§2.5随机变量函数的分布

1 52
-5
5 252
-3
15 252
1
35 252
9
70 252
15
126 252
【例2】 设随机变量 X 具有以下的分布律，
1 2 X -1 0 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
求Y ( X 1) 2 的分布律.
解 Y的取值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
f X [ h( y )] | h( y ) |, y , fY ( y ) 0, 其它 .
1 其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，即 x g ( y ) h( y )
min{ g ( ), g ( )}, max{ g ( ), g ( )}.
若 f ( x ) 在有限区间 [ a , b ] 以外等于零，则只须假 设 在 [ a , b ] 上恒有 g ( x ) 0(或恒有 g ( x ) 0 ), 此时仍有：
f X [ h( y )] | h( y ) |, y , fY ( y ) 0, 其它 .
所以，当 y 0， 时，
f Y y f X ln y ln y


ln y 2 1 1 exp 2 2 2 y
X
随机变量 Y e 的密度函数为
ln y 2 1 exp 2 f Y y 2 y 2 0 y0 y0
若 g x 0，则 g x 是严格减少的函数．
因此， 当 y ， 时， FY y PY y Pg X y
P X g 1 y PX h y
d f x dx 所以， f y FY y X dy h y
P{ y X y }

y y
f X ( x )dx .
FY ( y )

y y
f X ( x )dx .
y0
y 0 时 FY ( y ) 0.
( 2)利用 FY ( y ) fY ( y )及变限定积分求导公式 得： 1 2 y [ f X ( y ) f X ( y ), y 0, fY ( y ) y 0. 0
1 252
-1
5 252
0
15 252
2
35 252
6
70 252
9
126 252
随机变量Y 2 X 3 ，求Y 的分布律。
解 随机变量Y 2 X 3 的取值为
9， 5， 3， 1， 9， 15，
这些取值两两互不相同
随机变量Y 2 X 3 的分布律为
Y P -9
Y ( X 1)
2
1 2 X -1 0 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
P{Y=1}= P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7, P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2, 所以，Y=(X-1)2 的分布律为：
4 Y 0 1 pk 0.1 0.7 0.2
二.连续型随机变量函数的分布
2 fY ( y )
1 y
[ f X ( y ) f X (
y ),
y 0,
0
x2
y 0.
说明
X~N(0,1),其概率密度为：
( x)
1 2 e , 2
x .
则 Y = X 2 的概率密度为： 1 y 1 y 2e 2 , f Y ( y ) 2 0,
§2.5 随机变量的函数的分布
一.离散型随机变量的函数 二.连续型随机变量函数的分布 三.小结 思考题
随机变量的函数
设 X 是一随机变量， Y 是 X 的函数，即 则 当 Y g X ， Y 也是一个随机变量。 X 取值 x 时，
Y 取值 y g x 。
本节任务：
已知随机变量 X 的分布和函数关系式
因此， FY y P X g 1 y PX h y
h y




f x dx
X
由题设，当随机变量 X 在区间 ， 上变化时， 随机变量 Y 在区间 ， 上变化．
其中，
min g ， g max g ， g ，
【例6】设随机变量 X ~ N ( , 2 ) ,证明 X 的函数
Y aX b( a 0 ) 也服从正态分布.
证 X的概率密度为：
y g ( x ) ax b ,
fX ( x)
1 e 2
( x )2 2 2
, x .
g ( x ) a , 满足定理的条件，
⑵利用 Y g X 的分布函数与密度函数 之间的 关系 , 求 Y g X 的密度函数
fY y FY y
g ( x ) y
f X ( x )dx
【例3】设随机变量 X 具有概率密度：
x , 0 x 4, fX (X ) 8 0, 其它.
说明
本例用到变限的定积分的求导公式
如果 F ( x )
a
( x)
f ( t )dt , 则 F ( x ) f [ ( x )] ( x )
如果 F ( x ) 则
( x ) f ( t )dt ,
( x)
F ( x ) f [ ( x )] ( x ) f [ ( x )] ( x ).
【例4】设随机变量 X 具有概率密度 f X ( x ), x , 求 Y = X 2 的概率密度. 解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
10 由于 Y X 2 0 , 故当 y 0 时 FY ( y ) 0.
20
当 y 0 时,
FY ( y ) P {Y y } P { X 2 y }
解：由 题设 ，知 X 的密度函数为
f x
x
1 e 2
x 2
2 2
x
y e 为 严格增加函数 , 它的反函数为 x ln y．
并且当随机变量 X 在区间 ， 上变化时 ， Y e X 在区间 0， 上变化．

y8
0 x 4, 其它 .
y8 y8 fY ( y ) f X ( )( ) 2 2
1 y 8 1 ( ) , 8 2 2 0, y8 0 4, 2 其它 .
整理得 Y=2X+8 的概率密度为： y8 , 8 y 16 , f Y ( y ) 32 0, 其它 .
均匀分布，试求电压V的概率密度. 解： v g ( ) A sin , 在（ ， ）上恒有
2 2
g ( x ) A cos 0,且有反函数 h( v ) arcsin
以及 h( v ) 1 A v
2 2
v , A
,
的概率密度为：
1 , f ( ) 0,
y 0, y 0.
称Y 为自由度为 1 的 2 分布
函数 y g ( x ) 是严格单调函数
定理 设随机变量 X 具有概率密度 f ( x ) , x , X 又设函数 g ( x ) 处处可导，且有 g ( x ) 0 (或 g ( x ) 0 ) ) 则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量，其概率密度为
y1 , y2 ,, yn ,
其中 yn g ( x n ), n 1,2,
第一种情形
如果 y1 , y 2 , , y n ,两两互不相同，
由
P {Y y n } P { X x n } ( n 1, 2,)
随机变量Y 的分布律
P{Y yn } pn
或

[ y ( a b )]2 2 ( a ) 2
e
.
即有Y aX b ~ N a b, (a ) 2 .
设电压 V A sin , 其中 A 是一个已知的正常数 , 【例7】 相角 是一个随机变量 , 在区间 , 上服从 2 2



h y
f x dx
X
f X h y h y f X h y h y
综上所述，得 Y g X 的密度函数为
f X h y h y fY y 0
y
其它
设随机变量 X ~ N ， 2 ， e X ，试求 Y 【例5】 随机变量 Y 的密度函数 f Y y ．
这里 min{ g ( a ), g ( b )}, max{ g ( a ), g ( b )}.
证明： 设随机变量 Y g X 的分布函数为 FY y ，
则有 FY y PY y Pg X y
由题设，不妨假设 g x 0 ，则 g x 是严格增 加的函数．
设 X 是一连续型随机变量， 其密度函数为 f X x ，
再设 Y g X 是 X 的函数 ，我们假定 Y 也是连续型 随机变量．
求的是Y g X 的密度函数 fY y ．
解题思路
⑴．先求 Y g X 的分布函数
FY y P y Pg X y Y
( n 1,2,)
， yn ，
pn
Y
y1
p1
y2