2015-2016学年吉林省松原市油田高中高一(上)期末数学试卷及答案(文科)

2015-2016学年吉林省松原市油田高中高一（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知集合A={1，2，4，6}，B={1，3，4，5，7}．则A∩B等于（）A．{1，2，3，4，5，6，7} B．{1，4}C．{2，4}D．{2，5}2．（5.00分）函数y=的定义域是（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|x≤1}D．{x|0＜x≤1}3．（5.00分）点P（1，4，﹣3）与点Q（3，﹣2，5）的中点坐标是（）A．（4，2，2）B．（2，﹣1，2）C．（2，1，1）D．4，﹣1，2）4．（5.00分）在x轴和y轴上的截距分别为﹣2，3的直线方程是（）A．2x﹣3y﹣6=0 B．3x﹣2y﹣6=0 C．3x﹣2y+6=0 D．2x﹣3y+6=05．（5.00分）如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为cm），则它的体积是（）cm3．A．3 B．18 C．2+18 D．6．（5.00分）函数f（x）=x3+x﹣3的零点落在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（5.00分）三个数30.4，0.43，30.3的大小关系（）A．0.43＜30.3＜30.4B．0.43＜30.4＜30.3C．30.3＜30.4＜0.43D．30.3＜0.43＜30.48．（5.00分），则a的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（1，+∞）D．（0，）∪（，+∞）9．（5.00分）过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=010．（5.00分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若m∥α，n∥α，则m∥n；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中正确命题的序号是（）A．①和③B．②和③C．②和④D．①和④11．（5.00分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5.00分）已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．k≤2 B．﹣1＜k＜0 C．﹣2≤k＜﹣1 D．k≤﹣2二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为．14．（5.00分）函数y=log（x2﹣6x+17）的值域为．15．（5.00分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB与AD的中点，则异面直线MN与BD1所成角的余弦值是．16．（5.00分）已知圆O：x2+y2=5和点A（2，1）则过点A且和圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于．三、解答题（本题共6道小题，其中第17题10分，其余均为12分）17．（10.00分）已知集合A={x|x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．（1）若a=﹣2，求A∩∁R B；（2）若A⊆B，求a的取值范围．18．（12.00分）已知圆C经过点A（1，3），B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线l经过点（0，3），且l与圆C相切，求直线l的方程．19．（12.00分）已知函数f（x）=x2+bx+c．（1）若f（x）为偶函数，且f（1）=0．求函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值；（2）要使函数f（x）在区间[﹣1，3]上为单调函数，求b的取值范围．20．（12.00分）已知函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求实数k的值．（2）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集．21．（12.00分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）求证：面SAB⊥面SBC；（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．22．（12.00分）已知点P（2，0），及⊙C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；（2）设过点P的直线与⊙C交于A、B两点，当|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程．2015-2016学年吉林省松原市油田高中高一（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知集合A={1，2，4，6}，B={1，3，4，5，7}．则A∩B等于（）A．{1，2，3，4，5，6，7} B．{1，4}C．{2，4}D．{2，5}【解答】解：∵A={1，2，4，6}，B={1，3，4，5，7}，∴A∩B={1，4}．故选：B．2．（5.00分）函数y=的定义域是（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|x≤1}D．{x|0＜x≤1}【解答】解：由，解得0＜x≤1．即函数的定义域为{x|0＜x≤1}．故选：D．3．（5.00分）点P（1，4，﹣3）与点Q（3，﹣2，5）的中点坐标是（）A．（4，2，2）B．（2，﹣1，2）C．（2，1，1）D．4，﹣1，2）【解答】解：点P（1，4，﹣3）与点Q（3，﹣2，5）的中点坐标是（2，1，1）．故选：C．4．（5.00分）在x轴和y轴上的截距分别为﹣2，3的直线方程是（）A．2x﹣3y﹣6=0 B．3x﹣2y﹣6=0 C．3x﹣2y+6=0 D．2x﹣3y+6=0【解答】解：由直线的截距式方程得=1，即3x﹣2y+6=0，故选：C．5．（5.00分）如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为cm），则它的体积是（）cm3．A．3 B．18 C．2+18 D．【解答】解：该几何体是正三棱柱，由正视图知正三棱柱的高为3cm，底面三角形的高为cm．则底面边长为2，三棱柱的体积是V=2×=3（cm3）．故选：A．6．（5.00分）函数f（x）=x3+x﹣3的零点落在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：函数f（x）=x3+x﹣3在R上单调递增且连续，∵f（0）=0+0﹣3＜0，f（1）=1+1﹣3＜0，f（2）=8+2﹣3=7＞0，∴f（1）f（2）＜0，∴函数f（x）=x3+x﹣3的零点落在的区间是（1，2）；故选：B．7．（5.00分）三个数30.4，0.43，30.3的大小关系（）A．0.43＜30.3＜30.4B．0.43＜30.4＜30.3C．30.3＜30.4＜0.43D．30.3＜0.43＜30.4【解答】解：因为函数y=3x在R上是增函数，所以30.4＞30.3＞1，又0.43＜1，所以0.43＜30.3＜30.4，故选：A．8．（5.00分），则a的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（1，+∞）D．（0，）∪（，+∞）【解答】解：∵log a＜1=log a a，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a＜，综上可知a的取值是（0，）∪（1，+∞），故选：B．9．（5.00分）过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0【解答】解：∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0∴c=1∴所求直线方程为3x+2y﹣1=0．故选：A．10．（5.00分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若m∥α，n∥α，则m∥n；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中正确命题的序号是（）A．①和③B．②和③C．②和④D．①和④【解答】解：若m⊥α，n∥α，则m⊥n，正确若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交也可能异面，故②错误；α∥β，β∥γ，则α∥γ，因为m⊥α，所以m⊥γ，故③正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故④错误，故选：A．11．（5.00分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．12．（5.00分）已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．k≤2 B．﹣1＜k＜0 C．﹣2≤k＜﹣1 D．k≤﹣2【解答】解：由y=|f（x）|+k=0得|f（x）|=﹣k≥0，所以k≤0，作出函数y=|f （x）|的图象，由图象可知：要使y=﹣k与函数y=|f（x）|有三个交点，则有﹣k≥2，即k≤﹣2，故选：D．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为2．【解答】解：若a＞1，则指数函数y=a x在[0，1]上单调递增；则指数函数y=a x在[0，1]上的最小值与最大值分别为1和a，又∵指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a+1=3，解得a=2若0＜a＜1，则指数函数y=a x在[0，1]上单调递减；则指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为1和a，又∵指数函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a+1=3，解得a=2（舍去）故答案为：214．（5.00分）函数y=log（x2﹣6x+17）的值域为（﹣∞，﹣3] ．【解答】解：t=x2﹣6x+17=（x﹣3）2+8≥8在[8，+∞）上是减函数，所以y≤=﹣3，即原函数的值域为（﹣∞，﹣3]故答案为：（﹣∞，﹣3]15．（5.00分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB与AD的中点，则异面直线MN与BD1所成角的余弦值是．【解答】解：连接BD，∵MN∥BD，∴异面直线MN与BD1所成的角即为直线BD与BD1所成的角：∠D1BD∵在Rt△D1DB中，设D1D=1，则DB=，D1B=∴cos∠D1BD=∴异面直线MN与BD1所成的角的余弦值为故答案为：16．（5.00分）已知圆O：x2+y2=5和点A（2，1）则过点A且和圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于．【解答】解：由题意知，点A在圆上，则A为切点，∴OA的斜率k=，∴切线斜率为﹣2，则切线方程为：y﹣1=﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，∴所求面积S==．故答案为：．三、解答题（本题共6道小题，其中第17题10分，其余均为12分）17．（10.00分）已知集合A={x|x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．（1）若a=﹣2，求A∩∁R B；（2）若A⊆B，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣2时，集合A={x|x≤1}C R B={x|﹣1≤x≤5}（2分）∴A∩C R B={x|﹣1≤x≤1}（6分）（2）∵A={x|x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}由于A⊆B∴a+3＜﹣1∴a＜﹣4（6分）18．（12.00分）已知圆C经过点A（1，3），B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线l经过点（0，3），且l与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（1）因为圆心C在直线x﹣y+1=0上，所以设圆C的圆心C（a，a+1），半径为r（r＞0），所以圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2=r2．因为圆C经过点A（1，3），B（5，1），所以，，即，解得：．所以，圆C的方程为（x﹣5）2+（y﹣6）2=25；（2）由题意设直线l的方程为y=kx+3，或x=0当l的方程为x=0时，验证知l与圆C相切．当l的方程为y=kx+3，即kx﹣y+3=0时，圆心C到直线l的距离为d=，解得：．所以，l的方程为，即8x+15y﹣45=0．所以，直线l的方程为x=0，或8x+15y﹣45=0．19．（12.00分）已知函数f（x）=x2+bx+c．（1）若f（x）为偶函数，且f（1）=0．求函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值；（2）要使函数f（x）在区间[﹣1，3]上为单调函数，求b的取值范围．【解答】解：（1）f（x）为偶函数，即有x2﹣bx+c=x2+bx+c，可得b=0，即f（x）=x2+c．由f（1）=0，可得1+c=0，即c=﹣1．由f（x）=x2﹣1的对称轴为x=0，可得f（x）在[﹣1，0）递减，在（0，3]递增，可得f（x）的最小值为f（0）=﹣1；最大值为f（3）=8；（2）f（x）=x2+bx+c的对称轴为x=﹣，若f（x）在[﹣1，3]上为单调增函数，即有﹣≤﹣1，解得b≥2；若f（x）在[﹣1，3]上为单调减函数，即有﹣≥3，解得b≤﹣6．综上可得，b的取值范围是b≥2或b≤﹣6．20．（12.00分）已知函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求实数k的值．（2）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集．【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴k﹣1=0，∴k=1，经检验k=1符合题意．所以实数k的值为1．（2）∵f（1）＞0，∴，又a＞0且a≠1，∴a＞1．此时易知f（x）在R上单调递增．则原不等式化为f（x2+2x）＞f（4﹣x），∴x2+2x＞4﹣x，即x2+3x﹣4＞0，解得x＞1或x＜﹣4，∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣4}．21．（12.00分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）求证：面SAB⊥面SBC；（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．【解答】（1）解：∵底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V====．（2）证明：∵SA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴SA⊥BC，∵AB⊥BC，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB∵BC⊂面SBC∴面SAB⊥面SBC．（3）解：连接AC，∵SA⊥面ABCD，∴∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角．在三角形SCA中，∵SA=1，AC=，∴．…10分22．（12.00分）已知点P（2，0），及⊙C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；（2）设过点P的直线与⊙C交于A、B两点，当|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程．【解答】解：（1）由题意知，圆的标准方程为：（x﹣3）2+（y+2）2=9，①设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k=0又⊙C的圆心为（3，﹣2），r=3，由所以直线方程为即3x+4y﹣6=0；②当k不存在时，直线l的方程为x=2．综上，直线l的方程为3x+4y﹣6=0或x=2；（2）由弦心距，即|CP|=，设直线l的方程为y﹣0=k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k=0则圆心（3，﹣2）到直线l的距离d==，解得k=，所以直线l的方程为x﹣2y﹣2=0联立直线l与圆的方程得，消去x得5y2﹣4=0，则P的纵坐标为0，把y=0代入到直线l中得到x=2，则线段AB的中点P坐标为（2，0），所求圆的半径为：|AB|=2，故以线段AB为直径的圆的方程为：（x﹣2）2+y2=4．。