而独立的应力分量是6个，即x σ、y σ、z σ、xy τ、yz τ、zx τ

可以证明，在受力物体内的任一点处一定可以找到一个主应力单元体

其三对相互垂直的平面均为主平面，三对主平面上的主应力分别为1σ、2σ、3σ 空间应力状态时一点处应力状态中最为一般的情况

仅一个主应力不等于零的应力状态，称为单轴应力状态

对于危险点处于空间应力状态下的构件进行强度计算，通常需确定最大正应力和切应力当受力物体内某一点处的三个主应力1σ、2σ和3σ均为已知时

利用应力圆，可以确定该点处的最大正应力和最大切应力

首先，研究与其中一个主平面（例如3σ平面）垂直的斜截面上的应力应用截面法，沿该斜截面将单元体截分为二，研究其左边部分的平衡

由于主应力3σ所在的两平面上是一对自相平衡的力，则该斜截面上的应力σ、τ与3σ无关于是，这类斜截面上的应力可由1σ和2σ作出的应力圆上的点来表示

而该应力圆上的最大和最小正应力分别为1σ和2σ

同理，在与2σ（或1σ）主平面垂直的斜截面上的应力σ和τ

可用由1σ和3σ（或2σ和3σ）作出的应力圆上的点来表示

表示与三个主平面斜交的任意斜截面上应力σ和τ的D 点，必位于上述三个应力圆所围成的阴影范围内

在空间应力状态下，该点处的最大正应力（代数值）等于最大的应力圆上A 点的横坐标

max 1σσ=

最大切应力等于最大的应力圆上B 点的纵坐标，为

max 131()2

τσσ=- 由B 点的位置可知，

最大切应力所在截面与2σ主平面相垂直，并与1σ和3σ主平面互成45°角

上述两公式同样适用于平面应力状态（其中有一个主应力等于零）或单轴应力状态（其中有两个主应力等于零），只需将具体问题中的主应力求出，并按代数值123σσσ≥≥排列

4．应力与应变间的关系

在一般的空间应力状态下有6个独立的应力分量

与之相应的有6个独立的应变分量x ε、y ε、z ε、xy γ、yz γ、zx γ

讨论在线弹性、小变形条件下，空间应力状态下应力分量与应变分量的物理关系

通常称为广义胡克定律

4.1 各向同性材料的广义胡克定律

一般空间应力状态下单元体的6个独立应力分量中，3个正应力分量的正负号规定同前而3个切应力分量的正负号规定如下：

若正面（外法线与坐标轴正向一致的平面）上切应力矢的指向与坐标轴正向一致

或负面（外法线与坐标轴负向一致的平面）上切应力矢的指向与坐标轴负向一致

则该切应力为正，反之为负

线应变以伸长为正，缩短为负

切应变均以使直角减小者为正，增大者为负

对于各项同性材料，沿各方向的弹性常数E 、G 、ν均分别相同

由于各向同性材料沿任一方向对于其弹性常数都具有对称性

因而，在线弹性、小变形条件下，沿坐标轴（或应力矢）方向

正应力只引起线应变，而切应力只引起同一平面内的切应变

线应变与正应力之间的关系可用叠加原理求得

在x σ、y σ、z σ分别单独存在时，x 方向的线应变x ε依次分别为

x x E σε=，''

y x E σευ=-，'''z

x E σευ=-

则在x σ、y σ、z σ同时存在时，可得x 方向的线应变

同理可得，y 和z 方向线应变，分别为

1[()]x x y z E

εσυσσ=

-+ 1[()]y y z x E

εσυσσ=-+ 1[()]z z x y E εσυσσ=-+ 切应变与切应力之间的关系分别为

xy xy G τγ=

yz G

τγ= zx zx G

τγ= 上式即为一般空间应力状态下，在弹性、小变形下各向同性材料的广义胡克定律

若已知空间应力状态下单元体的三个主应力，则沿主应力方向只有个线应变，无切应变与主应力1σ、2σ、3σ相应的线应变1ε、2ε、3ε，称为主应变

主应变为一点处各方位线应变中的最大与最小值广义胡克定律可用主应力与主应变表示为

11231[()]E

εσυσσ=

-+ 22311[()]E

εσυσσ=-+ 33121[()]E εσυσσ=-+ 材料的三个弹性常数存在着如下关系

2(1)

E G υ=+

4.2 各向异性材料的广义胡克定律

木材、玻璃钢纤维增强复合材料的力学性能是与受力方向有关

即是各向异性材料

每一个应力分量将引起所有的6个应变分量

4.3 各向同性材料的体应变

构件在受力变形后，通常引起体积变化

每单位体积的体积变化，称为体应变，用θ表示

12312()E

υθσσσ-=++ 任一点处的体应变与该点处的三个主应力之和成正比

5．空间应力状态下的应变能密度

物体受外力作用而产生弹性变形时

在物体内部将积蓄有应变能，每单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度

在单轴应力状态下，物体内所积蓄的应变能密度为

221222

E v E εσσεε=== 对于在在线弹性、小变形条件下受力的物体

所积蓄的应变能只取决于外力的最后数值，而与加力的顺序无关

设一单元体处于空间应力状态，三个主应力按比例加载方式

同时由零增至最终值1σ、2σ、3σ

对应于每一个主应力，其应变能密度可以视作该主应力在与之相应的主应变上所作的功而其他两个主应力在该主应变上并不做功因此，单元体的应变能密度为

1122331()2

v εσεσεσε=

++ 经整理化简后， 2221231223311(2())2v E

εσσσυσσσσσσ=++-++ 一般情况下，单元体将同时发生体积改变和形状改变

1231()3

m σσσσ=++

其中，m σ称为平均应力

将主应力单元体分解为两种单元体的叠加

在平均应力的作用下，单元体形状不变，仅发生体积改变且三个主应力之和与原三个主应力之和相等

故其应变能密度就等于原单元体的体积改变能密度，即 2222221(2())2V m m m m m m v E

σσσυσσσ=

++-++ 21233(12)12()26m E E υυσσσσ--==++ 分解剩下的单元体的三个主应力和为零，故体积不变，仅发生形状改变

其应变能密度就等于原单元体的形状改变能密度

化简后可得

2221223311[()()()]6d v E

υσσσσσσ+=-+-+- 可以证明，应变能密度=体积改变能密度+形状改变能密度

V d v v v ε=+

对于一般空间应力状态下的单元体，其应变能密度可用6个应力分量来表达

在小变形条件下，对应每个应力分量的应变能均等于该应力分量与相应的应变分量乘积之半

1(+)2

x x y y z z xy xy yz yz zx zx v εσεσεσετγτγτγ=++++

6．强度理论及其相当应力

关于材料破坏或失效的假设，称为强度理论

材料破坏或失效的基本形式有两种类型：

一类是在没有明显的塑性变形情况下发生突然断裂，称为脆性破坏

一类是材料产生显著的塑性变形而使构件丧失正常的工作能力，称为塑性屈服

第一类强度理论是以脆性断裂作为破坏标志的

其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论

①最大拉应力理论（第一强度理论）

这一理论假设：最大拉应力t σ是引起材料脆性断裂的因素

认为不论处于什么样的应力状态下

只要构件内一点处的最大拉应力t σ（即1σ）达到材料的极限应力u σ

材料就会发生脆性断裂

至于材料的极限应力u σ，则可通过单轴拉伸试样发生脆性断裂的试验来确定

按照这一强度理论，脆性断裂的判据是

1u σσ=

将式右边的极限应力除以安全系数，就得到材料的许用拉应力[]σ

按照第一强度理论所建立的强度条件为

1[]σσ≤

上式中的1σ为拉应力

在没有拉应力的三轴压缩应力状态下，不能采用第一强度理论来建立强度条件

式中的[]σ为试样发生脆性断裂的许用拉应力

不可能通过拉伸试验测得材料发生脆性断裂的极限应力u σ

不能单纯地理解为材料在单轴拉伸时的许用应力

②最大伸长线应变理论（第二强度理论）

这一理论假设：最大伸长线应变t ε是引起材料脆性断裂的因素

认为不论处于什么样的应力状态下

只要构件内一点处的最大伸长线应变t ε（即1ε）达到材料的极限值u ε

材料就发生脆性断裂

同理，材料的极限值同样可通过单轴拉伸试验发生的脆性断裂试验来确定

若材料直到发生脆性断裂都可近似地看作线弹性，即服从胡克定律

u u E σε=

式中u σ及时单轴拉伸试样在拉断时其横截面上的正应力

脆性断裂的判据为 1u

u E σεε==

由广义胡克定律可知，在线弹性范围内工作的构件

处于空间应力状态下一点处的最大伸长线应变为

11231[()]E

εσυσσ=

-+ 上式可改写为 1231[()]u E E

σσυσσ-+= 或 123[()]u συσσσ-+= 将上式右边的u σ除以安全因数记得材料的许用拉应力u σ

按第二强度理论所建立的强度条件为

123[()][]συσσσ-+≤

以上分析中引用了广义胡克定律，所以

按照这一强度理论所建立的强度条件只适用于构件直到脆断前都服从胡克定律的情况

第二类强度理论是以出现塑性屈服或发生显著的塑性变形作为失效标志的

其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论

③最大切应力理论（第三强度理论）

这一理论假设：最大切应力max τ是引起材料塑性屈服的因素

即认为不论处于什么样的应力状态下

只要构件内一点处的最大切应力max τ达到了材料屈服时的极限值u τ

该点处的材料就发生屈服

材料屈服时切应力的极限值u τ，同样可以通过单轴拉伸试样发生屈服的试验来确定对于像低碳钢这一类的塑性材料，在单轴拉伸试验时

材料就是沿最大切应力所在的45°斜截面发生滑移而出现明显的屈服现象的

这时试样在横截面上的正应力就是材料的屈服极限s σ

对于这一类材料，可得材料屈服时切应力的极限值u τ为

2s u στ=

按照这一强度理论，屈服判据为 max 2s u σττ==

在复杂应力状态下一点处的最大切应力为 max 131()2

τσσ=-

式中，1σ和3σ分别为该应力状态中的最大和最小主应力

屈服判据可改写为 1311()22

s σσσ-= 或 13()s σσσ-= 将上式右边的s σ除以安全因数即得材料的许用拉应力[]σ

故按第三强度理论所建立的强度条件为 13()[]σσσ-≤

在上式右边采用了材料在单轴拉伸时的许用拉应力

这只对于在单轴拉伸时发生屈服的材料才适用

脆性材料，不可能通过单轴拉伸试验的到材料屈服时的极限值u τ

对于这类材料在三轴不等值压缩的应力状态下发生塑性变形时

式子右边的[]σ就不能选用材料在单轴拉伸时的许用拉力

④形状改变能密度理论（第四强度理论）

这一理论假设：形状改变能密度d v 是引起材料屈服的因素

认为不论处于什么样的应力状态

只要构件内一点处的形状改变能密度d v 达到了材料的极限值du v

该点处的材料就发生塑性屈服

对于像低碳钢一类的塑性材料

因为在拉伸试验时当正应力达到s σ就会出现明显的屈服现象

故可通过拉伸试验来确定材料的du v 值，可用

2221223311[()()()]6d v E

υσσσσσσ+=

-+-+- 将1s σσ=，230σσ==代入上式，从而求得材料的极限值du v 为

2126du s v E

υσ+=⨯ 按照这一强度理论，屈服判据d du v v =可改写为

222212233111[()()()]266s E E

υυσσσσσσσ++-+-+-=⨯ 可化简为

s σ= 再将上式右边得s σ除以安全因数得到材料的许用拉应力[]σ

于是按第四强度理论所建立的强度条件为

[]σ 式中，1σ、2σ和3σ是构件危险点的三个主应力

式子右边采用材料在单轴拉伸时的许用拉应力

因而，只对在单轴拉伸时发生屈服的材料适用

试验表明，在平面应力状态下

一般地说，形状改变能密度理论较最大切应力理论更符合实验结果

由于最大切应力理论是偏于安全的，且较为简单，实践中应用较为广泛

四个强度理论所建立的强度条件可统一写作

[]r σσ≤

式中，r σ是根据不同强度理论所得到的构件危险点处三个主应力的某些组合

按某一强度理论的相当应力

对于危险点处于复杂应力状态的构件进行强度校核时

一方面要保证所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏形式相对应

另一方面要求以确定许用应力[]σ的极限应力，也必须与该破坏形式相对应

7．莫尔强度理论及其相当应力

8．各种强度理论的应用

根据试验资料，各种强度理论的适用范围归纳如下

①强度理论均仅适用于常温，静荷载条件下的匀质、连续、各向同性的材料

对于高温、冲击荷载下或材料带有初始裂纹时的材料强度不适用

②不论是脆性或塑性材料，在三轴拉伸应力状态下，都会发生脆性断裂

宜采用最大拉应力理论，但对于塑性材料，由于单轴拉伸试验不可能发生脆性断裂

所以在按最大拉应力理论进行强度校核时，右边的[]σ不能取用单轴拉伸时的许用拉应力值而应用发生脆断时的最大主应力1σ除以安全因数 ③对于脆性材料，在二轴拉伸应力状态下应采用最大拉应力理论

在复杂应力状态的最大和最小主应力分别为拉应力和压应力的情况下

由于材料的许用拉、压应力不等，宜采用莫尔强度理论

④对于低碳钢一类的塑性材料，除三轴拉伸应力状态外

各种复杂应力状态下都会发生屈服现象，一般以采用形状改变能密度理论为宜

但最大切应力理论的物理概念比较直观，计算简捷，计算结果偏于安全

因而常用最大切应力理论

⑤在三轴应力状态下，不论是塑性材料还是脆性材料

通常都发生屈曲失效，故一般采用形状改变能密度理论

但脆性材料的单轴拉伸试验不可能发生塑性屈服

所以，许用应力[]σ也不能用脆性材料在单轴拉伸时的许用拉应力值

根据强度理论

可从材料在单轴拉伸时的许用拉应力[]σ来推知材料在纯剪切应力状态下的许用应力在纯剪切应力状态下，一点处的三个主应力分别为

123,0,στσστ===-

对于低碳钢一类的塑性材料

在纯剪切和单轴拉伸两种应力状态下，材料均发生屈服失效

材料力学笔记

材料力学笔记第一章绪论材料应满足的基本要求:强度要求（抵抗破坏的能量），刚度要求（抵抗变形的能力），稳定性要求（保持原有平衡形态的能力）。基本假设：连续性假设,均匀性假设、各向同性假设内力：物体内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用. 垂直于截面的应用分量称为正应力sigma（σ），切于截面的应力称为切应力tau(τ）；应变epsilon ε：研究对象某点沿某个方向的伸长或缩短值;切应变γ:研究对象在某个平面内角度的变化；材料变形的基本形式：拉伸或压缩；剪切；扭转第二章拉伸、压缩与剪切截面应力：σ=F N A ；斜截面正应力:σα=σcos2α;斜截面切应力:τα=1 2 σsin2α 低碳钢材料力学性能:弹性阶段，屈服阶段,强化阶段，局部变形阶段。相关概念有比例极限σp，弹性极限σe，屈服极限σs，强度极限σb 断裂和塑性变形统称为失效。许用应力，对塑性材料[σ]=σs n s ; 对于脆性材料：[σ]=σb n b 应力应变关系胡克定律：σ=Eε,Δl=Fl EA ,EA为杆件的抗拉或抗压刚度抽象拉伸或压缩的应变能,应变能密度：vε=σ2 2E （J/m3）剪切面切应力：τ=F s A ≤[τ]；挤压应力：σbs=F N A bs ≤[σbs ] 第三章扭矩计算外力偶矩｛M e}=9549P n ，P为功率，n为转速。切应力互等定理:在相互垂直的两个平面上,切应力必然成对存在，且数值相等。切应变：γ=rφ l φ表示圆柱两端截面的相对转角，称为扭转角剪切胡克定律:切应变γ与切应力τ成正比τ=Gγ、剪切应变能密度：vε=τ2 2G （J/m3）圆柱扭转时最大切应力：τmax=T W ，T内力系对圆心的力矩T=∫ρτρdA A ， W=I p R I p=∫ρ2dA A 为极惯性矩（截面二次矩）;W为抗扭截面系数扭转角φ=Tl GI p ，其中GI p为圆轴的抗扭刚度第四章弯曲内力

材料力学章节重点和难点

材料力学章节重点和难点第一章绪论 1．主要内容：材料力学的任务；强度、刚度和稳定性的概念；截面法、内力、应力，变形和应变的基本概念；变形固体的基本假设；杆件的四种基本变形。 2．重点：强度、刚度、稳定性的概念；变形固体的基本假设、内力、应力、应变的概念。 3．难点：第二章杆件的内力 1．主要内容：杆件在拉压、扭转和弯曲时的内力计算；杆件在拉压、扭转和弯曲时的内力图绘制；平面弯曲的概念。 2．重点：剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图。 3. 难点：绘制剪力图和弯矩图、剪力和弯矩间的关系。第三章杆件的应力与强度计算 1．主要内容：拉压杆的应力和强度计算；材料拉伸和压缩时的力学性能；圆轴扭转时切应力和强度计算；梁弯曲时正应力和强度计算；梁弯曲时切应力和强度计算；剪切和挤压的实用计算方法；胡克定律和剪切胡克定律。 2．重点：拉压杆的应力和强度计算；材料拉伸和压缩时的力学性能；圆轴扭转时切应力和强度计算；梁弯曲时正应力和强度计算。 3．难点：圆轴扭转时切应力公式推导和应力分布；梁弯曲时应力公式推导和应力分布；

第四章杆件的变形简单超静定问题 1．主要内容：拉（压）杆的变形计算及单超静定问题的求解方法；圆轴扭转的变形和刚度计算；积分法和叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定梁。 2．重点：拉（压）杆的变形计算；；圆轴扭转的变形和刚度计算；叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定梁。 3．难点：积分法和叠加法求弯曲变形；用变形比较法解超静定结构。第五章应力状态分析? 强度理论 1．主要内容：应力状态的概念；平面应力状态分析的解析法和图解法；广义胡克定律；强度理论的概念及常用的四种强度理论。 2．重点：平面应力状态分析的解析法和图解法；广义虎克定律；常用的四种强度理论。 3．难点：主应力方位确定。第六章组合变形 1．主要内容：拉伸(压缩)与弯曲、斜弯曲、扭转与弯曲组合变形的强度计算； 2．重点: 弯扭组合变形。 3．难点：截面核心的概念第七章压杆稳定 1．主要内容：压杆稳定的概念；各种支座条件下细长压杆的临界载荷；欧拉公式的适用范围和经验公式；压杆的稳定性校核。

《材料力学》第7章-应力状态和强度理论-习题解

第七章应力状态和强度理论习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a）] 解：A点处于单向压应力状态。 2 2 4 4 1 2 d F d F F A N Aπ π σ- = - = = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 3 3 16 16 1d T d T W T P Aπ π τ- = = = MPa mm mm N 618 . 79 80 14 .3 10 8 16 3 3 6 = ? ? ? ? = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 = ∑A M 4.0 2 8.0 2.1= ? - - ? B R ) ( 333 .1kN R B = A σ A τ

)(333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa mm mm mm N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.1436=??????==σMPa mm mm mm N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(13334 33 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa mm mm N W M z A A 064.502014.332 1103.39333=????==σ MPa mm mm N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0 45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。解：A F x =σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2 0x y x τσστ+-= A F 20 45= τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 15020 45≤= A F τ kN N mm mm N A F 6060000540/3003002 2 ==??== [习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于0 60 ~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3 ，且这一拉杆

材料力学-整理笔记

材料力学第1章绪论 1.1材料力学的任务构件应满足以下基本要求：强度，刚度，稳定性要求 1.2材料力学的基本假设连续性，均匀性，各向同性假设 1.3杆件的基本变形形式拉伸或压缩，剪切，扭转，弯曲 1.4内力一截面法 1.5应力平均应力-p：应力p：应力，切应力，正应力： 1.6应变 1.棱边长度的改变（原长为△x，变形后成为△x+△u）该点处沿x方向的线应变： 2.棱边间夹角的改变切应变：y。切应变的单位为rad 第2章拉伸压缩与剪切 2.1拉压杆的内力及应力 2.1.1轴力、轴力图 Fn=F Fn即为横截面n—n上的内力。由于F的作用线与杆轴线重合，故称为轴力。规定拉伸的轴力为正，压缩为负。 2.1.2轴力图

2.1.3拉压杆横截面上的应力轴向载荷作用下杆件是否破坏，不仅与轴力的大小有关，还与横截面面积有关。正应力：。拉应力为正，压应力为负。 2.1.4斜截面上的应力斜面上的全应力Pa：将全应力Pa分解为沿斜面法向的正应力和沿切向的切应力思考：a=0/45/90°时，正应力，切应力大小 2.2拉压杆的变形 2.2.1 轴向与横向变形轴向线应变为：。以伸长为正，缩短为负。横向线应变为：。正负号与轴向线应变相反。材料的泊松比u（量纲一）： 2.2.2 拉压胡克定律当应力o未超过某一极限值时，拉压杆的轴向变形与外力F及杆的原长l 成正比，与横截面面积Ａ成反比。

引进比例常数E，则有胡克定律公式： E为材料的弹性模量，其量纲为ML^-1T^-2。EA反映了杆件抵抗拉压变形的能力，称为杆件的抗拉(压)刚度。由Fn/A=正应力，△l/l=线应力，故。（在弹性范围内，正应力与线应变成正比。）2.3金属拉压时的力学性能 2.3.1低碳钢拉伸时的力学性质 1.在拉伸过程中，标距l的伸长量与试件所受载荷F之间的关系曲线F—△l 称为拉伸曲线。工程应力：将纵坐标值F除以原始的横截面面积A，即为正应力=F/A 工程应变：将横坐标值除以原始的标距长度l，即为线应变=△l /l 将拉伸曲线F—△l变为应力应变曲线（消除试件尺寸的影响）（1）弹性阶段Ob：弹性阶段的应力最高限称为材料的弹性极限（用符号6e表示）。//线弹性阶段（Oa段是直线，即符合胡克定律），线弹性阶段的应力最高限称为材料的比例极限，用6p 表示。//弹性模量E就是直线Oa的斜率，其反映了材料抵抗弹性变形的能力。（2）屈服阶段cd：应力几乎不变，而应变急剧增加，称为屈服或流动现象。屈服阶段的应力最低值称为材料的屈服极限，用符号6s表示。（3）强化阶段de：欲使试件继续变形，必须增加拉力，这种现象称为强化。强化阶段的应力最高限称为材料的强度极限，用符号6b表示。（4）局部变形阶段ef：当应力达到强度极限后，在试件的某一局部范围内，横向尺寸显著缩小，出现缩颈现象。ef段称为局部变形阶段或缩颈阶段 2.卸载与再加载在强化阶段某一点g逐渐卸载，σ,ε沿着与Oa几乎平行的直线gh回到点，如果卸载后再加载，则应力与应变基本上沿着卸载时的直线hg上升，

材料力学

第二章拉伸、压缩与剪切 2-1 求图示各杆指定截面的轴力，并作轴力图。 2-2 图示一正方形截面的阶梯形混凝土柱。设重力加速度g=9.8m/s 2, 混凝土的密度为33m /kg 1004.2⨯=ρ，P=100kN ，许用应力[]MP a 2=σ。试根据强度条件选择截面宽度a 和b 。 2-3 图示一面积为100mm ⨯200mm 的矩形截面杆，受拉力P=20kN 的作用，试求：（1）6 π = θ的斜截面m-m 上的应力；（2）最大正应力max σ和最大剪应力max τ的大小及其作用面的方位角。

2-4 图示一三角架，在结点A 受P 力作用。设AB 为圆截面钢杆，直径为d ，杆长为l 1,AC 为空心圆管，截面面积为A 2,杆长为l 2，已知：材料的许用应力[]MPa 160＝σ,P=10kN,d=10mm,A 2=26m 1050-⨯,l 1=2.5m,l 2=1.5m 。试作强度校核。 2-5 图示一阶梯形截面杆，其弹性模量E=200GPa ，截面面积A I =300mm 2，A II =250mm 2,A III =200mm 2。试求每段杆的内力、应力、应变、伸长及全杆的总伸长。 2-6 图示一刚性杆AB,由两根弹性杆AC 和BD 悬吊。已知：P,l,a,E 1A 1和E 2A 2，求：当横杆AB 保持水平时x 等于多少？

2-7 横截面面积为A=1000mm 2的钢杆，其两端固定，荷载如图所示。试求钢杆各段内的应力. 。 2-8 求图示联接螺栓所需的直径d 。已知P=200kN ，t=20mm 。螺栓材料的[τ]=80Mpa,[σbs ]=200MPa 。 2-9 图示拉杆，已知[][]σ=τ6.0，试求拉杆直径d 与端头高度h 之间的合理比值。第三章扭转 3-1 T 为圆杆截面上的扭矩，试画出截面上与T 对应的剪应力分布图。

材料力学基本概念

第一章绪论第一节材料力学的任务与研究对象 1、组成机械与结构的零、构件，统称为构件。构件尺寸与形状的变化称为变形。 2、变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。 3、在一定外力作用下，构件突然发生不能保持其原有平衡形式的现象，称为失稳。 4、保证构件正常或安全工作的基本要求：a 强度，即抵抗破坏的能力；b 刚度，即抵抗变形的能力；c 稳定性，即保持原有平衡形式的能力。 5、材料力学的研究对象：a 一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件，称为杆件；b 一个方向的尺寸远小于其它两个方向尺寸的构件，成为板件，平分板件厚度的几何面，称为中面，中面为平面的板件称为板，中面为曲面的板件称为壳。 6、研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与方法。第二节材料力学的基本假设 1、连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。第三节内力与外力 1、外力：⑴按作用方式分①表面力②体积力⑵按作用时间分①动载荷②静载荷 2、内力：构件内部相连个部分之间有力的作用。 3、内力的求法：截面法 4、内力的分类：轴力N F ；剪力S F ；扭矩X M ；弯矩Y M ，Z M 5、截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，得到分离体②对分离体建立平衡方程，求得内力第四节应力 1、 K 点的应力：0lim A F p A ?→?=?；正应力： N 0lim A F A σ?→?=?；切应力：S 0lim A F A τ?→?=?；p =2、切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。第五节应变 1、正应变：0lim ab ab ab ε→?=。正应变是无量纲量，在同一点不同方向正应变一般不同。 2、切应变：tan γγ≈。切应变为无量纲量，切应变单位为rad 。第六节胡克定律 1、 E σε=，E 为（杨氏）弹性模量

材料力学笔记

作者简介：郭志明，现在就读天津大学固体力学专业绪论基本概念材料力学的任务：载荷，弹性变形，塑性变形设计构件需要满足以下三个方面的要求：强度，刚度，稳定性强度：构件抵抗破坏的能力刚度：构件抵抗变形的能力稳定性：构件维持其原有平衡形式的能力基本假设：连续均匀性，各项同性，小变形研究对象及变形形式：杆：构件的某一方向的尺寸远大于其他两个方面的尺寸平板，壳，块体变形形式：拉伸（压缩），剪切，扭转，弯曲基本概念内力：构件内部相邻两部分之间由此产生的相互作用截面法：假象切开，建立平衡方程，求截面内力第一章：轴向拉伸，压缩和剪切基本概念轴力：截面内力FN 及FN ’的作用线与轴线重合，称为内力轴力图：表示轴力随横截面位置的变化应力：轴力FN 均匀分布在杆的横截面上 N F A σ= （正应力）圣维南原理斜截面上的应力: cos P ασα= 拉压杆的变形： N F l E A l ?=（弹性范围内） EA 称为杆件的抗拉（压）刚度泊松比：弹性范围内。横向应变和纵向应变之比的绝对值工程材料的力学性能：材料在外力作用下在强度和变形方面表现出的性能。Eg ：应力极限值，弹性模量，泊松比等。力学性能决定于材料的成分和结构组织，与应力状态，温度和加载方式相关，力学性能，需要通过实验方法获得。弹性变形：塑性变形：低碳钢拉伸实验四个阶段：弹性，屈服，强化，颈缩屈服：应力在应力-应变曲线上第一次出现下降，而后几乎不变，此时的应变却显著增加，这种现象叫做屈服

冷作硬化：常温下经过塑性变形后材料强度提高，塑性降低的现象真应力应变：ln(1)t εε=+，0/l l ε=?（工程应变）其他材料的拉伸实验温度，时间及加载速率对材料力学性能的影响蠕滑现象：松弛现象：冲击韧性：材料抵抗冲击载荷的能力（可以通过冲击实验测定）许用应力：对于某种材料，应力的增长是有限的，超过这一限度，材料就要破坏，应力可能达到的这个限度称为材料的极限应力。通常把材料的极限应力/n 作为许用应力[σ] ,[]u n σ σ= 强度条件：杆内的最大工作应力max ()[]N u F A n σσσ=<= 节点位移计算集中应力：由于试件截面尺寸急剧改变而引起的应力局部增大的现象应力集中系数：/max K n σσ=，σn 是指同一截面上认为应力均匀分布时的应力值超静定问题：未知力的数目超过独立的平衡方程的数目，因此只由平衡方程不能求出全部未知力，这类问题成为超静定问题。超静定结构具有多余约束，解决这类问题需要考虑力学，几何和物理三方面温度应力：温度变化时杆件会伸长或者缩短，在静定结构中，杆能自由变形，所以杆内不会产生应力。在超静定结构中，具有多余约束，温度变化将使杆内产生应力，即温度应力。杆的变形包括由温度引起的变形和由力引起的变形。第二章：扭转基本概念轴：以扭转变形为主的杆件受力特点：垂直于杆件轴线的两个相隔平面内作用有反向等值力偶变形特点：任两个相邻横截面绕杆轴线发生相对转动力偶矩：使杆件发生扭转变形的力偶矩Me 等于杆件承受的外力对杆轴的力矩，有时也称Me 为转矩。P = Me x ω（相当于P = F x V ）扭矩：作用在横截面内的这一内力偶矩称为该截面的扭矩，T （相当于拉压时候的轴力）扭矩图：表示扭矩随截面位置的变化薄壁筒扭转扭转角?：右端面相对左端面转动的角度，它表示杆的扭转变形切应变γ：由于错动而形成的直角改变量切应力互等定理：单元体中互相垂直的两个面上，垂直于公共棱边的切应力数值相等，它们的方向指向公共棱边或背离公共棱边。

材料力学,第七章

材料力学第一讲轴向拉伸与压缩【内容提要】材料力学主要研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏、失效的规律。为设计既安全可靠又经济合理的构件，提供有关强度、刚度与稳定性分析的基本理论与方法。【重点、难点】重点考察基本概念，掌握截面法求轴力、作轴力图的方法，截面上应力的计算。【内容讲解】一、基本概念强度——构件在外力作用下，抵抗破坏的能力，以保证在规定的使用条件下，不会发生意外的断裂或显著塑性变形。刚度——构件在外力作用下，抵抗变形的能力，以保证在规定的使用条件下不会产生过分的变形。稳定性——构件在外力作用下，保持原有平衡形式的能力，以保证在规定的使用条件下，不会产生失稳现象。杆件——一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件，称为杆件或简称杆。根据轴线与横截面的特征，杆件可分为直杆与曲杆，等截面杆与变截面杆。二、材料力学的基本假设工程实际中的构件所用的材料多种多样，为便于理论分析，根据它们的主要性质对其作如下假设。

(一)连续性假设——假设在构件所占有的空间内均毫无空隙地充满了物质，即认为是密实的。这样，构件内的一些几何量，力学量(如应力、位移)均可用坐标的连续函数表示，并可采用无限小的数学分析方法。 (二)均匀性假设——很设材料的力学性能与其在构件中的位置无关。按此假设通过试样所测得的材料性能，可用于构件内的任何部位(包括单元体)。 (三)各向同性假设——沿各个方向均具有相同力学性能。具有该性质的材料，称为各向同性材料。综上所述，在材料力学中，一般将实际材料构件，看作是连续、均匀和各向同性的可变形固体。三、外力内力与截面法 (一)外力对于所研究的对象来说，其它构件和物体作用于其上的力均为外力，例如载荷与约束力。外力可分为：表面力与体积力；分布力与集中力；静载荷与动载荷等。当构件(杆件)承受一般载荷作用时，可将载荷向三个坐标平面(三个平面均通过杆的轴线，其中两个平面为形心主惯性平面)内分解，使之变为两个平面载荷和一个扭转力偶作用情况。在小变形的情况下，三个坐标平面内的力互相独立，即一个坐标平面的载荷只引起这一坐标平面内的内力分量，而不会引起另一坐标平面内的内力分量。此即小变形条件的叠加法。 (二)内力与截面法内力在外力作用下，构件发生变形，同时，构件内部相连各部分之间产生相互作用力，由于外力作用，构件内部相连两部分之间的相互作用力，称为内力。截面法将构件假想地截(切)开以显示内力，并由平衡条件建立内力与部分外力间的关系或由部分外力确定内力的方法，称为截面法。

材料力学第七章

x 一、单项选择题 1.如图4所示的静定梁，其挠线方程的段数及积分常数的个数为（） A 、挠曲线方程为两段，两个积分常数； B 、挠曲线方程为两段，四个积分常数； C 、挠曲线方程为三段，四个积分常数； D 、挠曲线方程为三段，六个积分常数； 2.某点的应力状态如右图所示，当σx,σy,σz 不变,τx 增大时，关于εx 值的说法正确的是（） A. 不变 B. 增大 C. 减小 D. 无法判定 3、对于平面应力状态，下列说法正确的是（） A 、主应力就是最大正应力； B 、主平面上无剪力； C 、最大剪应力作用的平面上正应力为零； D 、主应力必不为零

4、试根据切应力互等定理，判断下图中所示的各单元体上的切应力哪个正确（）（ A ）（ B ）（ C ）（ D ） 5、绘出图示应力状态所对应的应力圆并求出图示斜面上的应力值σα和τα。(应力单位：MPa) （） τ τ τ kN 2010kN 20

6.微元体应力状态如下图所示，x y σ σ>。现有图示四个应力圆，正确的是( )。其中T 、T‘ 分别代表x 、y 面上应力所对应的点。 7、已知实心圆轴的抗弯截面模量为Wz ，抗扭截面模量为Wt ，危险截面上对铅垂轴的弯矩为My ，对水平轴的弯矩为Mz ，扭矩为T ，则按第四强度理论危险点的相当应力为。（） A 、 22 43,,y z r z t M M T W W σστ στ+=+= = 其中: B 、 2 22 4y z r z M M T σ++= C 、 22 2 2 43,y z r z t M M T W σστ στ+=+= = 其中: D 、 222 4y z r t M M T σ++= 8．图示悬臂梁，若已知截面B 的挠度和转角分别为f 0和

材料力学

现代远程教育《材料力学》课程学习指导书作者：樊友景

第一章绪论（一）本章学习目标： 1、理解材料力学的任务。 2、掌握变形固体的基本假定，杆件变形的基本形式。（二）本章重点、要点： 1、材料力学的任务。 2、变形固体的基本假定，基本形式的形式。（三）本章练习题或思考题： 1、单项选择题 1-1、由于什么假设，构件内的内力、应力、变形可以用点的位置坐标的连续函数表示。 A、连续性假设 B、均匀性假设 C、各向同性假设 D、小变形假设 1-2、变形固体受力后 A、既产生弹性变形又产生塑性变形 B、不产生弹性变形也不产生塑性变形 C、只产生弹性变形 D、只产生塑性变形 1-3、构件要能够安全正常的工作，它必须要满足 A、强度条件 B、刚度条件 C、稳定性要求 D、强度条件、刚度条件、稳定性要求 1-4、下列哪些因素与材料的力学性质无关？ A、构件的强度 B、构件的刚度 C、构件的稳定性 D、静定构件的内力 1-5、下列论述错误的是 A、理论力学主要研究物体机械运动的一般规律 B、材料力学研究杆件受力后的变形和破坏规律 C、理论力学和材料力学研究的是刚体 D、材料力学研究的问题与材料的力学性质密切相关第二章轴向拉伸与压缩（一）本章学习目标： 1、熟练掌握截面法求轴力和轴力图绘制。 2、掌握横截面上的应力计算及拉压强度计算；拉压胡克定律、变形与位移的计算。 3、理解材料拉伸和压缩时的力学性能，安全系数，容许应力的概念。（二）本章重点、要点： 1、能熟练地绘制轴力图，求横截面上的正应力及拉压杆的变形。 2、能熟练地进行拉压杆的强度计算。（三）本章练习题或思考题： 1、单项选择题 1-1、两根长度、容重相同的悬挂杆横截面面积分别为A2和A1，设N1、N2、σ1、σ2分别为两杆中的最大轴力和应力，则 A、N1=N2、σ1=σ2 B、N1≠N2、σ1=σ2 C、N1=N2、σ1≠σ2 D、N1≠N2、σ1≠σ2

材料力学习题册答案-第7章-应力状态知识讲解

材料力学习题册答案-第7章-应力状态

第七章应力状态强度理论一、判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴上的一个点。 (×)原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×)原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×)原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×)原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态

二、选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥ 6、下列结论那些是正确的： ( A ) (1) 单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零；（2）单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零；

材料力学基本概念和公式

材料力学基本概念和公式第一章绪论第一节材料力学的任务 1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。 2、保证构件正常或安全工作的基本要求：a)强度，即抵抗破坏的能力；b)刚度，即抵抗变形的能力；c)稳定性，即保持原有平衡状态的能力。 3、材料力学的任务：研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与计算方法。第二节材料力学的基本假设 1.连续性假设:材料无缝填充整个组件。 2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。木材是各向异性材料。第三节内力 1.内力:受力后变形引起的构件内部零件之间的相互作用力。 2.截面法:用假想截面将构件分成两部分以显示和确定内力的方法。 3、截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，一分为二；②取一部分，得到分离体；③对分离体建立平衡方程，求得内力。

第五节变形与应变 1、变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。 2、弹性变形：外力解除后能消失的变形成为弹性变形。 3、塑性变形：外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。 4.小变形条件:材料力学研究的问题仅限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。在构件的受力分析中，变形可以忽略。 5、线应变：。线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。 6、切应变：。切应变为无量纲量，切应变单位为rad。第六节杆件变形的基本形式 1、材料力学的研究对象：等截面直杆。 2、杆件变形的基本形式：拉伸（压缩）、扭转、弯曲第二章拉伸、压缩与剪切第一节轴向拉伸（压缩）的特点 1.机械特性:合力的作用线与杆的轴线重合。 2.变形特性:沿杆轴的伸长和缩短。第六节拉伸、压缩超静定问题

材料力学笔记(第七章)

材料力学（土）笔记第七章应力状态和强度理论 1．概述在轴向拉压、圆杆扭转和对称弯曲各章中，构件的强度条件为 max []σσ≤或max []ττ≤ 工作应力由相关的应力计算公式计算材料的许用应力是通过直接试验，测得材料相应的极限应力在受力构件的同一截面上，各点处的应力一般是不同的通过受力受力构件同一点处，不同方位截面上的应力一般也是不同的在一般情况下，受力构件截面内的一点处既有正应力、又有切应力若需对这类点的应力进行强度计算则不能分别按正应力和切应力来建立强度条件，而需综合考虑正应力和切应力的影响一方面要研究通过该点各不同方位截面上应力的变化规律从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合即通过一点所有不同方位截面上应力的全部状况，称为一点处的应力状态关于材料破坏规律的假设，称为强度理论 2．平面应力状态的应力分析·主应力为研究受力构件内任一点处的应力状态，可围绕该点截取一单元体由于单元体各边长均为无穷小量故单元体各表面上的应力可视为均匀分布，且任意的一对平行的平面上的应力相等平面应力状态：若单元体有一对平面上的应力等于零，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内当其他两对平面上的正应力和切应力均不等于零时，为平面应力状态的普遍形式研究在普遍形式的平面应力状态下的应力分析即由单元体各面上的已知应力分量来确定其任一斜截面上的未知应力分量并从而确定该点处的最大正应力及其所在截面的方位 2.1 斜截面上的应力设一平面应力状态单元体上的应力为x σ、x τ和y σ、y τ 前、后两平面上的应力为零，可将该单元体用平面图形表示为求该单元体与前、后两平面垂直的任一斜截面上的应力，应用截面法设斜截面ef 的外法线n 与x 轴间的夹角（方位角）为α α截面上的应力分量用ασ和ατ表示正应力以拉应力为正，压应力为负切应力以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负假想地沿斜截面ef 将单元体截分为二，取左边部分edf 为研究对象设斜截面ef 的面积为dA ，斜截面上的应力ασ和ατ均为正值考虑体元平衡，以斜截面的法线n 和切线t 作为参考轴由平衡方程，得 0n F =∑， (cos )sin (cos )cos (sin )cos (sin )sin 0x x y y dA dA dA dA dA ασταασααταασαα+-+-= 0t F =∑， (cos )cos (cos )sin (sin )sin (sin )cos 0x x y y dA dA dA dA dA ατταασααταασαα--++=

材料力学各章重点内容总结

材料力学各章重点内容总结第一章绪论一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。第二章轴向拉压一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N F A σ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα =，sin 22 α σ τα= 注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],max max N F A σσ= ≤ 六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],max max N F A σσ= ≤ 一定要有结论 2.设计截面[] ,max N F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤ 七、线应变l l ε∆=没有量纲、泊松比'εμε = 没有量纲且只与材料有关、胡克定律的两种表达形式：E σ ε=，N F l l EA ∆= 注意当杆件伸长时l ∆为正，缩短时l ∆为负。八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ）和局部变形阶段。会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率1100l l l δ-︒ = ⨯︒及断面收缩率1 100A A A ϕ-︒ = ⨯︒，工程上把5δ ︒ ≥︒ 的材料称为塑性材料。十、卸载定律及冷作硬化：课本第23页。对没有明显屈服极限的塑性材料，如何来确定其屈服指标？见课本第24页。十一、重点内容：1.画轴力图；2.利用强度条件解决的三种问题；3.强度校核之后一定要写出结论，

(完整版)材料力学必备知识点

材料力学必备知识点 1、材料力学的任务：满足强度、刚度和稳定性要求的前提下，为设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法。 2、变形固体的基本假设：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设。 3、杆件变形的基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。 4、低碳钢：含碳量在0.3%以下的碳素钢。 5、低碳钢拉伸时的力学性能：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段极限：比例极限、弹性极限、屈服极限、强化极限 6、名义（条件）屈服极限：将产生0.2%塑性应变时的应力作为屈服指标 7、延伸率δ是衡量材料的塑性指标塑性材料随外力解除而消失的变形叫弹性变形；外力解除后不能消失的变形叫塑性变形。 >5%的材料称为塑性材料： <5%的材料称为脆性材料 8、失效：断裂和出现塑性变形统称为失效 9、应变能：弹性固体在外力作用下，因变形而储存的能量 10、应力集中：因杆件外形突然变化而引起的局部应力急剧增大的现象 11、扭转变形：在杆件的两端各作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。 12、翘曲：变形后杆的横截面已不再保持为平面；自由扭转：等直杆两端受扭转力偶作用且翘曲不受任何限制；约束扭转：横截面上除切应力外还有正应力 13、三种形式的梁：简支梁、外伸梁、悬臂梁 14、组合变形：由两种或两种以上基本变形组合的变形 15、截面核心：对每一个截面，环绕形心都有一个封闭区域，当压力作用于这一封闭区域内时，截面上只有压应力。 16、根据强度条件可以进行（强度校核、设计截面、确定许可载荷）三方面的强度计算。 17、低碳钢材料由于冷作硬化，会使（比例极限）提高，而使（塑性）降低。 18、积分法求梁的挠曲线方程时，通常用到边界条件和连续性条件；因杆件外形突然变化引起的局部应力急剧增大的现象称为应力集中；轴向受压直杆丧失其直线平衡形态的现象称为失稳 19、圆杆扭转时，根据（切应力互等定理），其纵向截面上也存在切应力。 20、组合图形对某一轴的静矩等于（各组成图形对同一轴静矩）的代数和。 21、图形对于若干相互平行轴的惯性矩中，其中数值最小的是对（距形心最近的）轴的惯性矩。 22、当简支梁只受集中力和集中力偶作用时，则最大剪力必发生在（集中力作用面的一侧）。 23、应用公式z My I σ=时，必须满足的两个条件是（各向同性的线弹性材料）和小变形。 24、一点的应力状态是该点（所有截面上的应力情况）。在平面应力状态下，单元体相互垂直平面上的正应力之和等于（常数）。 25、强度理论是（关于材料破坏原因）的假说。在复杂应力状态下，应根据（危险点的应力状态和材料性质等因素）选择合适的强度理论。 26、强度是指构件抵抗破坏的能力；刚度是指构件抵抗变形的能力；稳定性是指构件维持其原有的平衡状态的能力。 27、弹性模量E 是衡量材料抵抗弹性变形能力的指标。 28、使材料丧失正常工作能力的应力，称为极限应力

材料力学期末复习重点

材料力学期末复习重点第一章绪论及基本概念P1构件正常工作的要求。 P5可变形固体的三个基本假设。第二章轴向拉伸与压缩P10截面法、轴力及轴力图例题：2-1 P15最大正应力公式（2-3）例题：2-2 P20 拉压杆伸长公式（2-5b）例题2-5 P39强度条件（2-13） *例题2-8-2-10 第三章扭转 P62 扭矩及扭矩图例题3-1 P67扭转最大切应力公式（3-7） P68 切应力互等定理式（3-12） P72 强度条件式（3-14）例题3-4 第四章弯曲应力

P100 梁的剪力和弯矩例题4-1 P102剪力方程与弯矩方程 4-2-4-6 P109弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系及其应用例题4-9 P116按叠加原理作弯矩图例题4-10 P123任意点处的正应力（4-5） P125最大正应力（4-7b）例题4-13 P126梁的正应力强度条件式（4-9）例题4-14-4-16 P132 任意点的切应力式（4-10） P133 矩形截面最大切应力式（4-11） P134 工字形截面最大切应力式（4-13）例题4-17 P138切应力强度条件式（4-17）例题4-18 第五章梁弯曲时的位移 P159梁的挠曲性近似微分方程式（5-2b）例题5-1-5-2

P162积分常数的几何意义 P165按叠加原理计算梁的挠度和转角例题5-5 P173梁的刚度校核式（5-11）第六章简单的超静定问题 P184 超静定问题及其解法6-1节，能识别超静的次数第七章应力状态和强度理论 P214任意斜截面的应力（7-1）-（7-2）式 P214 应力圆 P216主应力与主平面（7-3）-（7-5）式例题7-2 P223 空间应力状态的最大正应力（7-6）式，最大切应力（7-7）例题7-3 P226广义胡克定律（7-8）式例题7-5 P234 强度理论及其相当应力第一-第四强度理论及适用条件例题7-7 附录I 截面的几何性质 P334组合截面的静矩（I-3）式和形心（I-4）式例题I-2

简明材料力学第3版课后答案第七章

简明材料力学第3版课后答案第七章 1.灰铸铁的硬度测定方法是（） [单选题] * A.布氏硬度(正确答案) B.洛氏硬度 C.维氏硬度 2.下列物质属于晶体的是（） [单选题] * A.松香 B.水晶(正确答案) C.石蜡 3.冷塑性变形的金属晶粒重新结晶为均匀的等轴晶粒需进行的热处理是( ) [单选题] * A.去应力退火 B.完全退火 C.再结晶退火(正确答案) 4.下列情况属于相变过程的是（） [单选题] * A.液态金属的结晶(正确答案) B.晶粒长大 C.冷变形金属的再结晶

5.在铁碳合金的基本组成相中，属于金属化合物是（） [单选题] * A.铁素体 B.渗碳体(正确答案) C.奥氏体 6.调质是（） [单选题] * A.淬火+低温回火 B.淬火+中温回火 C.淬火+高温回火(正确答案) 7.下列关于合金元素在钢中的作用论述错误的是（） [单选题] * A.合金元素的加入使铁素体产生固溶强化 B.合金元素的加入使奥氏体相区的大小发生改变 C.除钴外，合金元素的加入使C曲线左移(正确答案) 8.阻止石墨化的元素有（） [单选题] * A.硅 B.磷 C.硫(正确答案) 9.属于软基体上分布硬质点的轴承合金有（） [单选题] * A.锡基巴氏合金(正确答案) B.铝基轴承合金 C.珠光体灰铸铁

10.碳以片状石墨形式存在的铸铁是（） [单选题] * A.灰铸铁(正确答案) B.白口铸铁 C.球墨铸铁 11. 截面上的全应力的方向( ) [单选题] * A、平行于截面(正确答案) B、垂直于截面 C、可以与截面任意夹角 D、与截面无关 12. 脆性材料的延伸率( ) [单选题] * A、小于5%(正确答案) B、小于等于5% C、大于5% D、大于等于5% 13.危险截面是（）所在的截面。 [单选题] * A、最大面积 B、最小面积 C、最大应力(正确答案) D、最大内力 14. 描述构件上一截面变形前后的夹角叫（） [单选题] * A、线位移

材料力学复习重点(中山大学)

T m ax W p莓] %x 話J （昨）或"訂型川(/m) 第一章：绪论及基本概念 1、构件安全性指标有哪些 2、材料力学的任务 3、对可变形固体的基本假设及其意义 4、杆件变形的基本形式第二章：轴向拉伸和压缩 1、外力、内力、应力的基本概念及相互关系 2、通过等直拉杆内任一点处的正应力和切应力随横截面与斜截面夹角:变化的定量关系，分析最大正应力和最大切应力的截面 3、绘制轴力图（四要素：填充表示截面、正负表示方向、数值大小、对应段位置） 4、低碳钢单向拉伸的主要变形阶段及各有何特征 5、简述单向拉压杆的强度条件及其应用（强度校核、设计截面、求许可载荷） [-]=u/n 以及二max -[' ] 第三章：扭转 1、薄壁圆筒扭转角「及切应变的定义及其相互关系 2、外力偶矩、扭矩及切应力的基本概念及相互关系 3、简述等直圆杆某横截面上任一点处切应变及切应力随该点与圆心的距离的变化规律。 4、绘制扭矩图（四要素：填充表示截面、正负表示方向、数值大小、对应段位置） 5、切应力互等定理及其讨论 6等直圆杆扭转时拉应力和切应力随横截面与斜截面夹角:，变化的定量关系，分析最大正应力和最大切应力的截面，分析最大拉应力及最大且应力的截面。 7、等直圆杆扭转时的强度条件及应用（两个方程）第四五章：弯曲 1. 支座的基本形式及梁的分类。 2. 弯矩及弯矩图 3. 给出梁的正应力强度条件和切应力强度条件，并根据强度条件讨论在梁的合理设计中强度问题。第五章：材料单向静拉伸的力学性能 1、弹性变形的特点及影响弹性模数（量）的因素有哪些? 2、材料的非理想弹性行为的类型及其含义。 3、塑性形变及机理第六章：材料在其他静载下的力学性能不考第七章：材料的冲击韧性及低温脆性 1、影响材料低温脆性的因素

材料力学第七章习题选及其解答

7-2. 在图示各单元体中，试用解析法和应力圆求斜面ab 上的应力。应力单位为 MPa 。解：（a ）（1）应力分量 o xy y x MPa MPa 30 0 70 70==-==ατσσ （2）用解析法求斜截面上的应力 MPa MPa xy y x xy y x y x 6.6060sin 2 70702cos 2sin 23560cos 27070270702sin 2cos 22=︒+=+-==︒++-=--+ += α τασστα τ ασσσσσαα （3）应力圆（b ）（1）应力分量 o xy y x MPa MPa 30 0 70 70====ατσσ （2）用解析法求斜截面上的应力 a) c) d) b) σ

2cos 2sin 2 70270702sin 2cos 22=+-==+=--+ += ατασστα τασσσσσααx y x x y x y x MPa （3）应力圆：为一点圆（c ）（1）应力分量 o xy y x MPa MPa 60 0 50 100====ατσσ （2）用解析法求斜截面上的应力 MPa MPa x y x x y x y x 7.21120sin 2 501002cos 2sin 25.62120cos 2 501002501002sin 2cos 22=︒-=+-==︒-++=--+ += α τασστα τασσσσσαα （3）应力圆 σ σ

（d ）（1）应力分量 o xy y x MPa MPa 150 0 100 50===-=ατσσ （2）用解析法求斜截面上的应力 MPa MPa x y x x y x y x 65300sin 2 100502cos 2sin 2 5.12300cos 2 100502100502sin 2cos 2 2=︒--=+-=-=︒--++-=--+ += α τασστα τασσσσσαα （3）应力圆 7-3. 已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa 。试用解析法和应力圆求：（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。解：（e ）（1）应力分量 M Pa M Pa xy y x 20 80 0=-==τσσ （2）求主平面位置和主应力大小 20 e) f) σ