山东潍坊2015届高三3月一模考试数学(理)试题 (Word版含答案)

高三数学（理工农医类） 2015.03
本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合}1)2
1(|{≥=x
x M ，)}2lg(|{+==x y x N ，则N M 等于
A ．),0[+∞
B ．]0,2(-
C ．),2(+∞-
D ．),0[)2,(+∞--∞ 2. 设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，若i z 211-=，则
1
2
z z 的虚部为 A ．
53 B ．53- C ．54
D ．5
4- 3. 如果双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线与直线033=+-y x 平行，则双
曲线的离心率为
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
4. 已知函数)(x f y =的定义域为R x x ∈|{，且}0≠x ，且满足0)()(=-+x f x f ，当0>x 时，1ln )(+-=x x x f ，则函数)(x f y =的大致图像为
5.某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表： 偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计 20 10 30 则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为
A ．90%
B ．95%
C ．99%
D ．99.9% 附：参考公式和临界值表
P(2
K ≥k ）
0.050 0.010 0.001
由
)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
，
6. 下列结论中正确的是：
①命题：33),2,0(x x x >∈∀的否定是33),2,0(x x x ≤∈∃； ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ；
③若随机变量ξ服从正态分布),1(2δN ，且8.0)2(=<ξP ，则2.0)10(=<<ξP ； ④等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若34=a ，则217=S 。

A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
7. 如图在△ABC 中，点D 在AC 上，AB ⊥BD ，BC=33，BD=5，sin ∠ABC=5
3
2，则CD 的长为
A ．14
B ．4
C ．52
D ．5
8.某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆， 则该几何体的体积是 A ．
π32 B ．2π C ．π3
2
2 D ．π
9. 已知抛物线方程为x y 82
=，直线l 的方程为02=+-y x ，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到l 的距离为2d ，则21d d +的最小值为
A.232-
B. 22
C. 222-
D. 222+
10. 对于实数n m ,定义运算“⊕”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-+-=⊕)
()(1
22
2
n m m n
n n m m n m n m ，
设)1()12()(-⊕-=x x x f ，且关于x 的方程a x f =)(恰有三个互不相等的实数根
321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是
A.)0,321(-
B. )0,16
1
(- C. )321,0( D. )161,0(
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.6|1||3|≥-++x x 的解集是 ；
k
3.841 6.635 10.828
12. 运行右面的程序框图，若输入的x 的值在区间]3,2[-内，那么则输出的)(x f 的取值范围是 ；
13. 若x 变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤--≥-+k y y x y x 062302，且y x z 3+=的最小值为4，则
=k __________．
14. 在对于实数x ，][x 表示不超过的最大整数，观察下列等式： 3]3[]2[]1[=++ 10]8[]7[]6[]5[]4[=++++
21]15[]14[]13[]12[]11[]10[]9[=++++++
……
按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为 ；
15.如图，正方形ABCD 中，E 为AB 上一点，P 为以点A 为圆心，以AB 为半径的圆弧上一点。

若y x +=(0≠xy ），则以下说法正确的是： .（请将所有正确命题的序号填上）
①若点E 和A 重合，点P 和B 重合，则1,1=-=y x ； ②若点E 是线段AB 的中点，则点P 是圆弧
的中点；
③若点E 和B 重合，且点P 为靠近D 点的圆弧上的三等分点，则3=+y x ； ④若点E 和B 重合，点P 为
上任一点，则动点（y x ,）的轨迹为双曲线的一部分．
三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分） 已知函数)0(2sin 4)6
2sin()(2>+--
=ωωπ
ωx x x f ，其图像与x 轴相邻两个交点的距离为
2
π． （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；
（Ⅱ）若将)(x f 的图像向左平移)0(>m m 个长度单位得到函数)(x g 的图像恰好经过点（0,3
π
-
），求当m 取得最小值时，)(x g 在]127,
6[π
π-
上的单调递增区间．
17．（本小题满分12分）
如图，已知平行四边形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE ∥AF ，AB ⊥AF ，AB=BE=21AF ，BC=2AB ，∠CBA=4
π
，P 为DF
的中点。

（Ⅰ）求证：PE ∥平面ABCD ；
（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值 18．（本小题满分12分）
某校从参加某次数学能力测试的学生中抽出36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率分布直方
图如图所示，其中成绩分组区间是：)90,80[，)100,90[，)110,100
[，]120,110[． （Ⅰ）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列两个条件的概率：①有且仅有1名学生成绩不低于110分；②成绩在)100,90[内至多1名学生；
（Ⅱ）在成绩是)100,80[内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在)100,90[内人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望)(X E .
19．（本小题满分12分）
已知各项为正数的等比数列数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{n b }的通项公式
*)(1
N n n n n n b n ∈⎩⎨
⎧+=为奇数
为偶数
，若153+=b S ，4b 是2a 和4a 的等比中项．
（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）求数列{n n b a ⋅}的前n 项和为n T . 20．（本小题满分13分）
已知点M 是圆心为1C 的圆8)1(22=++y x 上的动点，点)0,1(2C ，若线段2MC 的中垂线交
1MC 于点N .
（Ⅰ）求动点N 的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线t kx y l +=:是圆12
2=+y x 的切线且l 与N 点轨迹交于不同的两点P 、Q ，
O 为坐标原点，若μ=⋅,且
5
4
32≤≤μ，求△OPQ 面积的取值范围. 21．（本小题满分14分） 已知函数x a x
x x f ln 1
)(--
=．
（Ⅰ）若)(x f 无极值点，求a 的取值范围； （Ⅱ）设a x x
x x g )(ln 1
)(-+=，当a 取（Ⅰ）中的最大值时，求)(x g 的最小值； （Ⅲ）证明不等式：
∑
=+∈+>+n
i n n i i N n 1
1
*)(122ln )12(21
．。