考研辅导线性代数-行列式(工科类)

虽然单独命的计算题并不多， 虽然单独命的计算题并不多，但在 特征值问题中有较多 λ E − A 型行列式的计算， 型行列式的计算，在线性相关 矩阵可逆、 矩阵可逆、 n个未知数 个方程的齐次方程组、二 个未知数n个方程的齐次方程组、 个未知数 个方程的齐次方程组 次型的正定等问题中都会涉及到行列 式的计算， 式的计算，因此对行列式的计算要重 不要因小失大． 视，不要因小失大．
A =0
⇔ 矩阵 不可逆 矩阵A不可逆 ⇔ 秩r(A)<n ＝ 有非零解 ⇔ AX＝0有非零解 ⇔ 0是矩阵 的特征值 是矩阵A的特征值 是矩阵 ⇔ A的列 行))向量线性相关． 的列(行 向量线性相关 向量线性相关． 的列
因此，判断行列式是否为零的问题， 因此，判断行列式是否为零的问题，常用的 思路有： 思路有：①用秩 用齐次方程组是否有非零解； ；②用齐次方程组是否有非零解；③用特征 值能否为零； 值能否为零； 反证法也是重要的；．．． ④反证法也是重要的；．．． 因为行列式是一个数， 因为行列式是一个数，若 A = − A
1 1 B= L 1
1 1 L 1
L 1 L 1 L L L 1
评注：除去用行列式的性质及展开公式计算外 评注：除去用行列式的性质及展开公式计算外, 你能利用特征值更简便地求出行列式的值吗？ 你能利用特征值更简便地求出行列式的值吗？ 综述 对于数字型行列式的计算主要是按行、 对于数字型行列式的计算主要是按行、 列展开公式， 列展开公式，但在展开之前往往 先运用行列式的性质对其作恒等变形。 先运用行列式的性质对其作恒等变形。 以期某行或某列有较多的零元素， 以期某行或某列有较多的零元素，这时 再展开可减轻计算量．同时， 再展开可减轻计算量．同时，也要 注意一些特殊公式，如上(下 三角 三角、 注意一些特殊公式，如上 下)三角、范 德蒙行列式、拉普拉斯展开式的运用． 德蒙行列式、拉普拉斯展开式的运用．
的伴随矩阵.则 ，其中A*为A的伴随矩阵 则 其中 为 的伴随矩阵
B=
1 评注：本题没有必要解出， 评注：本题没有必要解出，B = ( A − 2E)−1 A 3 注意 kA = k n A 不要出错
(3)（05，4分）设 （ ， 分
α1 ,α 2 , α 3
均为3维列向量， 均为 维列向量，记矩阵 维列向量
λ =1 且 B ≠0 ） （C） λ = 1 且 B = 0 （D） ）
λ ） λ （A） = −2 且 B = 0 （B） = −2 且 B ≠ 0 ）
注：作为选择题，只需在 λ = − 2与λ = 1 作为选择题， 中选择一个， 中选择一个，因而可以用特殊值代 入 评注：对于条件AB=0应当有两个思路： 评注：对于条件 应当有两个思路： 应当有两个思路 一是B的列向量是齐次方程组 的列向量是齐次方程组AX＝ 的解 一是 的列向量是齐次方程组 ＝0的解 二是秩的信息即 r ( A) + r ( B ) ≤ n
证明行列式 A = (n +1)an
评注： 评注：本题关于三对角线行列式的 计算通常用递推法。 计算通常用递推法。 年数四考题中出现过） （96年数四考题中出现过） 年数四考题中出现过 例如，本题按第一列展开， 例如，本题按第一列展开，有
Dn = 2aDn −1 − a Dn − 2
2
Dn − aDn−1 = aDn−1 − a Dn−2
2
= a(Dn−1 − aDn−2 )
Dn −aDn−1 = a(Dn−1 −aDn−2) = a (Dn−2 −aDn−3) =L
2
= a (D2 −aD ) = a 1
n−2
n
D =aD−1 +a =a(aD−2 +a )+a =a D−2 +2a n n n n
n n 2
n−1
n
=L=a D +(n−1 a =(n+1 a ) ) 1
一、数字型行列式的计算 1.（08.6分）设 n 元线性方程组 （ 元线性方程组Ax=b，其中 分 ，
2a 1 a2 2a 1 2 a 2a 1 A= O O O a2 2a 1 2 a 2an×n
x1 1 x 0 2 b = ，. x =， M M xn 0
第一章 行列式
年全国统考以来， 从1987年全国统考以来，行列式的题以填 年全国统考以来 选择为主，题量不多，且偏重于计算。 空、选择为主，题量不多，且偏重于计算。 对于落到行列式的考题，大致为三种类型， 对于落到行列式的考题，大致为三种类型， 一是数字型行列式的计算， 一是数字型行列式的计算，一是抽象型行列式 的计算，还有就是行列式值的判定（ 的计算，还有就是行列式值的判定（特别是行 列式是否为零？） 列式是否为零？） 在这些考题中不仅考查行列式的概念、 在这些考题中不仅考查行列式的概念、性 质及计算，还涉及到矩阵、向量、方程组、 质及计算，还涉及到矩阵、向量、方程组、特 征值二次型等知识点。 征值二次型等知识点。
三、行列式是否为零的判断 行列式是否为零的判断
1、（ 、3分）齐次方程组 、（98、 分 、（
λ x1 + x2 + λ 2 x3 = 0 x1 + λ x2 + x3 = 0 x + x + λ x = 0 2 3 1
的系数矩阵为A。 的系数矩阵为 。若存在三阶矩阵 B≠0使得 使得AB=0，则 使得 ，
(2).（97，4，3分）设n阶矩阵 （ ， ， 分 阶矩阵
0 1 1 A = M 1 1 1 0 1 M 1 1 1 1 0 M 1 1 L L L L L 1 1 1 M 0 1 1 1 1 M 1 0
则
A=
评注： 评注：本题除用行列式的性质 及展开计算外， 及展开计算外，你能用特征值 更简便地求出该行列式的值吗? 更简便地求出该行列式的值吗 (提示：R（A）＝ 充要条件为 提示： （ ）＝ ）＝1充要条件为 提示 A＝（ 1 a2····an）T（ b1 b2····bn） ＝（a ＝（ 的特征值为n， ， ， 且A的特征值为 ，0，···，0 的特征值为 注意本题A＝ － ， 注意本题 ＝B－E，其中
二、抽象型行列式的计算
1.（00，3分）若4阶矩阵 与B相似，矩阵 （ ， 分 阶矩阵A与 相似 相似， 阶矩阵 A的特征值为 的特征值为
1 1 1 1 , , , 2 3 4 5
，
，
B −1 − E = ，则行列式 则行列式
，
练习一：要会计算这些题 练习一：要会计算这些题: (1).（06，4分）设矩阵 （ ， 分
B =
α1 + α 2 + α 3 α1 + 2α 2 + 4α 3 α1 + 3α 2 + 9α 3
= α1 +α2 +α3 α2 +3 3 α2 +5 3 α α
= α1 +α2 +α3 α2 +3 3 2α3 =2α1 +α2 +α3 α2 +3 3 α3 α α
= 2α1 +α2 α2 α3 =2α1 α2 α3
，
则亦能得出 A = 0
的结论． 的结论． 这里所涉及的思路与方法可以 平行的转移到矩阵A是否可逆的判定中去 是否可逆的判定中去． 平行的转移到矩阵 是否可逆的判定中去．
）－（m＋ ） （A）m＋n； （B）－（ ＋n） ） ＋ ； ）－（ (C) n-m; (D) m-n
评注：作为抽象型行列式， 评注：作为抽象型行列式，本 题主要考查行列式的性质
2（04，4分）设矩阵 （ ， 分
2 1 0 矩阵B满足 满足： A = 1 2 0 ，矩阵 满足：ABA*=2BA*+E 0 0 1
2 1 A= −1 2
阶单位矩阵， ，E为2阶单位矩阵，矩阵 满足 为 阶单位矩阵 矩阵B满足 BA＝B＋2E，则 ＝ ＋ ，
B =
(2).（08，4分）设3阶矩阵 的特征值 （ ， 分 阶矩阵A的特征值 阶矩阵 阶单位矩阵， 为1，2，2,E为3阶单位矩阵，则 ， ， 为 阶单位矩阵
AB = 0
AB ≠ 0
(C ) 当n＞m时，必有行列式 ＞ 时
(D) 当n＞m时，必有行列式 AB = 0 ＞ 时
2。设A是n阶非零矩阵 。 是 阶非零矩阵
A ∗＝ A
T
， 证 明 ：A
≠ 0
（至少用两种方法作） 至少用两种方法作）
综述： 综述： 阶矩阵， 阶矩阵 若 A=(α,α ,Lα ) 是n阶矩阵，那么 行列式 1 2 , n
n
n−1
n
练习题(1) 练习题
1−a a
0

0 0 0 =
−1 1−a a 0 D= 0 −1 1−a a 0 0 0 0
−1 1−a a 0 −1 1−a
评注：本题可以按第一行（ 评注：本题可以按第一行（列） 直接展开，建立递推公式； 直接展开，建立递推公式； 也可将各行（ 加到第一行（ 也可将各行（列）加到第一行（列） 再展开， 再展开，不过在建立 ，递推公式时一定要注意符号问题 如将各列加到第一列再展开） （如将各列加到第一列再展开） 否则会出错！留作考生作练习。 ，否则会出错！留作考生作练习。
4A
−1
− E =
(3)（03，4，3分）若 （ ， ， 分
α1 , α2 , α3 , β1 , β2
都是4维列向量， 都是 维列向量，且4阶行列式 维列向量 阶行列式 α1,α2,α3,β1 =m α1 , α 2 , β 2 , α 3 = n
，
，则4阶行列式 α1,α2,α3, β1 + β2 = 阶行列式
几点要求与注意： 几点要求与注意： 1。考研辅导学时有限，教师讲解不可能 。考研辅导学时有限， 面面俱到，只能画龙点睛， 面面俱到，只能画龙点睛，教师所起的只 是引导的作用， 是引导的作用，师生必须相互配合默契才 能发挥最大的效益。 能发挥最大的效益。 2。辅导讲解主要讲授：常见题型，解题 。辅导讲解主要讲授：常见题型， 分析， 分析，