对“方程的根与函数的零点”教学实录的思考
《方程的根与函数的零点》反思25
《方程的根与函数的零点》反思听了两节同题课“方程的根与函数的零点”，这节课可以分为三个大的环节，第一，是形成“函数的零点”的概念；第二，是发现“函数零点的存在性”的判断方法；第三，是新知识的初步应用。
本文先就第一个环节进行反思。
“函数的零点”这个概念体现了用联系的观点、整体地看问题，通过转化解决问题，蕴涵了数形结合、化归的数学思想。
因此在概念的教学中不但要注重知识的学习，而且要把它作为一个载体，通过概念的获得培养学生的抽象概括能力和其它能力。
首先，是概念的获得。
教材中设置了一个思考题：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？并通过研究具体的二次函数与相应的二次方程之间的相应问题，达到解决这个问题的目的，将所得结论推广到一般，获得函数零点的定义。
教材设置这个问题的意图在于把教学的起点置于学生的已有知识经验中，找到新旧知识之间的联系，建立所学知识与学生已有知识经验之间的联系。
教材中解决问题的方法体现了从特殊到一般的认知规律。
在实际教学中，两位老师都注意到了这两点，并予以充分重视。
在乙老师的课中，用1’30’’的时间复习方程3x2+6x-1=0的根的求法，通过变式：求方程3x5+6x-1=0的根，导入新课，从熟悉的问题情景中引出用已有办法不能解决的问题，激发了学生的兴趣。
之后用4分钟的时间与学生一起共同探讨方程x2-2x-3=0的根，和函数y= x2-2x-3的图象与x轴的交点的求法，并给出“函数的零点”这个名字。
接着用2分钟的时间解决问题：函数y= x2-2x+1和函数y= x3的零点分别是什么？最后由教师给出定义。
共用时7’30”。
在甲老师的课中，首先用了7分钟的时间师生共同研究一般的一元二次方程与相应函数与x轴的交点及其坐标的关系，并获得一般结论；之后用5分钟时间借助几何画板验证得到的结论对于函数y=2x-4，y= (x2-1)(x+2)(2 x-6)，y= 2x-8和y=ln(x-2)是否成立。
方程的根与函数的零点》教学设计及教学反思
方程的根与函数的零点》教学设计及教学反思通过本节课的研究，学生应该能够：1）理解函数的零点概念，掌握函数零点存在性的判定方法；2）理解一元二次方程与相应二次函数的内在联系，掌握判断一元二次方程根的存在性和个数的方法；3）掌握函数零点与方程的根的关系，能够通过建立函数模型解决实际问题；4）培养学生的数形结合思想，提高学生的归纳思维能力；5）通过本节课的研究，为学好中学数学打下一个良好基础。
三、教学方法设计本节课的教学方法主要采用启发式教学法，通过引导学生发现问题、思考问题、解决问题的过程，培养学生的数学思维能力和创新意识。
在教学中，尽可能采用多媒体教学手段，如演示、动画、视频等，让学生通过直观感受深入理解抽象的概念和方法。
同时，注重引导学生自主探究，通过小组合作、讨论、展示等方式，激发学生的研究兴趣和主动性。
四、教学过程设计1、引入新知识通过引入一元二次方程的实例，引导学生思考如何判断其根的存在性和个数，进而引入函数的零点概念，让学生理解函数零点与方程根的联系。
2、探究发现通过二次函数的图象研究，让学生发现一元二次方程的根与相应二次函数的零点的联系，并由特殊到一般，推广到一般方程与相应函数的情形。
同时，通过实例演示和小组讨论，让学生深入理解函数零点存在性的判定方法。
3、归纳总结通过引导学生观察、分析、归纳，总结出函数零点与方程根的关系，并通过实例演示和小组合作，让学生掌握建立函数模型解决实际问题的方法。
4、拓展应用通过引导学生思考和探究，拓展应用函数零点与方程根的关系，解决实际问题，如利用二分法解方程、求最值等问题。
五、教学反思本节课通过启发式教学法，引导学生发现问题、思考问题、解决问题的过程，培养了学生的数学思维能力和创新意识。
同时，注重引导学生自主探究，通过小组合作、讨论、展示等方式，激发了学生的研究兴趣和主动性。
但在教学中，需要注意引导学生理解抽象概念和方法的困难，需要通过多媒体教学手段和具体实例演示等方式，让学生通过直观感受深入理解抽象的概念和方法。
方程的根与函数的零点反思
“方程的根与函数的零点”反思作者：薛红霞 文章来源：rm 点击数：3170 更新时间：2008-7-31“方程的根与函数的零点”反思薛红霞在“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题组第五次会议上，听了两节同题课“方程的根与函数的零点”，这节课可以分为三个大的环节，第一，是形成“函数的零点”的概念；第二，是发现“函数零点的存在性”的判断方法；第三，是新知识的初步应用。
本文先就第一个环节进行反思。
“函数的零点”这个概念体现了用联系的观点、整体地看问题，通过转化解决问题，蕴涵了数形结合、化归的数学思想。
因此在概念的教学中不但要注重知识的学习，而且要把它作为一个载体，通过概念的获得培养学生的抽象概括能力和其它能力。
首先，是概念的获得。
教材中设置了一个思考题：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根与二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象有什么关系？并通过研究具体的二次函数与相应的二次方程之间的相应问题，达到解决这个问题的目的，将所得结论推广到一般，获得函数零点的定义。
教材设置这个问题的意图在于把教学的起点置于学生的已有知识经验中，找到新旧知识之间的联系，建立所学知识与学生已有知识经验之间的联系。
教材中解决问题的方法体现了从特殊到一般的认知规律。
在实际教学中，两位老师都注意到了这两点，并予以充分重视。
在王志江老师的课中，用1’30’’的时间复习方程3x 2+6x -1=0的根的求法，通过变式：求方程3x 5+6x -1=0的根，导入新课，从熟悉的问题情景中引出用已有办法不能解决的问题，激发了学生的兴趣。
之后用4分钟的时间与学生一起共同探讨方程x 2-2x -3=0的根，和函数y= x 2-2x -3的图象与x 轴的交点的求法，并给出“函数的零点”这个名字。
接着用2分钟的时间解决问题：函数y= x 2-2x +1和函数y= x 3的零点分别是什么？最后由教师给出定义。
共用时7’30”。
方程的与函数的零点的教学反思
方程的根与函数的零点的教学反思
教学时要时刻反省自己的教学行为，以备在以后的教学中少一些遗憾。
比如“方程的根与函数的零点”这节课的教学有如下的体会。
教学时要善于抓住本课的切入点，以点带面，一面带片。
在讲“方程的根与函数的零点”这节内容时，按照教科书的次序讲解，一会是方程，一会是函数，一会又是不等式，一会又是函数的图象等等，最后引出函数的零点的概念。
这样讲似乎有冲淡主题的嫌疑，学生会有乱的感觉，找不到北的感觉，剪不断，理还乱，好多知识碰撞在一起，引起了学生认知上的冲突，理不出个头绪。
知识不条理，理解上就不深刻。
之所以引起这样的效果，是因为教学中没有抓住函数的应用——用函数的观点去观察方程的根这一主线。
为此，在再讲这节课时，我是这样处理的：首先开门见山地给出函数零点的概念：“对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
”学生会想：学习函数的零点有什么用呢？紧接着问学生：“我们以前学过的一元一次函数及一元二次函数在什么情况下有零点？这些函数的零点与相应的方程的根有什么联系？函数零点附近的函数值有什么特点？能把研究这些具体函数所得的结论，推广到一般形式的函数y=f(x)上吗？”随着对学生质疑的解答，学生自然得出结论：一元方程的根就是相应函数的图象与x轴的交点的横坐标，在零点附近左右的函数值互异。
这样讲，由于教学的切入点抓住了新旧知识联系的关键点，学生不仅掌握了新知识，又体验到了旧知识与新知识之间的联系，学会了用函数的观点处理问题的方法。
高中数学_【课堂实录】方程的根与函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思
多媒体，教材五、教师导学过程（一）新知探究如图为函数()f x在[]4,4-上的图象：问题1：根据函数的图象，你能否得出方程()0f x=的实根的个数？问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？1、函数的零点对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
引申：三个等价问题：函数f(x)有零点⇔方程f(x)=0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点练习1.下列图象表示的函数中没有零点的是：( A )该问题由学生自主探究完成.体现数学中的转化思想练习1考察函数零点等价于函数图象与x轴交点横坐标练习2.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.2、函数零点存在性定理 （1）定理探究思考1：观察下列甲、乙两组画面，请你判断一下小王从A 地到B 地是否一定要渡过这条小河？思考2：练习2考察函数零点等价于对应方程的根.()()()()()()()()2331;224;323;41log .xx f x f x x x xf x f x x +==++=-=-()()0f a f b ⋅<将小河抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。
请问当A、B与x轴有怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？A、B两点在x轴的两侧思考3：A、B两点在x轴的两侧，如何用数学符号（式子）来表示？()()0f a f b<思考4：A，B间的函数图象连续不断,且()()0f a f b<，则函数图象在（a，b）内与x轴一定有交点吗？即函数在（a，b）内一定有零点吗？（2）定理生成函数零点的存在性定理:如果函数()y f x=在区间[],a b上是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b<，那么，函数()y f x=在区间(),a b内有零点，即存在(),c a b∈,使得()0f c=，这个c 也就是方程的根。
思考：判断下列结论是否成立.（3）例题解析结合思考问题引导学生给出定理总结：定理使用中注意的问题方法一：零点存在性定理练习：函数的零点所在的一个区间是（B ）．A （-2，-1）B（-1，0) C ( 0,1 ) D (1,2)变式训练：判断函数()23xf x x=+的零点个数．由于函数f(x)在R上单调递增，且f(-1)f(0)<0,故只有一个零点.方法二：图象法()23xf x x=+通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。
[精品]方程的根与函数的零点 教学反思(区级公开课 ).doc
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“方程的根与函数的零点”教学反思光明中学王国学一、关于课题的引入备课时我曾经想到用“方程1 nx+2x—6 = 0是否有实根？为什么？”来引入课题，在学生对上述问题一筹莫展吋，再回到一元二次方程上，引导学生利用函数的图象和性质来研究方程的根，一开始就让学生认识到学习函数的零点的必要性。
但后来考虑到上课地点不再是学生熟悉的课室，而是换了地点，学生难免紧张，拿“方程1 nx+2x-6 = 0是否有实根？为什么？”这个他们没办法解决的问题，可能会加剧他们的紧张，对后面的教学不利。
而且利用学生提前到的时间解他们熟悉的方程，既能缓解学生的紧张情绪，又为新课做好了准备。
课后看来这一点调整还是有必要也是很好的。
二、关于“图象在［a, b］上连续不断”“函数的图象在［日，方］上连续不断”是零点定理的第一个条件，根据以往的教学经验，学生在做题FI的吋候，大部分遇到的是不熟悉其图象的函数，如/(x) = 3r5+6x-l, /(x) = 2v+3x等，自然就会疑惑：“该函数的图象是连续不断的吗？”很显然，我们无法从连续的角度给学生讲解，那么除了分段函数等比较特别的情况，一般的，我们可以认为，尸f (力在［臼，方］上每一点都有定义，则尸f (x) 的图象在［臼，方］上连续不断。
这样从定义域的角度来判别“y=f(x)的图象在［臼，方］上是否连续不断”，虽然不太严谨，但却解决了学生的疑惑。
课后，在评课的时候，部分老师提到了连续的定义，我看了录像，我当时是这么讲的“在高屮阶段，y=f(x)的图象在［日，方］上连续不断,我们可以理解为，在［日,方］上有定义，即在［日，b\ 上不存在某一点没定义，则图象在5,方］上连续不断”，我板书的吋候比较简单，第一个条件简单写成了“尸/'(力在［臼，切上连续”，可能是这一点引起了老师们的思考。
站在学生的角度来看，他们没学过“连续”，是不至于引起混淆的。
当然，在高屮阶段，除了在辨析定理的时候，可能会遇到图象在［臼，方］上间断， -•般情况下，我们遇到的都是基本初等函数或者由基本初等函数叠加而成的函数，在其定义域的一个子区间2,如丄，图象显然是连续不问断的。
《方程的根与函数的零点》教学设计与反思(经典公开课教案)
《方程的根与函数的零点》教学设计与反思(经典公开课教案)课题教材分析基本信息人教版A版必修1第三章第一节《方程的根与函数的零点》本节是在研究了前两章函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与对应方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续研究的算法提供基础。
因此本节内容具有承上启下的作用，非常重要。
1．结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2．零点的存在性定理的探究。
2．本节核心内容的功能和价值：初步了解函数与方程的思想。
学情分析1．学生掌握了基本初等函数，对函数有较好的掌握，对新的知识有渴求，同时为函数的应用提供一个基础。
2．学生认知发展分析：学生对一元二次方程的根有较好的认识，但学生对于函数零点还是未知，而且函数与方程的思想还没有接触。
3．学生认知障碍点：方程的根与函数零点的关系，零点存在性定理的探究。
教学目标知识与技能：了解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程间的关系，掌握利用函数性质判定零点存在的条件。
过程与方法：零点存在性的探索、发现、及判定。
情感、态度、代价观：在函数与方程的接洽中体验数学中的数形联合头脑，转化头脑和近似头脑的意义和代价，开展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。
教学重点和难点重点：零点的概念及存在性的断定，重在数形联合的几何方法。
难点：零点的确定．教学过程（教学过程的表述不必详细到将教师、学生的所有对话、活动逐字记录，但是应该把主要教学环节、教师活动、学生活动、设计意图很清楚地再现。
）教学环节教师活动教师：设置思考，指导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念．思考：一元二次方程ax bx c(a)的根与二次函数y ax bx c(a)的图像有什么关系？先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：2预设学生行为设计企图2学生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．情境设置应符合认知规律：从具体到抽象，从特殊到普通，从学生熟的经验和有兴趣的问题开始。
“方程的根与函数的零点”教学与反思
“方程的根与函数的零点”教学与反思“方程的根与函数的零点”是高中课程新增内容，从表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。
通过对这一内容的两次说课经历、课堂教学实践的体验以及课后与学生的交流有所感悟。
以下结合自己的教学实践，谈谈体会和感悟。
一、创设情景，揭示课题教育家苏霍姆林斯基曾说过，在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是个发现者、研究者、探索者。
为此，在揭示课题前我设置了三个问题供学生思考探究：教师经历着新课程的洗礼，教学过程也发生了许多变化，重视“问题情境”就是其中的变化之一。
数学问题是学生个体与已有知识产生矛盾冲突，还不能理解或者正确解答的数学结构，问题的障碍性不会影响学生探求问题解决的兴趣；“情境”即数学知识产生或应用的具体环境，也可以是抽象的数学环境。
为了激发学生的学习兴趣又能自然引出新课，如何创设“函数零点”的“问题情境”呢?我通过认真思考和多次尝试，还是从学生已有的知识出发，回忆初中已经学习过的二次函数的图象与一元二次方程的关系引入函数零点的概念，所以我选择“问题1”.学生通过小组讨论，找出多种解决方案，我引导学生借助函数的图象来解决这个问题，这一思路不但复习了二次函数的图象与一元二次方程的关系，而且还可以使学生较容易地将前后所学知识联系起来，弄清知识之间的内在关系。
紧接着抛出“问题2”，目的是得出结论：二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实根。
“问题3”又将结论推广到一般：函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实根。
从而水到渠成地向学生展示本节的课题。
不仅让学生认识到方程的根与函数图象的关系，同时也让学生感受到学习新知识的必要性。
二、讨论探究，揭示定理高中数学新课程强调：要倡导积极主动，勇于探索的学习方式，要使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
数学来源于生活也服务于生活，在揭示“零点存在性定理”的教学环节中，从现实生活中入手，设计了三个层层递进的设问：1.如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间、一个镜头。
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基于量表的课堂观察----- 走向专业听评课
-------对“方程的根与函数的零点”教学实录的思考
基于量表的课堂观察从陌生----不知所措----粗浅了解-----排斥（不还是要回归到结论上）----课题带动研究-----再次尝试(对着录像设计量表)，然后发现带着目的地去观察一节课，使问题聚焦，观察仔细，如切如磋，如琢如磨。
这好比看春晚小品，每次会发现原来这里还有精心设计的“包袱”，作品还是那个作品，但笑点又被“书读百遍，其意自现”了。
选择了两个观察点，设计量表，促使我反复观看了赵圣涛老师的《方程的根与函数的零点》课堂实录。
第一遍看完后写下了如下的观后感“以熟悉的方程，用数形结合的思想解释，对应练习也从数和形两方面出题，考虑周到。
给学生“小马过河”这个载体，渗透建模思想，由学生主动探讨零点存在性定理，从f(a)f(b)<0,补充到连续，再由问题引领，由浅入深，不满足
定理的函数是否存在零点，能否判断零点个数，想判断唯一的零点还需要有什么条件，录像界面十分不清晰，尤其平面上的字不清楚，声音小，杂音大，那么多界面还不如好好拍一下屏幕，另外对定理中的闭区间，开区间也可以加以解释。
开始时问五次方程有没有公式，改成你知道求根公式么？更严谨。
”
第二遍观课，发现想从教师设计的问题入手观察，于是设置了两个观察点
观察点一：课堂提问及理答得有效性。
观察点二：关键问题的思考价值。
第三遍到第n(n≥3)遍观课，是为了将设计的量表统计好，
主要问题记录教师的评价指
向
性
问题
类型
教师
候答
时间
活动
及回
答方
式
教师
重
复时
间
复习问题1：下列方程有实根么?若有，
是多少？(1)
(2)
追问：你是怎么判断的？
怎样求出的呢？
(2)、（3）有没有根？
1
A
D
C D A
(3)
追问1：是否适用于一般的一元二次方程和函数？
1B C B B
追问2：图象与x 轴的交
点是怎么算出来的？1B B D B
追问3：在函数里称之为什么？
0D A A A
引
入问题2：函数与方程到底有怎样的联系呢?(一元二次方程与一元二次函数零点
的联系
追问4：零点是点么？
它是个点的什么呢？
1B A A 、D
B
问题3：
练习：解题求函数的零点（ ）
A.(1,0)
B.1
C.(1,0),(3,0)
D.1,3
观察图像，求函数的零点.
追问1：通过两个题总结求函数零点方法
10
F
C
C 、E
B
问题4：函数的零点、方程的根、函
数图像与x 轴的交点关系是怎样的？
1BD A B A
问题5：任意函数都有零点吗？请举例说明
0BD C D B
新
授问题6：怎样判断一个函数是否有零点呢？请问那一幅图可以确定小马一定过河了呢？为什么？
0D B D B
问题7：结合上述问题，若函数y=f(x)在区间[[a,b]上存在零点，则函数y=f(x)需要满足哪些条件？
归纳学生问题，衔接打开投影仪用了8"并提出质疑用时18",可
缩减
B
C 讨论1m17s 展示44"
D
C 18s
问题8：这个小组发现函数存在零点必需要f(a)f(b)<0么？
教师归纳用时40"定理展示用时40"
0C C C14s D
问题9：利用定理，判断下列函数在相应
区间内是否存在零点.（1）
肯定答案1B C C16s A
追问：那它满足定理么？不满足定理也存在零点，
我们进一步研究定理（质
疑过渡55"）
CDE
C
E 解
题50s
下面我们结合小马过河的故事，进一步理解零点存在性定理
问题10：如图1，小马原来在河的北岸，现在在南岸，则小马一定过河了吗？过了几次河？
B
小组合作 4'34"
C1m C 20s
问题11：如图2：小马原来在河的北岸，现在还在北岸，则小马一定没有过河吗？
1B E C1m
问题12：如图3，已知小马已经过河了，则小马的前后位置一定会分布在河两岸吗？
1
B
E
C1m
E 61s
例题(解题20"）
追问：有几个零点？为什
么只有一个？怎么判断出是增函数的？如何判断零点的唯一性？
1
E
E
E1m7s
没有函数图象如何判断函数零点唯一性？
1BE E F C
检测1E E E4m3
0sB
4m30s
小结1BF E D A
①“1”学生能理解的问题，“0”学生不理解的问题
②问题类型：A.复习性提问，B.启发性提问，C.生成性提问，D.过渡性提问，E.检测性提问，F.总结性提问
③教师候答时间：A.3秒内，B.4---10秒，C.11---30秒，D .31----60秒，E不少于60秒
④学生活动及回答方式：A.附和，B齐答都正确，C.小组讨论并1人展示，D独答，E.解题后独答，F.板书
并讲解
⑤教师重复时间：A.归纳无重复，B.重复时间4---10秒，C.11---30秒，D .31----60秒，E不少于60秒.
结论：（1）整节课赵老师提出了26个问题。
从问题的指向性上，23个问题指向明确，针对性强。
有3个问题问题表达方式不当，如一元五次方程和超越方程是否有实数根，学生
齐答“没有”，这其实是一种猜测，或者是顺应着老师的话的回答。
问题5这个小组发现
函数存在零点需要f(a)f(b)<0对不对？学生一时语塞，好在教师有及时更改。
问题的表述争取星宇指向性对于学生理解题意很重要。
（2）从提问和理答得类型来看，本节课主要以启发性问题为主，师生对话时间约占课堂
时间27%，而其中有一半时间教师重复学生的回答或归纳，在理答方面，学生回答清楚，
且同学都明白的地方，减少重复，给予简单的评价会使课堂更简洁、高效。
（3）在问题的设置上，赵老师函数零点的概念及存在性定理这个重点内容的理解，用问题串的形式进行教学，30.7%的问题是需要学生“抬抬脚，才能够得着”的深度理解的内容，1个复习性的，每个环节后分别跟有检测理解、应用型的问题，通过分析例题和习题中的
解答情况来了解和检测学生的掌握情况，每个环节间有启发过渡并存型的，这使得内容得
以顺畅地进行，他的教学做到了有的放矢，时间都花在了针对学生的疑点和盲点进行知道上，课堂教学效率很高。
值得商榷的几点：1.小马过河的例子和引出定理的填空，其实是一个问题，如果用小马过河，直接让学生将问题代数化，或直接用课本的引导方式，我能理解老师并用两者的意图，也知道直接将小马过河形式化的难度加大，但还是在思考如何更好地处理两者的关系。
2.函数在闭区间上连续不断，在开区间上存在零点，这一点是否需要具体说明。