湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2020届高三联考数学(理)试题

“宜昌一中、荆州中学、龙泉中学三校联盟”高三11月联考 理科数学试题本试卷共 2 页，共 23 题。

满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

）1．已知U R =，函数)1ln(x y -=的定义域为M ，}0|{2<-=x x x N ，则下列结论正确的是 A ．MN N = B ．()U MC N φ= C ．M N U =D ．)(N C M U ⊆2．复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是A ．22i z = B ．2z z ⋅= C ．||2z = D ．0z z += 3．下列函数中，其定义域和值域与函数ln xy e =的定义域和值域相同的是A ．y=B ．ln y x =C ．y x =D ．10xy =4．三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.20.40.4log 0.543<<C ．0.40.20.4log 0.534<<D ．0.40.20.43<log 0.5<45．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC ==，则BE AF ⋅=A ．23-B ．43-C ．83- D ．2-7.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A ．43钱 B ．73钱 C ．83钱 D ．103钱 8．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用 ②子女教育费用 ③继续教育费用 ④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月共扣除2000元 ②子女教育费用：每个子女 每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附 加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某月应缴纳的个税金额为 A ．590元 B ．690元 C ．790元 D ．890元 9．已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是A ．()2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞D ．[)2,810.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=A ．23 B ．49C11.若函数32,1()3,1xe a xf x x x x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩有最小值，则实数a 的取值范围为 A ．(],1-∞ B ．(],e -∞ C ．(]0,1 D ．(]0,e 12.{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是 A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．24,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知1(0,),sin cos 5απαα∈+=，则tan α=_______． 14．已知命题200:,10p x R mx ∃∈+≤；命题2:,10q x R x mx ∀∈++>．若p q ∨为假命题，则 实数m 的取值范围为_________．15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，满足2(sin cos )40,2a B B b -++==，则ABC ∆的面积为_________．16．函数21y x =-和ln 1y a x =-有相同的公切线，则实数a 的取值范围为_________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos b c b A =-． （Ⅰ）求证：2A B =；（Ⅱ）若53b c =，a =BC 边上的高．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）证明：2221274n S S S +++<．19．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，//,2AB CD CD AB =．（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点M ，()0AN mAP m =>，且//MN 平面PCD，求实数m 的值； （Ⅱ）若,60,AB AD DP BAD PB ︒==∠=，且PD AD ⊥，求二面角A PC B --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2C x y =和直线:2l y x =-，过直线l 上任意一点P 作抛物线的两条切线， 切点分别为,A B ．（Ⅰ）判断直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由； （Ⅱ）求PAB ∆的面积的最小值．21．（本小题满分12分）已知2()cos 1(0)f x x mx x =+-≥．（Ⅰ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：当0x ≥时，2sin cos x e x x -≥-．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分10分）22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，方程2sin 2ρθ=的图形为如图所示的“幸运四叶草”，又称为玫瑰线．（Ⅰ）当玫瑰线的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；（Ⅱ）求曲线sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的点M 与玫瑰线上的点N 距离的最小值及取得最小值时的 点M 、N 的极坐标．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()223f x x a x a =-+-+，()24,g x x ax a R =++∈． （Ⅰ）当1a =时，解关于x 的不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得不等式()()12f x g x >成立，求实数a 的取值范围．“宜昌一中、荆州中学、龙泉中学三校联盟”高三11月联考理科数学参考答案一、选择题： 1-4 ABAB 5-8 CDCB 9-12 ACBD二、填空题 13．43- 14．2m ≥ 15．2 16．(]0,2e 三．解答题17．解：（Ⅰ）因为2cos b c b A =-，所以sin sin 2sin cos B C B A =-，因为()C B A π=-+， 所以sin sin(())2sin sin B B A B A π=-+-．……………………2分所以sin sin cos cos sin 2sin cos B B A B A B A =+-，即sin cos sin sin cos B B A B A =-，即sin sin()B A B =-，………………………………4分 因为0B π<<，0A π<<，所以A B ππ-<-<，所以B A B =-或()B A B π=--(舍去)，故2A B =．……………………………………6分 （Ⅱ）由53b c =及2cos b c b A =-得，1cos 3A =， 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得222551()2333b b b b =+-⨯⨯， 解得：6,10b c ==，……………………………………………………………………………9分由1cos 3A =得，sin A =BC 边上的高为h ，则11sin 22bc A ah ⨯=⨯，即610⨯=，所以h =．…………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）当2n ≥时，211nn n n S S S S --=-，………………………………………………2分11n n n n S S S S ---=，即1111n n S S --=，……………………………………………………………4分 从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1构成以1为首项，1为公差的等差数列．……………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，111(1)1n n n S S =+-⨯=，1n S n∴=．………………………………7分 则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭．…………………………………………9分故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111137111221224n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭．……………………………………11分 又当1n =时，21714S =<满足题意，故2221274n S S S +++<．……………………………12分 法二：则当2n ≥时22211111n S n n n n n=<=---， 那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<++-+-+-=-< ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<，当时，21714S =<满足题意， 19． 解：（Ⅰ）因为//AB CD ,所以11,23AM AB AM MC CD AC ===即．…………………………1分因为//MN PCD 平面，MN ⊂平面PAC ，平面PAC平面PCD PC =，所以//MN PC ． ……………………………………………………………………………………3分 所以13AN AM AP AC ==，即13m =．…………………………………………………………………5分（Ⅱ）因为,60AB AD BAD =∠=︒,可知ABD ∆为等边三角形，所以BD AD PD ==，又BP ，故222BP PD DB =+，所有PD DB ⊥． 由已知,PD AD ADBD D ⊥=，所以PD ⊥平面ABCD ，如图，以D 为坐标原点，DA DP ,的方向为,x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，…………6分设1AB =，则1,2AB AD DP CD ====，所以(1,0,0)A ,)3,0,1(),0,1,0(),23,0,21(-C P B ， 则13(,1,),(1,2PBPC =-=--，(1,1,0)PA =- 设平面PBC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则有1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111120,0.x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =，则112,y z =1(1n =， (8)分设平面APC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =,则有2200n PA n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222200x y x y -=⎧⎪⎨--=⎪⎩令22x y =，则22z =，即2(3,n =．…10分所以121212cos ,422n n n n nn <>===⋅11分设二面角A PC B --的平面角为θ，则cos 4θ=．………………………………………12分20．解：（Ⅰ）设点()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y ，由22x y =两边同时对x 求导，y x '=，则抛物线在点A 处的切线方程为11111()y x x x y x x y =-+=-，……………………1分又该切线方程经过点()00,P x y ，则0101y xx y =-，……………………………………………2分同理有0202y x x y =-，故()()1122,,,A x y B x y 均在直线00y x x y =-上，又002y x =-，则直线AB 的方程为0020x x y x --+=，……………………………………4分整理得()0120x x y --+=，恒过定点()1,2．…………………………………………………5分说明：第一问若设点()00,P x y ，然后直接写出切点线方程0022y y x x +=⋅，没有给出证明 即0020x x y x --+=，得出定点()1,2．给3分，扣2分．（Ⅱ）由题联立方程20022x y y x x x ⎧=⎨=-+⎩得2002240x x x x -+-=，120120224x x x x x x +=⎧⎨⋅=-⎩， (7)分12AB x=-==， (8)分点()00,2P x x-到直线AB：0020x x y x--+=的距离为d=， (9)分则PAB∆的面积12S AB d=⨯⨯==11分当1x=时，即()1,1P-时，PAB∆的面积最小值为12分21．解：（Ⅰ）法一：由题意()sin2f x x mx'=-+，()cos2f x x m''=-+………………1分①若21m≥，即12m≥时，()0f x''≥，则()f x'在[)0,+∞单调递增，则()(0)0f x f''≥=，则()f x在[)0,+∞单调递增，故()(0)0f x f≥=，满足题意； (3)分②若121m-<<，即1122m-<<时，存在x>，使得()0f x''=，且当()00,x x∈时，()0f x''<，则()f x'在()00,x上单调递减，则()(0)0f x f''<=，则()f x在()00,x单调递减，此时()(0)0f x f<=，舍去；…………………………………………………………………4分③若21m≤-，即12m≤-时，()0f x''<，则()f x'在[)0,+∞上单调递减，则()(0)0f x f''<=，则()f x在[)0,+∞单调递减，()(0)0f x f<=，舍去；故12m≥． (5)分法二：由题知(0)0f=，且()sin2f x x mx'=-+，(0)0f'=，()cos2f x x m''=-+ (1)分要使得()0f x≥在[)0,+∞上恒成立，则必须满足(0)0f''≥，即210m-≥，12m≥． (2)分 ① 若12m ≥时，()0f x ''≥，则()f x '在[)0,+∞单调递增，则()(0)0f x f ''≥=， 则()f x 在[)0,+∞单调递增，故()(0)0f x f ≥=，满足题意；……………………………3分 ② 若12m <时，存在()00,x x ∈时，()0f x ''<，则()f x '在()00,x 上单调递减，则()(0)0f x f ''<=，则()f x 在()00,x 单调递减，此时()(0)0f x f <=，舍去；故12m ≥．……………………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当12m ≥时，2()cos 10f x x mx =+-≥．取12m =， 则211cos 2x x -≥-，………………………………………………………………………………6分由（Ⅰ）()sin 0f x x x '=-+≥，则sin x x ≥，故211sin cos 2x x x x +-≥-， 要证2sin cos x e x x -≥-，只需证21212x e x x -≥+-．………………………………………8分令()2112x g x e x x =---，则()1x g x e x '=--，()1x g x e ''=-， 当0x ≥时，()0g x ''≥，则()g x '在[)0,+∞上单调递增，有()()00g x g ''≥=， 故()g x 在[)0,+∞单调递增，故()()00g x g ≥=， 故21102x e x x ---≥，即有21212x e x x -≥+-，得证．………………………………………12分22. 解：（Ⅰ）以极点为圆心的单位圆为1ρ=与2sin 2ρθ=联立，得2sin21θ=，……2分所以1sin 22θ=，因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12πθ=或512π，则极坐标为1,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭和51,12π⎛⎫⎪⎝⎭……5分（Ⅱ）曲线sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭的直角坐标方程为4x+y=，……………………………………7分玫瑰线2sin 2ρθ=极径的最大值为2，且可于2,4N π⎛⎫⎪⎝⎭取得， 连接O ，2,4N π⎛⎫⎪⎝⎭，与4x y +=垂直且交于点4M π⎛⎫⎪⎝⎭．所以距离的最小值为2-，此时4M π⎛⎫⎪⎝⎭，2,4N π⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………10分23.解：（Ⅰ）当1a =时，()11f x x x =-++，则()2 ,1,2, 11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-<⎨⎪⎩≤≥…………………2分当1x <-时，由()f x ≤4得，22x --≤4，解得21x -<-≤； 当11x -<≤时，()f x ≤4恒成立；当1x ≥时，由()f x ≤4得，2x ≤4，解得12x ≤≤．所以()f x ≤4的解集为{}22x x -≤≤．……………………………………………………5分 （Ⅱ）对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，得()()12f x g x >成立，所以()()min min f x g x >．……6分因为()2223120a a a -+=-+>，所以223a a >-，且()()222223232323x a x a x a x a a a a a -+-+---+=-+=-+≥， ① 当223a x a -≤≤时，①式等号成立，即()2min 23f x a a =-+．…………………………8分又因为2222444244a a a x ax x ⎛⎫++=++-- ⎪⎝⎭≥， ②当2ax =-时，②式等号成立，即()2min 44a g x =-．………………………………………9分所以222344aa a-+>-，即a的取值范围为()2,2,5⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭．……………………10分。