山东省无棣县第一实验学校八年级数学上册 14.3.2 公式法(第2课时)课堂练习 (新版)新人教版
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第14章14.3.2 公式法(第2课时)
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式: a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.解：(1)16x2+ 24x +9= (4x)2 + 2·4x·3 + 32= (4x + 3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+ 4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )（出示课件15）A . 11 B. 9 C. –11 D. –9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a –4b+5=0，求2a 2+4b –3的值.（出示课件23） 师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a –4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b –2)2=0∴ 2a 2+4b –3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )A ．a 2＋1B ．a 2–6a ＋9C ．x 2＋5yD ．x 2–5y2.把多项式4x 2y –4xy 2–x 3分解因式的结果是( )A ．4xy(x –y)–x 3B ．–x(x –2y)21020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ．5. 把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3) y2+2y+1–x2;6. 计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)1x2–2x＋3.3小聪和小明的解答过程如下：小聪: 小明:他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8. (1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．参考答案：1.B2.B3.14. ±45. 解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6. 解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17. 解: (1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2(2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28. 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。
山东省无棣县第一实验学校八年级数学上册 14.2.1 平方
平方差公式◆教学目标◆◆知识与技能：会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．◆过程与方法：. 经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．◆情感态度：通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．◆教学重点与难点◆◆重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解◆难点：平方差公式的应用．◆教学过程◆一、 学生动手，得到公式1. 计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y ）（x-5y ）2．提出问题： 观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？2． 特点：等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差3． 再试一试： 学生自己出相似的题目加以验证：4． 得到结论（a+b ）（a-b ）=a 2-ab+ab-b 2=a 2-b 2．即 （a+b ）（a-b ）=a 2-b 2 1：二、 熟悉公式1．下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？2：)32)(32(b a b a -+ )32)(32(b a b a -+- )32)(32(b a b a +-+- )32)(32(b a b a --- ))((c b a c b a +-++ ))((c b a c b a -+--1、 认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的集团是a ，变号的是b三、 运用公式1． 直接运用例：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a ）（2a-b ）（3）（-x+2y ）（-x-2y ）3：2． 简便计算例：（1）102×983： （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）3． 练习： P153 练习1，2)2)(2(x y y x +--- )25)(52(x x -+)25.0)(5.0)(5.0(2++-x x x 22)6()6(--+x x 4：100.5×99.5 99×101×10001四、课堂总结，发展潜能本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a ，•第二个数b ；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．五、布置作业，专题突破1. 课本14.2 1、2题．2.备用题1..证明：两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方2.求证：22)7()5(--+m m 一定是24的倍数◆板书设计◆§15．2．1 平方差公式一、探究、归纳规律──平方差公式文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差符号语言：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2二、1．用简便方法计算2．计算：三、应用、升华：◆课后思考◆。
山东省无棣县第一实验学校八年级数学上册 14.1.4 整式
14.1．4整式的乘法第2课时【教材训练·5分钟】1.多项式与多项式相乘（1）法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示：()()a b p q++=ap aq bp bq+++.2.判断训练（请在括号内打“√”或“×”）（1）2(1)(4)54x x x x++=++（√）（2）2(2)(3)6m m m m-+=++（×）（3）2(4)(5)920y y y y+-=+-（×）(4) 2(3)(6)918x x x x--=-+（√）【课堂达标·20分钟】训练点一：多项式与多项式相乘1．（2分）（13版人教八上百练百胜P75训练点1T1）2.（2分）（13版人教八上百练百胜P75训练点1T2）3. （2分）(x-4)(x＋8)＝x2＋mx＋n则m、n的值分别是( )（A）4，32 （B）4，-32 （C）-4，32 （D）-4，-32【解析】选B. (x-4)(x＋8)=x2+4x-32=x2＋mx＋n,所以m=4,n=-324．（6分）计算：（1）（x-3y）（2x+3y）；（2）（x+2）（x-3）-（x-3）（x+3）；（3）（m-2n）（-m-n）；（4）（x3-2）（x3+3）-（x2）3+ x2·x；【解析】（1）（x-3y）（2x+3y）=22239x xy y--；（2）（x+2）（x-3）-（x-3）（x+3）=226(9)3x x x x----=-+；（3）（m-2n）（-m-n=2222m mn mn n--++=222m mn n-++；（5）（x3-2）（x3+3）-（x2）3+x2·x=63636x x x x+--+=326x-；5. （4分）先化简222(1)(23)(1)(2)(21)(1)a a a a a a a+--+----+，再把你喜欢的一个非零数a的值代入求值．【解析】222(1)(23)(1)(2)(21)(1)a a a a a a a+--+----+ =246a a--当a=1时，原式=246a a--=﹣10．训练点二：多项式乘法在生活中的应用1. （2分）（13版人教八上百练百胜P75训练点2T1）2．（2分）为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长a 厘米，宽为43a 厘米的长方形形状，又精心在四周加上了宽2厘米的装饰彩框，那么小阳同学的这幅摄影作品照片占的面积是 平方厘米.【解析】(a ＋2)(43a ＋2)＝43a 2＋27a ＋4答案：43a 2＋27a ＋43．（2分）我校操场原来的长是2x 米，宽比长少10米，现在把操场的长与宽都增加了5米，则整个操场面积增加了__________m 2．【解析】根据题意得整个操场增加的面积为 (25)((2105)210x x x +-+-⋅=242525x x -- m 2答案：242525x x -- 4. （4分）（13版人教八上百练百胜P75训练点2T3）5.（4分）（13版人教八上百练百胜P75训练点2T4）【课后作业·30分钟】一、选择题（每小题4分，共12分） 1．(13版北师七下百练百胜P16能力提升T1)2. (13版北师七下百练百胜P16能力提升T2)3. （13版人教八上百练百胜P76能力提升T3）二、填空题（每小题4分，共12分）4. （13版人教八上百练百胜P76能力提升T6）5. 若多项式(x 2+mx +n )(x 2－3x +4)展开后不含x 3项和x 2项.m =，n = .【解析】(x 2+mx +n )(x 2－3x +4)＝x 4+(m －3)x 3+(n －3m +4)x 2+(4m －3n )x +4n ，∵展开后不含x 3项和x 2项，∴m －3＝0且n －3m +4＝0，解得m ＝3，n ＝5. 答案：3 56. (13版北师七下百练百胜P16能力提升T4)三.解答题（共26分） 7．（6分）（1）（2012·安徽中考）计算：（a +3)(a －1)+a (a －2) （2）（2012·邵阳中考）先化简，再求值：()()()+1-+1-1x x x x ，其中=2012x【解析】（1）（a +3)(a －1)+a (a －2)=a 2－a +3a －3+a2－2a =2a 2－3.（2）原式=22(1)x x x x x +--+-=22(1)x x x +-- =221x x x +-+=x +1.当x =2012时，原式=2012+1=2013. 8.（6分）(1)解方程：(32)(23)(65)(1)1x x x x --=+-- （2）求不等式(1)(2)(1)(1)x x x x -+--+－3（x +1）＜0的负整数解. 【解析】（1）原方程可化为：22664666551x x x x x x --+=-+--， ﹣13x +x =﹣6－5－1， ﹣12x =﹣12，x =1.（2）原不等式可化为：222133x x x x +--+--＜0，﹣2x ＜4，x ＞﹣2，∴原不等式的负整数解是﹣1.9.（6分）阅读下面这道题的解答过程，并回答问题. 在22()(231)x ax b x x ++--的积中，三次项的系数为﹣5，二次项的系数为﹣6，求a 、b 的值. 解：22()(231)x ax b x x ++-- =423223233x x ax ax bx -++-①=4322(32)(32)3x a x a b x bx -----② 根据对应系数相等，有325,326,a a b -=-⎧⎨-=-⎩解得4,9.a b =⎧⎨=⎩（1）上述解答过程是否正确？ ；（2）若不正确，从 步开始出现错误，其他步骤还有没有错误？ ； （3）写出正确的解答过程. 【解析】（1）不正确 （2）① 有（3）22()(231)x ax b x x ++--的展开式中含3x 的项为3332x ax -+=3(23)a x -，含2x 的项为22223x bx ax -+-=2(321)a b x -+-.又∵3x 项的系数为﹣5，2x 项的系数为﹣6，∴235,3216,a a b -=-⎧⎨-+-=-⎩解答1,4.a b =-⎧⎨=-⎩10.（8分）（能力拔高题）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(2)(3)x a x b +⋅+，由于甲抄错了第一个多项式中a 的符号，得到的结果为261110x x +-；由于乙漏抄了第一个多项式中x 的系数，得到的结果为22910x x -+. (1)你能知道式中a ，b 的值各是多少吗？ （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果. 【解析】（1）(2)(3)x a x b -+=26(32)x a b x ab ---=261110x x +-，(2)()x a x b ++=22(2)x a b x ab +++=22910x x -+，∴(32)11,29.a b a b --=⎧⎨+=-⎩解得5,2.a b =-⎧⎨=-⎩（2）将a =-5，b =-2代入(2)(3)x a x b +⋅+，得原式=(25)(32)x x --=261910.x x -+。
山东省无棣县第一实验学校八年级数学上册14.2.2完全平方公式课堂练习2(新版)新人教版
基础题一初显身手利用完全平方公式计算 79.8 2, 2 2 (99 + 0.8) B. (80 — 0.2)2 2 (100 — 20.2) D. (70 + 9.8)2 2(a + b ) = (a — b ) + _4ab _.利用完全平方公式计算： 972= (100 — 3)2= (100) 2 — 2X 100 X 3 + 32 = 9409.能力题一挑战自我4•下列运算中，错误的运算有 (D )2 2 2① (3x + y ) = 9x + y ,② (a — 2 b ) 2= a 2— 4b 2,③ (—m — n )2 =吊一2mn+ n 2,④(x — 2)—- 2x + 4,A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5•能整除代数式(n + 1)2— ( n — 1) 2(n 为正整数)的正整数是(A )A. 4B. 3C. 2D. 1 6.—个长方形的面积为 x — y[以它的长边为边长的正方形的面积为(C )2 2 2 2 小 A. x + y B. x + y - 2xyC. x 2+ y 2+ 2xyD.以上都不对7. 为了用乘法公式计算(2x — 3y — 4z )( 2 x — 3y + 4z )，甲乙丙丁四位同学分别对它们进行了变形，其中变 形正确的是(B )A. [2 x — (3y + 4z )][ 2 x — (3y — 4z )]B. [(2 x — 3y ) — 4z ][(2 x — 3y ) + 4z ]C. [(2 x — 4z ) — 3y ][(2 x + 4z ) — 3y ]D. [(2 x — 4z ) + 3y ][(2 x — 4z ) — 3y ]& 1.2345 2+ 0.7 6552+ 2.469 X 0.7655 = 4 .9.若(x — 1)2= 2，则代数式x 2— 2x + 5的值为__3_ .10 . 一个正方形的边长增加 5cm 后，它的面积增加了125cm ，则这个正方形的边长为 10cm 11. — x 2+ 6x + 2003 的最小值是 2012 .12 .计算：(1) (2x — y + 1) (2 x — y — 1); ⑵(a — 2)( a + 2) — (a — 1)2;2 (3) ( x — 2y ) — 2(2 x — y )( x + 2y ). 解：(1)原式=[(2x — y ) + 1][(2 x — y ) — 1] = (2 x — y )2— 1= 4x 2 — 4xy + y 2— 1;2 2 2 2 2 2 2 2(2)原式=a — 4— (a — 2a + 1) = a — 4— a + 2a — 1 = 2a — 5； (3)原式=x — 4xy + 4y — 2(2 x + 4xy — xy — 2y )2 2 2 2 2 2= x — 4xy + 4y — 4x — 8xy + 2xy + 4y =— 3x — 10xy + 8y .1 2 1 213 .当 a = 1, b =— 2 时，求(a + ^b ) — (a — ?b ) + 2a (a — b )的值.1 1 1 1解：原式=a 2 + ab + 4b 2 — (a 2 — ab + 4b 2) + 2a 2— 2ab = a 2 + ab + 4b 2 — a 2 + ab — 4b 2+ 2a 2—2ab = 2a 2.当 a = 1, b =— 2 时，上式=2X 12= 2 .2 2 2 214 .已知(a + b ) = 11, (a — b ) = 5,求 a + b 的值.解：因为(a + b )』=11, (a — b )2= 5，所以 a 2+ 2ab + b 2= 11, a 2—2ab + b 2= 5,所以 a 2+ 2ab + b 2 + a 2— 2ab + b 2= 16,所以 2a 2+ 2b 2 = 16,即 a 2 + b 2= 8 .15 . 一长方形场地内要修建一个正方形花坛，预计花坛边长比场地的长少 8米、宽少6米，且场地面积比 花坛面积大104平方米，则长方形长和宽.解：设正方形的边长为 x 米，则长方形的长为(X + 8)米，宽为(x + 6)米，根据题意思得：(x + 8)( x + 6) — x 2= 104, x 2 + 14x + 48 — x 2 = 104, 14x = 104— 48, 14x = 56, x = 4.答：长方形的长为 12 米，1. A. C.2.3. F 列变形最恰当的是宽为10米.2 216 .已知x —2x = 1,求(x —1)(3 x + 1) —( x + 1)的值.解：(x—1)(3 x+ 1) —(x + 1) 2= 3x2+ x —3x —1 —(x2+ 2x + 1) = 3x2+ x—3x —1 —x2—2x —1 = 2x2—4x—2= 2(x —2x) —2,因为x —2x= 1，所以，原式=2X 1—2 = 0 .拓展题一勇攀高峰17 .你能很快算出20052的值吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数都可以写成10n+5,即求(10n + 5) 2的值(n为自然数)•请你分析n= 1, n= 2, n= 3,……，从这些简单情况出发，探索其规律，并归纳猜想出结论(在下面空格内填上你的探索结果)(1)通过计算，探索规律如下：152= 225 可写成100X 1X (1 + 1) + 25,225 = 625 可写成100X 2X (2 + 1) + 25,235 = 1225 可写成100X 3X (3 + 1) + 25,245 = 2025 可写成100X 4X (4 + 1) + 25,275 = 5625可写成_____ ,285 = 7225可写成__________________ ,(2)按第(1)题探索出来的规律，归纳猜想得出(10 n+ 5) 2= __________________ ,⑶根据上面归纳猜想，计算得出20052= _____ .解：(1)100 X 7X (7 + 1) + 25; 100X 8X (8 + 1) + 25, (2)10O n(n+ 1) + 25, (3)100 X 200X (200 + 1) + 25 =4020000 + 25= 4020025.18.若一个三角形的三边a、b、c满足等式：a2+ b2+ Q2- ab—be—ac = 0,这个三角形是什么三角形？•解: a2+ b2+ e2—ab—be—ae= 0, 2a2+ 2b2+2c2—2ab—2be—2ae= 0, (a2—2ab + b2) + (a2—2ac+ e2) + (b2 —2be + e2) = 0, (a—b)2+ (a—e)2+ (b—e)2= 0,因为(a—b) 2>0, (a—e) 2>0, (b—e)2> 0,所以a—b= 0, a—e = 0, b—e = 0，即a = b= e,所以这个三角形是等边三角形.。
八年级数学上册14.3.2公式法(二)优质课教案
2、我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式
教师引导学生从运算顺序上分析运算得到特点。
先独立思考，后合作交流
学习完全平方式
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
（1）（2）
（3）（4）．
(5) x2＋2xy－y2
三、教学目标
（一）知识目标：
（1）掌握完全平方式的特点。
（2）用完全平方式分解因式。
（二）能力目标：
（1）会判定一个多项式是否是完全平方式。
（2）能熟练应用完全平方公式分解因式。
（3）能够综合运用提公因式公式法分解因式。
（三）情感目标：
通过综合应用提公因式法、公式法分解因式进一步培养学生的观察能力，整体思想，分析解决问题的能力。
四、教学流程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入:问题情境：
计算
20172-2×2017×2007+20072.
你能快速口算得到答案吗？
课件展示提出问题。
学生独立思考。
激发学生的学习兴趣引入课题
讲授探究新知
知识点一：完全平方式
1、从运算的角度看多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2.有什么特点？
教师讲解定义
学生回答记忆
学习定义
探究新知
例1分解因式：(1)16x2+24x+9
分析16x2=(4x)2,9=32,24x=2×4x·3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24x+9=(4x)2+ 2×4x·3+32
八年级数学人教版(上册)14.3.2《公式法》第2课时PPT课件
1 -2
1 -1 1×(-1)+1×(-2)=5
课堂小结
因
式 x2+(p+q)x+pq型 分 式子的因式分解
十字相乘法
解
1p
1q 1×q+1×p=q+p 一次项系数
拓展提升
1.（2020·内江）分解因式：b4-b2-12 .
分析：将b2看成一个整体a，则原式变形为(b2)2-b2-12，
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=_x_(_x_+_2_)(_x_+_3_)_.
分析：x3+5x2+6x =x(x2+5x+6) =x(x+2)(x+3).
12
13 1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=_2_(_x_-1_)_(_x_-2_)_.
分析：2x2-6x+4 =2(x2-3x+2) =2(x-1)(x-2)．
新知探究 知识点 运用x2+(p+q)x+pq分解因式
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关 系可以得出：
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
利用上式，可以将某些二次项系数为1的二次三项式进 行因式分解.
十字相乘法分解因式的步骤：
(1)分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左
新知探究 跟踪训练
例 分解因式： (1) x2-3x+2；
分析：(1) 1 -1
(2) x2+3x-10. (2) 1 -2
山东省无棣县第一实验学校八年级数学上册14.2.2完全平方公式教案(新版)新人教版
♦教学目标♦♦知识与技能：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算，形成推理能力.♦过程与方法：利用多项式与多项式的乘法以及幕的意义，推导出完全平方公式•掌握完全平方公式的计算方法.♦情感态度：培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性.♦教学重点与难点♦♦重点：完全平方公式的推导和应用.♦难点：完全平方公式的应用.♦教学过程♦一、创设情境，导入新知激趣辅垫：寓言故事：请一位学生讲一讲《滥竽充数》的寓言故事.学生活动：由一位学生上讲台讲《滥竽充数》的寓言故事，其他学生补充.教师活动：提出：你们从故事中学到了什么道理？(寓德于教)学生发言：比喻没有真才实学的人，混在行家里充数，或以次货充好货.教师引导：对！所以我们在以后的学习和工作中，千万别滥竽充数，一定要有真才实学.好•今天同学们喊得很响亮，我要看看有没有南郭先生，请同学们完成下面的几道题：2 2 2 2(1) (2x —3) ; (2) (x+y) ; (3) (m+2n) ; (4) (2x—4) •学生活动：先独立完成以上练习，再争取上讲台演练，2 2 2 2 2(1) (2x —3) =4x —12x+9; (2) (x+y) =x+2xy+y ;2 2 2 2 2(3) ( m+2r) =m+4m n+4n；(4) (2x—4) =4x —16x+16.教师活动：组织学生通过上面的运算结果中的每一项，观察、猜测它们的共同特点.学生活动：分四人小组，讨论.观察，探讨，发现规律如下：(1) ?右边第一项是左边第一项的平方，右边最后一项是左边第二项的平方，中间一项是它们两个乘积的2倍.(2)左边如果为“ +”号，右边全是“ +”号，左边如果为“—”号，它们两个乘积的2?倍就为“—”号，其余都为“ + ”号.教师提问：那我们就利用简单的( a+b) 2与(a —b) 2进行验证，请同学们利用多项式乘法以及幕的意义进行计算.学生活动：计算出(a+b) 2=a2+2ab+b2; (a—b) 2=a2—2ab+b2,完成后，？一位学生上讲台板演.教师活动：利用学生的板演内容，引出本节课的教学内容一一完全平方公式.归纳：完全平方公式：2 2 2(a+b) =a +2ab+b ;2 2 9(a —b) =a — 2 ab+b .语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.为了让学生直观理解公式，可做下面的拼图游戏.拼图游戏：解释：(1)现有图1所示的三种规格的硬纸片各若干张，？请你根据二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片，拼出一个正方形，？并探究所拼出的正方形的代数意义.图1 图2. . 2 2 2(2)你能根据图2,谈一谈(a —b) =a —2ab+b吗？课堂活动：第(1)题由小组合作，在互动中完成拼图游戏，比一比，哪个四人小组快？第(2 )题，可以借助多媒体课件，直观地演示面积的变化，帮助学生联想到2 2 2 2 2(a —b) =a — b —2b ( a—b) =a —2ab+b .二、范例学习，应用所学例1：运用完全平方公式计算：1 2(1) (—X—y) 2; (2) (2y —)3(1 )解法一：(一x —y) 2=[ (—x) + (—y) ] 2= (—x) 2+2 (—x) (—y) + (—y)2 c 2=x +2xy+y ;解法二：(—x—y) 2=[ —( x+y) ] 2= (x+y) 2=x2+2xy+y2.1 2 2 1 1 2 24 1(2 )解法一：(2y — ) = (2y) — 2 • 2y •+ ( ) =4y —y+ .3 3 3 3 91 2 1 2 2 1 1 2 2 4 1解法二：(2y —) =[2y+ ( ---- ) ] = ( 2y) +2 • 2y • ( -- ) + (——)=4y —y+ .3 3 3 3 3 9例2:运用乘法公式计算99992.解：三、随堂练习，巩固新知基础训练：a b 2 2 1 2(1) (?—匕)2；(2) (2xy+3) 2; (3) (—ab+ ) 2; (4) (7ab+2)3 2 3拓展训练：(1) (—2x—3) 2; (2) (2x+3) 2; (3) (2x —3) 2; (4) (3 —2x) 2.教师活动：在学生完成“拓展训练”之后，让学生观察一下结果，看看有什么规律.学生活动：分四人小组合作交流，寻找规律如下：把以上所有的题目都看作两个数的和的完全平方(把减去一个数看作加上一个负数) ，如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项都是正的，如果两个数具有不同的符号，？则它们乘积的2倍这一项就是负的.探研时空：2 2已知：x+y= —2, xy=3，求x +y .四、课堂总结，发展潜能本节课学习了( a ± b) 2=a2± 2ab+b2,全平万公式的结构特征.公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方.而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.两个乘法公式，在应用时，(1) ?要了解公式的结构和特征•让住每一个公式左右两边的形式特征，记准指数和系数的符号；(2)掌握公式的几何意义；(3)弄清公式的变化形式；(4) 注意公式在应用中的条件；(5)应灵活地应用公式来解题.五、布置作业，专题突破课本习题15. 2第3、4、8、9题.备用题：计算：50.01 249.9 2计算：(4x y)2 (3a2b 4ab2c)2(5x(3a b)( 3a b) (x -)2(x -)2x x教学反思：♦板书设计♦§ 14. 2.一、1.探究公式：(a± b) 2=a2± 2ab+b22.完全平方公式的几何意义：二、应用举例：利用完全平方公式计算：例2:运用乘法公式计算99992.♦课后思考♦)2= 10xy2 y42. 1完全平方公式例1 :运用完全平方公式计算：三、巩固练习(1) (- x—y) 2；(两种方法)1 2(2) (2y —) (两种方法)3。
人教版-数学-八年级上册-14.3.2《公式法(2)》 教案
14.3.2 公式法（2）一、教学目标（一）学习目标1.掌握完全平方公式的特点.2.会运用完全平方公式因式分解.3.能熟练运用公式法和提公因式法分解因式.（二）学习重点掌握完全平方公式的特点，运用完全平方公式分解因式.（三）学习难点灵活运用公式分解分解因式.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）完全平方式：形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式. 它的特点是：①完全平方式是一个二 次三 项式；②首末两项是两个数（或整式）的 平方 ，而且符号 相同 ，中间相是这两个数（或整式）的 积的2倍 ，符号正负均可.（2）用完全平方公式分解因式：文字语言：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.符号语言：2222()a ab b a b ++=+；2222()a ab b a b -+=-.（3）公式法：把乘法公式的等号两边 互换位置 ，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.预习自测（1）下列多项式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．224a b +B ．221a a --C ．22a ab b ++D ．2244a ab b ++【知识点】完全平方公式【思路点拨】判断一个多项式是否能用平方差公式因式分解的关键是该多项式是否为完全平方式，它应具有以下特点：①完全平方式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，中间项是这两个数（或整式）的积的2倍.【解题过程】A只有两项，不能用完全平方公式因式分解；B首末两项的符号不同，不能用完全平方公式因式分解；C的中间项不是A.b的2倍，不能用完全平方公式因式分解；D能.故选D.【答案】D（2）把多项式22496a ab b-+因式分解正确的是（）A．2(9)a b-B．2(3)a b-C．22(3)a b-D．22(3)a b+【知识点】用完全平方公式分解因式．【思路点拨】用完全平方公式分解因式时，关键是识别该多项式是否符合完全平方公式的特点，并能确定是哪两个数（或整式）的和（或差）的平方.【解题过程】22422222296(3)23()(3)a ab b a a b b a b-+=-+=-，选项C正确.【答案】C（3）若多项式22x kxy y++是完全平方式，则k的值为.【知识点】完全平方式．【思路点拨】用完全平方式的特点来分析该多项式，关键是注意中间项应是首末积的2倍，同时它的符号正负均可.【解题过程】∵22x kxy y++是完全平方式，∴22222x kxy y x xy y++=±+，则2k=±.【答案】±2（4）因式分解：①21236x x-+；②2244x y xy+-【知识点】用完全平方公式分解因式．【思路点拨】用完全平方公式分解因式时，关键是识别该多项式是否符合完全平方公式的特点，并能确定是哪两个数（或整式）的和（或差）的平方.公式中三项的位置是可以调换的.【解题过程】①2222 1236266(6)x x x x x-+=-+=-；②22222 44(2)22(2) x y xy x x y y x y+-=-+=-.【答案】①2(6)x-；②2(2)x y-.(二)课堂设计1.知识回顾把下列各式因式分解：（1）22936x y xy xy +-； （2）3a b ab -.学生独立完成后回答：（1）229363(32)x y xy xy xy x y +-=+-. （2）32(1)(1)(1)a b ab ab a ab a a -=-=+- 做后强调：分解因式时有时要考虑综合运用各种方法，一般先观察是否有公因式可提，再考虑能否用平方差公式分解；分解因式要彻底，一直到不能分解为止.2.问题探究探究一 探索因式分解的方法——完全平方公式.●活动① 类比学习问题1：上节课我们将乘法公式中的平方差公式等号两边互换位置得到因式分解的又一种方法：运用平方差公式分解因式，类似地，乘法还有完全平方公式，你能类比学习得到因式分解的新方法吗？学生回顾乘法中的完全平方公式：222()2a b a ab b +=++ ；222()2a b a ab b -=-+.互换位置可得：2222()a ab b a b ++=+；2222()a ab b a b -+=-问题2：类比平方差公式，你能用语言叙述该公式吗？文字语言：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 问题3：运用完全平方公式分解因式时，最后分解为和的完全平方还是差的完全平方，有谁来决定？ 学生思考后分小组讨论交流：由2倍项的符号来确定，若2倍项的符号为正，则分解为和的完全平方，若2倍项的符号为负，则分解为差的完全平方.【设计意图】本节课的学习是在学生已掌握运用平方差公式分解因式的基础上进行的，学生已掌握运用因式分解与整式乘法的互逆关系可得到运用平方差公式分解因式的方法，因此根据这样的经验，类比学习得到运用完全平方公式分解因式就迎刃而解了.●活动② 剖析完全平方公式. ★问题4：我们将形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.完全平方式有哪些特点呢？ 学生思考后分小组讨论，再归纳总结：完全平方式的特点是：①完全平方式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的 平方，而且符号相同，中间相是这两个数（或整式）的积的2倍 ，符号正负均可.口诀：首平方，末平方，首末积的2倍中间放.追问：平方差公式中的A.b 可代表多项式，类似地，完全平方公式中的A.b 是否也可以代表一个多项式呢？【设计意图】类比平方差公式分解因式的学习过程，剖析完全平方式的特点，为熟练运用完全平方公式分解因式奠定基础.●活动③ 辨析完全平方公式问题5：下列多项式中，哪些是完全平方式？若是完全平方式，请指出谁相当于公式中的A.b.（1）224129x xy y ++ ；（2）244x x -++ ；（3）2269x xy y -+- ；（4）221x x +-学生独立思考后，集体订正.【设计意图】通过辨析完全平方式，为运用完全平方式分解因式作准备.尤其是对于（2）、（3）这种形式的完全平方式，学生辨析较困难，关键是掌握：完全平方式首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，各项的位置是可以调换的，为本节课突破难点奠定基础.探究二 直接运用完全平方公式因式分解 ★●活动① 公式中的A.b 代表单项式的因式分解例1 分解因式：（1）216249x x ++ ；（2）2244x xy y -+-【知识点】运用完全平方公式分解因式【解题过程】解：（1）222216249(4)2433(43)x x x x x ++=++=+；（2）222222244(44)22(2)(2)x xy y x xy y x x y y x y ⎡⎤-+-=--+=--+=--⎣⎦【思路点拨】（1）先将原多项式变形为22(4)2433x x ++，认清谁是公式中的A.b ，再进行因式分解 ；（2）可将负号提出是本题的关键，变形为2222(44)22(2)x xy y x x y y ⎡⎤--+=--+⎣⎦，再因式分解.【答案】 （1）2(43)x +；（2）2(2)x y --.练习：因式分解（1）2242025x xy y -+ （2）221294xy x y --【知识点】运用完全平方公式分解因式【解题过程】解：（1）2222242025(2)225(5)(25)x xy y x x y y x y -+=-+=-；（2）22222221294(9124)(3)232(2)(32)xy x y x xy y x x y y x y ⎡⎤--=--+=--+=--⎣⎦【思路点拨】（1）先将原多项式变形为22(2)225(5)x x y y -+，辨析公式中的 A.b ，再进行因式分解 ；（2）将负号提出是本题的关键，变形为22(3)232(2)x x y y ⎡⎤--+⎣⎦，再因式分解.【答案】 （1）2(25)x y -；（2）2(32)x y --.●活动② 公式中的A.b 代表多项式的因式分解例2 分解因式：（1）2()12()36a b a b +-++ ；（2）22()4()4m n m m n m +-++ .【知识点】运用完全平方公式分解因式【数学思想】整体思想【解题过程】解：（1）2222()12()36()2()66(6)a b a b a b a b a b +-++=+-++=+-；（2）222222()4()4()2()2(2)(2)()m n m m n m m n m n m m m n m n m +-++=+-++=+-=-.【思路点拨】此类题的关键是整体思想的运用，（1）中将a+b 看成一个整体，设a+b=m ，则原多项式就化为21236m m -+ ，可用完全平方公式分解因式；（2）类似，注意分解后有同类项还需合并同类项.【答案】 （1）2(6)a b +-；（2）2()n m -.练习：因式分解（1）222()()a a b c b c -+++ ；（2）2222(1)4(1)4x x x x ++++ 【知识点】运用完全平方公式分解因式【数学思想】整体思想【解题过程】解：（1）[]22222()()()()a a b c b c a b c a b c -+++=-+=--； （2）22222222224(1)4(1)4(1)2(21)(1)(1)x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++=++=+=+⎣⎦⎣⎦.【思路点拨】解此类题的关键是整体思想的运用，（1）中将b+c 看成一个整体，设b+c=m ，则原多项式就化为222a am m -+ ，可用完全平方公式分解因式；（2）类似，注意分解后还需继续利用完全平方公式分解彻底.【答案】 （1）2()a b c --；（2）4(1)x +. 探究三 综合应用 ★ ▲●活动①例3 分解因式：（1）22363ax axy ay++；（2）2()4a b ab-+；（3）22(4)16x x+-.【知识点】运用提公因式法、公式法分解因式【解题过程】解：（1）22222 3633(2)3() ax axy ay a x xy y a x y ++=++=+；（2）222222 ()4242() a b ab a ab b ab a ab b a b-+=-++=++=+.（3）222222(4)16(44)(44)(2)(44) x x x x x x x x x+-=+++-=++-【思路点拨】对于（1），关键是先提公因式3a，之后才能运用完全平方公式分解因式；对于（2），观察式子后发现不能直接进行因式分解，需将2()a b-展开后，与2ab，合并同类项方可进行. 对于（3）应先运用平方差公式分解因式，再继续用完全平方公式分解，注意分解彻底.【答案】（1）23()a x y+；（2）2()a b+；（3）22(2)(44)x x x++-题后反思：（1）把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.（2）分解因式的一般步骤：一提，二套，三检查①观察多项式的各项是否有公因式，若有，应先提公因式；②再观察多项式是否可套用平方差公式或完全平方公式进行分解因式；③检查每个多项式是否分解彻底，每个多项式都不能分解时，分解因式就结束了.注意：有时多项式既不能提公因式，也不能运用平方差或完全平方公式分解，则需根据多项式的特点作适当变形后再进行因式分解.练习：把下列各式分解因式：（1）33222ax y axy ax y+-；（2）24(1)a a--；（3）222(3)(1)x x x--+【知识点】运用提公因式法、公式法分解因式【解题过程】解：（1）33222222(2)() ax y axy ax y axy x y xy axy x y +-=+-=-；（2）222 4(1)44(2)a a a a a--=-+=-；（3）2222222(3)(1)(31)(31)(21)(41) x x x x x x x x x x x x x --+=-++---=-+--22(1)(41)x x x=---【思路点拨】对于（1），关键是先提公因式axy，之后才能运用完全平方公式分解因式；对于（2），观察式子后发现不能直接进行因式分解，需将多项式变形后，再进行因式分解. 对于（3）应先运用平方差公式分解因式，再继续用完全平方公式分解，注意分解彻底.【答案】（1）2()axy x y -；（2）2(2)a -；（3）22(1)(41)x x x --- ●活动② 因式分解的运用例4 计算：（1） 228001600798798-⨯+ ；（2）2225685622244⨯+⨯⨯+⨯【知识点】运用因式分解简化运算【解题过程】解：（1）22222280016007987988002800798798(800798)24-⨯+=-⨯⨯+=-==； （2）222222256856222442(562564444)2(5644)210020000⨯+⨯⨯+⨯=⨯+⨯⨯+=⨯+=⨯=；【思路点拨】此类题的关键是将算式进行适当变形，变为完全平方式的形式，这样即可运用完全平方公式进行因式分解，从而达到简化运算的目的.【答案】（1）4；（2）20000.练习：计算（1）221999399819981998-⨯+ ；（2）2299599+【知识点】运用因式分解简化运算【解题过程】解：（1）22222199939981998199819992199919981998(19991998)1-⨯+=-⨯⨯+=-=；（2）222299599(3001)59930023001159990000+=-+=-⨯⨯++=； 【思路点拨】此类题的关键是将算式进行适当变形，变为完全平方式的形式，这样即可运用完全平方公式进行因式分解，从而达到简化运算的目的.【答案】（1）1；（2）90000.3. 课堂总结知识梳理（1）完全平方式：形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.（2）用完全平方公式分解因式：文字语言：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.符号语言：2222()a ab b a b ++=+；2222()a ab b a b -+=-. （3）公式法：把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.重难点归纳（1）完全平方公式使用的条件是：①多项式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，中间项是这两个数（或整式）的积2倍，符号正负均可.（2）分解因式的一般步骤：一提，二套，三检查①观察多项式的各项是否有公因式，若有，应先提公因式；②再观察多项式是否可以用平方差公式或完全平方公式进行分解因式；③检查每个多项式是否分解彻底，每个多项式都不能分解时，分解因式就结束了.（3）有时多项式既不能提公因式，也不能运用平方差或完全平方公式分解，则需根据多项式的特点作适当变形后再进行因式分解.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
公式法
【教材训练·5分钟】
1.完全平方公式：
（1）用字母表示：222a ab b ±+=2()a b ±.
（2）用语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
2.判断训练（请在括号内打“√”或“×”） （1）24x mx ++是完全平方式，则m=4.（ × ） （2）2224(2)m m m ++=+（ × ） （3）2211
()42
a a a -+
=+.（ × ） （4）2244(2)mn mn m m ---=--（ × ）
【课堂达标·20分钟】
训练点一：运用完全平方公式分解因式
1．（2分）（13版人教八上百练百胜P90训练点1T1
）
2.（2分）（13版人教八上百练百胜P90训练点1T2）
3. （2分）因式分解：a 2
—6a ＋9＝ ． 【解析】 a 2
—6a ＋9＝（a —3）2
． 答案：（a —3）2
4.（2分）分解因式：
3
2
2
14a a b ab -+-= . 【解析】原式＝－a （a 2
－ab ＋41b 2）＝－a （a －21b ）
2
．
答案：－a （a －
2
1
b ）2． 5.（2分）分解因式：16–8（x –y ）+（x
–y ）
2
= . 【解析】16–8（x –y ）+（
x –
y ）2
， =[4–（x –y ）]
2
，
=（4–x+y ）2
． 答案：（4–x+y ）2
．
6.（6分）（13版人教八上百练百胜P90训练点1T5）
训练点二：完全平方公式的综合运用
1. （2分）（13版人教八上百练百胜P90训练点2T1）
2．（2分）（13版人教八上百练百胜P90训练点2T2）
3．（2分）（13版人教八上百练百胜P90训练点2T4）
4.（4分）（13版人教八上百练百胜P90训练点2T5
）
5. （4分）（13版人教八上百练百胜P90训练点2T6）
【课后作业·30分钟】 一、选择题（每小题4分，共12分）
1．（2012·庆阳中考）下列二次三项式是完全平方式的是 （ ）
A ．1682
--x x B ．1682
++x x C ．1642--x x
D ．1642
++x x
【解析】选B.选项A 、C 的符号都不符合a 2
±2ab ＋b
2
的形式，删去选项A 、C ；选项B 、D 中x 相当于a 2
±2ab ＋b 2
中的a ，选项D 中4相当于a 2
±2ab ＋b 2
中的b ，但中项应为8x ，删去选项D ，故选B ．
2. （2012·无锡中考）分解因式(x －1)2
－2(x －1)+1的结果是 ( )
A ．(x －1)(x －2)
B ． x 2
C ．(x +1)2
D ． (x
－2)2
【解析】选D.∵ a 2 －2ab +b 2=(a －b )2 ∴(x －1)2
－
2(x －1)+1=〔 (x －1)-1 〕2 =(x －2)2
.
3.（2012·恩施中考）a 4b －6a 3b ＋9a 2
b 分解因式的正确结果是（ ）
A ．a 2b (a 2－6a ＋9)
B ．a 2
b (a ＋3)(a －3) C ．b (a 2－3)2 D ．a 2b (a －3)2
【解析】选D.解：a 4b ﹣6a 3b+9a 2b = a 2b （a 2
﹣6a+9）
= a 2b （a ﹣3）2
．
二、填空题（每小题4分，共12分）
4. （2012·常州中考）已知x ＝y ＋4,则代数式
22-2+-25x xy y 的值为 .
【解析】由x=y+4 可得x-y=4，所以代数式x 2
-2xy +
y 2 -25=()2
x y --25=2
4-25=9-．
答案：-9
5. (2012·葫芦岛中考)已知a －b ＝3，则a (a －2b )
＋b 2
的值为 ．
【解析】a (a －2b )＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2
．
当a －b ＝3时，原式＝32
＝9．
另解：由a －b ＝3得a ＝b ＋3，∴原式＝(b ＋3)(3－b )＋b 2＝9－b 2＋b 2＝9． 答案：9
6. （2012·黔东南中考）二次三项式2
9x kx -+是一个完全平方式，则k 的值是 ．
【解析】解法一：因为2
9x kx -+=2
23+-kx x ，所以根据完全平方公式可得32⨯⨯±=-x kx ，解得k=6±．故答案为：6±．
解法二：∵2
9x kx -+是一个完全平方式， ∴一元二次方程2
90x kx -+=有两个相等的实数根，
∴0914)(2
=⋅⋅--k ，即0362
=-k ，
解得k =6±．
答案：±6
三.解答题（共26分）
7．（6分）在三个整式2
2
2
2,2,x xy y xy x ++中，请
你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.
【解析】)(222)2(222y x x xy x x xy x +=+=++； 或222)()2(y x x xy y +=++； 或
)
)(()2()2(2
222y x y x y x xy y xy y -+=-=+-+； 或
)
)(()2()2(2222x y x y x y xy x xy y -+=-=+-+.8.（6分）已知2
1
2=
-b a ，2=ab .求42332444b a b a b a -+-的值.
【解析】
2
22222423324)2()()44(44b a ab b ab a b a b a b a b a -⋅-=+--=-+-.当2
1
2=
-b a ，2=ab 时，原式＝12122
2
-=⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-.
9.（6分）已知a (a －1)－(a 2
－b )＝4,求代数式
2
2
2b a +－ab 的值. 化简条件，得a －b ＝－4，∴22
2b a +－
ab 2
)4(2)(222
222-=-=+-=b a b ab a ＝8.
10.（8分）（能力拔高题）（13版人教八上百练百胜P91能力提升T9）。