最新人教版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》课后训练1

2.1.2 椭圆的简单几何性质练习
1．若焦点在x 轴上的椭圆22
12x y m
+=的离心率为12，则m 等于( )
B.32
C.83
D.2
3
2．在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两个端点，则此椭圆的离心率e 等于( )
A.
1
2
3．过椭圆22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，
若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )
C.
12
D.13
4．设AB 是椭圆22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分
点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )
A ．98a
B ．99a
C ．100a
D ．101a
5．椭圆22
22x y a b
+＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，D 是它短轴的
一个端点，若1232DF DA DF =+
，则该椭圆的离心率为( )
A.
1
2
B.1
3
C.
1
4
D.15
6．(2010全国高考Ⅱ，文12)已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =
，则k 等于(
)
A ．1
D ．2
7．椭圆2
214
x y +=的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，
使A 1点在平面B 1A 2B 2上的射影恰为该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小是__________． 8．已知椭圆22
195
x y +=的左、
右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一点且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积是__________．
9．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．
10．已知直线y ＝122x -+和椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，M 为线段
1 2，求椭圆的方程．
AB的中点，若|AB|＝，直线OM的斜率为
参考答案
1. 答案：B ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴0＜m ＜2，a
c
∵e
＝
12c a
==
，故2124m -=.∴32
m =. 2. 答案：B 由已知b ＝c ，故a
. 所以e
＝
c a =3. 答案：B 由2,b P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭
，再由∠F 1PF 2＝60°，有2
32b a a =，从而可得e
＝c a =
，故选B.
4. 答案：D 由椭圆的定义及其对称性可知|F 1P 1|＋|F 1P 99|＝|F 1P 2|＋|F 1P 98|＝…＝|F 1P 49|＋|F 1P 51|＝|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，故结果应为50×2a ＋|F 1P 50|＝101a .
5. 答案：D 由题意，A (－a,0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，
不妨设D (0，b )．∵31DF ＝22DA DF +
，
∴3(－c ，－b )＝(－a ，－b )＋2(c ，－b )，∴a ＝5c . ∴e ＝
15
c a =. 6. 答案：B 由椭圆C
，得c
，b 2
＝24
a .
∴椭圆C ：22
2241x y a a
+=.
设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )
，,0F ⎫
⎪⎪⎝⎭
.
∵3AF FB =
，
∴,3,A A B B x y x y ⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
∴3,3,A B A B x x y y ⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎨⎝⎭
⎪
-=⎩
即3,30.
A B A B x x y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①
将A ，B 代入椭圆C ，得22
2222
2
241,41,A A B B x y a a
x y a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
③×9－②得222
98B A x x a -=，2
(3)(3)8B A B A x x x x a +-=， ∴3x B －x A
.④
联立①④，得3,3,A B B A x x x x ⎧+=⎪
⎨-=⎪⎩
解得x A
，x B
. ∴y A
＝，y B
.
∴B A B A y y k x x +
-=
==-7. 答案：30° 如下图所示，设翻折后点A 1落在点A ′1的位置．
由题意可知F 2O ⊥y 轴，A ′1O ⊥y 轴， ∴∠A ′1OF 2就是二面角A ′1-B 1B 2-F 2的平面角．
又在Rt △A ′1OF 2中， |A ′1O |＝2，|OF 2|
∴|A ′1F 2|＝1.
∴∠A ′1OF 2＝30°. 8.
如图，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆的定义，得m ＋n ＝2a ＝6，
两边平方，得m 2＋n 2＋2mn ＝36.①
在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(2c )2， 即m 2＋n 2－mn ＝16.② ①－②，得3mn ＝20. 又由正弦定理，得
S △PF 1F 2＝
1
2
·mn ·sin 60°
＝12023⨯=9. 答案：分析：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，由AB ⊥F 1F 2，且△ABF 2是正三角形，得出在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°，
令|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝2x ，
利用勾股定理，求出|F 1F 2|
＝2c . 而|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，即可求出离心率e .
解：不妨设椭圆的焦点在x 轴上， ∵AB ⊥F 1F 2，且△ABF 2为正三角形， ∴在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°. 令|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝2x . ∴|F 1F 2|
2c ==.
由椭圆定义，可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a .
∴22c e a =
==. 10．解：由22
22
12,2
1,y x x y a b ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得 (a 2＋4b 2)x 2－8a 2x ＋16a 2－4a 2b 2＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得
x 1＋x 2＝22284a a b +，x 1x 2＝222
22
1644a a b a b -+.
又设M (x M ，y M )，
则x M ＝2122
2424x x a a b +=+，y M ＝2
2218224M b x a b -+=+. 因为k OM ＝
12M M y x =，所以2221
2b a =，即a 2＝4b 2. 从而x 1＋x 2＝2
22
844a a b =+，
x1x2＝
222
2 22
164
82
4
a a b
b a b
-
=-
+
.
又|AB|＝，
b2＝4.
所以a2＝4b2＝16，故所求椭圆方程为
22
1 164
x y
+=.。