高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时课件 新人教A版必修1
1.3.1 单调性与最大(小)值—第一课时单调性
练习:
利用刚才 的方法描 述一下左 侧四个函 数图象的 “上升” “下降” 的 情况.
思考
如何利用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大, 相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的增大,相应的 f(x)也随着增大.”? 有同学认为可以这样描述:在区间(0,+∞)上, x1＜x2时, 有f(x1)＜f(x2).他并且画出了如下示意图,你认为他的 说法对吗?
练习:
例1 下图是定义在区间[-5,5]的函数y=f(x),根据图象说出函数 的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中 y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是 增函数.
第一课时:单调性 :
教学目标:
知识教学目标： 知识教学目标： 1.理解函数的单调性概念 理解函数的单调性概念. 理解函数的单调性概念 2.会判定函数的单调性 会判定函数的单调性. 会判定函数的单调性 能力训练目标： 能力训练目标： 1.培养学生利用数学概念进行判断、推理的能力 培养学生利用数学概念进行判断、 培养学生利用数学概念进行判断 推理的能力. 2.加强化归转化能力的训练 加强化归转化能力的训练. 加强化归转化能力的训练 情感渗透目标： 情感渗透目标： 1.通过新概念的引进过程培养学生探索问题、发现规 通过新概念的引进过程培养学生探索问题、 通过新概念的引进过程培养学生探索问题 归纳概括的能力. 律、归纳概括的能力 2.培养学生辨证思维、求异思维等能力 培养学生辨证思维、 培养学生辨证思维 求异思维等能力.
例2:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告述我们,对于一定 量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之. 证明: 1 2 1.设(自变量); 2.比(函数值); 3.判(函数值大小关系); 4.结(论) 3 4
高中数学_第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性课件 新人教版必修1
答案
知识点二 函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. 思考 若函数f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那么f(x) 的减区间能写成D1∪D2吗？ 答 单调区间不能取并集，如 y＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也 递减，但不能说 y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减.
－1<1－a<1， 正解 由题意可知－1<2a－1<1， 解得 0<a<1.①
又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，
∴1－a>2a－1，即 a<23.②
由①②可知，0<a<23，即所求
a
的取值范围是
2 0<a<3.
易错警示
解析答案
解析答案
(2)函数 y＝x－1 1的单调递减区间是_(_－__∞__，__1_)，__(_1_，__＋__∞__)_. 解析 y＝x－1 1的图象可由函数 y＝1x的图象向右平移一个单位得到，如图 所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞).
解析答案
例2 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间. 解 y＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋11， ，xx≥ ＜00， ， 即 y＝－－xx＋－1122＋＋22，，xx＜≥00.， 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区 间为[－1,0]，[1，＋∞).
高中数学第一章集合与函数的概念1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性素材新人教版必修1
（1）取值；
（2）作差变形；
（3）定号；
（4）判断.
第四页，共8页。
1．函数的单调性的定义． 2．利用定义确定或证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ①取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2 ； ②作差变形：作差f(x1)-f(x2) ； ③定号：判断上述差f(x1)-f(x2)的符号； ④结论：根据(gēnjù)差的符号，得出单调性的结论.
素材库
第一页，共8页。
情境：如图为我市某日24小时内的气温变化图．观察 这张气温变化图，试说出在哪段气温是上升 (shàngshēng)的，哪段是下降的？
思考：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出(kàn chū)对应的函数值y 有什么变化趋势？如何用数学语言来描述？
第二页，共8页。
1.函数的单调性定义的内涵与外延： 内涵:是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况； 外延:①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致 时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相反时是 单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，若函数的图象(tú xiànɡ)上升，则为增函数，图象(tú xiànɡ)下降则为减 函数.
用定义证明函数(hánshù)单调性的 步骤是： （1）取值
即取 x1, x2 是该区间内的任意两个值且 x1 < x2
（2）作差变形
(bià即n 求xíngf)(x1 ) - f(x2 ) ，通过因式分解、配方、有理
化等方法
（3）定号
即根据给定的区间和
f(x1 ) - f(x2 ) 的符号
x2 - x1 的符号，确定
（4）判断
根据单调性的定义得结论
第七页，共8页。
1．在证明函数单调性时，所取的两个变量 (biànliàng)x1，x2应具有什么特征？ 提示：x1、x2有三个特征：一是同属于一个单调区间； 二是任意性；三是有大小，通常规定x1＜x2.三者缺 一不可．
2021_2022学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时)函数的单
第1课时 函数的单调性[A 根底达标]1．如图是函数y ＝f (x )的图象，那么此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由图象，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．应选B. 2．以下函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x ＋1|解析：选B.y ＝3－x ，y ＝1x，y ＝－|x ＋1|在(0，2)上都是减函数，只有y ＝x 2＋1在(0，2)上是增函数．3．假设函数f (x )在R 上是减函数，那么以下关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a 2)解析：选D.因为f (x )是R 上的减函数，且a 2＋1>a 2，所以f (a 2＋1)<f (a 2)．应选D. 4．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3，0]上( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增D ．先增后减解析：选C.因为y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x ＜－2.作出y ＝|x ＋2|的图象，如下图，易知在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．5．(2021·宣城高一检测)函数y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，那么函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A ．减函数且f (0)<0B ．增函数且f (0)<0C ．减函数且f (0)>0D ．增函数且f (0)>0解析：选A.因为y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数， 所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，应选A.6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，那么f (x )的单调递减区间是________．解析：当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．答案：(－∞，1)7．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，那么实数a 的取值范围为________．解析：因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2.答案：(－∞，2]8．函数f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)，B (－3，2)是其图象上的两点，那么不等式－2<f (x )<2的解集为__________．解析：因为A (0，－2)，B (－3，2)在函数y ＝f (x )的图象上，所以f (0)＝－2，f (－3)＝2，故－2<f (x )<2可化为f (0)<f (x )<f (－3)，又f (x )在R 上是减函数，因此－3<x <0.答案：(－3，0)9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，〔x －2〕2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间． 解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，〔x －2〕2＋3，x >1的图象如下图，由图象可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]； 单调递增区间为(2，＋∞)．10．函数f (x )＝2x －1x ＋1.(1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．解：(1)由题意知x ＋1≠0，即x ≠－1.所以f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． (2)证明：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2， 那么f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2＋1－2x 1－1x 1＋1＝〔2x 2－1〕〔x 1＋1〕－〔2x 1－1〕〔x 2＋1〕〔x 2＋1〕〔x 1＋1〕＝3〔x 2－x 1〕〔x 2＋1〕〔x 1＋1〕.因为x 1<x 2，所以x 2－x 1>0. 又因为x 1，x 2∈[1，＋∞)， 所以x 2＋1>0，x 1＋1>0. 所以f (x 2)－f (x 1)>0， 所以f (x 2)>f (x 1)．所以函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．[B 能力提升]11．函数y ＝2x －3的单调增区间是( ) A ．(－∞，－3] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．(－∞，1)D ．[－1，＋∞)解析：选B.由2x －3≥0，得x ≥32.又因为t ＝2x －3在(－∞，＋∞)上单调递增，y ＝t在定义域上是增函数，所以y ＝2x －3的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13解析：选A.当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x ＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，所以0≤a ≤13.13．定义在[1，4]上的函数f (x )是减函数，求满足不等式f (1－2a )－f (3－a )>0的实数a 的取值范围．解：由题意，可得f (1－2a )>f (3－a )． 因为f (x )在定义域[1，4]上单调递减， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤1－2a ≤41≤3－a ≤41－2a <3－a ，解得－1≤a ≤0，所以实数a 的取值范围为[－1，0]．14．(选做题)函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1.因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋ax 1x 2<0.因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2. 因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．。
高中数学第一章集合与函数概念1.3.1.1单调性与最大(小)值(第1课时)课件新人教a必修1
要点2 单调性和单调区间 如果一个函数在某个区间D上是增函数或减函数就说这个函 数在这个区间D上具有单调性，区间D称为单调区间.
1.画出函数y＝1x的图像，结合图像探讨下列说法是否正确？ (1)函数y＝1x是减函数； (2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).
答：(1)是错误的，从左向右看，函数y＝
得函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞).
方法二：利用已知函数的单调性：f(x)的图像是由y＝
5 x
的图
像先向左平移3个单位，再向下平移一个单位得到的，
∴y＝5x在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数.
∴f(x)＝2x＋－3x在(－∞，－3)及(－3，＋∞)上也是减函数.
方法三：定义法(略).
探究1 (1)证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性 的定义.其步骤是：①取值：在给定区间上任取两个自变量.②作 差变形：将f(x1)－f(x2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形 式，且含有x1－x2的因式.③判断符号：根据条件判断f(x1)－f(x2) 变形后的正负.④得出结论.
(2)在“作差变形”中，我们尽量化成几个最简因式乘积的 形式，也可以把其中的因式化成几个完全平方式和差的形式， 例如(x＋1)2＋2，－(x＋1)2－3等，这也是值得学习的解题技巧.
题型三 含参数的函数的单调性 例3 已知f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数， 求实数a的取值范围.
【思路】 由于f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝(x＋a－1)2－(a－1)2＋ 2，所以在区间(－∞，1－a]上单调递减，故有(－∞，4]⊆(－∞，1 －a]，可求a的值.
思考题1
(1)已知函数f(x)＝
人教版高中数学必修1第一章集合与函数的概念-《1.3.1单调性与最大(小)值》教案(1)
1.3.1单调性与最大（小）值（第一课时）教材分析单调性与最大（小）值这节内容选自人教版A版《普通高中课程标准试验教科书必修1》第一章1.3节函数的基本性质的内容。
函数是描述事物运动变化规律的数学模型，学习函数的变化规律能把握事物的变化规律，因此研究函数的性质非常关键。
学生在此之前已经学习了函数的概念及函数的三种表示法，并且学生学会了从集合的角度来认识函数。
本次课的学习是函数的基本性质的第一课时，研究函数的单调性与最大最小值问题，这一性质是函数最直观的一个性质。
也是为后续学习函数的奇偶性等相关性质奠定基础。
因此，本次课的教学尤为关键。
本次课在教学上我将采取两个课时的时间，在第一课时内完成函数单调性概念的教学并掌握判断简单函数单调性的方法，在第二课时内完成最大（小）值概念的教学，并且能进一步掌握部分函数单调性的判断技巧。
教学目标●知识与技能：了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法；●过程与方法：经历情景引入、直观感知、知识形成等过程，掌握数形结合的数学方法，同时学会从直观的图像上发现问题并且掌握作差法，培养学生严谨的数学思维能力；●情感态度与价值观感受数学符号以及图形的魅力，培养学生能从辩证的角度看问题，感受数学与现实生活的联系，体会数学的强大实用功能；教学重难点教学重点：函数单调性的概念以及判断简单函数单调性的方法；教学难点：判断简单函数单调性的方法；重难点突破：学生在学习函数单调性概念的过程中，教师通过引入具体事例加以分析，首先让学生直观感受函数的单调性，进而通过引导探究认识函数的单调性；在判断简单函数的单调性的过程中，教师引导学生通过直接看图像以及做差这两种方法来判断函数的单调性。
教法学法分析新课标的教学理念认为学生是天生的学习者，学生已经具备了一定的生活经验，具备一定数学知识和数学经验。
在教学中力求通过教师的引导，学生根据已有的生活经验进行自主探究，发现数学规律，掌握数学知识，并且能进一步把知识运用到实践中；而教师是学生学习中的引导者、组织者和合作者，教师应该给予学生足够的空间感受数学本身的魅力，感受数学的使用功能。
高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性aa高一数学
【解析】∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]. ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝1－a必须在直线(zhíxiàn)x＝4的右侧或与其重合. ∴1－a≥4，解得a≤－3. 故实数a的取值范围为[－∞，－3].
12/12/2021
第七页，共三十四页。
函数单调性的证明(zhèngmíng)与判断
【例 1】证明：函数 y＝x＋9x在区间(0,3]上单调递减. 【解题探究】 取值 → 作差 → 变形 → 判断符号 → 得结论 【证明】设 0＜x1＜x2≤3， 则有 y1－y2＝x1＋x91－x2＋x92 ＝(x1－x2)－9xx11－x2x2＝(x1－x2)1－x19x2.
值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形：作差 f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易 判断正负的式子；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1) －f(x2)的符号及定义判断单调性.
2．证明抽象函数的单调性时，因为抽象函数不知道解析(jiě
12/12/2021
第二十九页，共三十四页。
4.已知函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数
(shìshù)m的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，
12/12/2021
第十五页，共三十四页。
2.作出函数 f(x)＝－ x－x－232＋，3x≤，1x＞，1 的图象，并指出函数
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时
1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性1.下列说法中正确的有( A )①若x1,x2∈I,当x1<x2时,f(x1)<f(x2),则y=f(x)在I上是增函数;②函数y=x2在R上是增函数;③函数y=-在定义域上是增函数;④y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:由于①中的x1,x2不是任意的,因此①不正确;②③④显然不正确.2.如图中是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增(B)函数在区间[1,4]上单调递增(C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减(D)函数在区间[-5,5]上没有单调性解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选C.3.下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),都有>0”的是( C )(A)f(x)= (B)f(x)=-3x+1(C)f(x)=x2+4x+3 (D)f(x)=x+解析:>0⇔f(x)在(0,+∞)上为增函数,而f(x)=及f(x)=-3x+1在(0,+∞)上均为减函数,故A,B错误;f(x)=x+在(0,1)上递减,在[1,+∞)上递增,故D错误;f(x)=x2+4x+3=x2+4x+4-1=(x+2)2-1,所以f(x)在[-2,+∞)上递增,故选C.4.下列函数中,在(-∞,0]内为增函数的是( C )(A)y=x2-2 (B)y=(C)y=1+2x (D)y=-(x+2)2解析:选项A,B在(-∞,0)上为减函数,选项D在(-2,0]上为减函数,只有选项C满足在(-∞,0]内为增函数.故选C.5.已知函数y=ax和y=-在(0,+∞)上都是减函数,则函数f(x)=bx+a在R上是( A )(A)减函数且f(0)<0 (B)增函数且f(0)<0(C)减函数且f(0)>0 (D)增函数且f(0)>0解析:因为y=ax和y=-在(0,+∞)都是减函数,所以a<0,b<0,f(x)=bx+a为减函数且f(0)=a<0,故选A.6.若函数f(x)在R上单调递增,则f(x2-2x)与f(-1)的大小关系为( A )(A)f(x2-2x)≥f(-1) (B)f(x2-2x)≤f(-1)(C)f(x2-2x)=f(-1) (D)不能确定解析:因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,又函数f(x)在R上单调递增,所以f(x2-2x)≥f(-1).故选A.7.已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值X围是( A )(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)(C)[4,+∞) (D)(4,+∞)解析:若使函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a满足≤1,所以a≤4,选A.8.在区间(0,+∞)上不是增函数的是( C )(A)y=2x+1 (B)y=3x2+1(C)y= (D)y=2x2+x+1解析:A选项在R上是增函数;B选项在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数;C选项在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;D选项y=2x2+x+1在(-∞,-]上是减函数,在[-,+∞)上是增函数.故选C.9.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是.解析:当x≥1时,f(x)是增函数;当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1).答案:(-∞,1)10.函数f(x)=|2x-1|的单调减区间为,单调增区间为.解析:函数f(x)=|2x-1|=2|x-|的图象如图所示,由图可知函数f(x)的单调递增区间为[,+∞),单调递减区间为(-∞,].答案:(-∞,][,+∞)11.已知函数f(x)在区间[-1,1]上是单调函数且f(0)<f(1),则满足f(x)<f()的实数x的取值X围为.解析:由题意知函数f(x)在区间[-1,1]上是单调增函数,所以不等式f(x)<f()等价于即-1≤x<.答案:[-1,)12.函数f(x)是定义域上的单调递减函数,且过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|<2的自变量x 的取值X围是.解析:因为f(x)是定义域上的减函数,f(-3)=2,f(1)=-2,所以当x>-3时,f(x)<2,当x<1时,f(x)>-2,则当-3<x<1时,|f(x)|<2.答案:(-3,1)13.已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),求a的取值X围.解:由题意可知解得0<a<1,①又f(x)在(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),所以1-a>2a-1,即a<,②由①②可知,a的取值X围是(0,).14.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域和值域;(2)判断函数f(x)在区间(2,5)上的单调性,并用定义来证明所得结论.解:(1)f(x)===1+,定义域为{x|x≠1},值域为{y|y≠1}.(2)由函数解析式可知该函数在(2,5)上是减函数,下面证明此结论.证明:任取x1,x2∈(2,5),设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为2<x1<x2<5,所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以f(x1)>f(x2).故函数在(2,5)上为减函数.15.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.解:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0,所以f()<0,即f(x1)-f(x2)<0.因此f(x1)<f(x2),故函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.(3)由f()=f(x1)-f(x2)得F()=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,且f(|x|)<-2=f(9),所以|x|>9,解得x>9或x<-9.故不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.16.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值X围是( D )(A)(-,+∞) (B)[-,+∞)(C)[-,0) (D)[-,0]解析:当a=0时,f(x)=2x-3,满足在区间(-∞,4)上是单调递增,排除C,当a≠0时,f(x)=ax2+2x-3的对称轴为x=-,要满足在区间(-∞,4)上是单调递增的,则-≥4且a<0,解得-≤a<0,综上-≤a≤0.17.已知函数f(x)=|x+1|在区间[a,+∞)上是增函数,则实数a的取值X围是.解析:函数f(x)=|x+1|的增区间为[-1,+∞),所以a≥-1.答案:[-1,+∞)18.函数f(x)=(t>0)是区间(0,+∞)上的增函数,则t的取值X围是.解析:y=x2的增区间为[0,+∞),y=x增区间为(-∞,+∞),若f(x)是(0,+∞)上的增函数,则所以t≥1.答案:[1,+∞)19.讨论函数f(x)=x+(a>0)的单调性.解:f(x)=x+(a>0).因为定义域为{x|x∈R,且x≠0},所以可分开证明,设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)(1-).当0<x2<x1≤时,恒有>1,则f(x1)-f(x2)<0,故f(x)在(0,]上是减函数;当x1>x2>时,恒有0<<1,则f(x1)-f(x2)>0,故f(x)在(,+∞)上是增函数.同理可证f(x)在(-∞,-)上是增函数,在[-,0)上是减函数.综上所述,f(x)在(-∞,-),(,+∞)上是增函数,在[-,0),(0,]上是减函数.。