正交试验设计原理与实例

正交试验设计原理与实例
1 正交试验设计的意义 正交试验属于试验设计方法的一种。简单地讲，试验设计是研究如何科学安
排试验，以较少的人力物力消耗而取得较多较全面的信息。 试验安排得好，事半功倍；反之则事倍功半，甚至达不到预期目的。因此，
如何进行试验设计是一个至关重要的问题。
正交试验设计是试验优化的常用技术。 所谓试验优化，是指在最优化思想的指导 下，进行最优设计的一种优化方法。它从 不同的优良性出发，合理设计试验方案， 有效控制试验干扰，科学处理试验数据， 全面进行优化分析，直接实现优化目标， 已成为现代优化技术的一个重要方面。
Ln (tq）
式中：L为正交表符号，是Latin的第一个字母；n为 试验次数，即正交表行数；t为因素的水平数，即1 列中出现不同数字的个数;q为最多能安排的因素数， 即正交表的列数。
正交表表示方法
L9（34）
正交表列数 一列中出现的数字个数 正交表行数 正交表的代号
②正交表中1列可以安排1个因素，因此它可安排的 因素数可以小于或等于q，但不能大于q。
关于正交的直观印象
•数据点分布是均匀的 •每一个面都有3个点 •一条线都有1个点
1.3 正交试验设计 正交试验设计也称正交设计(orthogonal design)，是用来科学地设计多因素试验
的一种方法。它利用一套规格化的正交表(orthogonal table)安排试验，得到的试验 结果再用数理统计方法进行处理，使之得出科学结论。正交表是试验设计的基本工具， 它是根据均衡分布的思想，运用组合数学理论构造的一种数学表格，均衡分布性是正 交表的核心。
2.3 常用正交表的分类及特点
1、标准表（相同水平正交表）
2水平:L4(23）,L8 (27）,L16 (215），… 3水平:L9 (34），L27（313），L81(340），… 4水平：L16 (45）,L64 (4 21）,L256 (485），… 5水平：L25（56）,L125(5 31）,L625 (5156），… 各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平 正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数 字为2，称为两水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列 中最大数字为3，称为3水平正交表。凡是标准表，水 平数都相等。且水平数只能取素数或素数幂。因此有7 水平，9水平的标准表，没有6水平，8水平的标准表。
19世纪20年代，英国统计学家R. A. Fisher首先后马铃薯肥料试验当中，运用 排列均衡的拉丁方，解决了试验时的不均 匀试验条件，获得成功，并创立了“试验 设计”这一新兴学科。“均衡分布”思想 在20世纪50年代应用于工业领域， 60年 代应用于农业领域，使正交试验在科研生 产实际中得到推广。
3 因 素 3 水 平 的 全 面试验水平组合数为33=27，4 因素3水平的全面试验水 平组合数为34=81 ，5因素3水平的全面试验水平组合数为35=243，这在试验中是 不可能做到的。
正交设计就是从选优区全面试验点 （水平组合）中挑选出有代表性的部分试 验点（水平组合）来进行试验。图11-A 中标有试验号的九个“(·)”，就是利用正 交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9 个试验点。即：
１.２ 正交拉丁方
在试验安排中 ，每个因素在研究的范围内选几个水平，就好比在选优区内打上 网格 ，如果网上的每个点都做试验，就是全面试验。3个因素的选优区可以用一个 立方体表示(图11-2)，3个因素各取 3个水平，把立方体划分成27个格点，反映在 图11上就是立方体内的27个“.”。若27个网格点都试验，就是全面试验，其试验 方案如表11所示。
2、正交表 ２.１ 正交表 －正交拉丁方的自然推广
由于正交设计安排试验和分析试验结果都要 用 正交表， 因此，我们先对正交表作一介绍。
安排的4因素3水平的试验，编上试验号，列成另外一
种形式，见正交表L9(34)（表11-6） 。可以由此得到系列
正交表(orthogonal table)。
常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行正 交设计时选用。2水平正交表除L8(27)外，还有L4(23)、 L16(215) 等 ； 3水 平 正 交 表 有 L9(34)、 L27(213)……等 （详见附表17及有关参考书）。
表11-6是一张正交表，记号为L9(34)，其中“L”代表正交表；L右下角的数字 “9”表示有9行 ，用这张正交表安排试验包含3个处理(水平组合) ；括号内的底数 “3” 表示因素的水平数，括号内3的指数“4”表示有4列 ，也指安排的因素数，
用这张正交表最多可以安排4个3水平因素。
2.2 正交表的表示符号 ①正交表记号所表示的含义归纳如下：
③括号内的tq表示q个因素、每个因素t个水平全面 试验的水平组合数（即处理数）。因为安排因素个数 不能大于q，所以n /tq为最小部分实施。
显然，L4(23)是最简单的正交表，有4列3行用它 最多能安排3个2水平因素的试验。部分试验为4次， 全面试验为8次，最小部分实施为1/2，即用它安排试 验可比全面试验少做1/2。所以，当试验因素数q及每 个因素的水平数t增加时n /tq则下降，节省试验次数的 效果更明显。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的 分析，了解全面试验的情况。
１.１试验为什么要设计
全面试验包含的水平组合数较多，工作量大 ，由于受试验场地、试验材料、 经费等限制而难于实施 。例如，有6个因素： 每因素取 5个水平，全面试验就需 要56=15625个组合。
若试验的主要目的是 寻 求 最 优水平组合 ，则 可利用正交 设计来安排试验。
④一般非等水平正交表表示为Ln (t1q1 X t2 q2）（q1不等于q2）Ln (tlq1 X t2q2 X t3q3）（q1q2q３），它们各代表一个具体的数字表格。又称混合型正交表。
当用非等水平正交表示为Ln (t1q1 X t2 q2 )安排试验时。则因素数应不大于q1 +q2 ,且t1水平的因素数不大于q1 ，t2水平的因素数不大于q2，最小部分实施为 n/(t1q1+t2 q2）。