单调性与最大小值共47页文档
合集下载
3.2.1-单调性与最大(小)值课件-2025届高三数学一轮复习
f x1 − f x2 > 0,
f x1 − f x2 < 0,
f x1 > f x2 ,
或
即
或
x1 < x2
x1 − x2 < 0
x1 − x2 > 0,
f x1 < f x2 ,
∴ f x 在 a, b 上是减函数，C是真命题，同理可得D也是真命题.
x1 > x2 ,
例1-2 (2024·河北省石家庄市期末)下列四个函数中，在 0, +∞ 上单调递增的是
= − +
−
因为 ， ∈ , +∞ 且 < ，可得 − < ， > ， <
−
> ，
所以 − = −
−
< ，即 < ，
所以函数 在 , +∞ 上单调递增．
3
, (−1, ]，单调
2
3
2
递减区间为[ , 4), 4, +∞ .
所以由复合函数的单调性可知函数y =
D.∀x1 ,x2 ∈ a, b ,且x1 ≠ x2 ,当 x1 − x2 [f x1 − f x2 ] > 0时，f x 在 a, b 上单调递
【解析】A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
1
x
以f x = 为例，知B是假命题；
∵
f x1 −f x2
x1 −x2
< 0 x1 ≠ x2 等价于[f x1 − f x2 ] ⋅ x1 − x2 < 0,而此式又等价于
[1, +∞)，单调递减区间是(−∞, −3]和[−1,1].（函数的单调区间
函数的单调性与最大小值
减函数，所以在区间（-∞，-1）上是减函数,由 此可得D项符合.故选D.
探究提高
（1）复合函数是指由若干个函数复合而
成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)
的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，
即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函 数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数. （2）讨论复合函数单调性的步骤是： ①求出复合函数的定义域；
即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.
2 x12 1 0, x2 1 0, | x1x2 | 1,
因此，当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数； 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,
( x2 x1 )(x1 x2 1) 0. 2 2 ( x1 1)(x2 1)
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立， 则f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 探究提高 对于给出具体解析式的函数，判断或证明 其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步
骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函
数则可以利用导数解之.
ax 知能迁移1 试讨论函数 f ( x ) 2 , x∈(-1,1)的单 x 1 调性（其中a≠0）.
题型四
函数单调性与不等式
【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)
=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
探究提高
（1）复合函数是指由若干个函数复合而
成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)
的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，
即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函 数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数. （2）讨论复合函数单调性的步骤是： ①求出复合函数的定义域；
即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.
2 x12 1 0, x2 1 0, | x1x2 | 1,
因此，当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数； 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,
( x2 x1 )(x1 x2 1) 0. 2 2 ( x1 1)(x2 1)
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立， 则f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 探究提高 对于给出具体解析式的函数，判断或证明 其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步
骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函
数则可以利用导数解之.
ax 知能迁移1 试讨论函数 f ( x ) 2 , x∈(-1,1)的单 x 1 调性（其中a≠0）.
题型四
函数单调性与不等式
【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)
=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
函数的单调性与最大(小)值教案doc 【完整版】
教学内容
《ห้องสมุดไป่ตู้调性与最大（小）值》
课前活动
1．函数的最大值、最小值的定义是什么？
2．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，则函数f(x)的最值必在处取得
课中活动1
二、讲授新课：
1.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征
① ②
2，函数最大（小）值定义
单调性与最大（小）值（2）
课题名称
《单调性与最大（小）值》
课型
新授课
年级
高一年级
教学目标
1、理解函数的最大（小）值及其几何意义．
2、通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标。
3、培养学生数形结合分析问题的能力
教学重点
函数的最大（小）值及其几何意义
教学难点
利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
体会二次函数的公式法求最值
例4求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值．
体会利用函数单调性求最值方面的作用。
完成P39B组1
完成《创新设计》P24“课堂达标”中1-5题。
课后活动
四、课后作业P3945
完成《创新设计》P24新知导学1，2，3的自学。
五、教学反思：
最大值：一般地，设函数 的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的 ，都有 ；
（2）存在 ，使得 ．
那么，称M是函数 的最大值．思考：依照函数最大值的定义，结出函数 的最小值的定义．
3、利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法②换元法③数形结合法
课中活动2
三、例题讲解：
例3的讲解。完成P324
《ห้องสมุดไป่ตู้调性与最大（小）值》
课前活动
1．函数的最大值、最小值的定义是什么？
2．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，则函数f(x)的最值必在处取得
课中活动1
二、讲授新课：
1.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征
① ②
2，函数最大（小）值定义
单调性与最大（小）值（2）
课题名称
《单调性与最大（小）值》
课型
新授课
年级
高一年级
教学目标
1、理解函数的最大（小）值及其几何意义．
2、通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标。
3、培养学生数形结合分析问题的能力
教学重点
函数的最大（小）值及其几何意义
教学难点
利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
体会二次函数的公式法求最值
例4求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值．
体会利用函数单调性求最值方面的作用。
完成P39B组1
完成《创新设计》P24“课堂达标”中1-5题。
课后活动
四、课后作业P3945
完成《创新设计》P24新知导学1，2，3的自学。
五、教学反思：
最大值：一般地，设函数 的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的 ，都有 ；
（2）存在 ，使得 ．
那么，称M是函数 的最大值．思考：依照函数最大值的定义，结出函数 的最小值的定义．
3、利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法②换元法③数形结合法
课中活动2
三、例题讲解：
例3的讲解。完成P324
函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最大(小)值
建筑结构设计
02
在建筑结构设计中，利用极值定理可以确定建筑物的最大抗力
和最小截面尺寸，提高建筑物的抗震性能和稳定性。
电子产品设计
03
在电子产品设计中，利用极值定理可以确定电子产品的最大工
作电压和最小工作电流，提高产品的可靠性和稳定性。
最值在生活中的应用
01
物流运输
在物流运输中，利用最值定理可 以确定最优运输路径和最小运输 成本，提高运输效率。
函数最小值
函数在某区间上的最小值是指在该区间上所有函数值中最小的的一个，即对于 任意$x in (a, b)$，有$f(x) geq f(x_{0})$，其中$x_{0} in (a, b)$。
求函数最大(小)值的方法
代数法
通过函数的解析式，利用代数运算求出最大值或最小值的$x$值，再代入解析式求出最大值或最小值 。
04 导数在研究函数中的应用
导数与函数单调性的关系
判断单调增函数
如果函数断单调减函数
如果函数在某区间的导数小于0，则该函数在此区间 单调减。
单调性与导数符号
函数的单调性与其导数的符号变化密切相关，导数的 符号决定了函数的增减性。
导数与函数极值的关系
单调性的数学符号表示
如果函数在某个区间上单调递增，则可以用$f'(x) geq 0$来 表示；如果函数在某个区间上单调递减，则可以用$f'(x) leq 0$来表示。
判断函数单调性的方法
导数判断法
如果函数在某个区间内的导数 大于0，则函数在这个区间内 单调递增；如果导数小于0， 则函数在这个区间内单调递减。
二阶导数测试
当一阶导数为0，二阶导数大于0时，该点为极小值点； 当一阶导数为0，二阶导数小于0时，该点为极大值点。
第02课函数的单调性与最大(小)值(课件)
【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝ x2＋x－2
【解析】∵y＝ex 与 y＝－e－x 为 R 上的增函数，∴y＝ex－e－x 为 R 上的增函数，故 A 正确； 由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确； y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
【典例】已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3, 当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t).
【解析】①当 t>1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当 x＝t 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值，
函数 f(x)＝ x－1在其定义域内是增函数.
【解析】函数 f(x)＝ x－1的定义域是[1，＋∞)，
设∀x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝ x2－1－ x1－1
＝
x2－1－ x1－1 x2－1＋ x2－1＋ x1－1
x1－1＝
x2－x12－＋x1x1－1.
因为 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，所以 x2－1＋ x1－1>0，x2－x1>0.
函数的单调性和最大小值
202X
单调性与最大（小） 值
击此处添加副标题
一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相
应函数的哪些变化规律：
y
y
y
1
-1
1x
-1
1
1
-1
-1
1
x
-1
1
x
-1
问：随x的增大，y的值有什么变化？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f (x) = x
① 从左至右图象上升还是下降____上__升? ②在区间 （___-_∞__，___+__∞_ ）上，随着x的增大，f (x)的值随
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函 数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆 裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度 为29 m.
由x1＜x2，得 x1－x2＜0
f（x1）－f（x2）＜0 f（x1）＜ f（x2）
y 1 y k (k 0) xx
探究：P30 画出反比例函数 的图象．
1. 这个函数的定义域是什么？ 2. 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
思考3：反比例函数
的单调性，
单调区间：
例3.函 数 f(x) 1在(0, )上 是 增 函 数 还 x
01 2.若f(x)为减函数，g(x)为减函数， 则F(X)=f(x)+g(x)为减函数。
02 3.若f(x)为增函数，g(x)为减函数， 则F(X)=f(x)-g(x)为增函数。
单调性与最大（小） 值
击此处添加副标题
一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相
应函数的哪些变化规律：
y
y
y
1
-1
1x
-1
1
1
-1
-1
1
x
-1
1
x
-1
问：随x的增大，y的值有什么变化？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f (x) = x
① 从左至右图象上升还是下降____上__升? ②在区间 （___-_∞__，___+__∞_ ）上，随着x的增大，f (x)的值随
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函 数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆 裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度 为29 m.
由x1＜x2，得 x1－x2＜0
f（x1）－f（x2）＜0 f（x1）＜ f（x2）
y 1 y k (k 0) xx
探究：P30 画出反比例函数 的图象．
1. 这个函数的定义域是什么？ 2. 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
思考3：反比例函数
的单调性，
单调区间：
例3.函 数 f(x) 1在(0, )上 是 增 函 数 还 x
01 2.若f(x)为减函数，g(x)为减函数， 则F(X)=f(x)+g(x)为减函数。
02 3.若f(x)为增函数，g(x)为减函数， 则F(X)=f(x)-g(x)为增函数。
单调性与最大(小)值
4 (5) 0 1302 解： hmax 845 (米) 4 (5) 130 此时 t 13 (秒) 2 (5)
在第 13 秒的时候达到最大高度 845 米。
h (米)与时间 t (秒)的变化规律是 h = 130t - 5t² ，那么什么时刻 距离地面的高度达到最大？最大是多少？
变式
经过多少秒后炮弹落地？
当炮弹落地时，有：
h = 130t - 5t² =0
∴ t = 0 (舍) 或 t = 26 ∴ 26 秒后炮弹落地。
小结：数学建模的解题步骤： ※ 典型例题
审题 → 设变量 → 建立数学模型 → 研究函数的最值。
试试 一段竹篱笆长 20 米，围成一面靠墙的矩形菜
地，如何设计使菜地面积最大？
训练案
A. f (5) f (4) B. f (2) f ( 2 )
A级
4. 二次函数 y = f (x) 的图象是开口向上的抛物线， 对称轴是直线 x=3，则下列错误的是（ B）
C. f (2) f (4) D. f (0) f (1)
B级
5. 若函数 f (x) 在R上为减函数，则（ CD ）
训练案
C级
9. 设函数 f (x) 定义在(0, +)上的增函数，f (2) =1 且 f (xy) = f (x) + f (y), 求满足不等式 f (x) + f (x-3) ≤2 的 x 的取值. 解： ∵ f (2) = 1 ∴ f (4) = f (2×2) = f (2) + f (2) = 2
思考
先完成下表：
函数
f (x) = -2x+3 f (x) = -2x+3, x∈[-1, 2] f (x) = x² +2x+1 f (x) = x² +2x+1, x∈[-2, 2]
在第 13 秒的时候达到最大高度 845 米。
h (米)与时间 t (秒)的变化规律是 h = 130t - 5t² ，那么什么时刻 距离地面的高度达到最大？最大是多少？
变式
经过多少秒后炮弹落地？
当炮弹落地时，有：
h = 130t - 5t² =0
∴ t = 0 (舍) 或 t = 26 ∴ 26 秒后炮弹落地。
小结：数学建模的解题步骤： ※ 典型例题
审题 → 设变量 → 建立数学模型 → 研究函数的最值。
试试 一段竹篱笆长 20 米，围成一面靠墙的矩形菜
地，如何设计使菜地面积最大？
训练案
A. f (5) f (4) B. f (2) f ( 2 )
A级
4. 二次函数 y = f (x) 的图象是开口向上的抛物线， 对称轴是直线 x=3，则下列错误的是（ B）
C. f (2) f (4) D. f (0) f (1)
B级
5. 若函数 f (x) 在R上为减函数，则（ CD ）
训练案
C级
9. 设函数 f (x) 定义在(0, +)上的增函数，f (2) =1 且 f (xy) = f (x) + f (y), 求满足不等式 f (x) + f (x-3) ≤2 的 x 的取值. 解： ∵ f (2) = 1 ∴ f (4) = f (2×2) = f (2) + f (2) = 2
思考
先完成下表：
函数
f (x) = -2x+3 f (x) = -2x+3, x∈[-1, 2] f (x) = x² +2x+1 f (x) = x² +2x+1, x∈[-2, 2]
第二节函数的单调性与最大(小)值
(1)当a＝ 围．
时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范
高考总复习•数学（文科） 解析：(1)当a＝ 时，f(x)＝x＋ ＋2.
∵f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝ (2)(法一)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝ 2x＋a>0恒成立． . >0恒成立⇔x2＋
高考总复习•数学（文科） 解析：(1) 原函数等价于 y＝ 作出如下函数图象：
高考总复习•数学（文科）
由函数图象可知，
函数 y ＝－x2 ＋ 2|x| ＋ 3在 ( － ∞ ，－ 1] ， [0,1] 上是增函数， 在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． (2)由4x－x2＞0，得函数的定义域是(0,4)． 令t＝4x－x2， ∵t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4， ∴t＝4x－x2的递减区间是[2,4)，递增区间是(0,2]．
高考总复习•数学（文科）
(7)(数形结合法)将函数化为分段函数形式，即
高考总复习•数学（文科） 画出它的图象 ( 如右图所示 ) ，由图象可知，函数的值域是
{y|y≥3}．
(几何法)∵函数y＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的动点x到两定点 －1,2的距离之和，∴易得y的最小值是3.∴函数的值域是 [3， 如下图所示．
时，函数fK(x)的单调递增区间为______．
高考总复习•数学（文科）
解析： 由f(x)＝2－|x|≤
∴|x|≥1.∴x≥1或x≤－1. ∴fK(x)＝
得－|x|≤－1，
当x∈ (1，＋∞)时，
fK(x)＝2－|x|＝ 函数．
，在(1，＋∞)上为减函数．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
若x取无数 个呢?
xn
x应该取区间I内所有实数
x
函数单调x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2 ， 当 x1<x2 时 ， 都 有 f(x1)<f(x2) ， 那 么 就 说 f(x) 在 区间D上是增函数,如图1 .
f(x1)- f(x2)=
1 x1
1 -
x2
=
x2 - x1 x1x2
由于x1,x2 0, + 得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0
所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2).
函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数.
注意：“任意”两字
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于
定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2 ， 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说f(x)在区间D 上是减函数 ,如图2.
y
y=f(x)
f(x1)
f(x2) x
0
x1
x2
图1
y y=f(x)
f(x1) f(x2)
文字语言不精确，比如说者无心听者有意，文字语言总是 让人误会。
图形语言直观，但一些函数图形很难画出来。 符号语言精确、严格、简洁、漂亮、有助于减少人的思维 量，让人更容易思考，减轻大脑负担。 学习数学就是学习数学化，其中之一是符号化。所以只有 把单调性符号化才是严格严谨的定义。数学只有符号化才是严 格严谨的。
单调性与最大小值
一、前面几节课我们讲了人不但有本质也有形式更有性质。 人的本质随着社会历史的发展认识越来越深刻，人的形式 比如四种人种：黄种人、黑人、白种人、棕色人。 人的本质比如从古希腊的人时没有羽毛站立的两只脚的动 物到马克思的人是各种社会关系的总和。 我们讲马克思对人的认识时举了个例子，就是狼孩。人如 果离开社会与狼一起生活那她就不是人而是狼。 人的性质比如人有两个鼻子一只耳朵等等。 我们还讲了人的心灵美属于人的本质，人的外表美属于人 的形式，人只有心灵美外表美才是真的美。 函数也有本质、形式、性质。函数的本质也是随着历史社
思 考 （1）对于函数y= f(x) ，若在区间 I 上，当x＝1
时, y＝1; 当 x＝2时, y＝3 , 能说在区间 I 上函数值 y 随自变量 x的增大而增大吗?
y
3
1
012 x
思 考 （2）对于函数y= f(x) ，若在区间 I 上，当x＝1,
2, 3, 4, 时, 相应地 y＝1, 3, 4, 5，能说在区间 I 上函
f(x1 ) - f(x2 ) < 0
即函数 f(x) = - 1 - 1 在区间（0，+∞）上是单调
增函数.
x
思考
若把区间改为 -，0 ,结论变化吗 ?
若把函数改为 f(x) = - a - 1 (a 0)，结论变化吗？ x
证明一个函数的单调性文字语言、图形语言能不能当证明？要 证明一个函数的单调性为什么只能用符号语言当证明。
问题1
画出f(x)=x的图像，并观察其图像。
1、从左至右图象上升还是下降 _上__升_?
2、在区间 _(_-___, ___上) ，随着x的增大，f(x)的值随
着 ____增__大.
5
f(x)=x
-5 o
5
-5
问题2
画出 f(x) = x2 的图像，并观察图像.
1、在区间 __(_-∞__,0_]__ 上，f(x)的值随着x的增大而
四、文字语言、图形语言、符号语言各有什么优劣？
文字语言不精确，比如说者无心听者有意，文字语言总是 让人误会。
图形语言直观，但一些函数图形很难画出来。 符号语言精确、严格、简洁、漂亮、有助于减少人的思维 量，让人更容易思考，减轻大脑负担。 学习数学就是学习数学化，其中之一是符号化。所以只有 把单调性符号化才是严格严谨的定义。数学只有符号化才是严 格严谨的。
例2 求证：函数f(x) = - 1 - 1 在区间 0，+ 上是单
调增函数．
x
证明：在区间（0，+∞）上任取两个值 x1 , x且2
x1 < x2 ，则
f(x1 ) - f(x2 ) = -
1 x1
+
1 x2
=
x1 - x2 x1x2
又因为 x1 - x2 < 0 ，x1x2 > 0 ，所以说
会的发展认识越来越深刻。函数的形式有三种表达方式。这节 课我们来学习学习函数的性质。
一、同学们思考下单调性是什么意思？ 我们知道词语有第一词意，第二、三词意。 第二、三词意有第一词意引申二出。单调的第 一词意就是：
①只有一种的或重复而缺少变化：色彩单 调｜形式单调｜单调的生活。
二、看几个单调函数图形。
_减__小___.
f(x) = x2 2、 在区间 ____(_0_,+_∞_ )上，
f(x) 的 值 随 着 x 的 增 大 而
5
___增__大.
-5 o
5
-5
1、文字语言：随着x的增大，函数值也增大；随着x的减小函 数值也减小。或反之。
2、图形语言：一条上升的曲线或一条下降的曲线。
3、符号语言：暂不板书。
0
x1
x2 x
图2
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质，是函数的局部性质.
2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1， x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是 增函数和减函数.
函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函 数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的） 单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
数值y 随自变量x 的增大而增大吗？
y
4
3
2 01
12 3 4
x
思 考 (3) 对于函数y= f(x)若 区间I 上有n个数
x1< x2<x3<···< xn，它们的函数值满足: y1< y2<y3<···< yn时，能说在区间 I 上 y 随 x 的增大 而增大吗 ？
y
yn y3 y2 y1
0 x1 x2 x3
问：此函数图形能画出来吗？
探究
画出反比例函数 y = 1 的图象． x
1 这个函数的定义域是什么？
{x∣x≠0}
2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结
论． y
分两个区间(0，+∞)， （-
∞ ，0）来考虑其单调性.
0
x
证明：（1）在区间(0，+∞)上，设x1,x2是(0，+∞)上
任意两个实数，且x1<x2，则